Collezione di esercizi di Analisi Matematica Università di Padova

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Collezione di esercizi di Analisi Matematica
Università di Padova
Scuola di Ingegneria
A.A. 2015/2016
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A. LANGUASCO
Versione del 10 dicembre 2015
p. 2
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A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
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Questo documento è stato preparato esclusivamente per gli studenti della Facoltà di Ingegneria dell’Università di Padova. La
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scritto dell’autore.
Commenti, critiche, passaggi oscuri, errori di stampa possono essere segnalati al seguente indirizzo
Prof. Alessandro Languasco, Dipartimento di Matematica, via Trieste 63, 35121 Padova.
webpage: www.math.unipd.it/~languasc; email: [email protected].
Il testo è stato composto per mezzo di LATEX 2ε , © American Mathematical Society.
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 2
Sommario
p. 3
S OMMARIO
Induzione, et al.
1.1 Induzione . . . . . . . . . .
1.2 Insiemi . . . . . . . . . . .
1.3 Disequazioni . . . . . . . .
1.4 Estremi Superiori ed Inferiori
1.5 Funzioni . . . . . . . . . . .
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5
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1
2
Esercizi sui Limiti
9
3
Esercizi su Continuità e Derivabilità di funzioni di una variabile reale
4
Esercizi sui Limiti e sullo Studio di Funzioni
4.1 Strategia per gli studi di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Testi di Esercizi sugli studi di funzione e limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
21
5
Appunti sul calcolo delle primitive
5.1 Primitive immediate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Alcune sostituzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Appunti sui criteri di convergenza degli integrali impropri
5.4.1 Integrali impropri su insiemi limitati . . . . . . .
5.4.2 Integrali impropri su insiemi illimitati . . . . . .
5.5 Esercizi sul calcolo di Primitive e Integrali . . . . . . . .
5.6 Integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Integrali impropri (o generalizzati) . . . . . . . . . . . .
29
29
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30
32
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6
Formula di Taylor
39
6.1 Sviluppi di Maclaurin (più usati) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Esercizi sulla formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7
Esercizi sulle Serie Numeriche
43
8
Esercizi sulle Equazioni Differenziali Ordinarie
45
9
Esercizi di Riepilogo
47
10 Formulario
49
10.1 Formula di Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10.2 Sviluppi di Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
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Induzione, et al.
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C APITOLO 1
INSIEMI , DISEQUAZIONI ,
ESTREMI SUPERIORI E INFERIORI , FUNZIONI
1.1 I NDUZIONE
Esercizio 1.1. Per quali n ∈ N si ha che ∑nk=0 k3 = (∑nk=0 k)2 ?
Esercizio 1.2. Provare che se ∑nk=0 k =
che
∑nk=0 k
=
(2n+1)2
8
(2n+1)2
8
allora ∑n+1
k=0 k =
(2n+3)2
.
8
Si può utilizzare il principio di induzione per concludere
per ogni n ∈ N?
Esercizio 1.3. Dimostrare per induzione che:
n(n+1)
2 ;
(1.3.2) ∑nk=0 (2k + 1) = n2 ;
(1.3.3) ∑nk=0 k2 =
n(n+1)(2n+1)
;
6
(1.3.4) ∑nk=0 k3 =
n2 (n+1)2
.
4
ig
h
(1.3.1) ∑nk=0 k =
te
d
E SERCIZI SUL PRINCIPIO DI INDUZIONE ,
Esercizio 1.4. Provare per ogni n ≥ 1 e x > 0 che (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Esercizio 1.5. Provare per ogni n ≥ 1 e a, b ∈ R che (a + b)n = ∑nk=0
p
Esercizio 1.6. Provare per ogni n, p ≥ 1 che ∑n−1
k=0 k <
n p+1
p+1
n k n−k
.
k a b
< ∑nk=0 k p .
1.2 I NSIEMI
Esercizio 1.7. Determinare se sono vere o false le seguenti relazioni:
(1.7.3) Z ⊂ {x ∈ R : x/2 ∈ Z};
Co
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(1.7.1) {x ∈ Q : x2 ∈ N} = Z; (1.7.2) {x ∈ Z : 1/x ∈ Z} = 0;
/
(1.7.4) {x ∈ R : x2 ∈ Q} ⊂ {x ∈ R : x3 ∈ Q}.
Esercizio 1.8. Per quali a, b ∈ R si ha che {x ∈ R : ax + b > 0} = {x ∈ R : x + (b/a) < 0}?
Esercizio 1.9. Sia a ≥ 0. È vero che
√
a≤
ax2 +1
2x
per ogni x ∈ R \ {0}?
Esercizio 1.10. Quali dei seguenti insiemi sono non vuoti?
(1.10.1) A = {x ∈ R : |x| ≤ x}; (1.10.2) B = {x ∈ R : x2 + 1 ≤ 1/2}; (1.10.3) C = {x ∈ R : |x| ≤ 0};
(1.10.4) D = {x ∈ R : |x + 4| ≤ x + 3}; (1.10.5) E = {x ∈ R : sin x ≥ 1}; (1.10.6) F = {x ∈ R : x < x2 }.
Esercizio 1.11. Siano A = {x ∈ R : |x − |x + 1|| < 2}, Bk = {x ∈ R : x < 0; log(−x) < k} e C = {k ∈ R : Bk ⊂ A}. Provare o
confutare le seguenti affermazioni: 0 ∈ C; C è un intervallo.
√
Esercizio 1.12. Siano A = Im ( f ) ∩ [−1, +∞), dove f (x) = −x − 1 + x2 + 1, B = {x ∈ R : x ≤ a per ogni a ∈ A} e C = {x ∈ R :
x > a per ogni a ∈ A}. Provare o confutare le seguenti affermazioni: 0 ∈ A; B,C sono vuoti, B,C sono intervalli, B,C sono limitati.
1.3 D ISEQUAZIONI
Esercizio 1.13. Risolvere le seguenti disequazioni al variare di x ∈ R:
(x−2)(x+1)
x−2
x2 −1
(1.13.1) (x − 5)(x + 5) ≥ 0; (1.13.2) x+3
> 0; (1.13.3) x+3
< 0;
x−2 < 1; (1.13.4) x−2 > 0; (1.13.5)
x+7
2
2
2
(1.13.6) x (x − 1) ≥ 0; (1.13.7) x(x − 7) < 0; (1.13.8) (x − 5)(x + 10) < 0; (1.13.9) −x − 4x − 5 > 0;
2(x+1)
(1.13.10) 3x+1
x−1 < x−2 ; (1.13.11) |x| > x; (1.13.12) |x − 5| < |x + 1|; (1.13.13) ||x + 4|| < 1;
3−x
(1.13.15) |x+1|
≤ 2x; (1.13.16) |x+1|(x−2)
> x; (1.13.17) | 3x−2
x+3
x+3 | ≤ 0;
√
p
√
x
(1.13.18) | x−1 | < 2 + x; (1.13.19)
x + |x| ≥ 3 − x; (1.13.20)
x2 − 4 ≤ 1 − x; (1.13.21) 1 − |x| < x;
√
√
(1.13.22) 1 − |x| < x2 ; (1.13.23) |1 − |x|| ≥ 1; (1.13.24) 7 x2 − 2x ≤ x; (1.13.25) |x2 + 4| ≥ x.
(1.13.14) |x + 2| > |x − 1|;
Esercizio 1.14. Risolvere le seguenti disequazioni al variare di x, y ∈ R:
√
√
1
1
2
2
2 − x + x + 4 ≤ 6;
x−3 ≤ 2|x| ; (1.14.2) x + y − 2|x| − 3 < 0; (1.14.3)
(1.14.1)
A. Languasco
(1.14.4)
q
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
9−x
x+1
> x − 3;
p. 5
A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
p. 6
p
(1.14.5) |y| ≤ |x|; (1.14.6) 3 sin2 x + cos2 x < 2 + cos x; (1.14.7)
|x| + 1 > x − 1;
(1.14.8) arcsin x2x−1 > π/6; (1.14.9) |x + 3| ≤ α (determinare le soluzioni al variare di α ∈ R).
te
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Eserciziop
1.15. Risolvere
√ al variare di x ∈ R:
p le seguenti disequazioni
√
x + 1/2 ≤√3 −x − 1/2; (1.15.2)
x2 − 8x + 25 > −x + 9; (1.15.3) x 3 x < 0;
(1.15.1)
√
(1.15.4)
x + 3 ≤ − x2 + 3x; (1.15.5) 52x + 5x − 5 > 0; (1.15.6) 2 sin2 x − cos x − 1 > 0;
(1.15.7) sin2 x + 23 cos x − 2 > 0; (1.15.8) 3x ≥ 2; (1.15.9) log(1/3 − x) ≥ 0; (1.15.10) (cos2 x) sin(2x) > 0;
q
√
√
p
x+1
x−2
6
√x−2 > 0; (1.15.14) √
(1.15.11) |x2 + 1| ≥ sin2 x; (1.15.12)
>
| − 3x + 1|;
3
x−1 > 0; (1.15.13)
x−1
−3x+1
p
√
p
(1.15.15) 5 x2 − 2x ≤ |x|; (1.15.16) cos(2x)
log(x2 − 1) > log(2x − 1);
sin x < 1; (1.15.17)
p
p
√
√
tan x ≥ |x|, x ∈ (−π/2, π/2); (1.15.20)
sin2 x − 2 sin x + 1 > sin(2x);
(1.15.18) 2sin x ≤ 2; (1.15.19)
(1.15.21) sin(arcsin x) > cos x.
Esercizio 1.16. Risolvere le seguenti disequazioni
al variare di x ∈ R e del parametro t ∈ R: p
p
(1.16.1) x2 + |tx| ≥ x; (1.16.2) x + t|x| ≥ t; (1.16.3) |2t − x| > 1/x; (1.16.4) tx2 − x |t| ≤ t;
(1.16.5) (t 2 + t + 3)x2 + 2tx + 1 ≤ 0.
Esercizio 1.17. (1.17.1) Sia Ak = {x ∈ R : 2kx2 − x + 2k ≤ 0}, k ∈ R. Per quali k si ha che Ak ⊂ [0, +∞)?
(1.17.2) Sia At = {x ∈ R : x2 + t < 0}, t ∈ R e B = {x ∈ R : x(x2 + 1) < 0}. Per quali t si ha che At ⊂ B?
ig
h
Esercizio 1.18. Risolvere le seguenti disequazioni.
≥ 1 − x; (1.18.2) sin(2x)
cos x < 1; (1.18.3) | sin x + cos x| ≥ 1; (1.18.4) log2 |2x + 1| > 4;
√
√
√
√
|x| 2x2 −1
2
2
(1.18.5)
x − 2x ≤ x ; (1.18.6) log2 (1 + 1/x) ≤ 3; (1.18.7)
≥ 2x;
x+1
(1.18.1)
x
x+1
(1.18.8) log2 (x2 − 1) > log2 (x + 1);
1
tan x
(1.18.9)
≤ 1;
1
cos x
(1.18.10)
> −2.
√
Risposta: (1.18.3): [kπ, π2 + kπ], k ∈ Z; (1.18.6): (−∞, −1) ∪ (1/7, +∞); (1.18.7): (−1, −1/ 2];
(1.18.9): [π/4 + kπ, π/2 + kπ) ∪ (−π/2 + kπ, kπ), k ∈ Z;
(1.18.10): [2kπ, π/2 + 2kπ) ∪ (2/3 π + 2kπ, 4/3 π + 2kπ) ∪ (3/2 π + 2kπ, 2(k + 1)π], k ∈ Z.
Co
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Esercizio 1.19. Per quali x ∈ R si ha che | arcsin(2x − 1)| ≤ π/4?
1.4 E STREMI S UPERIORI ED I NFERIORI
Esercizio 1.20. Sia A ⊂ R tale che sup A = +∞ e inf A = −∞. È vero che A = R?
Esercizio 1.21. Sia A ⊂ B. È vero che sup A ∈ B?
Esercizio 1.22. Provare che se A ⊂ B allora inf A ≥ inf B e sup A ≤ sup B.
Esercizio 1.23. È vero che se a ≤ b per ogni a ∈ A, b ∈ B, allora sup A ≤ inf B?
Esercizio 1.24. Determinare inf, sup, max, min (se questi ultimi esistono) dei seguenti insiemi:
(1.24.1) {π/x : x ∈ Q, 0 < x ≤ 1};
2
+1
(1.24.4) { xx2 −1
: x ≥ 0, x 6= 1};
(1.24.2) R \ Q;
(1.24.3) {1/x2 : x ∈ (a, b), a ≤ b ≤ 0};
2
(1.24.5) { 1−n
: n ∈ N, n > 1};
n2 +2
n
(1.24.8) { 2n : n ∈ N, n 6= 0};
(1.24.7) { x−2
x+2 : x ≥ 0};
√
(1.24.6) { n2n : n ∈ N, n 6= 0};
n
(1.24.9) { nn! : n ∈ N}.
Esercizio 1.25. Sia A ⊂ R. Definiamo −A = {x ∈ R : ∃y ∈ A t.c. y = −x}. Provare che inf(−A) = −(sup A) e che sup(−A) =
−(inf A).
Esercizio 1.26. Determinare inf, sup, max, min (se questi ultimi esistono) dei seguenti insiemi:
40n
(1.26.1) { 64+n
2 : n ∈ N};
(1.26.2) {2n − 100n} : n ∈ N;
2
(1.26.3) { xx2+10
: x ∈ R};
+1
(1.26.4) {|x|7 − x8 : x ∈ R}.
1.5 F UNZIONI
Esercizio 1.27. Determinare il dominio delle seguenti funzioni realipdi una variabile reale:
(1.27.1) arccos(|x3 − 1/2|); (1.27.2) log | sin(2ex )|; q(1.27.3)
(e2x + ex − 2) − (ex − 1/2);
(1.27.4) arcsin( |x+2|
x );
A. Languasco
(1.27.5)
1
|x+1|−2 ;
(1.27.6)
3
x+2
tan x .
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 6
Induzione, et al.
p. 7
x+1
Esercizio 1.28. Sia f (x) = 2| log2 x−1 | .
(1.28.1) Determinare il domino di f e fornirne una scrittura semplificata.
(1.28.2) Determinare il segno di f (x).
Esercizio 1.29. Disegnare un grafico approssimato delle seguenti funzioni.
(1.29.1) f1 (x) = − tan x;
(1.29.2) f2 (x) = | tan x|;
(1.29.3) f3 (x) = − sin x;
(1.29.4) f4 (x) = sin x + 1;
(1.29.6) f6 (x) = | cos x|.
√
Esercizio 1.30. Sia f (x) = log2 (x − x2 − 2x). Si determini l’insieme di esistenza ed il segno di f (x).
p
Esercizio 1.31. Sia f (x) = 1 − |x| + |x − 1|. Determinare il più grande intervallo in cui è invertibile e determinarne l’inversa.
(
x2 − x − 1 se x ≤ 0
. Stabilirne dominio, immagine e invertibilità. Calcolarne l’inversa.
Esercizio 1.32. Sia f (x) =
−2 − x
se x > 0
te
d
(1.29.5) f5 (x) = sin(x + 1);
Esercizio 1.33. Siano f , g : R → R due funzioni monotone. Cosa si può affermare sulla monotonia di f ± g; f ◦ g; − f ; 1/g; f · g
?
(1.34.1)
x
1−x ;
(1.34.2) −x3 − 1/x;
ig
h
Esercizio 1.34. Determinare quali delle seguenti funzioni sono monotone e quali sono invertibili su parti del loro insieme di
definizione.
(1.34.3)
√
2x − 1;
1
1
; (1.34.4) x2 + x + 2; (1.34.5) 2x2 +x+2
;
x2 +1
x2/9 ; (1.34.9) |1 − x2 |; (1.34.10) |x| + 2x; (1.34.11)
(1.34.7) x1/4 ; (1.34.8)
p
(1.34.12) −|x| + x3 ; (1.34.13)
|x| + 4; (1.34.14) |x|1/2 ; (1.34.15) |1 − x2 |; (1.34.16) 21/x ;
p
p
(1.34.17) 1 − [x]; (1.34.18) 2sin x ; (1.34.19)
log8 (1 − x); (1.34.20)
|x| + 1 + | log2 x|;
(1.34.6)
1
(1.34.21) sin( 1+x
2 );
(1.34.22) tan(arcsin x);
1
|x| ;
(1.34.23) log2 (arcsin x).
Esercizio 1.35. Determinare l’insieme di definizione di f (x) = log2
p
2 − |x + 1|(4 − x2 ) . f è invertibile su (0, 1)?
Co
py
r
Esercizio 1.36. Disegnare un grafico approssimato di f (x) = | arcsin(x − 2)|.
q
√
2
Esercizio 1.37. Date f (x) = x + 1 + x2 , g(x) = x x−1 , h(x) = log | arctan x + 1|, determinare gli insiemi in cui sono definite,
individuare le parti del dominio su cui sono invertibili ed esplicitarne l’inversa.
2
Esercizio 1.38. Date f (x) =
A. Languasco
ex −1
sin x ,
g(x) =
x2
.
log(1+x2 )
È vero che f (x) < g(x) in un opportuno intorno bucato di x0 = 0?
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 7
Co
py
r
ig
h
te
d
Esercizi sui Limiti
p. 9
C APITOLO 2
E SERCIZI SUI L IMITI
(2.1.1) ∀ε > 0, ∀δ > 0, ∃x 6∈ I con |x − x0 | > δ t.c. | f (x) − `| ≥ ε.
(2.1.2) ∃ε > 0 t.c. ∀δ > 0, ∃x ∈ I, |x − x0 | < δ t.c. | f (x) − `| ≥ ε.
(2.1.3) ∃ε > 0 t.c. ∀δ > 0, ∃x ∈ I, 0 < |x − x0 | < δ t.c. | f (x) − `| ≥ ε.
te
d
Esercizio 2.1. Sia x0 ∈ R e f definita in un intorno I di x0 . Esiste tra le seguenti affermazioni una che equivale a: “per x tendente
a x0 , f non ammette limite ` ∈ R”?
Esercizio 2.2. Sia f : (0, +∞) → R. È vero che limx→1 f (x) = π equivale a: ∀ε > 0, ∃δ > 0, t.c. si abbia 0 < |x − 1| < δ se
| f (x) − π| < ε?
ig
h
Esercizio 2.3. Sia f : [−1, 1] → R tale che per ogni x0 ∈ (−1, 1) esiste finito limx→x0 f (x). Si può dedurre che f è limitata su
[−1, 1]?
Esercizio 2.4. Sia f una funzione limitata sia in A che in B. È vero che f è limitata su A ∪ B?
Esercizio 2.5. Sia f una funzione limitata in Ak , k ∈ N. È vero che f è limitata su
S+∞
k=0 Ak ?
Co
py
r
Esercizio 2.6. Sia f : R → R tale che limx→+∞ f (x) = limx→−∞ f (x) = +∞. Siano A = {x ∈ R : f (x) > 3}, B = {x ∈ R : | f (x)| >
2}, C = {x ∈ R : | f (x)| < 1}. A, B,C sono limitati?
q
Esercizio 2.7. Sia f (x) = − x+1
x . Determinare:
(2.7.1) il dominio di f ; (2.7.2) se f è superiormente limitata; (2.7.3) se f è inferiormente limitata;
(2.7.4) se f/[3,+∞) è limitata; (2.7.5) se f è monotona; (2.7.6) se esiste limx→−1/2 f (x);
(2.7.7) se esiste limx→0 f (x); (2.7.8) se esiste limx→+∞ f (x); (2.7.9) se esiste limx→−∞ f (x).
(
−∞ se a > 1
Esercizio 2.8. Sia a > 0, a 6= 1. Dimostrare con la definizione di limite che lim loga x =
+
x→0
+∞ se 0 < a < 1.
(
+∞
Esercizio 2.9. Sia a > 0, a 6= 1. Dimostrare con la definizione di limite che lim loga x =
x→+∞
−∞


0
x
Esercizio 2.10. Sia a > 0. Dimostrare, usando la definizione di limite, che lim a = 1
x→+∞


+∞
se a > 1
se 0 < a < 1.
se 0 < a < 1
se a = 1
se a > 1.
Esercizio 2.11. Calcolare, se sistono, i limiti a +∞ e a −∞ delle seguenti funzioni:
√
(2.11.1) x2 − x; (2.11.2)
x − x; (2.11.3) cosx x ; (2.11.4) tan x; (2.11.5) x2x+1 ;
(2.11.7) arctan x;
(2.11.12)
(2.11.8) sin(1/x);
1
sin(1/x) ;
(2.11.13)
(2.11.9)
√
√x+1 .
x−1
√ 1
;
x−1/x
(2.11.10)
√
−x2 + x
;
1+3x2
(2.11.6) sin1 x ;
√
√
(2.11.11)
x − x + 1;
Esercizio 2.12. Dopo aver verificato di essere in presenza di punti di accumulazione per il dominio delle funzioni coinvolte, si
calcolino i seguenti limiti.
√
√
√
√
(2.12.1) lim 2 − x; (2.12.2) lim 2 − x; (2.12.3) lim
2 − x; (2.12.4) lim
2 − x;
+
+
−
−
x→2
x→−2
x→2
x→−2
√
1
1
1
1
(2.12.5) lim 3−x
; (2.12.6) lim (3−x)
; (2.12.8) lim 3−x
; (2.12.9) lim x3 − x;
(2.12.7) lim 3−x
2;
x→3
x→3
x→0
x→3+
x→3−
√
√
√
3
3
2
4
(2.12.10) lim x − x; (2.12.11) lim x − x; (2.12.12) lim x − x ; (2.12.13) lim 2x+5
5x+2 ;
x→0−
(2.12.14)
lim
x→−2/5
(2.12.18)
x→0+
2x+5
5x+2 ;
lim 2x−a2 ;
x→a− x −a
A. Languasco
(2.12.15)
x→0+
2x+5
lim 5x+2
;
x→(−2/5)−
(2.12.19) lim x|x−a|
2 −a2 ;
x→a
(2.12.16)
(2.12.20)
x→−5/2
2x+5
lim 5x+2
;
x→(−2/5)+
lim |x−a|
2
2;
x→a− x −a
(2.12.21)
(2.12.17)
lim 2x−a2 ;
x→a+ x −a
lim 22x+3 ;
x→1− x +x−2
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 9
A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
(2.12.22)
(2.12.26)
(2.12.30)
lim 22x+3 ;
x→1+ x +x−2
lim
x→1−
1
|x−1| ;
lim
x→(−3)−
lim x 3 ;
x→2+ (2−x)
(2.12.23)
(2.12.27)
1
|x+3| ;
lim
x→2−
2
lim x −x
2 ;
x→1+ x−x
(2.12.38)
x3 +3
;
2
x→+∞ x +2
1−x2
x2 −4
|x+2| ;
lim
x→2+
lim
(2.12.25)
1
|x−1| ;
lim
x→1+
lim
x→3+
1
|x+3| ;
x−3
(2.12.33) lim x2 −4x+4
;
x→2
2
lim x −22 ;
x→−∞ x−x
(2.12.36)
(2.12.40)
;
(2.12.29)
x→0
x+x3 +x5
2
3;
x→+∞ 1+x +x
(2.12.39)
lim √ x
x→1−
(2.12.32) lim 4−5x
;
x4
3
2
lim 3x −5x +7
3 ;
x→+∞ 8+2x−5x
(2.12.35)
lim
(2.12.28)
lim x+3 ;
x→−3 |x+3|
(2.12.31)
√
(2.12.34)
x2 −4
|x+2| ;
(2.12.24)
p. 10
2
lim x3 +3 ;
x→−∞ x +2
(2.12.37)
√
3x+2 x
;
1−x
x→+∞
√
√
2x+3)
lim x x+1(1−
;
7−6x+4x2
x→+∞
Ax2 +Bx+C
;
2
x→+∞ Dx +Ex+F
lim
(2.12.41)
lim
te
d
2x−5
lim √ 2x−1
; (2.12.43) lim √ 2x−1
; (2.12.44) lim |3x+2|
; (2.12.45)
x→−∞ 3x2 +x+1
x→−∞
3x2 +x+1
√
√
√
√
x2 + 2x − x2 − 2x ; (2.12.47) lim
x2 − 2x − x ; (2.12.48) lim
x2 + 2x + x ;
(2.12.46) lim
x→+∞
x→−∞
x→−∞
√
√
x
x
(2.12.49) lim
x2 + 2x − x2 − 2x ; (2.12.50) lim x+1
− x−1
.
(2.12.42)
x→+∞
x→+∞
x→+∞
Esercizio 2.13. Sia a > 0, a 6= 1, e si consideri la funzione f (x) = loga x. Sia x0 > 0 fissato. Si provi che f (x) è continua in x0 ,
ossia che lim loga x = loga x0 .
x→x0
(2.14.1) lim log2 (x2 + x + 4);
x→1
(2.14.5)
22 sin x − 1;
lim
(2.14.2) lim log2 (23x − 4);
(2.14.6)
lim log(tan x);
(2.14.13)
lim e1/x ;
x→0−
(2.14.10)
lim (1 + b/x)x ;
x→−∞
lim
x→0−
ex −1
x ;
lim
x→+∞
log(1+1/x)
;
x
(2.14.14)
(2.14.11)
lim (1 + x)1/x ;
x→0+
(2.14.18) lim 1−cos(2x)
;
x
x→0
(2.14.7)
lim
x→−∞
lim
e1/x ;
(2.14.8)
log(1+1/x)
;
x
(2.14.15)
(2.14.4)
x→log3 2
x→+∞
lim
x→0+
(2.14.20)
x→0
x→−1/2
x2 −1
3x ;
e1/x ;
x→+∞
lim x log(1 + 1/x);
(2.14.19) lim sin(4x)
sin(3x) ;
lim
lim (1 + b/x)x ;
(2.14.12)
(2.14.16)
x→+∞
Co
py
r
(2.14.17)
x→π/4
lim |1 − 3x |;
(2.14.3)
x→0
x→−π/2
(2.14.9)
ig
h
Esercizio 2.14. Dopo aver verificato di essere in presenza di punti di accumulazione per il dominio delle funzioni coinvolte, si
calcolino i seguenti limiti.
lim
x→0+
ex −1
x ;
lim x sin(1/x);
x→+∞
(2.14.21) lim 1−cos(3x)
.
x2
x→0
Suggerimento: Nei punti (2.14.12)-(2.14.13) si distinguano i tre casi b = 0, b > 0, b < 0. Inoltre, se b 6= 0, si utilizzi la sostituzione
b/x = 1/t. Nel punto (2.14.14) si utilizzi la sostituzione t = 1/x. Nel punto (2.14.16) si utilizzi la sostituzione ex − 1 = t. Nel
punto (2.14.20) si utilizzi la sostituzione 1/x = t.
Esercizio 2.15. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti.
√
1+cos x
;
x→π x−π
(2.15.1) lim
(2.15.5)
(2.15.10)
lim x sin x; (2.15.6)
x→+∞
2
lim x ;
x→+∞ 2−cos x
(2.15.14) lim log(1+x)
;
sin2 x
x→0
√
(2.15.3) lim cos((πx)/2)
;
1− x
(2.15.2) lim 1x − sin2 1x ;
x→0
√ √
x
lim 2−sin1+cos
;
2x
x→0
(2.15.11)
lim
x→−π/2
(2.15.15)
, (x0 ∈ R);
(2.15.4) lim x−|x+1|
x
x→x0
x→1
2
lim x x ;
x→+∞ 2
(2.15.7)
sin(2x)
sin x+1 ;
lim e−x log x;
x→+∞
(2.15.8)
x)
(2.15.12) lim sin(log
log x ;
2
x→1
lim tan(2x) ;
x→0 sin x
(2.15.13)
(2.15.16) lim (1 + tan x)arctan x ;
x→0
√
x−1
;
x→1 x−1
(2.15.9) lim
lim 2x sin(2−x );
x→+∞
cos x
lim 2 −1 .
x→π/2 x−π/2
(2.15.17)
Esercizio 2.16. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti.
n
x)
(2.16.1) lim log(cos
, (n ∈ N);
n
ex sin x −1
x→0
(2.16.4)
(2.16.8)
(2.16.2) lim cos(x
3 )−ex3 +xk
xp
, (p, k ∈ N);
x→0
x→0
√
3 −3x+1
3x3 + x+1
x sin x
x
lim
; (2.16.5) lim x3 −√x+1 ; (2.16.6) lim sin x−sin 2 ; (2.16.7) lim √1−x
;
x→+∞ x+1
x→+∞
x→−∞ x−2
x→2+
√
−x
4 x sin(2|x| )
x
2 −x
lim tan
lim ex3+3x
; (2.16.10) lim sin(1/x)+2
−4x
−x .
x+1 ; (2.16.9) x→+∞
+e2x +1
x→+∞ 3 +4
x→0
Esercizio 2.17. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti.
α −1
(2.17.1) lim (1+x)x
x→0
, (α > 0);
(2.17.4) lim (1 − x1α )x , (α > 0);
x→0
(2.17.8)
2
x)
(2.16.3) lim log(1−sin
(1−cos x)α , (α > 0);
lim
x→+∞
A. Languasco
(cos(α/x))α ,
(2.17.2)
sin x−cos x
;
x→π/4 log(sin x)−log(cos x)
lim
1−cos3 x
(2.17.5) lim x sin x cos x ;
x→0
(α > 0);
(2.17.9)
(2.17.3)
√
√
lim ( 1 − x − 1 − αx), (α > 0);
x→−∞
√
(2.17.6)
lim x + sin x;
x→+∞
(2.17.7)
2 x −1
√
;
4
x→0+ 1−cos x
lim
lim (2 − cos x)1/ sin x .
x→π
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 10
Esercizi sui Limiti
p. 11
Esercizio 2.18. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti.
√
√
√
√
x− 1−sin x
2 − x − 3x2 + x + 1);
(2.18.1) lim 1+sin
;
(2.18.2)
lim
(
3x
2
1−cos x
x→π −
x→−∞
(2.18.3)
lim
x→+∞
1+3 sin x−x sin(2x)
.
x2 −1
Esercizio 2.19. Sia f (x) = sin x − tan x. Determinare l’ordine di infinitesimo di f (x), per x → 0+ , rispetto all’infinitesimo
campione x.
Esercizio 2.20. Determinare l’ordine di infinitesimo di f (x) = 1 − cos x, per x → 0+ , rispetto all’infinitesimo campione x.
Esercizio 2.21. Sia f (x) una funzione tale che:
te
d
(1) f (x) ≥ 0 per ogni x ∈ R;
(2) f (x) è infinitesima, per x → 0+ , di ordine m > 0 rispetto all’infinitesimo campione x.
Dimostrare che, per ogni n ∈ R+ , ( f (x))n è infinitesima, per x → 0+ , di ordine mn rispetto all’infinitesimo campione x.
Esercizio 2.22. Dimostrare che, se f (x) è infinitesimo di ordine 3 e g(x) di ordine 2, per x → 0+ , rispetto all’infinitesimo
campione x, allora f (x) = o(g(x)) per x → 0+ . (Ossia f (x) è infinitesimo di ordine superiore a g(x) per x → 0+ ).
Esercizio 2.23. Determinare l’insieme di definizione di f (x) =
lim f (x),
f (x).
x→−π/4
e calcolare, se esistono, lim f (x), lim f (x),
x→π/4
x→+∞
Co
py
r
ig
h
x→0
lim
sin(1+|x−1|)
1+tan x
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 11
Co
py
r
ig
h
te
d
Esercizi su Continuità e Derivabilità di funzioni di una variabile reale
p. 13
C APITOLO 3
E SERCIZI SU C ONTINUITÀ E D ERIVABILITÀ DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE
te
d
Esercizio 3.1. Dire se esiste o meno una funzione f : (0, 2) → R, invertibile, tale che limy→+∞ f −1 (y) = 1. In caso affermativo,
una tale funzione può essere continua in (0, 2)?
(
cos(x + λ ) se x ≤ 0
Esercizio 3.2. Sia fλ (x) = −1/x
e
se x > 0.
(3.2.1) Per quali λ ∈ R la funzione fλ è continua dove definita?
(3.2.2) Per quali λ ∈ R la funzione fλ è invertibile per ogni x ∈ [−1, 1]? Per tali valori, esplicitarne l’inversa.
( cos((πx)/2)
√
1− x
Esercizio 3.3. Per quali a ∈ R la funzione seguente è continua? f (x) =
se x ∈ [0, 1)
ig
h
log(x + a) se x ∈ [1, 2].
 3 2
x +x

ae
Esercizio 3.4. Per quali a, b, c ∈ R la funzione seguente è continua? f (x) = b

 3
ax + bx + c
se x < 0
se x = 0
se x > 0.
(
eax + b
se x ≥ 0
Esercizio 3.5. Per quali a, b ∈ R la funzione seguente è continua? f (x) =
arctan(1/x) se x < 0.
(
Co
py
r
Esercizio 3.6. Per quali a, b ∈ R la funzione seguente è continua? f (x) =
sin x
x
−1
a sin x + bx2
Esercizio 3.7. Prolungare per continuità, se possibile, le seguenti funzioni:
(
e1/x
se x < 0
(3.7.1) f (x) =
; (3.7.2) g(x) = arctan(1/x); (3.7.3) h(x) =
2 sin x se x > 0
(3.7.4) `(x) =
sin(3x)
2 sin(12x) ;
(3.7.5) m(x) = − |x21−1| ;
(3.7.6) n(x) = x sin
1
sin(1/x)
se x < 0
se x ≥ 0.
x2 −3x−10
;
2−x
.
Esercizio 3.8. Prolungare per continuità, se possibile, le seguenti funzioni:
(3.8.1)
x
tan x ;
(3.8.2) sin(cot x);
(3.8.3)
1
;
1+e1/x
(3.8.4)
x
;
14e1/x
(3.8.5)
1
.
2−31/x
Esercizio 3.9. In ognuno dei sottelencati casi, è possibile determinare funzioni continue su R?
(3.9.1)
(3.9.2)
(3.9.3)
(3.9.4)
lim f (x) non esiste e f (2) = 1;
x→2
lim f (x) = −∞;
x→2
lim f (x) = 0, lim f (x) = −1;
x→4−
x→4+
lim f (x) = +∞ = − lim f (x).
x→1+
x→1−
Esercizio 3.10. Siano f , g(due funzioni continue in [a, b] e sia c ∈ (a, b). Determinare una condizione necessaria e sufficiente
f (x) se x ∈ [a, c]
perché la funzione h(x) =
sia continua in [a, b].
g(x) se x ∈ [c, b]
(
x/ sin(ax) se x ∈ [−π/2, π/2] \ {0}
Esercizio 3.11. (3.11.1) Sia f (x) =
. Dire se esiste a > 0 tale che f sia continua nel
3
se x = 0
punto 0.
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 13
A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
p. 14

2

−x + x + a se x > 0
(3.11.2) Sia f (x) = b sin x
se − π/2 ≤ x ≤ 0 . Per quali a, b ∈ R la funzione f (x) è continua nel punto 0? Per quali


[2x]
se x < −π/2
a, b ∈ R la funzione f (x) è continua nel punto −π/2?
Esercizio 3.12. Se f è derivabile in x0 , quali delle seguenti affermazioni sono vere?
f (x0 )
f (x0 )
(3.12.1) f 0 (x0 ) = limh→x0 f (h)−
; (3.12.2) f 0 (x0 ) = limh→0 f (h)−
; (3.12.3)
h−x0
h−x0
f 0 (x0 ) = limh→0
f (x0 )− f (x0 −h)
;
h
(3.12.4)
f (x0 )
f 0 (x0 ) = limt→0 f (x0 +2t)−
.
t
(3.13.1)
(3.13.2)
(3.13.3)
(3.13.4)
te
d
Esercizio 3.13. È vero che:
se f è derivabile in x0 allora | f | è derivabile in x0 ?
se ( f )3 è derivabile in x0 allora f è continua in x0 ?
se f è derivabile in R e limx→+∞ f (x) = 1, allora limx→+∞ f 0 (x) = 0?
se f è derivabile in R e limx→+∞ f 0 (x) = 0, allora esiste finito limx→+∞ f (x)?
ig
h
Esercizio 3.14. Sia data f : R → R tale che esistano K > 0 e α > 1 per cui | f (x0 ) − f (x00 )| ≤ K|x0 − x00 |α per ogni x0 , x00 ∈ R.
Calcolare f 0 (x) per ogni x ∈ R.
√ √
Esercizio 3.15. Calcolare, mediante la definizione, la derivata (se e dove esiste) di: sin x, sin x, sin1 x , sin(1/x), x|x| + x2 .
(
2
e−1/x sin x
Esercizio 3.16. Sia g(x) una funzione definita su (−∞, 0] tale che f (x) =
g(x)
g(0) e g0 (0).
se x > 0
sia derivabile in R. Si calcolino
se x ≤ 0
Co
py
r
Esercizio 3.17. Discutere la derivabilità delle seguenti funzioni [a, b, c ∈ R; n ∈ N].
(
(
p
1 − 1+ex1/x se x 6= 0
xn sin(1/x) se x 6= 0
(3.17.1)
; (3.17.2)
; (3.17.3) [x] + x − [x];
0
se x = 0
1
se x = 0
(
(
(
−|1 − 2x2 | se x < 0
x2
se x ≤ c
1/|x| se x > c
(3.17.4)
; (3.17.5)
; (3.17.6)
;
log(1 − 2x) se 0 ≤ x < 1/2
ax + b se x > c
ax + b se x ≤ c
(
(
(
2)
sin x
se x ≤ c
eax + b
se x ≥ 0
3x + arctan(bx
se x < 0
1−cos x
(3.17.7)
; (3.17.8)
; (3.17.9)
;
ax + b se x > c
arctan(1/x) se x < 0
log(1 + ax)
se x ≥ 0
x√
);
(3.17.10) arcsin( cossin
x− 2
cos x−1
(3.17.11) arccos( 2cos
x−2 ).
Esercizio 3.18. Calcolare la derivata (se e dove esiste) di:
2
−1
);
(3.18.1) arcsin( xx2 +1
p
(3.18.3) log(log x); (3.18.4) xx ; (3.18.5) 3 log |x|;
√
(3.18.6) x arctan(1/x); (3.18.7) x|x| + x2 ; (3.18.8) arctan( x − 1); (3.18.9) tan(x + arctan(1/x));
p √
x sin x
x√
arcsin x
.
(3.18.10) tan x + arctan(1/x); (3.18.11)
x x; (3.18.12) cose x−sin
x ; (3.18.13)
2
(3.18.2) x((π/2) − arctan x);
1−x
Esercizio 3.19. Calcolare la derivata (se e dove esiste) di:
1+x
(3.19.2) arcsin(cos x); (3.19.3) arctan( 1−x
); (3.19.4) arccos(2x2 );
√
2
2 +1
1
2
2
1/ tan x ;
(3.19.5) x2x+x+8
; (3.19.6) sin4−x
x+1 ; (3.19.7) (x − 1) cos x; (3.19.8) sin x cos x ; (3.19.9) (1 + sin(3x))
(3.19.1) arctan(1/x);
(3.19.10)
x2 sin(1/x)
;
(sin x)4 +(cos x)2
(3.19.14)
p
3
arcsin(|x|2 );
(3.19.19) arcsin(e2x+3 );
(3.19.11) |x + ||x| − 1||;
(3.19.12) |x + |x − 1||;
(3.19.15) log(x2 + 2x);
(3.19.16) log(sin x);
(3.19.20) (sin x) cos(2x + 1);
(3.19.13) sin(sin(cos x));
2
(3.19.17) e−1/x ;
(3.19.21) (sin x)cos x ;
(3.19.18) x1/x ;
5x
(3.19.22) | arctan( √1−sin
)|.
x
Esercizio 3.20. (3.20.1) Sia f (x) = 3x2 − x − 1 definita in [1/6, +∞). Calcolare la derivata della funzione inversa di f nei punti
7 e −6. Stessa domanda considerando come dominio di f l’intervallo (−∞, 1/6].
(3.20.2) Sia f (x) = x + log x + ex definita in (0, +∞). Calcolare la derivata della funzione inversa di f nel punto 1 + e.
(3.20.3) Sia f (x) = arctan(1/x) e sia g(y), definita in (0, +∞), la sua funzione inversa. Scrivere l’equazione della retta tangente
al grafico di g nel punto π/4.
A. Languasco
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p. 14
Esercizi su Continuità e Derivabilità di funzioni di una variabile reale
Esercizio 3.21. Studiare continuità e derivabilità di:
(3.21.1)
√
2x−1 x−1
e x ; (3.21.2) arcsin( 21+xx ); (3.21.3)
x3
2
arctan( xx2 −2x−1
); (3.21.6) sin(2 arccos x);
+2x−1
√
2 arctan( x);
p. 15
2
(3.21.4) xe(1/2) log(x ) ;
(3.21.7) cos(arcsin x + 3); (3.21.8) cos(4 arctan x);
q
√
3
(x+1)2 x3 −1
1−x
√1−x ; (3.21.13) log log x ;
;
(3.21.10)
;
(3.21.11)
x
;
(3.21.12)
x
(3.21.9) (x21+x
2
2
1+x
x
+1)
(x−1)
1+x
p√
√
2
2
x)
sin x
(3.21.14) cos(2x)
; (3.21.15)
3 sin x − cos x + 2; (3.21.16)
x2 − x; (3.21.17) (sin(1+sin
x)(1−sin x) ;
√
sin x
sin x ; (3.21.20)
(3.21.18) 1−2
1 + cos2 x.
cos x ; (3.21.19) (tan x)
(3.21.5)
√
3
te
d
√
(
Esercizio 3.22. Per quali a, b ∈ R la seguente funzione è derivabile in R? f (x) =
Esercizio 3.23. Per quali n, k ∈ N la seguente funzione è derivabile in 0? f (x) =
sin x
x
−1
a sin x + bx2

√
 log(1+ sin |x|k
(sin x)n
se x < 0
.
se x ≥ 0
) se x 6= 0
0
.
se x = 0
ig
h
Esercizio 3.24. Discutere continuità e derivabilità delle seguenti funzioni.

√
2

se x < −1

 4x4 −16x3 +16x2
1 − x
se x 6= 2
2 ) se − 1 ≤ x ≤ 1
(x−2)(x2 +1)
log(2
−
x
; (3.24.2)
(3.24.1)
;
q



−4/5
se x = 2
 x−1
se
x
>
1
x+1
q
q
p
x sin x
1+sin x
;
(3.24.5)
(3.24.3) |x − 1| + |x2 − 4x|; (3.24.4)
1−cos x
1−sin x .
 log(x−1)

se x > 2
 b(x−2)
Esercizio 3.25. Sia g(x) = a
se x = 2


c
arctan( x−2
) se x < 2.
Co
py
r
(3.25.a) Determinare, se esistono, a ∈ R e b 6= 0 e c ≥ 0 tali che g sia continua in R.
(3.25.b) Determinare, se esistono, a ∈ R e b 6= 0 e c ≥ 0 tali che g sia derivabile in 2.
Suggerimento: Se necessario, è consentito utilizzare il teorema di de l’Hôpital.
 1
x−1

 x−1 arctan( x+1 ) se x > 1
se x = 1
Esercizio 3.26. Sia g(x) = a

 log(1+b(x−1)2 )
se x < 1.
(x−1)2
(3.26.a) Determinare, se esistono, a ∈ R e b > 0 tali che g sia continua in R.
(3.26.b) Determinare, se esistono, a ∈ R e b > 0 tali che g sia derivabile in 1.
u−u
Suggerimento: se necessario, è possibile usare i seguenti: limu→0 arctan
= − 13 , limu→0 log(1+u)−u
= − 21 .
u3
u2

2

arctan(x + x + 1) se x < 0
Esercizio 3.27. Sia g(x) = c
se x = 0

 log(1+x)+ax+b
se x > 0.
arctan x
(3.27.a) Determinare, se esistono, a, b, c ∈ R tali che g sia continua in R.
(3.27.b) Determinare, se esistono, a, b, c ∈ R tali che g sia derivabile in R.
Suggerimento: se necessario, è possibile utilizzare il Teorema di de l’Hôpital per calcolare i limiti richiesti nel punto
(3.27.b).
Esercizio 3.28. Sia f (x) = |x − x2 |.
(3.28.1) Si dimostri, usando la definizione di derivata, che f non è derivabile né in 0 né in 1.
(3.28.2) Si scriva f (x) come funzione definita per casi.
(3.28.3) Si scriva f 0 (x), nei casi in cui essa esiste, come funzione definita per casi.


se x > 1
log(a + x)
Esercizio 3.29. Sia f (x) = b
, dove a > 0, b, c ∈ R.
se x = 1


1/(x+1)
c−e
se x < 1, x 6= −1
A. Languasco
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Si spieghi perché f (x) è continua in (1, +∞) ed in (−∞, 1) \ {−1}.
Si dica per quali a > 0, b, c ∈ R, se ne esistono, f (x) è continua in 1 e, per tali valori di a, b, c, si scriva f (x).
Si scriva f 0 (x) per x > 1 e per x < 1, x 6= −1.
Utilizzando la definizione di derivata prima e il Teorema di de L’Hôpital, si calcoli per quali a > 0, b, c ∈ R, se ne
esistono, esiste f 0 (1) e, per tali valori di a, b, c, si scriva f 0 (x).
(
cos(ax)−1
se x < 0
bx2
Esercizio 3.30. Sia g(x) =
, dove a, b ∈ R \ {0}.
2
2x + a
se x ≥ 0
(3.29.1)
(3.29.2)
(3.29.3)
(3.29.4)
Si spieghi perché g(x) è continua in (0, +∞) ed in (−∞, 0).
Si determini per quali a, b ∈ R \ {0}, se ne esistono, g(x) è continua in 0.
Per i valori di a, b determinati nel punto precedente, si scriva g0 (x) per x > 0 e per x < 0.
Per quali valori di a, b, se ne esistono, g(x) è derivabile in tutto il suo insieme di definizione?

log(x2 +a)

 x2
Esercizio 3.31. Sia g(x) = b

√

(c + 1) x2 + 1
se x > 0
se x = 0 ,
se x < 0
te
d
(3.30.1)
(3.30.2)
(3.30.3)
(3.30.4)
dove a > 0 e b, c ∈ R.
2(x+π/2)
ig
h
(3.31.1) Per quali valori di a > 0 e b, c ∈ R si ha che g(x) è continua in 0? Ed in R?
(3.31.2) Per quali valori di a > 0 e b, c ∈ R si ha che g(x) è derivabile in 0? Ed in R?
(3.31.3) Per i valori di a, b, c determinati nel punto precedente, si scrivano g(x) e g0 (x).

1−cos(e(x+π/2) −1)

se x < −π/2


(x+π/2)2
Esercizio 3.32. Sia g(x) = c
se x = −π/2


 aesin(x+π/2) −b
se x > −π/2.
(3.32.a) Determinare a, b, c ∈ R tali che g sia continua in R.
(3.32.b) Classificare, per a, b, c ∈ R opportuni, il tipo di discontinuità di g nel punto −π/2.
Co
py
r
2
x
Esercizio 3.33. (3.33.a) Data h(x) = log
x−1 si esibisca, se è possibile, una funzione h1 : (0, +∞) → R tale che h1 (x) = h(x) per
ogni x > 0, x 6= 1, e che h1 sia derivabile nel punto 1.
(3.33.b) In caso di risposta affermativa alla domanda precedente, si calcoli h01 (1) e si studi la continuità di h01 (x) per ogni x > 0.
2
(3.33.c) Data u(x) = 2x cos(1 − x2 ), calcolare u0 (1) e risolvere l’equazione u0 (x) = 0 dove essa ha senso.
 sin x
e −sin x−a

se x > 0
 arctan x
Esercizio 3.34. Sia, per ogni a, b, c ∈ R, data la funzione g(x) = b
se x = 0

2 +cx 
se x < 0.
arctan xx−1
(3.34.a)
(3.34.b)
(3.34.c)
(3.34.d)
Dopo aver provato che limt→0 arctant
= 1, si determini per quali a, b, c ∈ R, si ha che g è continua in R.
t
Per quali a, b, c ∈ R si ha che g è derivabile in R?
Per quali a, b, c ∈ R, calcolare, dove esiste, g0 (x).
Risolvere, per ogni a, b, c ∈ R e per ogni x < 0, la disequazione g0 (x) ≥ 0.
Suggerimento: Nello svolgimento può essere utile sapere che limt→0 (et − t − 1)/t 2 = 1/2.
q
x2 +2


se x > 0
 x+1
Esercizio 3.35. Sia, per ogni a, b, c ∈ R, data la funzione g(x) = c
se x = 0


 ax2 +b(x+1) se x < 0.
(3.35.a)
(3.35.b)
(3.35.c)
(3.35.d)
x2 +2
Per quali a, b, c ∈ R, si ha che g è continua in 0?
Determinare, per ogni a, b, c ∈ R, l’insieme di derivabilità di g.
Calcolare, dove esiste, g0 (x). Risolvere, per a = b = 1 e c ∈ R, l’equazione g0 (x) = 0.
È vero che, per a > 0, c > 0 e 0 < b < 4a, si ha g(x) > 0 per ogni x ∈ R?
f (x)− f (1)−2(x−1)
= 0. Calcolare, se esiste, f 0 (1).
x−1
f (x−h)
geometricamente la quantità f (x+h)−
e se ne calcoli il limite
2h
Esercizio 3.36. (3.36.a) Sia f : R → R tale che limx→1
(3.36.b) Data f : R → R, si interpreti
opportune condizioni perché tale limite esista).
A. Languasco
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per h → 0 (ponendo
p. 16
Esercizi su Continuità e Derivabilità di funzioni di una variabile reale
p. 17
(3.36.c) Stabilire gli intervalli di invertibilità della funzione f : (0, +∞) → R, f (x) = cos 1x .
√
Calcolare, senza determinare l’espressione della funzione inversa, quanto vale, se esiste, ( f −1 )0 ( 2/2).
q
x2 +2


se x > 0
 x+1
Esercizio 3.37. Sia, per ogni a, b, c ∈ R, data la funzione g(x) = c
se x = 0


 ax2 +b(x+1) se x < 0.
x2 +2
Per quali a, b, c ∈ R, si ha che g è continua in 0?
Determinare, per ogni a, b, c ∈ R, l’insieme di derivabilità di g.
Calcolare, dove esiste, g0 (x). Risolvere, per a = b = 1 e c ∈ R, l’equazione g0 (x) = 0.
è vero che, per a > 0, c > 0 e 0 < b < 4a, si ha g(x) > 0 per ogni x ∈ R?
(
x/2
se x ∈ (0, 1)
Esercizio 3.38. Sia data la funzione h(x) =
2x + 1 se x ∈ (2, 3).
te
d
(3.37.a)
(3.37.b)
(3.37.c)
(3.37.d)
ig
h
(3.38.a) La funzione h è invertibile? Se si, la sua funzione inversa h−1 è continua nel suo insieme di definizione?
(3.38.b) Determinare, se esiste, una funzione g1 definita e continua per ogni x ∈ (0, 3) tale che g1 (x) = f (x) per ogni x ∈
(0, 1) ∪ (2, 3).
(3.38.c) Determinare, se esiste, una funzione g2 definita e continua per ogni x ∈ (0, 3), derivabile nel punto 2 e tale che g2 (x) = f (x)
per ogni x ∈ (0, 1) ∪ (2, 3).
(3.38.d) Provare che non esistono polinomi di secondo grado p(x) tali che p(1) = lim h(x), p(2) = lim h(x), e p0+ (1) = 1/2,
x→1−
p0− (2) = 2 .
x→2+


log(| sin x| + 1) se x > 0
Esercizio 3.39. Sia, per ogni a, b ∈ R, data la funzione f (x) = x2 + ax + b
se − 1 ≤ x ≤ 0

 1
se x < −1.
x2 +1
Co
py
r
(3.39.a) Per quali a, b ∈ R, se esistono, si ha che f è continua in R?
(3.39.b) Per quali a, b ∈ R, se esistono, si ha che f è derivabile nel punto x0 = 0?
(3.39.c) Provare che non esistono a, b ∈ R tali che f sia derivabile sia nel punto x0 = 0 che nel punto x1 = −1.
Esercizio 3.40. Sia, per ogni a, b ∈ R, data la funzione f (x) =
 sin(2(x−1))

 x−1
se x > 1
se 0 ≤ x ≤ 1
ax+b
 x2 +2
2

arccos( 2xx2 +1 ) se x < 0.
(3.40.a) Calcolare, se esiste, limx→1+ f (x).
(3.40.b) Per quali a, b ∈ R, se esistono, si ha che f è continua sia in 0 che in 1?
(3.40.c) Calcolare, se esistono, limx→+∞ f (x) e limx→−∞ f (x).
x)
(3.40.d) Calcolare limx→1 1−cos(log
(log x)(x−1) .
Esercizio 3.41. Sia, per ogni a, b ∈ R, data la funzione

1−cos(x−1)

 (x−1)2

se x > 1
2 +b
f (x) = ax
 2x+1
se 0 ≤ x ≤ 1

arcsin( x2 +1 ) se x < 0.
2x2 +1
(3.41.a) Calcolare, se esiste, limx→1+ f (x).
(3.41.b) Per quali a, b ∈ R, se esistono, si ha che f è continua sia in 0 che in 1?
(3.41.c) Calcolare, se esistono, limx→+∞ f (x) e limx→−∞ f (x).
(3.41.d) Calcolare limx→1 sin(log(x
x−1
2 ))
.
 sin(arctan x)


x
Esercizio 3.42. Sia, per ogni a, b ∈ R, data la funzione f (x) = a2 x + b

2
[x]
se x < 0
se 0 < x < 1 , dove con [t] si è denotata la parte
se x ≥ 1
intera di t.
(3.42.a) Qual è l’insieme di definizione di f (x)?
(3.42.b) Calcolare, se esiste, limx→0− f (x).
A. Languasco
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p. 17
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p. 18
Per quali a, b ∈ R si ha che f è prolungabile per continuità in 0?
Per quali a, b ∈ R si ha che f è continua in 1?
Sia g(x) il prolungamento continuo in 0 di f (x) di cui al punto (3.42.c). Per quali a, b ∈ R si ha che g è continua in R?
Calcolare, se esistono, limx→+∞ f (x) e limx→−∞ f (x).
(
2
e1/(x −4)
se − 2 < x < 2
Esercizio 3.43. Si consideri la funzione così definita: f (x) =
π
sin( |x|
) + k se x ≤ −2 oppure x ≥ 2.
(3.43.a) Per quale valore di k ∈ R, f è continua?
(3.43.b) Per il valore di k determinato in (a) si studi la derivabilità di f .
(
2
e1/(4−x )
Esercizio 3.44. Si consideri la funzione così definita: f (x) =
π
sin( |x|
)+k
te
d
(3.42.c)
(3.42.d)
(3.42.e)
(3.42.f)
se x < −2 oppure x > 2
se − 2 ≤ x ≤ 2, x 6= 0.
(3.44.a) Per quale valore di k ∈ R, f è continua?
(3.44.b) Per il valore di k determinato in (3.44.a) si studi la derivabilità di f .
Esercizio 3.45. Si consideri, per a e b in R, la funzione f : R −→ R così definita: f (x) =
x
x+b
se x < 1
se x ≥ 1.
Determinare, se
ig
h
possibile, i valori di a, b ∈ R per cui f risulta continua e derivabile nel punto x = 1.
x (
arctan exe+1
se x ∈ [−1, 10]
Esercizio 3.46. Si consideri la funzione f (x) =
log(2x + sin x) se x ∈ [20, 30].
(
1
a√+ e x−1
Co
py
r
(3.46.a) Verificare che f è invertibile.
(3.46.b) Calcolare la derivata dell’inversa in y = log(50 + sin(25).
( x
a e x−1 + x
Esercizio 3.47. Per ogni a, b ∈ R sia data la funzione f (x) =
1
cos x + 2bx
se x > 0
se x ≤ 0.
(3.47.a) Per quali a, b ∈ R, se esistono, si ha che f è continua nel proprio dominio?
(3.47.b) Per quali a, b ∈ R, se esistono, si ha che f è derivabile nel proprio dominio?
(
2
e−1/x se x 6= 0
0
Esercizio 3.48. Calcolare, se esiste, f (0), dove f è data da: f (x) =
0
se x = 0.
Esercizio 3.49. Calcolare, se esiste, f 0 (0), dove f è data da: f (x) =
(
x2 tanh |x||x|1 −1
se x 6= 0
se x = 0.
0
Esercizio 3.50. Data f (x) = x + arctan x, si individui il punto c che verifica il Teorema di Lagrange per f nell’intervallo [0, 1].
Esercizio 3.51. Determinare una funzione f (x) tale che f (0) = 0, f 0 (0) = 0, lim f (x) = 1 e esiste lim f 0 (x).
x→+∞
x→+∞
Esercizio 3.52. Determinare una funzione f (x) tale che f (0) = 1, f 0 (1) = 0, lim f (x) = 0 e lim f (x) = +∞.
x→−∞
x→+∞
Esercizio 3.53. Determinare una funzione f (x) tale che essa sia crescente in (−∞, −1), f (0) = 0, f 0 (0) = 1 e limx→−1 f (x) = 0.
Esercizio 3.54. Sia f (x) definita e derivabile in [a, +∞) e tale che limx→+∞ ( f (x) − f 0 (x)) = ` ∈ R. È vero che limx→+∞ f (x) = `
e che limx→+∞ f 0 (x) = 0?
Esercizio 3.55. Sia f (x) definita e derivabile in [1, 2] ∪ [3, 4] e tale che f 0 (x) = 0 in (1, 2) ∪ (3, 4). È vero che f è costante?
Esercizio 3.56. Esistono funzioni f (x) derivabili su R tali che
(3.56.a) | f 0 (x)| ≤ 1 per ogni x ∈ R, f (0) = 0 e f (1) = 10?
(3.56.b) | f 00 (x)| ≤ 1 per ogni x ∈ R, f (0) = 0 e f (1) = 10?
Esercizio 3.57. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti utilizzando eventualmente il teorema di de l’Hôpital.
(3.57.1) lim (1/x) − (1/ sin x);
x→0
A. Languasco
(3.57.2) lim (1/(x2 − 1)2 ) − (1/ log x);
x→1
(3.57.3) lim (1 + x2 )1/ tan x ;
x→0
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 18
Esercizi su Continuità e Derivabilità di funzioni di una variabile reale
x
(3.57.4) lim x−sin
;
x3
x→0
(3.57.8)
x
lim e −x−1
;
x2
x→0
2
2
−sin x
(3.57.5) lim xx2 −sin(x
2) ;
x→0
(3.57.9)
x −ea )
lim log(e
;
log(x−a)
x→a
p. 19
tan x−x
(3.57.6) lim arctan(x
3) ;
x→0
(3.57.10)
x
(3.57.7) lim x−1−log
;
(x−1)2
x→1
lim (cot x)x .
x→π
Esercizio 3.58. È vantaggioso utilizzare il teorema di de l’Hôpital per calcolare i seguenti limiti?
(3.58.1)
x+sin x
;
x→+∞ x+cos x
lim
(3.58.2)
e−1/x
x ;
x→0+
lim
(3.58.3) lim x
x→0
2 sin(1/x)
sin x
;
x+sin x cos x+1
(3.58.4) lim esin
x (x+sin x cos x) .
x→0
Esercizio 3.59. Per quali valori di α, β si possono calcolare i seguenti limiti con il teorema di de l’Hôpital?
(3.59.2)
lim xα eβ x ;
x→+∞
(3.59.3) lim xα log(sin x);
x→0
(3.59.4)
lim
x→0+
eα/x
x .
Co
py
r
ig
h
x→0
te
d
α
(3.59.1) lim sin x−x
;
x3
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 19
Co
py
r
ig
h
te
d
Esercizi sui Limiti e sullo Studio di Funzioni
p. 21
C APITOLO 4
E SERCIZI SUI L IMITI E SULLO S TUDIO DI F UNZIONI
te
d
4.1 S TRATEGIA PER GLI STUDI DI FUNZIONE
Descriviamo la strategia necessaria per lo studio dell’andamento di f : A → R, A ⊂ R. I passi da fare sono i seguenti.
ig
h
1) (Determinazione del dominio) Data la legge che definisce f , va determinato il dominio di f stessa (ossia l’insieme massimale
A su cui f può essere valutata).
2) (Simmetrie e segno) Determinare le eventuali simmetrie di f , i punti di azzeramento di f e, quando possibile, il segno di f .
3) (Limiti rilevanti) Determinare i punti di accumulazione del dominio A ed i limiti di f in tali punti di accumulazione.
Determinare eventuali asintoti verticali, orizzontali ed obliqui.
4) (Continuità e Derivabilità) Determinare i punti del dominio in cui f è continua e quelli in cui f è derivabile.
5) (Monotonia) Determinare i punti del dominio in cui f è strettamente monotona; determinare i punti stazionari di f (ossia i
punti del dominio in cui f è derivabile e f 0 (x) = 0).
6) (Estremi locali e globali) Determinare quali sono gli punti di estremo locale (tra i punti stazionari e i punti di non derivabilità).
Accertarsi dell’esistenza di massimo e minimo globali, ad esempio verificando se è applicabile il Teorema di Weierstrass;
determinare i massimi e minimi globali e i corrispettivi punti di estremo globale (tra i punti stazionari e i punti di non
derivabilità).
7) (Convessità) Determinare i punti del dominio di f in cui è convessa e quelli in cui è concava.
8) (Andamento) Utilizzare tutte le informazioni ricavate precedentemente per disegnare l’andamento della funzione.
4.2 T ESTI DI E SERCIZI SUGLI STUDI DI FUNZIONE E LIMITI
x2 +3
.
x2 +4x+4
Co
py
r
Esercizio 4.1. Sia data la funzione f (x) =
(4.1.1)
(4.1.2)
(4.1.3)
(4.1.4)
(4.1.5)
(4.1.6)
(4.1.7)
(4.1.8)
(4.1.9)
Si determini il campo di esistenza e le eventuali simmetrie di f (x).
Si determini il segno di f (x) e le sue intersezioni con gli assi coordinati.
Si determinino i limiti agli estremi del campo di esistenza e gli eventuali asintoti di f (x).
Si determini il segno della derivata prima f 0 (x) e gli intervalli di monotonia di f (x).
Si determinino gli eventuali punti di massimo e di minimo locale e globale.
Si determini la derivata seconda f 00 (x) e se ne studi il segno.
Si disegni un grafico approssimato di f (x).
Si determini l’immagine di f (x).
Determinare il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = 21 utilizzando il grafico di f (x).
Esercizio 4.2. Sia data la funzione f (x) =
(4.2.1)
(4.2.2)
(4.2.3)
(4.2.4)
(4.2.5)
(4.2.6)
(4.2.7)
x2 +|x+2|
.
x
Si determini il campo di esistenza e le eventuali simmetrie di f (x).
Si determini il segno di f (x) e le sue intersezioni con gli assi coordinati.
Si determinino i limiti agli estremi del campo di esistenza e gli eventuali asintoti di f (x).
Si determini il segno della derivata prima f 0 (x) e gli intervalli di monotonia di f (x).
Si determinino gli eventuali punti di massimo e di minimo locale e globale.
Si determini la derivata seconda f 00 (x) e se ne studi il segno.
Si disegni un grafico approssimato di f (x).
Esercizio 4.3. Studiare le seguenti funzioni determinando, ove non diversamente specificato:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
il campo di esistenza ed eventuali simmetrie;
il segno ed eventuali intersezioni con gli assi coordinati.
i limiti agli estremi del campo di esistenza e gli eventuali asintoti di f (x).
il segno della derivata prima f 0 (x) e gli intervalli di monotonia di f (x).
gli eventuali punti di massimo e di minimo locale e globale.
A. Languasco
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p. 21
A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
p. 22
(vi) la concavità e la convessità di f (x) mediante il segno della sua derivata seconda.
(vii) un grafico approssimato di f (x).
(4.3.5)
(4.3.6)
f1 (x) = xx ;
√
f2 (x) = x3 + 3x2 [studiando espressamente la derivabilità di f2 (x)];
f3 (x) = x1/x ;
f4 (x) = arctan x+1 ;
x−1
x2 +|x−2|
f5 (x) = x−1
[studiando
1
f6 (x) = log(1 + 1/x) + x+1
espressamente la derivabilità di f5 (x); notare che per x ≥ 2, il grafico di f5 (x) è una retta];
[si salti il punto (ii); il segno andrà dedotto alla fine dello studio di funzione].
te
d
(4.3.1)
(4.3.2)
(4.3.3)
(4.3.4)
Esercizio 4.4. Studiare le seguenti funzioni determinando:
il campo di esistenza ed eventuali simmetrie;
il segno ed eventuali intersezioni con gli assi coordinati.
i limiti agli estremi del campo di esistenza e gli eventuali asintoti di f (x).
il segno della derivata prima f 0 (x) e gli intervalli di monotonia di f (x).
gli eventuali punti di massimo e di minimo locale e globale.
un grafico approssimato di f (x).
(4.4.1)
(4.4.2)
(4.4.3)
(4.4.4)
f1 (x) = 10|x| ;
f2 (x) = arcsin(|x|);
f3 (x) = arcsin(x + 1);
f4 (x) = log1/2 |x|;
etan x −1
;
etan x +1
1/
sin
x
(x) = e
.
(4.4.5) f5 (x) =
(4.4.6) f6
1
x−1
+ log |x − 2|.
Co
py
r
Esercizio 4.5. Sia f (x) =
ig
h
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(4.5.a) Determinare il campo di esistenza, le eventuali simmetrie, i limiti significativi di f .
(4.5.b) Si studi la continuità di f e la derivabilità di f (x) e si calcoli, dove esiste, f 0 (x).
(4.5.c) In quanti punti del proprio dominio f (x) si azzera? f ha massimi relativi e/o minimi relativi? f ha massimi assoluti e/o
minimi assoluti?
Esercizio 4.6. Sia f (x) =
x+1
log |x+1| .
(4.6.a)
(4.6.b)
(4.6.c)
(4.6.d)
Determinare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie, i limiti significativi di f .
Si studi la continuità di f . f è prolungabile per continuità nel punto −1?
Si studi la derivabilità di f (x) e si calcoli, dove esiste, f 0 (x).
Provare che f ha massimi relativi e minimi relativi. f ha massimi assoluti e/o minimi assoluti?
x+1 ).
Esercizio 4.7. Sia f (x) = arctan log( x−1
(4.7.a)
(4.7.b)
(4.7.c)
(4.7.d)
Determinare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie, i limiti significativi di f .
Si studi la continuità e la derivabilità di f (x).
Calcolare, ove esiste, f 0 (x).
Provare che f non ha né massimi relativi né minimi relativi. f ha massimi assoluti e/o minimi assoluti?
Esercizio 4.8. Determinare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie, i limiti significativi di f , eventuali asintoti,
gli insiemi di continuità e di derivabilità, crescenza e decrescenza, eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti, un grafico
1
x
approssimato di f (x) = xe |2x|−1 . Stesse domande per g(x) = |x2 − 4|e |x+2| . In entrambi i casi non è richiesto lo studio della
convessità.
Esercizio 4.9. Sia f (x) = e|
log |2x−1|
2x−1 |
.
(4.9.a) Determinare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie, i limiti significativi di f .
(4.9.b) Determinare gli insiemi di continuità e di derivabilità di f (x).
(4.9.c) Risolvere, dove ha senso, la disequazione f 0 (x) > 0.
A. Languasco
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p. 22
Esercizi sui Limiti e sullo Studio di Funzioni
p. 23
(4.9.d) È vero che f non ha massimi assoluti? È vero che f ha minimi assoluti?
Suggerimento: si consiglia, prima di procedere a studiare i limiti significativi, di riscrivere f (x) come funzione definita
per casi (“eliminando” cioé i valori assoluti)
(4.10.a)
(4.10.b)
(4.10.c)
(4.10.d)
(4.10.e)
(4.10.f)
Determinare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie.
Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti.
Determinare l’insieme di continuità ed l’insieme di derivabilità di f .
Determinare gli eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti.
Disegnare un grafico approssimato di f .
(facoltativo) Studiare concavità e convessità di f .
Esercizio 4.11. Sia f (x) = (cos x)e−1/ cos x .
Determinare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie.
Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti.
Determinare l’insieme di continuità ed l’insieme di derivabilità di f .
Determinare gli eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti.
Disegnare un grafico approssimato di f . [Non è richiesto lo studio della convessità].
ig
h
(4.11.a)
(4.11.b)
(4.11.c)
(4.11.d)
(4.11.e)
te
d
Esercizio 4.10. Sia f (x) = log(x + 1 + e|x+1| ).
x+1
+ log(x2 )).
Esercizio 4.12. Sia f (x) = arctan( x−1
(4.12.a)
(4.12.b)
(4.12.c)
(4.12.d)
(4.12.e)
Determinare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie.
Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti.
Determinare l’insieme di continuità ed l’insieme di derivabilità di f .
Determinare gli eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti.
Disegnare un grafico approssimato di f . [Non è richiesto lo studio della convessità].
3
Co
py
r
Esercizio 4.13. Sia f (x) = log | xx2 −1
|.
−4
(4.13.a)
(4.13.b)
(4.13.c)
(4.13.d)
Determinare il domino di f ed i limiti di f agli estremi del dominio.
Risolvere, dove ha senso, f (x) > log(x − 2).
Determinare l’insieme di continuità ed l’insieme di derivabilità di f .
Calcolare f 0 (x) dove esiste.
x+1
Esercizio 4.14. Sia f (x) = log arctan( x−1
).
(4.14.a) Determinare il domino di f . Determinare il suo insieme di continuità ed il suo insieme di derivabilità. Calcolare f 0 (x)
dove esiste.
(4.14.b) Calcolare limx→−∞ f (x), limx→+∞ f (x), limx→−1− f (x), limx→1+ f (x).
(4.14.c) f è superiormente limitata? f è inferiormente limitata?
(4.14.d) f ha massimi assoluti? f ha minimi assoluti?
2
x −1
Esercizio 4.15. Sia g(x) = tan | arctan( 2x
2 +1 )|.
(4.15.a) Determinare il dominio e la parità di g.
(4.15.b) Determinare l’insieme di continuità di g.
(4.15.c) Determinare se g è derivabile nel punto x0 = 1. Dedurre la derivabilità o meno di g nel punto x1 = −1 e calcolare
l’insieme di derivabilità di g.
(4.15.d) Scrivere, se esiste, l’ equazione della retta tangente al grafico della funzione g nel punto di ascissa uguale a 0. Stessa
domanda per il punto di ascissa uguale a 1.
Suggerimento: dal punto (4.15.c) in poi è conveniente semplificare il modulo e riscrivere quindi g come funzione
definita per casi.
−1/2 .
Esercizio 4.16. Sia data la funzione h(x) = (arctan( 2x−1
2x+1 ))
(4.16.a)
(4.16.b)
(4.16.c)
(4.16.d)
Determinare il dominio della funzione h(x).
Calcolare, se esiste, limx→0− h(x).
Calcolare, se esiste, limx→1/2 h(x).
Calcolare, se esiste, limx→−∞ h(x).
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 23
A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
Esercizio 4.17. Sia data la funzione g(x) =
(4.17.a)
(4.17.b)
(4.17.c)
(4.17.d)
p. 24
√
√
x2 − 2x − x2 + 2x.
Determinare il dominio della funzione g(x).
Calcolare, se esiste, limx→+∞ g(x).
g(x) è funzione pari? g(x) è funzione dispari?
Calcolare, se esiste, limx→−∞ g(x).
Suggerimento: provare ad utilizzare i punti (4.17.a) e (4.17.c).
(4.18.a)
(4.18.b)
(4.18.c)
(4.18.d)
Determinare il dominio della funzione h(x).
Calcolare, se esiste, limx→0− h(x).
Calcolare, se esiste, limx→1/2 h(x).
Calcolare, se esiste, limx→−∞ h(x).
√
√
Esercizio 4.19. Sia data la funzione g(x) = x2 + 3x − x2 − 3x.
Determinare il dominio della funzione g(x).
Calcolare, se esiste, limx→+∞ g(x).
g(x) è funzione pari? g(x) è funzione dispari?
Calcolare, se esiste, limx→−∞ g(x).
Suggerimento: provare ad utilizzare i punti (4.19.a) e (4.19.c).
ig
h
(4.19.a)
(4.19.b)
(4.19.c)
(4.19.d)
te
d
1+x
Esercizio 4.18. Sia data la funzione h(x) = log(arccos( 1−x
)).
Esercizio 4.20. Sia, per x ∈ R, data la funzione g(x) = ([x − 2])−2 , dove con [t] si denota la parte intera di t.
(4.20.a) Determinare il dominio, l’immagine e il grafico della funzione g(x).
(4.20.b) g(x) è crescente? g(x) è decrescente? g(x) è iniettiva?
(4.20.c) Disegnare l’andamento del grafico di g(x).
1 (cos2 x−sin2 x)+sin x cos 2x
2
√
| sin x|− 23
.
Co
py
r
Esercizio 4.21. Sia data, per x ∈ [− π2 , 3π
2 ), la funzione f (x) =
(4.21.a) Determinare il dominio della funzione f (x).
(4.21.b) Per quali x ∈ Dom f si ha f (x) < 0? Per quali x ∈ Dom f si ha f (x) = 0?
Esercizio 4.22. Sia E =
Si provi che − 21 ≤
2x2 − 21
3x2 +1
n
2x2 − 12
3x2 +1
≤
2
3
o
: x∈R .
per ogni x ∈ R.
(4.22.a) E è limitato? Quali sono sup E e inf E?
(4.22.b) E ha massimo? Se si, qual è? E ha minimo? Se si, qual è?
Esercizio 4.23. Sia data, per x ∈ R, la funzione g(x) = ([x + 2])−2 , dove con [t] si è denotata la parte intera di t.
(4.23.a) Determinare il dominio, l’immagine e il grafico della funzione g(x).
(4.23.b) g(x) è crescente? g(x) è decrescente? g(x) è iniettiva?
(4.23.c) Disegnare l’andamento del grafico di g(x).
Esercizio 4.24. Sia data, per x ∈ [− π2 , 3π
2 ), la funzione f (x) =
sin 2x+cos x
.
| cos x|− 12
(4.24.a) Determinare il dominio della funzione f (x).
(4.24.b) Per quali x ∈ Dom f si ha f (x) > 0? Per quali x ∈ Dom f si ha f (x) = 0?
Esercizio 4.25. Sia E =
n
x2 − 14
2x2 +1
o
: x∈R .
x2 − 1
4
(4.25.a) Si provi che − 14 ≤ 2x2 +1
≤ 12 per ogni x ∈ R.
(4.25.b) E è limitato? Quali sono sup E e inf E?
(4.25.c) E ha massimo? Se si, qual è? E ha minimo? Se si, qual è?
2
x−cos x−1
Esercizio 4.26. Sia data la funzione f (x) = log 2 sin| cos
.
x−3|
(4.26.a) Trovare il campo di esistenza della funzione f (x).
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 24
Esercizi sui Limiti e sullo Studio di Funzioni
p. 25
(4.26.b) Provare che f (x) ≤ 0 per ogni x appartenente al campo di esistenza. Per quali x si ha f (x) = 0?
(4.26.c) Calcolare lim f (x). Ha senso valutare lim f (x)?
x→0
x→π/2
2
x−1
Esercizio 4.27. Sia data la funzione f (x) = log 2 cos| sinx−sin
.
x−3|
(4.27.a) Trovare il campo di esistenza della funzione f (x).
(4.27.b) Provare che f (x) ≤ 0 per ogni x appartenente al campo di esistenza. Per quali x si ha f (x) = 0?
(4.27.c) Calcolare lim f (x). Ha senso valutare lim f (x)?
x→0
te
d
x→π/2
Esercizio 4.28. Sia f (x) = x2 e−|x−1| .
(4.28.a) Studiare il campo di esistenza di f (x), il segno, gli eventuali asintoti, la derivabilità (per determinare eventuali massimi
e/o minimi assoluti e/o relativi), la convessità e gli eventuali flessi di f (x).
Suggerimento: Studiare in particolare la derivabilità di f (x) nei punti in cui si annulla l’argomento del valore assoluto).
(4.28.b) Disegnare il grafico approssimato di f (x).
Esercizio 4.29. Sia f (x) = (x + 2) − log(x2 − 3).
ig
h
(4.29.a) Studiare il campo di esistenza di f (x), eventuali simmetrie, la continuità, i limiti significativi, gli eventuali asintoti, la
derivabilità (per determinare la crescenza ed eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti), la convessità e gli eventuali
flessi di f (x). Disegnare il grafico approssimato di f (x).
(4.29.b) Decidere qual è il segno di f (x) e le eventuali intersezioni del grafico di f (x) con l’asse x.
Esercizio 4.30. Sia f (x) = e(1−1/x) .
(4.30.a) Studiare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie, i limiti significativi, gli eventuali asintoti, la derivabilità
(per determinare la crescenza ed eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti), la convessità e gli eventuali flessi di
f (x).
(4.30.b) Disegnare il grafico approssimato di f (x).
Co
py
r
Esercizio 4.31. Sia f (x) = |x − 1|e1/x .
(4.31.a) Studiare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie, i limiti significativi, gli eventuali asintoti, la derivabilità
(per determinare la crescenza ed eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti), la convessità e gli eventuali flessi di
f (x).
(4.31.b) Disegnare il grafico approssimato di f (x).
Esercizio 4.32. Sia f (x) =
log |x+1|
x+1 .
(4.32.a) Studiare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie, i limiti significativi, gli eventuali asintoti, la derivabilità
(per determinare la crescenza ed eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti), la convessità e gli eventuali flessi di
f (x).
(4.32.b) Disegnare il grafico approssimato di f (x).
Esercizio 4.33. Sia f (x) = arctan( x
2 +1
x
).
(4.33.a) Studiare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie, i limiti significativi, gli eventuali asintoti, la derivabilità
(per determinare la crescenza ed eventuali massimi e minimi relativi), la convessità e gli eventuali flessi di f (x).
(4.33.b) Dire se f (x) ammette massimo assoluto e/o minimo assoluto. f (x) è limitata?
(4.33.c) Disegnare il grafico approssimato di f (x).
Esercizio 4.34. Sia f (x) =
2x−1
e| log( x )|
.
x
(4.34.a) Studiare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie, i limiti significativi, gli eventuali asintoti, la derivabilità,
la crescenza e gli eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti, la convessità e gli eventuali flessi di f (x).
Suggerimento: Dopo aver determinato il campo di esistenza si scriva f (x) eliminando il valore assoluto e facendo le
opportune semplificazioni.
(4.34.b) Disegnare il grafico approssimato di f (x).
2x−2 cos
Esercizio 4.35. Sia data la funzione g(x) = log( sin 2x cos x+(cos
|2 sin x+1|
2 x) sin x
).
(4.35.a) Determinare il dominio di f (x) limitandosi a considerare l’insieme x ∈ [0, 2π).
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 25
A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
p. 26
sin x
(4.35.b) Risolvere, per ogni x ∈ [0, 2π), f (x) < log( |2−2
sin x+1| ).
sin x
(4.35.c) Risolvere, per ogni x ∈ [0, 2π), f (x) = log( |2 sin
x+1| ).
 sin(cos x−1)


x2
2
Esercizio 4.36. Sia, per ogni a, b ∈ R, data la funzione f (x) = aπ x + b

 2π sin x
x
Qual è l’insieme di definizione di f (x)?
Calcolare, se esiste, limx→0− f (x).
Per quali a, b ∈ R si ha che f è prolungabile per continuità in 0?
Per quali a, b ∈ R si ha che f è continua in π/2?
Sia g(x) il prolungamento continuo in 0 di f (x) di cui al punto (4.36.c). Per quali a, b ∈ R si ha che g è continua in R?
Calcolare, se esistono, limx→+∞ f (x) e limx→−∞ f (x).
x) sin 2x
Esercizio 4.37. Sia data la funzione g(x) = log( cos 2x sin|2x+(1−cos
).
cos x+1|
te
d
(4.36.a)
(4.36.b)
(4.36.c)
(4.36.d)
(4.36.e)
(4.36.f)
se x < 0
se 0 < x < π/2
se x ≥ π/2.
(4.37.a) Determinare il dominio di f (x) limitandosi a considerare l’insieme x ∈ [0, 2π).
sin x
(4.37.b) Risolvere, per ogni x ∈ [0, 2π), la disequazione f (x) < log( |2−2
cos x+1| ).
ig
h
sin x
(4.37.c) Risolvere, per ogni x ∈ [0, 2π), f (x) = log( |2 cos
x+1| ).
Esercizio 4.38. Sia data la funzione f (x) = 2x − log(3 + 2x )
(4.38.a) Studiare il campo di esistenza di f (x), gli eventuali asintoti, la derivabilità (per determinare eventuali massimi e/o minimi
assoluti e/o relativi), la convessità e gli eventuali flessi.
(4.38.b) Disegnare il grafico approssimato di f (x).
Esercizio 4.39. Sia f (x) = arctan( log1|x| ).
Co
py
r
(4.39.a) Studiare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie, le intersezioni con gli assi, i limiti significativi, gli
eventuali asintoti, la derivata prima f 0 (x) (per determinare la crescenza ed eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti),
convessità e flessi.
(4.39.b) Disegnare il grafico approssimato di f (x).
|x|
Esercizio 4.40. Si consideri la funzione f (x) = e 1−x − 1.
(4.40.a) Se ne determini il campo di esistenza, le eventuali simmetrie, il segno e le intersezioni con gli assi, limiti notevoli ed
asintoti; si studi la derivabilità di f e se ne cerchino gli eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti, attraverso lo
studio di f 0 (x); si studi la convessità e flessi di f .
(4.40.b) Se ne tracci un grafico approssimato.
|x−1|
Esercizio 4.41. Si consideri la funzione f (x) = e 2−x − 1.
(4.41.a) Se ne determini il campo di esistenza, le eventuali simmetrie, il segno e le intersezioni con gli assi, limiti notevoli ed
asintoti; si studi la derivabilità di f e se ne cerchino gli eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti, attraverso lo studio
di f 0 (x); si studi la convessità e flessi di f .
(4.41.b) Se ne tracci un grafico approssimato.
Esercizio 4.42. Si consideri la funzione f (x) =
1+x −1/x
.
2x e
(4.42.a) Se ne determini il campo di esistenza, le eventuali simmetrie, il segno e le intersezioni con gli assi, limiti notevoli ed
asintoti, crescenza, decrescenza e massimi e minimi relativi ed assoluti eventuali, attraverso lo studio di f 0 (x), convessità
e flessi.
(4.42.b) Se ne tracci un grafico approssimato.
Esercizio 4.43. Si consideri la funzione f (x) =
2+x −2/x
.
2x e
(4.43.a) Se ne determini il campo di esistenza, le eventuali simmetrie, il segno e le intersezioni con gli assi, limiti notevoli ed
asintoti, crescenza, decrescenza e massimi e minimi relativi ed assoluti eventuali, attraverso lo studio di f 0 (x), convessità
e flessi.
(4.43.b) Se ne tracci un grafico approssimato.
Esercizio 4.44. Sia f (x) = e
A. Languasco
log(|2x−1|)
2x−1
.
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 26
Esercizi sui Limiti e sullo Studio di Funzioni
p. 27
(4.44.a) Studiare il campo di esistenza, il segno, le eventuali simmetrie, i limiti significativi, gli eventuali asintoti, la derivata
prima f 0 (x) (per determinare la crescenza ed eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti).
(4.44.b) Disegnare il grafico approssimato di f (x).
Esercizio 4.45. Sia f (x) = x + log(x2 − x + 1).
te
d
(4.45.a) Studiare il campo di esistenza, le eventuali simmetrie, i limiti significativi, gli eventuali asintoti, la crescenza ed eventuali
massimi e minimi relativi ed assoluti mediante lo studio di f 0 (x), la convessità e gli eventuali flessi mediante lo studio di
f 00 (x).
(4.45.b) Dire quante soluzioni ha l’equazione f (x) = 0 e, delle eventuali soluzioni non nulle, determinare il segno.
(4.45.c) Disegnare il grafico approssimato di f (x).
1
Esercizio 4.46. Sia f (x) = (1 + 2x) − e 1+2x .
(4.46.a) Studiare il campo di esistenza, le eventuali simmetrie, i limiti significativi, gli eventuali asintoti, la crescenza e gli
eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti mediante lo studio di f 0 (x), la convessità e gli eventuali flessi mediante lo
studio di f 00 (x).
(4.46.b) Disegnare il grafico approssimato di f (x), discutendone il segno e le intersezioni con l’asse x.
1
x−3
+ log((x − 3)2 ).
ig
h
Esercizio 4.47. Sia f (x) =
(4.47.a) Studiare il campo di esistenza, le eventuali simmetrie, i limiti significativi, gli eventuali asintoti,la crescenza e gli eventuali
massimi e minimi relativi ed assoluti, attraverso lo studio di f 0 (x), la convessità e gli eventuali flessi mediante lo studio
di f 00 (x).
(4.47.b) Quante sono le soluzioni di f (x) = 0?
(4.47.c) Disegnare il grafico approssimato di f (x).
Esercizio 4.48. (4.48.a) Sia f1 una funzione tale che
limx→0 f1 (x).
cos x
1+|x|
< f1 (x) ≤ 2|x| (1 + |x|), per ogni x ∈ R \ {0}. Calcolare, se esiste,
(4.48.b) Sia f2 una funzione tale che f2 (x) < log( | cosx x| ) + 3, per ogni x > 53. Calcolare, se esiste, lim f2 (x).
f3 (x)
3
x→−∞ x +x
f3 (x)
2
x→+∞ 2x +3
= −1 e lim
x→+∞
= 1. Calcolare, se esistono, lim f3 (x) e lim f3 (x) .
Co
py
r
(4.48.c) Sia f3 una funzione tale che lim
x→−∞
x→+∞
Esercizio 4.49. (4.49.a) Sia f1 una funzione tale che sin x ≤ f1 (x) < |x| per ogni x ∈ [−1, 1] \ {0}. Calcolare, se esiste,
limx→0 f1 (x).
(4.49.b) Sia f2 una funzione tale che f2 (x) > 3 log(|x| + 1) + 1, per ogni x > 100. Calcolare, se esiste, lim f2 (x).
(4.49.c) Sia f3 una funzione tale che
lim f23 (x)
x→−∞ x +2
=1e
lim f3 (x)
x→+∞ 4x+1
x→+∞
= −1. Calcolare lim f3 (x) e lim f3 (x), posto che esistano.
x→−∞
x→+∞
Esercizio
4.50. Studiare la monotonia e determinare i punti di massimo/minimo relativo e assoluto (se esistono) di f (x) =
p
x
(4
−
x)(x
+ 2), al variare di x ∈ [−2, 4] \ {0}.
|x|
Esercizio
p 4.51. Studiare la monotonia e determinare i punti di massimo/minimo relativo e assoluto (se esistono) di f (x) =
2x − |x2 − 5x + 6|, al variare di x ∈ R.
Esercizio 4.52. Sia f (x) = ex + x, x ∈ R. Dimostrare che f è invertibile dove definita e determinare il dominio di definzione di
f −1 .
Esercizio 4.53. Provare che in (−1, 0) la funzione f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − 2 ammette un unico punto di azzeramento x0 . Si
calcoli poi x0 a meno di 10−2 .
2
Esercizio 4.54. Determinare, al variare di α ∈ R, se esistono soluzioni dell’equazione e−x = αx2 − 1.
Esercizio 4.55. Sia f (x) = k log x + x, x > 0 e k ∈ R. Determinare il numero dei punti di azzeramento di f al variare di k. Per
quali valori di k la funzione f è invertibile in (0, +∞)? Per tali valori calcolare, se esistono, ( f −1 )0 ( f (e)) e ( f −1 )00 ( f (e)).
Esercizio 4.56. Per quali valori di k ∈ R la funzione f (x) = log(1 + kx2 ) è invertibile? Per tali k calcolare, se esiste, ( f −1 )0 (1).
p 1
Esercizio 4.57. Determinare, al variare di λ ∈ R, il numero di soluzioni dell’equazione 10(1+x
+
−
|x| = λ .
1
2)
2x Esercizio 4.58. Studiare le funzioni f (x) = arctan e2xe +1 ,
A. Languasco
g(x) = e−|x(x+3)| (x + |x + 3|).
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 27
A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
p. 28
Esercizio 4.59. Studiare le funzioni (la convessità non è richiesta) f (x) = log |e2x − 1| + e2x2−1 ,
g(x) =
e−1/(1+cos x)
1+cos x .
Esercizio 4.60. Determinare λ ∈ R tale che f (x) = x2 − λ e g(x) = log x siano tangenti in un punto.
Esercizio 4.61. Determinare, al variare di λ ∈ R, il numero di soluzioni delle seguenti equazioni:
(4.61.1) x3 + 12|x − 1| + 5 = λ ;
3
(4.61.2) 4|x − 1| − x3 + 5 = λ ;
(4.61.3)
1
x10
= λ x + 10 (solo per x > 0).
2
Co
py
r
ig
h
te
d
Esercizio 4.62. Studiare la funzione f (x) = arcsin( x2x+1 ). Dire inoltre se ammette inversa in [−1, 1/2] e in [0, 1]. In caso
affermativo precisare il dominio della funzione inversa e fornirne una formula esplicita.
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 28
Appunti sul calcolo delle primitive
p. 29
C APITOLO 5
A PPUNTI SUL CALCOLO DELLE PRIMITIVE
te
d
5.1 P RIMITIVE IMMEDIATE
una primitiva
xα ; α 6= −1
xα+1
α +1
1/x
log |x|
1
x2 + 1
arctan x
1
√
1 − x2
sin x
cos x
1
cos2 x
arcsin x
− cos x
sin x
tan x
Co
py
r
1
sin2 x
ig
h
funzione
cot x
ax ; a > 0, a 6= 1
ax
log a
sinh x
cosh x
cosh x
sinh x
1
√
2
x +1
settsinh x = arcsinh x = log(x +
1
√
2
x −1
settcosh x = arccosh x = log(x +
p
x2 + 1)
p
x2 − 1)
5.2 F UNZIONI RAZIONALI
Siamo nel caso in cui va calcolato
Z
p(x)
dx
q(x)
dove p(x), q(x) sono due polinomi di una variabile a coefficienti reali. L’unico caso significativo è quello in cui deg(p) < deg(q).
Infatti se si avesse deg(p) ≥ deg(q) potremmo determinare altri due polinomi m(x), r(x) tali che p(x) = q(x)m(x) + r(x), con
deg(r) < deg(q) e quindi
Z
Z
Z
p(x)
r(x)
dx = m(x) dx +
dx.
q(x)
q(x)
p(x)
Scriviamo q(x)
, deg(p) < deg(q), come somma di vari termini più semplici. Per ogni radice α dell’equazione polinomiale q(x) = 0
si scrive un termine come segue
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 29
A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
p. 30
1) se α è radice reale semplice: il termine da scrivere è
A
x−α
dove A ∈ R è una costante reale da determinare;
2) se α è radice reale di molteplicità µ > 1: il termine da scrivere è
te
d
Bµ
B2
B1
+...+
+
x − α (x − α)2
(x − α)µ
dove B1 , . . . , Bµ ∈ R sono costanti reali da determinare;
3) se α è radice non reale semplice: questo vuol dire che α = γ + iδ (con i2 = −1) è una radice complessa semplice; il termine
da scrivere è
Cx + D
(x − γ)2 + δ 2
ig
h
dove C, D ∈ R sono costanti reali da determinare;
4) se α è radice non reale di molteplicità µ > 1: questo vuol dire che α = γ + iδ (con i2 = −1) è una radice complessa di
molteplicità µ > 1; il termine da scrivere è
Eµ x + Fµ
E2 x + F2
E1 x + F1
+
µ
2 + . . . +
2
2
(x − γ) + δ
(x − γ)2 + δ 2
(x − γ)2 + δ 2
dove E1 , . . . , Eµ , F1 , . . . , Fµ ∈ R sono costanti reali da determinare.
Co
py
r
Al temine di questo procedimento si perviene ad una scrittura del tipo (a titolo di esempio si suppone di avere k soluzioni reali
distinte che chiamiamo α1 , . . . , αk , una soluzione reale di molteplicità µ > 1 che chiamiamo β1 , ` soluzioni complesse semplici
che chiamiamo γ1 + iδ1 , . . . , γ` + iδ` , una soluzione complessa di molteplicità τ > 1 che chiamiamo λ + iν):
Bµ
p(x)
A1
Ak
B1
B2
=
+...+
+
+
+...+
q(x) x − α1
x − αk x − β1 (x − β1 )2
(x − β1 )µ
E2 x + F2
C1 x + D1
C` x + D`
E1 x + F1
Eτ x + Fτ
+
+...+
+
+
τ .
2 + . . . +
2
2
(x − γ1 )2 + δ12
(x − γ` )2 + δ`2 (x − λ )2 + ν 2
(x − λ )2 + ν 2
(x − λ ) + ν
Si fa il denominatore comune e si determinano tutte le costanti di tipo A, B,C, D, E, F e si integra poi ogni termine osservando che
A
dx = A log |x − α| + c; c ∈ R;
x−α
Z
B
(x − α)1−µ
dx = B
+ c; c ∈ R;
µ
(x − α)
1−µ
Z
D +Cγ
Cx + D
C
x−γ
dx = log (x − γ)2 + δ 2 +
arctan(
) + c; c ∈ R.
2
2
(x − γ) + δ
2
δ
δ
Z
Restano i termini corrispondenti a radici complesse di molteplicità maggiore di uno. Questi si calcolano usando la seguente
formula ricorsiva:
x−γ dx
1
=
arctan
+ c; c ∈ R,
(x − γ)2 + δ 2
δ
δ
Z
dx
1
x−γ
Iµ :=
+
(2µ
−
3)I
;
µ = 2
µ−1
2δ (µ − 1) (x − γ)2 + δ 2 µ−1
(x − γ)2 + δ 2
Z
I1 :=
µ ≥ 2.
5.3 A LCUNE SOSTITUZIONI
Per calcolare le primitive mediante il teorema di sostituzione alcune scelte “standard” sono le seguenti. Queste sostituzioni
permettono di ricondursi al caso degli integrali di funzioni razionali. Indichiamo con R(x1 , . . . , xk ) una funzione razionale (ossia
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 30
Appunti sul calcolo delle primitive
p. 31
un rapporto di polinomi) in k variabili.
problema
R(log x)
dx
x
t = log x
R(xα )xα−1 dx; α 6= 1
t = xα
Z
Z
sostituzione consigliata
Z
R(t) dt
1
α
R(cos x) sin x dx
t = cos x
R(sin x) cos x dx
t = sin x
R(ax ) dx; a > 0; a 6= 1
t = ax
−
Z
R(t) dt
Z
R(t) dt
Z
R(t) dt
1
log a
Z
Z
t = tan(x/2)
R(sin2 x, cos2 x, sin x cos x) dx
Z
R(x,
p
ax2 + bx + c) dx;
a > 0; ∆ 6= 0
Z
t=
p
√
ax2 + bx + c ± ax
r
a < 0; ∆ > 0
2t 1 − t 2 2
R
,
dt
1 + t2 1 + t2 1 + t2
Z
√
R g(t),t ∓ a g(t) g0 (t) dt;
g(t) =
ax2 + bx + c)
dx;
t=
a
x−β
;
x−α
R(t)
dt
t
t2
1
t dt
R
,
,
1 + t2 1 + t2 1 + t2 1 + t2
Z
t = tan x
Co
py
r
R(x,
p
Z
ig
h
R(sin x, cos x) dx
Z
Z
te
d
Z
Z
primitive da determinare
Z
t2 − c
√
b ± 2t a
R g(t), (g(t) − α)t g0 (t) dt;
α < β radici di ax2 + bx + c = 0
g(t) =
α t 2 − aβ
t2 − a
Nel caso in cui si debba calcolare (a, b, c, d ∈ R, ad − bc 6= 0, p, q, . . . , r, s ∈ N) si ottiene
Z
Z
ax + b p/q
ax + b r/s R x,
,...,
dx = R g(t),t mp/q , . . . ,t mr/s g0 (t) dt
cx + d
cx + d
in cui si è posto
m = mcm (q, . . . , s);
A. Languasco
tm =
ax + b
;
cx + d
x = g(t) =
dt m − b
.
a − ct m
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 31
A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
p. 32
5.4 A PPUNTI SUI CRITERI DI CONVERGENZA DEGLI INTEGRALI IMPROPRI
5.4.1
Integrali impropri su insiemi limitati
Criterio 5.1 (del confronto). Siano f , g : (a, b] → R, continue in (a, b] ed inoltre 0 ≤ f (x) ≤ g(x) per ogni x ∈ (a, b]. Si ha che:
a) se
b) se
Rb
Rb
a g(x) dx converge allora a f (x) dx converge.
Rb
Rb
a f (x) dx diverge allora a g(x) dx diverge.
te
d
Come conseguenza del criterio del confronto e della nota convergenza degli integrali impropri degli infiniti fondamentali abbiamo
il:
Corollario 5.1 (del criterio del confronto). a) Sia f : (a, b] → R, continua in (a, b] ed inoltre esistano c > 0, α ∈ (0, 1) tali che
R
0 ≤ f (x) ≤ c/(x − a)α per ogni x ∈ (a, b]. Allora ab f (x) dx converge;
b) Sia f : (a, b] → R, continua in (a, b] ed inoltre esistano c > 0, α ≥ 1 tali che f (x) ≥ c/(x − a)α per ogni x ∈ (a, b]. Allora
Rb
a f (x) dx diverge.
Dato che non è sempre semplice determinare adeguate minorazioni/maggiorazioni il seguente risultato può essere molto utile.
ig
h
Criterio 5.2 (asintotico). Siano f , g : (a, b] → R, continue in (a, b] ed inoltre f (x), g(x) > 0 per ogni x ∈ (a, b]. Allora:
R
R
f (x)
a) se ∃ limx→a+ g(x)
= ` ∈ R \ {0} si ha che ab f (x) dx converge ⇐⇒ ab g(x) dx converge ;
R
R
R
R
f (x)
b) se ∃ limx→a+ g(x)
= 0 si ha che ab g(x) dx converge =⇒ ab f (x) dx converge e che ab f (x) dx diverge =⇒ ab g(x) dx
diverge ;
R
R
R
R
f (x)
c) se ∃ limx→a+ g(x)
= +∞ si ha che ab f (x) dx converge =⇒ ab g(x) dx converge e che ab g(x) dx diverge =⇒ ab f (x) dx
diverge .
Se nel criterio precedente si utilizza un infinito fondamentale in a si ottiene il seguente:
Criterio 5.3 (dell’ordine di infinito). Siano f : (a, b] → R, continua in (a, b] ed inoltre ∃ limx→a+ f (x) = +∞. Allora:
Rb
Rb
f (x)
1/(x−a)α = ` ∈ R allora a f (x) dx converge e a | f (x)| dx converge;
Rb
f (x)
∃ limx→a+ 1/(x−a)
α = ` ∈ ((R \ {0}) ∪ {−∞, +∞}) allora a f (x) dx diverge.
Co
py
r
a) se ∃α ∈ (0, 1) per cui ∃ limx→a+
b) se ∃α ≥ 1 per cui
Analoghi criteri valgono per il caso in cui il dominio di definizione sia [a, b) o (a, b); in quest’ultimo caso si ricordi che l’integrale
su (a, b) è convergente se e solo se convergono sia l’integrale su (a, x0 ] che [x0 , b), dove x0 ∈ (a, b) è un punto fissato.
Esempi di casi in cui i criteri non si applicano e vanno studiati indipendentemente
a)
Rb
b)
R 1/2
c)
d)
e)
f)
dx
a (x−a)α
converge se e solo se α ∈ (0, 1); in tal caso
dx
0
x(− log x)γ converge se e solo
R1
0 sin(1/x) dx converge.
R 1 cos(1/x)
dx converge.
0
x
R 1 cos(1/x)
dx non converge.
0
x2
R 1 | cos(1/x)|
dx diverge.
0
x
5.4.2
se γ > 1; in tal caso
Rb
dx
a (x−a)α
R 1/2
0
=
(b−a)1−α
1−α .
dx
x(− log x)γ
=
(log 2)1−γ
γ−1 .
Integrali impropri su insiemi illimitati
Criterio 5.4 (del confronto). Siano f , g : [a, +∞) → R, continue in [a, +∞) ed inoltre 0 ≤ f (x) ≤ g(x) per ogni x ∈ [a, +∞). Si
ha che:
a) se a+∞ g(x) dx converge allora a+∞ f (x) dx converge;
R
R
b) se a+∞ f (x) dx diverge allora a+∞ g(x) dx diverge.
R
R
Come conseguenza del criterio del confronto e della nota convergenza degli integrali impropri degli infinitesimi fondamentali
abbiamo il:
Corollario 5.2 (del criterio del confronto). a) SiaR f : [a, +∞) → R, continua in [a, +∞) ed inoltre esistano c > 0, α > 1 tali che
0 ≤ f (x) ≤ c/xα per ogni x ∈ [a, +∞). Allora a+∞ f (x) dx converge.
b) Sia
f : [a, +∞) → R, continua in [a, +∞) ed inoltre esistano c > 0, α ∈ (0, 1] tali che f (x) ≥ c/xα per ogni x ∈ [a, +∞). Allora
R +∞
f (x) dx diverge.
a
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 32
Appunti sul calcolo delle primitive
p. 33
Dato che non è sempre semplice determinare adeguate minorazioni/maggiorazioni il seguente risultato può essere molto utile.
te
d
Criterio 5.5 (asintotico). Siano f , g : [a, +∞) → R, continue in [a, +∞) ed inoltre f (x), g(x) > 0 per ogni x ∈ [a, +∞). Allora:
R
R
f (x)
a) se ∃ limx→+∞ g(x)
= ` ∈ R \ {0} si ha che a+∞ f (x) dx converge ⇐⇒ a+∞ g(x) dx converge ;
R
R
R
R
f (x)
b) se ∃ limx→+∞ g(x)
= 0 si ha che a+∞ g(x) dx converge =⇒ a+∞ f (x) dx converge e che a+∞ f (x) dx diverge =⇒ a+∞ g(x) dx
diverge ;
R
R
R
f (x)
c) se ∃ limx→+∞ g(x)
= +∞ si ha che a+∞ f (x) dx converge =⇒ a+∞ g(x) dx converge e che a+∞ g(x) dx diverge =⇒
R +∞
f (x) dx diverge .
a
Si
ricordi che se f : [a, +∞) → R, continua in [a, +∞) ed inoltre ∃ limx→+∞ f (x) = ` ∈ ((R \ {0}) ∪ {−∞, +∞}) allora si ha che
R +∞
f (x) dx diverge. Pertanto, assumendo che f ammetta limite a +∞, l’unica possibilità rimanente è che f sia infinitesima a +∞.
a
Se nel criterio precedente si utilizza un infinitesimo fondamentale a +∞ si ottiene il seguente:
Criterio 5.6 (dell’ordine di infinitesimo). Siano f : [a, +∞) → R, continua in [a, +∞) ed inoltre ∃ limx→+∞ f (x) = 0. Allora:
f (x)
a) se ∃α > 1 per cui ∃ limx→+∞ 1/x
α = ` ∈ R allora
c)
a
f (x) dx converge e
R +∞
a
| f (x)| dx converge;
R +∞
f (x)
| f (x)| dx diverge;
se ∃α ∈ (0, 1] per cui ∃ limx→+∞ 1/x
α = ` ∈ ((R \ {0}) ∪ {−∞, +∞}) allora a
f (x)
se ∃α ∈ (0, 1] per cui ∃ limx→+∞ 1/x
α = ` ∈ ((R \ {0}) ∪ {−∞, +∞}) e f ha segno costante in
R +∞
f (x) dx diverge.
a
un intorno di +∞ allora
ig
h
b)
R +∞
Analoghi criteri valgono per il caso in cui il dominio di definizione sia (−∞, a] o (−∞, +∞); in quest’ultimo caso si ricordi che
l’integrale su (−∞, +∞) è convergente se e solo se convergono sia l’integrale su (−∞, x0 ] che [x0 , +∞), dove x0 ∈ R è un punto
fissato.
Esempi di casi in cui i criteri non si applicano e vanno studiati indipendentemente
a)
b)
2
x(log x)γ converge se e solo
R +∞ sin x
1
x dx converge.
R +∞ | sin x|
1
x dx diverge.
R +∞
cos(x2 ) dx converge.
R1+∞
1 cos x dx non converge.
se γ > 1; in tal caso
2
x(log x)γ
=
(log 2)1−γ
γ−1 .
Co
py
r
c)
R +∞ dx
R +∞ dx
1
1
xα converge se e solo se α > 1; in tal caso 1
xα = α−1 .
R +∞ dx
R +∞ dx
d)
e)
f)
A. Languasco
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A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
p. 34
5.5 E SERCIZI SUL CALCOLO DI P RIMITIVE E I NTEGRALI
Esercizio 5.1. Calcolare le seguenti primitive.
√
sin(
√ x) dx; (5.1.4)
√ x
x(x2 + 1)k dx, [k ∈ N]; (5.1.3)
dx;
x
2−3x
√
R
R
R
R
R
2
2
(5.1.5) xex dx; (5.1.6)
1 − x2 dx; (5.1.7) x2 ex dx; (5.1.8) x2 cos x dx; (5.1.9) sin2 x dx;
R√
R
R x
R
R log log x
dx;
(5.1.10) log x dx; (5.1.11)
ex − 1 dx; (5.1.13) sin x e−x dx; (5.1.14)
ax dx; (5.1.12)
x
R
tan x dx;
(5.1.2)
√dx ;
x 2x−1
(5.1.15)
R
(5.1.20)
(5.1.24)
R x3 +2
dx;
x2 +2
R
2x
(5.1.28)
R
(5.1.33)
R
x(x + 1/4)1/2 dx;
(5.1.37)
R
x
1−x4
R
√x
(5.1.16)
R
(5.1.21)
R dx
;
x3 −1
(x+1)(x−2)(x−1)
dx
;
1−log2 x
√
x
R
dx;
dx;
1−x2
dx;
R
R
dx;
x
dx
;
x2 (x2 +1)
R
(5.1.30)
dx
;
(1+ex )1/2
sin x cos x dx;
(5.1.26)
R √x
√
x+1
;
R
(5.1.19)
R
dx;
dx
;
sin2 x cos2 x
R
dx
;
1+cos2 x
x−3
(x2 −6x+9)2
dx.
(3x + 1)1/2 dx;
(5.1.27)
R
x
(x2 +1)2
dx; (5.1.32)
R √
(5.1.36) x3 x2 + 1 dx;
ig
h
R
√ dx
a2 −x2
dx; (5.1.31)
(5.1.35)
(5.1.39)
x2 +1
Esercizio 5.2. (a) Calcolare le seguenti primitive. Si noti che a > 0.
(5.2.a.1)
R
R sin2 x−cos2 x
R ex −1
dx; (5.1.23)
dx;
e2x +ex +1
sin2 x cos2 x
R x2 −1
R
R sin(log x)
(5.1.34)
(5.1.38)
(5.1.18)
(5.1.22)
(5.1.25)
(5.1.29)
dx
;
a2 −x2
R
(5.1.17)
R
te
d
(5.1.1)
R
R
R x3
dx;
x2 −1
R
cot x dx; (5.2.a.2) tan x dx; (5.2.a.3) sin(ax) dx; (5.2.a.4) cos(ax) dx
R√
R dx
R
R
√
√ x dx; (5.2.a.8)
√ x dx.
(5.2.a.5)
x dx; (5.2.a.6)
; (5.2.a.7)
x+a
2
2
x +a
(b) Calcolare le seguenti primitive.
(5.2.b.1)
R
dx
;
(3+5x)6
(5.2.b.5)
R
√
x
2−3x2
(5.2.b.2)
R√
x + 2 dx;
dx.
R
(5.2.b.3)
a−x
dx
;
(2x+1)1/4
(5.2.b.4)
R √
x 3 − 2x2 dx;
(c) Calcolare le seguenti primitive. Si noti che a ∈ R.
R arcsin2 x
2 1/2 dx;
(5.2.c.1)
(5.2.c.2)
R
dx
;
(arcsin x)(1−x2 )1/2
n
(5.2.c.3)
Co
py
r
(1−x )
log x
log x
(5.2.c.5)
x dx; (5.2.c.6)
x dx; (5.2.c.7)
(gli ultimi due vanno risolti con le formule di bisezione).
R
R
R
dx
x logn x ;
R
dx
(1+x2 ) arctan x
(5.2.c.8)
R
(5.2.c.4)
dx
1+cos(x+a) ;
R
dx
x log x ;
(5.2.c.9)
R
dx
1−cos(x+a) .
Esercizio 5.3. Calcolare i seguenti integrali indefiniti con uno dei seguenti metodi: decomposizione in somma, per parti, per
sostituzione. A calcolo terminato si esegua la verifica del risultato ottenuto.
R
R
R cos x
R
2x (5.3.1) (x + 1)e2x dx; (5.3.2) log |x − 1| dx; (5.3.3)
log 1+x
dx;
sin x dx; (5.3.4)
√
R x2 −2
R 1
R√
(5.3.5)
2 − x2 dx (con la sostituzione x = 2 sint).
dx; (5.3.6)
1−x dx; (5.3.7)
1+x2
Esercizio 5.4. Calcolare, con la sostituzione suggerita tra parentesi, i seguenti integrali indefiniti. A calcolo terminato si esegua la
verifica del risultato ottenuto.
sin x+cos x
x
(log(x + 1))2 dx (t = log(x + 1) = g−1 (x)); (5.4.2)
1+cos x dx (t = tan 2 );
R 1−cos x
R√
x
(5.4.3)
ex − 1 dx; (ex − 1 = t 2 . . .t ≥ 0);
sin x dx (t = tan 2 ); (5.4.4)
√
√
R
x+1
√
(5.4.5)
dx; (t = x + 1 = g−1 (x)).
1+x+ x+1
(5.4.1)
R
R
2
Esercizio 5.5. (5.5.a) Si consideri la funzione integrale F(x) = 0x e(sint) dt e si ponga G(x) = F(x) − x.
(5.5.b) Si provi che G0 (0) = 0 (è consigliabile risolvere senza tentare di calcolare esplicitamente F).
(5.5.c) È vero che G(x) è crescente dove è definita?
(5.5.d) È vero che 0 è punto di minimo per G(x)?
R
R
Esercizio 5.6. Al variare di a ∈ R calcolare x cos(2x + a)dx.
Esercizio 5.7. Calcolare
(5.7.1)
R dt
sint ;
(5.7.5)
Rp
(5.7.2)
√
1 + x dx;
R
(5.7.9) earctan x
A. Languasco
x
(1+x2 )3/2
R
(2t + 1)e3t−1 cos(2t − 4) dt;
(5.7.6)
x )
R log( x+3
(2x+7)2
dx;
(5.7.7)
(5.7.3)
R
R 3 2x2 +3
x e
dx;
(5.7.4)
√
(x − 9) cos( 2x − 4 + 2) dx;
R q ex −1
4 dx;
(5.7.8)
R
x arctan x dx;
dx.
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Appunti sul calcolo delle primitive
p. 35
Esercizio 5.8. (5.8.a) Della funzione integrale, definita, per x ∈ R da: G(x) =
minimi relativi, studiando il segno di G0 (x).
(5.8.b) Si provi che G(0) > 0 e che m = 0 è il minimo assoluto per G in R.
R ex2 −1
1
arctan(logt)dt, si determinino i massimi e
Esercizio 5.9. Si consideri la curva Γ di equazione x2 + 2y2 − 2 = 0.
(5.9.a) si descriva la curva suddetta e si scrivano le equazioni delle rette tangenti alla curva passanti per P = (0, 2).
(5.9.b) Si calcoli l’area della parte di piano contenuta nel primo e secondo quadrante, compresa tra la curva Γ e le (due) rette
tangenti determinate in (a).
te
d
Suggerimento: √
la parte di piano descritta è simmetrica rispetto all’asse y; per il calcolo dell’integrale si utilizzi la
sostituzione x = 2 sint.
Esercizio 5.10. (5.10.a) Della funzione integrale, definita, per x ∈ R da: G(x) =
e minimi relativi, studiando il segno di G0 (x).
(5.10.b) Si provi che G(0) > 0 e che m = 0 è il minimo assoluto per G in R.
Rx
Esercizio 5.11. Si consideri la funzione integrale: F(x) = ecost dt.
0
R e4x2 −1
1
arctan(logt)dt, si determinino i massimi
ig
h
(5.11.a) Si calcolino F 0 (x), F 00 (x) ed F 000 (x).
(5.11.b) Si provi che F(x) è crescente su tutto R e se ne determini la concavità e convessità.
Esercizio 5.12. Calcolare i seguenti integrali indefiniti. A calcolo terminato si esegua la verifica del risultato ottenuto.
(5.12.1)
R x3 +2x
dx;
x2 −1
(5.12.2)
R x3 +2x
(5.12.5)
dx;
1+x2
R x2 +2x
dx;
(x−1)3
(5.12.3)
R
1
x2 +x+1
dx;
(5.12.4)
R
x3 +2
(x−1)2 (x2 +1)
dx;
R 2x4 +x2 −1
(5.12.6)
dx.
x3 +1
Esercizio 5.13. Determinare per quali a ∈ R la funzione F(x) =
Rx
3
√
logt t 2 − 4 dt è invertibile per ogni x ∈ [2, +∞). Calcolare poi nel punto
Co
py
r
Esercizio 5.14. Verificare che la funzione F(x) =
y = 0 la derivata della sua funzione inversa.
R 1 logt
− a log2 t) dt sia convessa per ogni x ∈ (0, 1).
x (t
Esercizio 5.15. Per ogni x ∈ R, stabilire convessità/concavità della funzione F(x) =
R x R s t2
2
0 0 e arctan(t ) dt ds.
5.6 I NTEGRALI DEFINITI
Esercizio 5.16. Calcolare i seguenti integrali definiti:
(5.16.1)
π/2
R
e2x sin x dx [=
0
2eπ +1
5 ];
(5.16.2)
√
R0
3x + 2 dx [= 4 − 54 3 5]; (5.16.3)
R2 √
3
1
−3
dx
x2 +3x−4
[= − 52 log 4].
Esercizio 5.17. Calcolare i seguenti integrali definiti.
(5.17.1)
R2 √
4 − x2 dx
(x = 2 sint) [= π];
(5.17.2)
0
(5.17.3)
0
(5.17.4)
0
1
sin x
dx
(t = tan(x/2)) [= log 3];
π/3
π/3
R
R1
2π/3
R
1
cos x
dx
√
(t = tan(x/2)) [= log(2 + 3)];
√
√
√
√
√
x + 1 + x2 dx
1 + x2 = t − x ⇒ t = x + 1 + x2 . . . [= 12 (1 + 2 + log(1 + 2)].
Esercizio 5.18. Calcolare l’area compresa tra la curva di equazione y = f (x) =
√
x = 1/ e.
x−1
,
x(x2 +1)
l’asse x e le rette di equazioni x =
√
e,
√
Re
√
√
Suggerimento: f (x) ≥ 0 per x ∈ [1, e] e f (x) ≤ 0 per x ∈ [1/ e, 1]; quindi l’area da calcolare è √ | f (x)| dx. L’area cercata
1/ e
vale log(1 + e) − 21 + log 2.
Esercizio 5.19. Calcolare l’area dell’ellisse di equazione
x2
a2
2
+ by2 = 1.
Suggerimento: L’area da calcolare è il doppio dell’area sottesa dalla semiellisse y = f (x) =
A. Languasco
b
a
√
a2 − x2 , x ∈ [−a, a].
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Esercizio 5.20. Calcolare i seguenti integrali definiti.
(5.20.1)
R2 et (et −1)
e2t −1
1
(5.20.5)
R2
0
dt;
1/2
R
(5.20.2)
0
2
t
t e1+t + 1+t
3 dt;
2x
(x−1)(x−3)
dx;
R1 x+2
dx;
x2 +1
(5.20.3)
0
π/2
R
(cos x) log(1 + sin x) dx;
(5.20.6)
R4
(5.20.4)
arctan
1
R1
(5.20.7)
0
0
x+1
|x|
log(arctan x+1)
(1+x2 )(arctan x+1)2
dx;
dx.
Esercizio 5.21. Calcolare i seguenti integrali definiti.
−2
x2 +9
R3
(5.21.2) (x2 + 4x) log2 x dx;
dx;
R10 arctan x
(5.21.3)
2
x3
3
dx;
Esercizio 5.22. Calcolare i seguenti integrali definiti.
R2
|2t 2 − 3| dt;
0
(5.22.5)
R1
(5.22.3)
0
R2 dx
R1 x2 +x+1
√ √
dx;
(5.22.6)
2
4 ;
x −x+1
R1
−1
(5.22.13)
tan x dx;
−π/4
−1
(5.22.9)
π/4
R
(5.22.2)
R2
x− x
1
x3
2−x2
dx;
(5.22.10)
sin(log x) dx;
R2 √x+1
√
2
1 x +x
(5.22.14)
1
R3
dx;
(5.22.7)
R3 x+3
2
(5.22.11)
ex
R1
0
x
1+x2
dx;
dx;
(5.22.8)
dx.
R1
(5.22.4)
(x + |x|) dx;
−1
2π+1
R
sin2 (2x + 2) dx;
1
2
x
√
;
3
1+2x
(5.22.12)
Rπ 3
x sin(2x2 ) dx;
0
ig
h
(5.22.1)
(5.21.4)
√ √
R e 1−log2 x
x
1/e
te
d
(5.21.1)
R0 |x+1|
2
(x3 + x)ex dx.
1
Esercizio 5.23. Calcolare l’area della parte di piano compresa tra l’asse x, le rette di equazioni: x = 1 ed x = e2 e la curva di
x)3 +2(log x)+4
equazione y = g(x), dove g(x) = (logx[(log
.
x)2 +1]
Esercizio 5.24. Calcolare
2
arctan
R e
log(tan x)
(cos x)2
dx.
π/2
R
Co
py
r
π/4
Esercizio 5.25. Calcolare l’integrale definito:
0
(sin x)3 +4(sin x)+1
(sin x)2 +4
cos x dx.
Suggerimento: Si noti che, dopo una opportuna sostituzione, si ottiene un integrale di funzione razionale. . .
Esercizio 5.26. Calcolare l’area della regione piana contenuta nel primo quadrante e compresa tra l’ellisse di equazione x2 +
3y2 − 3 = 0 e la retta per P(0, 2) tangente all’ellisse.
Esercizio 5.27. Sia data la curva di Γ equazione y =
√
sin x cos2 x
1+sin x .
(5.27.a) Si calcoli l’area della parte di piano compresa tra l’asse x, la curva Γ e le rette x = 0 e x = π2 .
(5.27.b) Provare che la retta tangente in π2 − alla curva Γ ha coefficiente angolare −1/2 e calcolare il valore dell’area compresa tra
la curva, la retta tangente e la retta di equazione x = 0.
Esercizio 5.28. Sia g(x) = 1 + x2 arctan x. Valutare l’area della regione piana contenuta nel primo quadrante e compresa tra la
retta passante per i punti P1 = (1, 0) e P2 = (0, 1), la curva di equazione y = g(x) e la retta x = 1.
Esercizio 5.29. (5.29.a) Scrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y e passante per i punti P1 = (0, 0),
P2 = (2, 0) e P3 = (1, log 2).
(5.29.b) Sia g(x) = x3 log(x + 1). Calcolare tutte le primitive (l’integrale indefinito) di g(x). c) Valutare l’area della regione piana
contenuta nel primo quadrante e compresa tra la parabola di cui al punto 3a) e la curva di equazione y = g(x).
Esercizio 5.30. Sia g(x) =
3 sin x−1
1−cos x .
(5.30.a) Calcolare tutte le primitive (l’integrale indefinito) di g(x) (si utilizzi la sostituzione tan(x/2) = t).
(5.30.b) Si dica, motivando la risposta, se esiste l’integrale generalizzato di g(x) esteso all’intervallo [0, π/2].
Esercizio 5.31. (5.31.a) Calcolare tutte le primitive (l’integrale indefinito) di h(x) =
log x
.
(x−2)2
Suggerimento: Si inizi con una integrazione per parti per ridursi ad un integrale di funzione razionale. . .
(5.31.b) Calcolare l’area della regione piana compresa tra il grafico di h(x), la retta di equazione y = −x + 1 e le rette di equazioni
x = 1/2 e x = 1.
Suggerimento: Si noti che h(x) ≤ 0 nell’intervallo considerato.
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 36
Appunti sul calcolo delle primitive
Esercizio 5.32. Sia g(x) =
p. 37
ex −1
.
1+e2x
(5.32.a) Calcolare tutte le primitive (l’integrale indefinito) di g(x) (si consiglia di utilizzare la sostituzione t = ex ).
(5.32.b) Dopo aver determinato l’equazione cartesiana della retta r tangente alla curva y = g(x) nel punto di ascissa x = 0, si
calcoli l’area della regione piana del primo quadrante, compresa tra la retta r, la curva y = g(x) e la retta di equazione
x = 1/2. (Si tenga conto del fatto che la retta r si trova sotto la curva nell’intervallo considerato).
1
.
1−(log x)2
Esercizio 5.33. Sia g(x) = √
x
Esercizio 5.34. Sia g(x) =
te
d
(5.33.a) Calcolare tutte le primitive (l’integrale indefinito) di g(x) per x ∈ (1/e, e).
(5.33.b) Osservando che g0 (1) = −1 si scriva l’equazione cartesiana della retta r tangente alla curva di equazione y = g(x) nel
punto di ascissa x = 1. √
Si calcoli inoltre l’area della regione piana compresa tra la retta r, la curva y = g(x) e le rette di
equazione x = 1 e x = e (Sugg.: si tenga conto che la retta r si trova "sotto" la curva di equazione y = g(x)).
(sin x)3
.
1+(cos x)2
ig
h
(5.34.a) Calcolare tutte le primitive (l’integrale indefinito) di g(x) per x ∈ [0, π] (Sugg. : porre t = cos x ...).
(5.34.b) Si calcoli l’area della regione piana compresa tra l’asse delle ascisse, la curva y = g(x) e le rette di equazione x = 0 e
x = π/2.
(5.34.c) Si scriva, senza calcolarlo, l’integrale definito che rappresenta il volume del solido generato dalla rotazione intorno
all’asse x della curva di equazione y = g(x), con x ∈ [0, π/2].
Esercizio 5.35. Si calcoli l’area della parte di piano compresa tra la curva di equazione y =
= e−1/2 .
= e1/2
x−1
,
x(1+x2 )
l’asse x e le rette di equazione
x
ex
Suggerimento: Le ordinate dei punti della curva cambiano segno nell’intervallo considerato.
Esercizio 5.36. Si consideri la curva Γ di equazione x2 + 3y2 − 3 = 0.
Co
py
r
(5.36.a) si descriva la curva suddetta e si scrivano le equazioni delle rette tangenti alla curva passanti per P = (0, 2).
(5.36.b) Si calcoli l’area della parte di piano contenuta nel primo e secondo quadrante, compresa tra la curva Γ e le (due) rette
tangenti determinate in (a).
Suggerimento: La
√ parte di piano descritta è simmetrica rispetto all’asse y; per il calcolo dell’integrale si utilizzi la
sostituzione x = 3 sint.
5.7 I NTEGRALI IMPROPRI ( O GENERALIZZATI )
Esercizio 5.37. Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri e, se possibile, calcolarne il valore.
(5.37.1)
(5.37.6)
+∞
R x3 +1
x4
1
+∞
R
1
R1
(5.37.10)
dx;
1
dx
;
1+4x2
√ dt
1−t 2
0
+∞
R
(5.37.2)
(5.37.7)
+∞
R
1
log(x2 +1)
x
arctan(x)
√
x x−1
dx;
+∞
R
(5.37.3)
1
dx;
dx
;
x2 +x
1
R2 1+e−x
dx;
x2 −3x+2
(5.37.8)
+∞
R
(5.37.4)
(5.37.9)
1
√ dx
;
x(1+x)
+∞
R
3
1+e−x
x2 −3x+2
(5.37.5)
R1
0
√ dx
;
x(1+x)
dx;
.
Esercizio 5.38. Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri e, se possibile, calcolarne il valore.
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
R x2
R
R 1
R 1q x
R
1√
√1
(5.38.1)
dx;
(5.38.2)
dx;
(5.38.3)
dx;
(5.38.4)
dx;
(5.38.5)
x
3
5
xe
1+x
1+ x
x
1+x
(5.38.6)
0
+∞
R
2
3−x
1+x2
dx;
0
+∞
R
(5.38.7)
2
0
e−x
sin(1/x)
dx;
(5.38.8)
+∞
R
3
2x
(x−1)1/2 (x−3)2
dx;
1+x2
−∞
1
(5.38.9)
+∞
R
1
log(x2 (1+x))
(1+x)2
dx;
dx.
Esercizio 5.39. Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri e, se possibile, calcolarne il valore.
(5.39.1)
1/e
R
0
(5.39.6)
Rπ 1+tan x
0
(5.39.11)
dx
;
x log2 x
1−tan x
R1
0
dx;
(5.39.2)
0
(5.39.7)
2x
√cos x
sin x
R1 sin x
0
(x−1)1/2 (x−3)
A. Languasco
π/6
R
x
dx; (5.39.12)
dx;
(5.39.3)
R1 3x2 +2
0
dx;
(5.39.8)
x2/3
R2 dx
√ ;
1− x
dx;
(5.39.4)
0
(5.39.9)
0
1/4
R
0
√ √dx
;
x 2x+1
R1
(5.39.13)
R1 √x
0
R2 e√x −1
0
sin x
sin x
dx;
dx
;
x2 −4x+3
dx;
0
(5.39.10)
R1
0
(5.39.14)
R1 log(x2 (1+x))
(5.39.5)
(1+x)2
2x
(x−1)(x−3)
dx;
dx;
R1 1+cos x
3 3/4 dx.
0
(1−x )
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 37
A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
p. 38
Esercizio 5.40. Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri e, se possibile, calcolarne il valore.
+∞
R
−π
(5.40.6)
+∞
R
2
R1
(5.40.10)
0
x
ex +1
log(2x)
2x−1
π/4
R
(5.40.18)
0
+∞
R
(5.40.22)
0
0
dx
sin x ;
(5.40.11)
+∞
R
dx;
+∞
R
(5.40.15)
−∞
dx
√
;
cos2 x 1−tan x
x1/4 +2
x1/2 (x1/2 +1)2
dx;
0
dx;
(5.40.23)
0
sin
x
√
3x
+∞
R
(5.40.12)
0
+∞
R
(5.40.16)
π/2
R
(5.40.4)
π/2
R
(5.40.8)
dx;
dx
;
x2
(5.40.19)
dx
;
x2 −x+1
−π/2
xα
(x−1)α
0
R1
(5.40.3)
+∞
R √x+1
√
√
x3 + x
0
(5.40.7)
√ dx
;
tan x−x
0
+∞
R
(5.40.2)
√ dx ;
x+20
1/2
R
(5.40.14)
dx;
dx;
(5.40.9)
2
dx
(1−ex )α
0
+∞
R
R1
(5.40.17)
(5.40.20)
+∞
R
0
e−1/x log x
+∞
R
(5.40.5)
1
π/2
R
dx
;
x2 −x+1
dx;
tan x dx;
−π/2
0
[α > 0];
dx;
x
1−cos x
(5.40.13)
−∞
R1
R1
0
dx
;
e−x +3ex
e−x dx;
log(1+x)
sin x
dx.
0
2
dx
;
(x−arctan x)2
te
d
(5.40.1)
xα
log x
dx [α ∈ R] ;
(5.40.21)
R1 −1/x2
e
log x dx;
0
e −1
Esercizio 5.41. Si calcoli, se esiste, l’integrale improprio −1
(log(1 + x))2 dx.
Suggerimento: La funzione integranda non è definita nell’estremo inferiore di integrazione; si consiglia di sostituire log(1 + x) = t
osservando che t → −∞ per x → −1.
ig
h
R
2
Esercizio 5.42. Si calcoli, se esiste, l’integrale improprio 1e +1 (log(x − 1))2 dx.
Suggerimento: la funzione integranda non è definita nell’estremo inferiore di integrazione; si consiglia di sostituire log(x − 1) = t
osservando che t → −∞ per x → 1.
R
Esercizio 5.43. Discutere la convergenza di
(5.43.1)
Re
1
√ 1
x 1−log x
dx;
+∞
R
(5.43.2)
2/π
sinh(1/x)
x4
dx;
(5.43.3)
+∞
R
0
arctan(1/x)
√
√
√ √
x 1+x( x+2− x+1)
dx.
Co
py
r
Esercizio 5.44. Al variare di α nell’intervallo specificato, discutere la convergenza di
(5.44.1)
(5.44.4)
R1
cos x
sin(xα +x2 )
0
+∞
R
2
1
x
dx, [α ≥ 0];
+∞
R
(5.44.2)
2
i2
h
dx, [α > 0];
1 − cos log1α x
6x2α
(x−1)2 (x2 +xα +1)
(5.44.5)
R3
2
dx, [α ∈ R];
R4 (x−1) sin((x−3)α )
(5.44.3)
3
dx
,
(x2 −5x+6) logα (3−x) logα−2 (x−1)
(x−3)2 ex log2 (x−3)
dx, [α ∈ R];
[α ∈ R].
Esercizio 5.45. Al variare di α ∈ R, discutere la convergenza dei seguenti integrali. Calcolarli poi nel caso α = 1.
(5.45.1)
+∞
R
0
3−eαx
e2x +3
dx;
(5.45.2)
+∞
R
1
1−α
(1+x3 )√
x2−α (log2 x+2 2 log x+2)
Esercizio 5.46. Per quali α ∈ R converge
R1
0
dx.
dx
.
(x+x2 −sin x)α
Esercizio 5.47. Calcolare
Rx
Rx t 2
e log(1 + t 2 ) dt;
(5.47.2)
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
x→0
0
lim
x→+∞ 0
(5.47.3)
lim
y→+∞
1
Ry x2
(e + ex + 1) dx.
(5.47.1) lim x12 et log(1 + t) dt;
2
ey +ey +1
0
p. 38
Formula di Taylor
p. 39
C APITOLO 6
F ORMULA DI TAYLOR
te
d
6.1 S VILUPPI DI M ACLAURIN ( PIÙ USATI )
In generale se f ammette n derivate nel punto x0 allora la formula di Taylor di ordine n nel punto x0 con resto di Peano diviene
n
f (x) =
∑ f (k) (x0 )
k=0
(x − x0 )k
+ o (x − x0 )n per
k!
x → x0 .
Se inoltre se f è derivabile n + 1 volte in (x0 , x) (o (x, x0 )) , si può scrivere la formula di Taylor di ordine n nel punto x0 con resto
di Lagrange, ossia
n
f (x) =
∑ f (k) (x0 )
k=0
(x − x0 )k
+ R f ,x0 ,n (x),
k!
dove R f ,x0 ,n (x) = f (n+1) (x)
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
n
ex =
xk
∑ k! + o
k=0
n
sin x =
x2k+1
∑ (−1)k (2k + 1)! + o
k=0
n
cos x =
xn ;
∑ (−1)k
x2n+2 ;
x2k
+ o x2n+1 ;
(2k)!
Co
py
r
k=0
ig
h
e x ∈ (x0 , x) (o x ∈ (x, x0 )).
Nel caso particolare in cui x0 = 0 la formula di Taylor con resto di Peano viene anche detta formula di Maclaurin. Di seguito
elenchiamo alcune di tali formule per alcune funzioni di base.
x3
2
17 7
62 9
+ x5 +
x +
x + o x10 ;
3 15
315
2835
n
x2k+1
sinh x = ∑
+ o x2n+2 ;
k=0 (2k + 1)!
tan x = x +
n
cosh x =
x2k
∑ (2k)! + o x2n+1 ;
k=0
x3
2
17 7
62 9
+ x5 −
x +
x + o x10 ;
3 15
315
2835
n
xk
log(1 + x) = ∑ (−1)k+1 + o xn ;
k
k=1
i
n h
α k
α
α(α − 1)(α − 2) . . . (α − k + 1)
α
α
n
con α ∈ R e k 6= 0:
:=
(1 + x) = ∑
x +o x
e
:= 1 ;
k
k!
0
k=0 k
tanh x = x −
n
arctan x =
k=0
n
arctanh x =
x2k+1
∑ (−1)k 2k + 1 + o
x2k+1
∑ 2k + 1 + o
x2n+2 ;
x2n+2 .
k=0
6.2 E SERCIZI SULLA FORMULA DI TAYLOR
Esercizio 6.1. Determinare la formula di Taylor con resto di Peano nel punto x0 e fino all’ordine n indicati:
(6.1.1) ex , (x0 = −1, n = 3); (6.1.2) sin x, (x0 = π/2, n = 5); (6.1.3) 2 + x + 3x2 − x3 , (x0 = 1, n = 2);
(6.1.4) log x, (x0 = 2, n = 3).
Esercizio 6.2. Determinare la formula di Maclaurin con resto di Peano
n indicato:
√ fino all’ordine
√
(6.2.1) log(1 + 3x), (n = 3); (6.2.2) cos x2 , (n = 10); (6.2.3)
1 + x − 1 − x, (n = 3);
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 39
A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
3
(6.2.4) sin(x2 ) − sinh(x2 ), (n = 6);
(6.2.7) (e−x − 1)3 , (n = 4).
(6.2.5) ex − 1 − sin(x3 ), (n = 12);
p. 40
(6.2.6) (e3x − 1) sin(2x), (n = 4);
Esercizio 6.3. Determinare la formula di Maclaurin con resto di Peano fino all’ordine n indicato:
(6.3.1) √
log(1 + sin x), (n = 3); (6.3.2) log(cos x), (n = 4); (6.3.3) 1/(1 + x + x2 ), (n = 4);
(6.3.4)
cosh x, (n = 4) .
Esercizio 6.4. Determinare la formula di Maclaurin con resto di Peano di f (x) = e2x+3 .
Esercizio 6.6. Determinare, se esiste, l’ordine di infinitesimo per x → 0 di (x − sin x) tan2 x,
√
2x3 −1
x → +∞ di √
, 1 + x + cos x.
3
x +1
Esercizio 6.7. Determinare, se esiste, l’ordine di infinitesimo o di infinito di
per x → 0.
x
x−tan x ,
2
x + e−1/x .
te
d
Esercizio 6.5. Determinare, se esistono, l’ordine di infinitesimo o di infinito per x → 0 di x − sin x, ex − 1 − x,
1
tan |x−a|
p
3
ex log(1 + x) e di infinito per
per x → a, sin x − 1 per x → π/2,
√
x2 − x3 , (ex − cos x)2 + x4 , (x − tan x)2 +
ig
h
Esercizio 6.8. Determinare, se esiste, l’ordine di infinitesimo o di infinito per x → 0 di
1
.
log(1 + x) − x2 , √1+x−1−x
1√
sin x+ |x|
Esercizio 6.9. Al variare di k ∈ R, valutare, usando la formula di Taylor con resto di Peano, l’ordine di infinitesimo
(a) per x → 0 di: (6.9.a.1) ex + ke−x ;
2
(6.9.a.3) log(1 + x) + k arctan(x) + x2 ;
√
(6.9.b.2) sin(1/ x)3k .
(6.9.a.2) cos x − 1 − kx2 ;
2
(b) e per x → +∞ di: (6.9.b.1) e1/x − 1 + kx−2 ;
Esercizio 6.10. Valutare, usando la formula di Taylor con resto di Peano, l’ordine di infinitesimo
√
(a) per x → 0 di: (6.10.a.1) sin x − x cos √x3 ; (6.10.a.2) cosh2 x − 1 + 2x2 ;
(b) e per x → +∞ di: (6.10.b.1) e1/x − esin(1/x) .
Co
py
r
Esercizio 6.11. Determinare un polinomio p(x) tale che f (x) = tan(x) − arctan(x) − p(x) sia infinitesima di ordine maggiore di 3
per x → 0.
Esercizio 6.12. Calcolare la formula di Maclaurin di f (x) = log(cos x).
Esercizio 6.13. Calcolare i seguenti limiti:
3
(6.13.1)
ex −1−x3
;
x6
lim
x→0+
x2
(6.13.5) lim e
x→0
(6.13.8)
lim
x→0+
(6.13.2)
lim
x→0+
sin x−x+x3 /6
;
x5
(6.13.3)
−cos x−(3/2)x2
;
x4
1−cos(kx)+x2 /2
√
sin( x)+x4
lim
x→0+
x2
x sin x−xex +x2 cos x
;
x3
√arctan x)+1−e ; (6.13.7) lim
(6.13.6) lim log(1+x
x→0
x→0
1+2x4 −1
1
2
(k ∈ R); (6.13.9) lim x − x log(1 + sin x ) .
(6.13.4) lim e
2
51+tan x −5
1−cos x
x→0
x −1+log(1−x)
tan x−x
;
;
x→+∞
√
2
Esercizio 6.14. Date f (x) = ex e g(x) = 3 + x, scrivere i loro polinomi di Taylor T3, f ,1 (x) T3,g,1 (x) di grado 3 con centro in
x0 = 1. Usare poi il Teorema di Peano per calcolare:
lim
x→1
f (x) − T3, f ,1 (x)
(x − 1)3
e
lim
x→1
g(x) − T3,g,1 (x)
.
(x − 1)3
Esercizio 6.15. Sia data f (x) = ecos x . Scrivere la formula di Taylor relativa a f con centro in x0 = π4 , di grado 2 e resto R2 (x)
nella forma di Lagrange. Dimostrare poi che |R2 (x)| <
π3
32
per ogni x ∈ [0, π2 ].
Esercizio 6.16. Per ognuna delle funzioni f , g dell’Esercizio 6.14, scrivere i polinomi di Maclaurin di grado 3. Per la funzione f
dell’Esercizio 6.15, scrivere i polinomi di Maclaurin di grado 2.
Esercizio 6.17. Determinare un polinomio p(x) tale che |xe−x − p(x)| ≤ 10−2 per ogni x tale che |x| ≤ 1.
Esercizio 6.18. Calcolare:
(6.18.1) tan(3/4)
a meno di 10−4 ; (6.18.2)
di 10−2 ; (6.18.3) e0.002 a meno di 10−9 ;
√ log(1.2) a meno
√
3
−3
−3
(6.18.4)
28 a meno di 10 ; (6.18.5)
1.1 a meno di 10 ; (6.18.6) log(2.5) a meno di 10−4 .
Esercizio 6.19. Sia data f (x) = ex cos x. Calcolare f (0.4) a meno di 10−2 .
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 40
Formula di Taylor
p. 41
Esercizio 6.20. Determinare un polinomio p(x) che approssimi log(1 + x2 )/x a meno di 10−2 per ogni x ∈ (0, 1/3).
Esercizio 6.21. Determinare un polinomio p(x) che approssimi
√
x a meno di 10−2 per ogni x ∈ [10, 11].
Esercizio 6.22. Determinare δ > 0 e un polinomio p(x) di secondo grado che approssimi f (x) = x sin2 x a meno di 10−3 per ogni
x ∈ [0, δ ].
Esercizio 6.23. Determinare n ∈ N in modo che 1 approssimi f (x) =
per x ∈ [1/2, 10].
R 2 cos(1+t)
x2
1+t
√
dt. Dopo aver calcolato F( 2), si scriva il polinomio di Taylor di secondo grado per F,
te
d
Esercizio 6.24. Sia F(x) =
√
relativo al punto x0 = 2.
√
n
x a meno di 10−2 per ogni x ∈ [1, 10]. Stesso problema
Esercizio 6.25. Si scriva la Formula di Taylor di grado 3 e x0 = 0 per le seguenti funzioni integrali (si utilizzi il Teorema
Fondamentale del Calcolo Integrale).
Rx
Rx
(6.25.1) F(x) = ecost dt;
(6.25.2) F(x) = esint dt − x.
0
0
Esercizio 6.26. Sia G(x) =
Rπ cost
Rz cost
2
t dt. Dopo aver osservato che G(x) = −F(x ), dove F(z) =
t dt, si risponda alle seguenti
x2
ig
h
π
domande.
(6.26.a) Utilizzare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (e la regola di derivazione delle funzioni composte) per
calcolare G0 (x).
√
√
(6.26.b) Calcolare G( π) e scrivere il polinomio di Taylor di G, centrato in x0 = π, e avente grado 2.
Esercizio 6.27. Si consideri la funzione integrale F(x) =
R 2x 1−cos πt
dt.
1
t2
Co
py
r
(6.27.a) Calcolare F 0 (x) per ogni x 6= 0.
(6.27.b) Scrivere il polinomio di Taylor per F(x), di grado 2 e centro in x0 = 1/2.
Esercizio 6.28. Si calcoli
R π/2
0
x−1
dx.
cos x (sin x)sin2 −sin
x−2
R arctan(x+1) −(tant)2
e
dt.
π/4
Esercizio 6.29. Sia data la funzione integrale G(x) =
(6.29.a) Scrivere i primi tre termini della serie di Maclaurin associata a G(x).
(6.29.b) Determinare concavità e convessità di G(x) mediante lo studio di G00 (x), per ogni x ∈ R.
Esercizio 6.30. Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 3 di
Rx
2
(6.30.1) F(x) = sint et dt;
R0
(6.30.2) G(x) = cost arctant dt;
(6.30.3) H(x) =
sint + t 2 + 1 dt.
−x
x
0
Rx √
Rx
2
Esercizio 6.31. Determinare un polinomio p(x) che approssimi f (x) = e−t dt a meno di 10−2 per ogni x ∈ [0, 1/2].
0
p
Esercizio 6.32. Calcolare l’ordine di infinitesimo/infinito di f (x) = x2 ( 1 + 1/x − 1) + x(10)− log x + 2(log x)10 per x → +∞.
Esercizio 6.33. Calcolare l’ordine di infinitesimo/infinito di f (x) = ex − esin x per x → 0.
Esercizio 6.34. Calcolare
xx − xsin x
.
x→0+ x(log(1 + x) − x)
lim
Esercizio 6.35. Calcolare
lim
log(1 + arcsin x)
x→0
x2
−
−1
1 1
.
sin x tan x − sin x
Esercizio 6.36. Calcolare
2
e−1/x log x + cos(arctan x) − e−x
lim
log(1 + x2 ) − sin(x2 )
x→0+
A. Languasco
2 /2
.
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 41
A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
Esercizio 6.37. Calcolare
lim
x→+∞
Esercizio 6.38. Sia a > 0. Calcolare
arctan(1 − cos 1x ) − sin 2x12
log(1 + x−2 ) − arctan(x−2 )
p. 42
.
√
sin(x2 ) + cos(log(1 + 2x)) − 1
lim
.
sin x − xa
x→0+
Esercizio 6.39. Sia a 6= 0. Calcolare
(1 + sin x)a − log(1 + ax) + e−1/x − 1
.
x→0+ tanh(x2 − x3 ) + sin(x − x2 ) − tan(x + x2 )
te
d
lim
Esercizio 6.40. Calcolare l’ordine di infinitesimo di 1 − tan( π4 x) per x → 1. Calcolare poi
Co
py
r
ig
h
1 − tan( π4 x)
lim .
2
x→1 sin(x − 1) + e(x−1) cos(x − 1)
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
p. 42
Esercizi sulle Serie Numeriche
p. 43
C APITOLO 7
E SERCIZI SULLE S ERIE N UMERICHE
(7.1.1) an =
(7.1.4) an =
log n
, (p = 32 ); (7.1.2)
n2
1
π n −nπ , (p = π).
an =
log n
n ,
(p = 1);
(7.1.3) an =
te
d
Esercizio 7.1. Dopo averne controllato l’applicabilità, utilizzare il Criterio degli Infinitesimi (usando l’esponente suggerito) per
stabilire il carattere delle serie seguenti il cui termine generale è indicato.
1
log(3n) ,
(p = 1);
Esercizio 7.2. Dopo averne controllato l’applicabilità, utilizzare il Criterio degli Infinitesimi oppure il Criterio del Confronto per
stabilire il carattere delle serie seguenti:
(7.2.5)
∑
n
n4 −2
;
n=3
+∞ n
cos2 n
∑ e 1+π
n
n=0
(7.2.2)
+∞ 2
;
∑ nn3 +1
+1
n=0
√
n
+∞
(7.2.3)
∑
n=0
+∞
n2 +n+1
(cfr. serie geometrica di ragione πe );
;
(7.2.4)
∑
n=0
+∞
(7.2.6)
∑
n=0
1
2n (n+1) ;
1
(2n+3)2
(cfr. serie di termine
1
).
4n2
ig
h
+∞
(7.2.1)
Esercizio 7.3. Dimostrare che la serie avente termine generale an = cos n1
n
è divergente.
Esercizio 7.4. Studiare la convergenza assoluta della serie di termine generale an =
bn
n,
per b ∈ R. Studiarne poi la convergenza.
Esercizio 7.5. Studiare il carattere delle serie aventi il termine generale dato da:
(7.5.1) an = sin 1n ;
(7.5.2) an = sin n12 ;
(7.5.3) an = log(1 + n12 );
(7.5.4) an =
4n
nn ;
1
(7.5.7) an = 1n − log( n+1
n ); (7.5.8) an = (log n)n ; (7.5.9) an =
n
(7.5.10) an = 2+(−1)
; (7.5.11) an = an (x) = sin nx (al variare di x ∈ R \ {0}).
n2
1
;
n2 log n
Co
py
r
(7.5.6) an =
(7.5.5) an =
n!
nn ;
1
;
2log n
Risposta: (1), (9) e (11) sono divergenti. Le altre sono convergenti.
Esercizio 7.6. Per le seguenti serie (che sono serie geometriche o serie resto di serie geometriche), si determinino i valori di x ∈ R
per i quali esse esistono e sono convergenti. Per tali x se ne calcoli la somma.
+∞
(7.6.1)
∑ (sin x)n ;
n=1
+∞
(7.6.2)
∑ x2n−1 ;
+∞
(7.6.3)
n=1
∑ (log |x − 1|)n ; (7.6.4)
n=2
Esercizio 7.7. Sia, al variare di x ∈ R, an (x) =
4
π
+∞
∑ (1 − 2 sin x)n ;
+∞
(7.6.5)
n=2
∑
n=3
1
.
x2n
2n
arctan(1 − x2 ) .
(7.7.a) Per quali x ∈ R la serie ∑+∞
n=1 an (x) converge?
(7.7.b) Calcolare la somma della serie ∑+∞
n=1 an (x) (specificando in quale intervallo la serie è uguale alla propria somma).
(7.7.c) Per quali x ∈ R la serie ∑+∞
a
(x)/n
converge?
n=1 n
1/n − 1)2n+1 è convergente.
Esercizio 7.8. Si provi che la serie ∑∞
n=1 (n
∞ √
Esercizio 7.9. Si consideri la serie ∑ ( 1 − x2 )4n+2 .
n=1
(7.9.a) Si determini per quali x ∈ R è convergente la serie sopra scritta.
(7.9.b) Si calcoli la funzione somma della serie sopra scritta per i valori di x determinati al punto (7.9.a).
Esercizio 7.10. Per ogni a ∈ R si dica se sono convergenti o divergenti le seguenti serie (a termini non negativi): (7.10.1)
2
+∞ a/n
2n
n(a −a−2) .
; (7.10.3) ∑+∞
∑+∞
n=1 (sin(a/n)) ; (7.10.2) ∑n=0 e
n=1 e
Suggerimento: Si utilizzi uno dei criteri di convergenza, ricordando anche che il termine generale deve essere infinitesimo; va
preso in considerazione ogni valore di a.
Esercizio 7.11. Si utilizzi il criterio del rapporto per stabilire per quali x ∈ R+ la serie di termine generale an =
assolutamente.
Esercizio 7.12. Si consideri la serie ∑+∞
n=2 bn (x) dove bn (x) =
A. Languasco
1
n
n! (log x)
converge
n
2n
n+2 (log(1 + x)) .
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p. 44
(7.12.a) Per quali x ∈ R la serie converge?
Suggerimento: si noti che, nel suo dominio di esistenza, bn (x) ≥ 0.
(7.12.b) Si provi che, per x = e1/2 − 1, si ha bn (x) ≤ (1/4)n e si deduca che, per tale valore di x, si ha ∑+∞
n=2 bn (x) ≤ 1/12.
Esercizio 7.13. Si consideri, per ogni n ∈ N la curva Cn di equazione y = xn e la retta rn tangente a Cn nel punto (1, 1). Si indichi
con an l’area della parte di piano del primo quadrante compresa tra l’asse x, la curva Cn e la retta rn .
(7.13.a) Si scriva l’equazione della retta rn e si provi che an =
n−1
2n(n+1) .
te
d
Suggerimento: Si osservi che an si ottiene come differenza tra un “certo” integrale definito e l’area di un triangolo.
(7.13.b) Si provi che la serie di termine generale an è divergente.
Suggerimento: Utilizzare, ad esempio, il criterio degli infinitesimi.
Esercizio 7.14. Sia, al variare di x ∈ R, an (x) = |x2 − x + 1|n .
(7.14.a) Per quali x ∈ R la serie ∑+∞
n=1 an (x) converge?
(7.14.b) Calcolare, dove esiste, la somma di ∑+∞
n=1 an (x) e dire quanto vale tale somma per x = 1/2.
a
(x)
sin(1/n)
converge?
(7.14.c) Per quali x ∈ R la serie ∑+∞
n=1 n
Suggerimento: Si utilizzi, ad esempio, il criterio del rapporto per x 6= 0, 1. . .
ig
h
1/n −e−1/n 2 , si verifichi che il termine generale è non negativo per ogni n ≥ 1 ed infinitesimo.
Esercizio 7.15. Data la serie ∑+∞
n=1 e
Si utilizzi poi il criterio degli infinitesimi (con p = 2), per studiare la convergenza della serie.
Esercizio 7.16. Determinare il carattere di convergenza delle seguenti serie:
√
∞ √
∞
∞ q
n+1− n
n
−2n ; (7.16.5)
;
(7.16.4)
ne
;
∑
∑
n
1+n2
n=1
n=0
n=0
n=1 n n +3
n=1
∞
∞
∞
∞
√
2
n2
1
(7.16.8) ∑ n3 −log
;
(7.16.9)
∑ (1 − 1/ n)n ; (7.16.7) ∑ log( n n+1
∑
2 );
(log n)α , (α ∈ R);
n
n=1
n=1
n=1
n=2
√
∞
∞
∞
∞
3n
1
1
2n−1
∑ (n+1)√n ; (7.16.11) ∑ (√2)n ; (7.16.12) ∑ n! ; (7.16.13) ∑ n2 −n ;
n=2
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
∞ 3
2
(−1)n
∑ (1 − cos(π/n)); (7.16.15) ∑ (cos x)n , (x ∈ R); (7.16.16) ∑ log(1+1/n) ; (7.16.17) ∑ nn+3n
5 +1 ;
n=1
n=0
n=1
n=1
∞
∞
∞
(−1)n
log3 n
n
∑ n2 ; (7.16.19) ∑ (−1) (1 − n sin(1/n)); (7.16.20) ∑ x+n , (x ∈ R);
n=1
n=0
n=1
+∞
n
(sin x)
∑ (−1)n n , (x ∈ R).
n=1
∞
(7.16.1)
(7.16.6)
(7.16.10)
∞
;
(7.16.2)
∑
nen
e2n +log n
;
(7.16.3)
∑
Co
py
r
(7.16.14)
∑ √ 22
(7.16.18)
(7.16.21)
Esercizio 7.17. Studiare, al variare di a nell’intervallo indicato, la convergenza delle seguenti serie:
+∞
+∞
+∞
n
a)n
n!
a
(7.17.1) ∑ n(log
, [a > 0]; (7.17.2) ∑ (−1)n an (n+1)!−n!+3
, [a ∈ R]; (7.17.3) ∑ 1n 1+a
, [a ∈ R];
2
n2 +4
n=0
+∞
(7.17.4)
n=1
+∞
(7.17.7)
n=4
∑ logn(e−1/n − 1) − an , [a ∈ R];
∑
n=1
(−1)n
n2 +1
a2 +7a+12 n
12
, [a ∈ R];
+∞
(7.17.5)
∑
n=1
(−1)n n(a−1)
2n e
n=1
, [a ∈ R];
+∞
(7.17.6)
∑ log(1 + n3a ) , [a ∈ R];
n=1
+∞
(7.17.8)
1/3
− 1 , [a ∈ R].
∑ (−1)n 1 + n(log1 n)a
n=1
Esercizio 7.18. Sia a > 0 e an = log 1 + sin2 (1/n) − (e1/n − 1) sin(1/n) + 12 na+5 .
(7.18.a) Determinare l’ordine di infinitesimo di an per n → +∞.
(7.18.b) Studiare la convergenza della serie di termine generale bn = n2 an .
Esercizio 7.19. Sia a > 0 e an = arcsin( n1 + n12 ) − e1/n sin(1/n) + n1a .
(7.19.a) Determinare l’ordine di infinitesimo di an per n → +∞.
(7.19.b) Studiare la convergenza della serie di termine generale an .
Esercizio 7.20. Studiare la convergenza delle seguenti serie:
e1/n − 1 − log(1 + sin(1/n))
;
arctan n
n=1
+∞ log n + 2nlog n + sin n n
(7.20.b) ∑
.
3n
n=1
+∞
(7.20.a) ∑
A. Languasco
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p. 44
Esercizi sulle Equazioni Differenziali Ordinarie
p. 45
C APITOLO 8
E SERCIZI SULLE E QUAZIONI D IFFERENZIALI O RDINARIE
Esercizio 8.1. Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:
(8.1.2) y0 − 2x y = 1;
(8.1.5) y0 + y cos x = (1/2) sin(2x);
(8.1.8) yy0 + ky2 = x + 1, [k ∈ R];
(8.1.3) y0 + ϕ 0 (x)y = ϕ(x)ϕ 0 (x);
(8.1.6) y0 − x2x−1 y = x;
(8.1.9) y0 + xy = x sin(x2 );
(8.1.7) y0 − xy + logx x = 0;
(8.1.10) y0 + tany x = x3 ;
(8.1.11) (ex − 1)y0 + ex (1 + y2 ) = 0.
Esercizio 8.2. (8.2.1) Determinare tutte le soluzioni di
(8.2.2) Per quali α ∈ R il problema
x+1 0
y = y.
x2 + 1
x+1 0
y = y; y(−1) = α ammette soluzioni? Per quali α ∈ R tale problema ammette unica
x2 + 1
ig
h
soluzione ?
(8.1.4) y0 + 2xy = 2x3 ;
te
d
y
(8.1.1) y0 + 1−x
2 = x;
Esercizio 8.3. Data l’equazione differenziale yy0 = x
y(5) = −1 e poi con y(5) = 1.
p
y2 − 4 determinare le soluzioni per cui y(5) = 2. Stessa domanda con
Esercizio 8.4. Studiare, al variare di a ∈ R, il problema di Cauchy: xy00 − y0 = xex ; y(a) = 1; y0 (a) = 2.
Esercizio 8.5. Determinare le soluzioni dell’equazione differenziale (x + 1)yy0 = 1 + y2 precisando l’insieme di definizione di
ogni soluzione. Esistono soluzioni il cui grafico passa per il punto (0, 1)? Esistono soluzioni per cui y0 (−1) = 0?
Co
py
r
Esercizio 8.6. Data l’equazione differenziale (x2 − x)y0 = 2y determinare le soluzioni per cui y(−1) = 2. Stessa domanda con
y(1) = 0 e poi con limx→−∞ y(x) = 1.
Esercizio 8.7. Esistono soluzioni appartenenti a C1 (R) dell’equazione differenziale x2 y0 = y? Determinare tutte le soluzioni
appartenenti a C1 (R) di x2 y0 = y; y(0) = 0.
Esercizio 8.8. Risolvere y0 = y1/3 ; y(1) = 1.
Esercizio 8.9. Determinare, al variare di k ∈ R, tutte le soluzioni dell’equazione differenziale y00 − y0 + ky = 2xex/3 .
√
Esercizio 8.10. Risolvere, al variare di a, b ∈ R, il seguente problema di Cauchy: y00 + 2 3y0 + 4y = 2 sin(2x); y(0) = a; y0 (0) = b.
Stabilire per quali a, b ∈ R la soluzione è periodica e determinarne il periodo.
Esercizio 8.11. Determinare, al variare di α ∈ R, tutte le soluzioni dell’equazione differenziale y00 + 2y0 − 8y = eαx . Per α = 2
determinare la soluzione per cui y(0) = 1 e y0 (0) = 0.
Esercizio 8.12. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale y00 + 3y0 + 2y = log(4 + e2x ).
Esercizio 8.13. Scrivere le soluzioni per k = 3 e per k = −1 dell’equazione differenziale ky00 + 2y0 + y = e−x . Per quali k ∈ R il
problema ky00 + 2y0 + y = e−x ; y(0) = 1 ha unica soluzione ?
Esercizio 8.14. Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali o la soluzione dei seguenti problemi di
Cauchy:
(8.14.1) y00 − 5y0 + 6y = 0; (8.14.2) y00 + ky0 = 0, [k ∈ R]; (8.14.3) y00 + 2y0 − 3y = k, [k ∈ R];
(8.14.4) y00 + y =
1
cos3 x
[var. costanti];
(8.14.5) y00 − 3y0 + 2y = a + beγx , [a, b, γ ∈ R];
(8.14.7) y00 − 4y = 0, y(0) = 3, y0 (0) = −2;
(8.14.9)
y00 + 4y
= ex cos x;
(8.14.10)
(8.14.6) y00 + y0 − 2y = e2x − 2;
(8.14.8) y00 − y0 − 2y = 0, y(0) = 1, y0 (0) = −2;
y00 + 2y0 + 5y
= xe−x cos(2x);
(8.14.11) y00 − 2y0 + 2y = ex cos x;
(8.14.12) y00 + 2y0 + 2y = 2x + 3 + e−x .
A. Languasco
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p. 45
Co
py
r
ig
h
te
d
Esercizi di Riepilogo
p. 47
C APITOLO 9
E SERCIZI DI R IEPILOGO
Esercizio 9.1. Sia f (x) = (sin x)(1 − x2 ) + cos(eax − 1) − 1 − ax, a ∈ R.
Calcolare, al variare di a ∈ R, lo sviluppo di Maclaurin di ordine 3 di f (x).
Individuare per quali a ∈ R si ha che f (x) = o(x) per x → 0.
Calcolare f 0 (0) e f 00 (0) e per quali a ∈ R si ha che f 0 (0) = f 00 (0) .
Per quali a ∈ R si ha che f è invertibile in un opportuno intorno di 0?
Per quali a ∈ R si ha che f è convessa (o concava) in un opportuno intorno di 0?
Esercizio 9.2. Calcolare, al variare di α > 0:
α n!
.
n→+∞ (n + 5)3n+1 n!
lim
ig
h
Esercizio 9.3. Determinare, al variare di λ ∈ R, il numero delle soluzioni di
te
d
(9.1.a)
(9.1.b)
(9.1.c)
(9.1.d)
(9.1.e)
arctan
x − 12 = λ.
|x2 + x − 12|
(
exp(−1/ sin2 x) per x ∈ (0, π)
Esercizio 9.4. Determinare a, b ∈ R tali che f (x) =
risulti continua dove definita. Determiax + b
per x ∈ (−π, 0]
nare poi per quali a, b ∈ R f risulta derivabile dove definita. Nota bene: exp(u) := eu .
√
√ ) + x.
Esercizio 9.5. Sia f (x) = arctan( x+1
x
Co
py
r
(9.5.a) Calcolare il massimo intervallo I contenente il punto x0 = 1 in cui f risulti invertibile.
(9.5.b) Sia g la funzione inversa di f definita su I. Calcolare g0 ( f (1)).
Esercizio 9.6. Risolvere y0 =
y2 −3y−4
,
3x2 +4
y(0) = 5.
Esercizio 9.7. Risolvere y0 + ex y = e2x , y(0) = 0.
Esercizio 9.8. Calcolare l’ordine di infinitesimo per x → 0 di F(x) =
α
al variare di α ∈ R, il carattere di ∑∞
n=1 F(1/n)n .
Rx
0
tet sin(t 2 ) dt. Utilizzare poi tale informazione per studiare,
Esercizio 9.9. Studiare, al variare di a ∈ R, la convergenza e la convergenza assoluta di
+∞
∑ (−1)n
h4
n=1
Esercizio 9.10. Sia
n2
an =
q
π
in
arctan(a + 1)
en
.
n(en + 2n )
1 + n1 − 1 + 10− log n + 2 log10 n
n3 log n − 3n log n + n2 tanh(n2 )
.
(9.10.a) Calcolare limn→+∞ an .
(9.10.b) Studiare il carattere di ∑+∞
n=2 an .
Esercizio 9.11. Calcolare
R2
−2 |t + 1| arctan(|t|)
dt.
n
π
Esercizio 9.12. Studiare la convergenza e la convergenza assoluta di ∑+∞
n=1 n
cos(nπ)
π n +3 .
Esercizio 9.13. Per α 6= 0, calcolare
(1 + sin x)α − log(1 + αx) + e−1/x − 1
.
x→0+ tanh(x2 − x3 ) + sin(x − x2 ) − tan(x + x2 )
lim
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p. 47
A. Languasco - Collezione di esercizi di Analisi Matematica - a.a. 2015/2016
Esercizio 9.14. Studiare il carattere di
+∞
cos
∑ exp
n=2
1
−1
nlog n 1
(log n)n − 1
sin
p. 48
1
.
(log n)log n
Nota bene: exp(u) := eu .
Esercizio 9.15. Calcolare
R 3π x
2
π e cos x dx.
Esercizio 9.16. Determinare per quali α ∈ R è convegente l’integrale
R +∞
e4
dx
.
xα (log2 x−5 log x+6)
Per α = 1 lo si calcoli.
+∞
∑ (−1)n
h
1+
n=2
te
d
Esercizio 9.17. Studiare, al variare di α ∈ R, la convergenza e la convergenza assoluta di
i
1 1/3
−1 .
α
n log n
Esercizio 9.18. (9.18.a) Scrivere lo sviluppo di Maclaurin di ordine 3 di exp(log(1 + x)/x). Nota bene: exp(u) := eu .
e − (1 + 1/n)n
(9.18.b) Usando il punto precedente, studiare, al variare di α ∈ R, il lim
.
n→+∞
nα
Esercizio 9.19. Studiare la funzione
x+5 x+5
−
.
|x + 4|
|x + 4|
ig
h
log
Esercizio 9.20. Sia α ∈ R. Studiare il carattere della serie:
+∞
1 1 + αn .
n
∑ (n!)2 log
n=1
Co
py
r
Esercizio 9.21. (9.21.1) Determinare l’ordine di infinitesimo di f (x) = 1 − tan( π4 x) per x → 1.
(9.21.2) Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 centrato in x0 = 1 di f (x).
(9.21.3) Calcolare
1 − tan( π4 x)
i
lim h
.
2
x→1
sin(x − 1) + e(x−1) − 1 cos(x − 1)
Esercizio 9.22. Determinare, per ogni α ∈ R, l’integrale generale di αy00 − 3y = tet .
A. Languasco
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p. 48
Formulario
p. 49
C APITOLO 10
F ORMULARIO
√
2πn nn e−n
lim
= 1.
n→+∞
n!
te
d
10.1 F ORMULA DI S TIRLING
10.2 S VILUPPI DI M ACLAURIN
xk
∑ k! + o
k=0
n
sin x =
x2k+1
∑ (−1)k (2k + 1)! + o
k=0
n
cos x =
xn ;
x2k
∑ (−1)k (2k)! + o
x2n+2 ;
ig
h
n
ex =
x2n+1 ;
k=0
2
17 7
62 9
x3
+ x5 +
x +
x + o x10 ;
3 15
315
2835
n
x2k+1
2n+2
sinh x = ∑
+o x
;
k=0 (2k + 1)!
tan x = x +
n
cosh x =
x2k
∑ (2k)! + o
x2n+1 ;
Co
py
r
k=0
x3
2
17 7
62 9
+ x5 −
x +
x + o x10 ;
3 15
315
2835
n
k
n
k+1 x
+o x ;
log(1 + x) = ∑ (−1)
k
k=1
i
n h
α k
α
α(α − 1)(α − 2) . . . (α − k + 1)
α
(1 + x)α = ∑
x + o xn
con α ∈ R e k 6= 0:
:=
e
:= 1 ;
k
k!
0
k=0 k
tanh x = x −
n
arctan x =
k=0
n
arctanh x =
x2k+1
∑ (−1)k 2k + 1 + o
x2k+1
∑ 2k + 1 + o
x2n+2 ;
x2n+2 .
k=0
A. Languasco
Ogni forma di commercializzazione o redistribuzione è vietata
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