APPUNTI del CORSO di TEORIA dei CIRCUITI 2 Stabilit`a e

Università degli Studi di Trieste
Facoltà di Ingegneria
Laurea in Ingegneria dell’Informazione
a.a. 2004/2005
APPUNTI del CORSO di TEORIA dei CIRCUITI 2
Stabilità e Biforcazioni
docente: Stefano Pastore
May 24, 2007
Contents
1 Stabilità Strutturale e Centre Manifold Theory
2
2 Biforcazioni Locali e Sentieri dei Punti di
2.1 Fold Bifurcation . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Hopf Bifurcation . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Transcritical e Cusp Bifurcations . . . . .
2
3
3
4
Equilibrio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Biforcazioni dei Cicli Limite
4
4 La Mappa Logistica
5
1
1
Stabilità Strutturale e Centre Manifold Theory
Consideriamo il sistema nonlineare autonomo di ordine n:
ẋ = f (x)
(1)
dove f è una funzione vettoriale n-dimensionale. Diamo una definizione di stabilità strutturale per un
sistema nonlineare di tal fatta:
Un sistema è strutturalmente stabile se campi vettoriali sufficientemente vicini hanno un
phase portrait equivalente.
Se xQ è un punto di equilibrio di f , possiamo esprimere x come xQ + ξ, dove ξ è una perturbazione dello
stato attorno al punto di lavoro.
Quindi, sviluppando in serie di Taylor l’eq. (1) intorno a xQ , otteniamo una equazione lineare, detta
variazionale:
ξ˙ = fx (xQ ) ξ
(2)
dove fx (xQ ) è lo jacobiano di f calcolato in xQ . Se il punto xQ è asintoticamente stabile, ξ(t) deve
tendere a zero come t → ∞; la condizione per questo è che la parte reale degli autovalori di J = fx (xQ )
deve essere negativa.
Ora supponiamo che il sistema dipenda da un parametro µ. Al variare di µ, gli autovalori descrivono
una curva nel piano complesso. Supponiamo che per µ = µ0 tutti gli autovalori del sistema siano nel
semipiano negativo, cosı̀ che il sistema sia asintoticamente stabile, e facciamo crescere µ. Il sistema può
perdere la stabilità tipicamente in due modi:
1. un autovalore reale attraversa l’asse immaginario;
2. una coppia di autovalori complessi coniugati attraversa l’asse immaginario.
la prima transizione è chiamata fold bifurcation, ed è inerente a una perdità di rigidità, la seconda è
chiamata Hopf bifurcation, ed è associata con uno smorzamento che passa da positivo a negativo, cioè
ad una amplificazione. In entrambi i casi, posssiamo osservare che il sistema è strutturalmente instabile
al punto di biforcazione, ed è precisamente in questi stati critici che un esame nonlineare deve essere
affiancato alla analisi lineare della stabilità.
Al variare di µ, anche i corrispondenti punti di equilibrio descrivono un sentiero nello spazio ndimensionale delle variabili di stato. Ci possiamo aspettare che questi sentieri abbiano delle proprità
geometriche interessanti nei punti di biforcazione, ma è difficile visualizzarle in uno spazio n-dimensionale.
Quindi è ragionevole cercare un sistema ridotto in dimensioni, che preservi tutte le proprietà qualitative
del sistema n-dimensionale. Questa riduzione va sotto il nome di centre manifold theory, ed è supportata
da un teorema, il centre manifold theorem.
Supponiamo che un dato sistema abbia, in un punto critico, r autovalori con parte reale negativa, s
autovalori con parte reale nulla e t autovalori con parte reale positiva. Gli autovettori associati con questi
tre insiemi di autovalori producono tre distinti sottospazi. La teoria del centre manifold ci permette
di vedere questi sottospazi come approssimazioni locali di manifolds invarianti che, in un certo senso,
organizzano il phase portrait. Quindi la teoria del centre manifold riduce lo studio generale del flusso dei
phase portraits allo studio del flusso di questi manifolds campione.
2
Biforcazioni Locali e Sentieri dei Punti di Equilibrio
Si definisce punto di biforcazione ogni punto nello spazio dei parametri di controllo corrispondente a un campo vettoriale strutturalmente instabile.
Questa definizione è del tutto generale, includendo biforcazioni locali statiche e dinamiche, come pure le
biforcazioni globali del phase portrait.
Consideriamo un sistema autonomo del II ordine, che ci permette di discutere di biforcazioni locali
senza perdita di generalità, come stabilito nella sezione precedente dalla teoria del centre manifold. I casi
possibili per i punti di equilibrio sono quelli visti nello studio dei sistemi lineari omogenei del II ordine.
E’ facile vedere che i phase portraits strutturalmente instabili corrispondono a punti in cui si verifica un
cambiamento di stabilità.
2
2.1
Fold Bifurcation
Consideriamo il sistema n-dimensionale in un piccolo intorno del punto di biforcazione. Il campo vettoriale
ridotto vicino a un fold (centre manifold) può essere espresso come:
ẋ = µ − x2
(3)
dove x è uno scalare. Ponendo ẋ = 0, troviamo una relazione quadratica tra il parametro µ e i punti di
equilibrio xQ . Per la precisione, si ha che:
√
xQ
1,2 = ± µ,
µ≥0
(4)
Uno dei due punti è stabile, mentre l’altro è instabile.
Questa biforcazione è anche chiamata una saddle-node bifurcation e, per capire perchè, consideriamo
un sistema del II ordine comprendente l’equazione (3) al suo interno.
Il modo più semplice consiste nel costruire il seguente sistema:
ẋ = µ − x2
(5)
ẏ = −y
Consideriamo i relativi phase portraits per µ = 0.5, µ = 0 e µ = −0.5, disegnati in Fig. 1(a). Notiamo
come il punto stabile, convergendo verso l’asse immaginario, diventi instabile e poi sparisca. Questa
biforcazione è molto comune in tutti i rami della matematica applicata, come la deformazione di una
arcata poco profonda sottoposta a pressione.
Notiamo pure che questa biforcazione è strutturalmente stabile.
2.2
Hopf Bifurcation
Consideriamo l’oscillatore nonlineare di Van der Pol, senza termine forzante, di equazione:
ẍ + α(x2 − 1) ẋ + ω 2 x = 0,
|α| < 2ω
(6)
Possiamo scrivere l’equazione (6) sotto forma di sistema:
ẋ = y
ẏ = αy − ω 2 x − αx2 y
Il punto di equilibrio è posto nell’origine, mentre lo jacobiano è:
"
#
0
1
JQ =
−ω 2 α
Gli autovalori sono:
(7)
(8)
√
α2 − 4ω 2
(9)
2
Quindi,
quando il coefficiente α passa da negativo a positivo, si ha una hopf bifurcation, a λ1,2 =
√
−ω 2 . Quindi la biforcazione può essere associata alla sparizione del termine lineare di smorzamento.
Se il termine monlineare fosse nullo, avremmo un oscillatore lineare instabile le cui oscillazioni crescono
all’infinito. Il termine nonlineare ha proprio lo scopo di limitare la crescita delle oscillazioni.
Si possono trarre le stesse conclusioni se il termine nonlineare è semplicemente f (x, ẋ) = ẋ3 . Considerando l’equazione:
ẍ − µẋ + x + ẋ3 = 0
(10)
λ1,2 =
α±
Il punto di equilibrio è nell’origine e si ha una transizione come µ cambia segno. I relativi phase portraits
sono mostrati in Fig. 1(b).
3
2.3
Transcritical e Cusp Bifurcations
Ci sono altre biforcazioni, chamate transcritical e cusp, manifestate in molti esempi fisici.
Supponendo, per esempio, di bloccare un punto di equilibrio in x = ẋ = 0, per qualsiasi valore del
parametro, si ottiene una transizione detta transcritica. La più semplice equazione per descrivere tale
biforcazione è la seguente:
ẋ = µ x − x2
(11)
Due punti di equilibrio sono presenti per ogni µ, ed essi collassano per µ = 0. Il phase portrait del sistema
aumentato aggiungendo ẏ = −y è mostrato in Fig. 2(a).
Se il sistema ha una sua intrinseca simmetria, questo tipo di biforcazione non è più possibile, ma
dobbiamo rivolgere la nostra attenzione al sottospazio di campi vettoriali simmetrici con semplici sentieri
di equilibrio. La biforcazione che ne risulta è la cusp (o forchetta), la cui equazione è:
ẋ = µ x − x3
(12)
Troviamo i punti di equilibrio. Si ottiene:
√
(x2,3 = ±j −µ)
µ < 0 ⇒ x1 = 0,
µ = 0 ⇒ x1,2,3 = 0
(13)
√
x2,3 = ± µ
µ > 0 ⇒ x1 = 0,
I relativi phase portraits si trovano in Fig. 29b). Per µ < 0, si ha un pozzo stabile. Come raggiungiamo
µ = 0, le traiettorie sono attratte solo dalla y. Per µ > 0, due pozzi si sviluppano dall’origine, e il phase
portrait è diviso in due parti dalla sella che si trova nell’origine.
3
Biforcazioni dei Cicli Limite
Dopo i punti di equilibrio, la successiva più comune forma di comportamento ricorrente è il ciclo limite, di
cui è possibile definire la stabilità. Il metodo migliore è basato sulla mappa di Poincaré, con il conseguente
studio di sistemi dinamici dicreti, dette le mappe.
Le mappe sono definite da una equazione alle differenze:
xi+1 = F (xi )
(14)
dove x è un vettore n-dimensionale e F è una trasformazione nonlineare. Questa mappa può rappresentare
una mappa di Poincaré, dove i è l’indice del tempo che numera i successivi passaggi della traiettora
periodica continua. Il periodo deve essere costante in un sistema forzato, mentre non è necessariamente
costante in un sistema autonomo.
Si può studiare la stabilità di una mappa mono-dimensionale, studiando la stabilità di un punto fisso,
o di equilibrio.
Supponiamo che xQ sia un punto fisso. Disturbiamo il sistema, che altrimenti resterebbe in quiete nel
punto fisso, ponendo:
x = xQ + ξ
(15)
Allora, supponendo che F sia sviluppabile in serie attorno a xQ :
1
1 Q 2
xi+1 = xQ + ξi+1 = F (xi ) = F (xQ + ξi ) = F (xQ ) + FxQ ξi + Fxx
ξ + ...
2
2
(16)
Scrivendo i coefficienti dello sviluppo in serie come A, B, C, . . ., e usando la condizione di equilibrio in
xQ , si ottiene:
ξi+1 = Cξi + Dξi2 + . . .
(17)
Considerando solo il termine lineare, se xii+1 è piccolo, si ha:
Partendo dal punto iniziale ξ0 , si ha:
ξi+1 = Cξi
(18)
ξi+1 = C i ξ0
(19)
4
Quindi il punto fisso è linearmente stabile se −1 < C < 1. Se −1 < C < 0 il disturbo decade con in
modo oscillatorio, mentre se 0 < C < 1 decade con lo stesso segno di ξ. Se C > 1 il disturbo cresce
monotonicamente, diverge, mentre se C < −1, il disturbo cresce in modo oscillatorio, in inglese flipping.
Studiando le biforcazioni delle mappe, quindi aggiungendo un parametro alla mappa stessa, si può
studiare la stabilità dei cicli limite. Si avranno biforcazioni, fold, flip, e altre ancora.
4
La Mappa Logistica
Studiamo i fenomeni caotici nelle mappe. a tal fine, consideriamo le mappe logistiche, che intervengono
nello studio della biologia delle popolazioni. La più semplice è:
xn+1 = µxn
(20)
Chiaramente, se µ > 1, la popolazione diverge. Quindi la bisettrice del primo quadrante rappresenta il
limite per la stabilità della mappa (Fig. 3(a)).
Passiamo ora a una mappa nonlineare, quella propriamente chiamata logistica:
xn+1 = µ xn (1 − xn )
(21)
dove si suppone che il tasso di crescita cala come la popolazione cresce. La popolazione è normalizzata
per stare nell’intervallo [0, 1] e il parametro di controllo è µ.
Per µ ≤ 3 la popolazione evolve verso un unico punto di equlibrio stabile, che giace sulla bisettrice del
primo quadrante(Fig. 3(b)). Il punto di equilibrio si trova risolvendo l’equazione: F (x) = x. Si trova:
xQ = (µ − 1)/µ; la derivata di F in quel punto è: Fx (xQ ) = 2 − µ. Quindi il punto di equilibrio sarà
stabile fino a µ = 3. Per µ = 3, la derivata (cofficiente C) diventa −1, per cui si ha una biforcazione,
chiamata period doubling: il punto di equilibrio da stabile diventa instabile. in Fig. 3(c) vediamo il ciclo
limite che si verifica. Ulteriori period doublings accadono come µ aumenta, fino a un valore di µ vicino
a 4, dove si hanno delle orbite apparentemente non periodiche (Fig. (d)).
Se analizziamo con più attenzione il comportamento della mappa per 3 < µ < 4, troviamo il il
diagramma di biforcazione in Fig. 4, dove si ha in ascissa il valore del parametro µ e in ordinata il
valore di x ottenuto dopo il transitorio. Si vede che dopo una serie di period doublings, arriviamo a un
comportamento caotico, caratterizzato dalla completa aperiodicità del valore x ottenuto.
5
(a)
(b)
Fig. 1: (a) Fold: phase portraits. (b) Hopf: phase portraits.
6
(a)
(b)
Fig. 2: (a) Transcritical: phase portraits. (b) Cusp: phase portraits.
7
(a)
(b)
Fig. 3: Logistic map.
Fig. 4: Diagramma di biforcazione per la mappa logistica.
8