INTEGRALI INDEFINITI / ESERCIZI PROPOSTI

ANALISI MATEMATICA I - A.A. 2011/2012
INTEGRALI INDEFINITI / ESERCIZI PROPOSTI
L’asterisco contrassegna gli esercizi più difficili.
1. Calcolare i seguenti integrali usando la linearità dell’integrale:
a)
b)
c)
d)
e)
x2 − 3
x2 + 3
x5
dx.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . log |x| +
x2 − 4
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x−2
1 2
2x
9
4x4
+c
+ 2x + c
3x3 − 3
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x3 + 32 x2 + 3x + c
x−1
x
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [x − log |x + 1| + c]
1+x
x3 + x2 + 1
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x−1
1 3
3x
+ x2 + 2x + 3 log |x − 1| + c
f)
cos2 x
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [x + cos x + c]
1 + sin x
g)
tan2 x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [tan x − x + c]
2. Calcolare i seguenti integrali immediati usando la regola di integrazione per sostituzione:
a)
esin x cos x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esin x + c
b)
cos5 x sin x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − cos6
c)
d)
e)
f)
6
x
+c
cos (log x)
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [sin (log x) + c]
x
√
1
√
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 log x + c
x log x
√
1
√
dx.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3x + 1 + c
3x + 1
1
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 tan (5x + 9) + c
cos2 (5x + 9)
4
g)
x3 sin x4 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − cos4x + c
h)
xe2x
i)
x 1 + x2 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l)
m)
2
−1
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
3
1 + x2
1 2x2 −1
4e
+c
√
1 + x2 + c
√
x2
√
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − 23 1 − x3 + c
3
1−x
x
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 arctan x2 + c
1 + x4
1
2
M .GUIDA, S.ROLANDO
3. Calcolare i seguenti integrali usando la regola di integrazione per parti:
a)
x2 log x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b)
x2 cos x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c)
x2 e2x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d)
x cosh (3x) dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e)
(x + 5) log x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f)
log x
x
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − 1+log
+c
x
x2
g)
arctan x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x arctan x −
h)
arcsin x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x arcsin x +
i)
x cos2 x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l)
e2x cos x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 3
3x
log x −
1
3
+c
x2 − 2 sin x + 2x cos x + c
x2
2
1
2
1
3 x sinh 3x
−
1
9
+ 5x log x −
x sin 2x
2
1
2
+
e2x
2
1
2
x2 − x +
+c
cosh 3x + c
x2
4
− 5x + c
log 1 + x2 + c
√
1 − x2 + c
cos 2x
4
+
x2
2
sin x+2 cos x 2x
e
5
+c
+c
4. Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali:
x+2
4
+c
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . log |x − 2| − x−2
a)
x2 − 4x + 4
2x + 5
b)
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 log |x − 1| + 14 log |x + 3| + c
x2 + 2x − 3
x+1
√ +c
c)
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 log(x2 − 2x + 4) + √23 arctan x−1
3
x2 − 2x + 4
x+1
√
+c
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 log(x2 − x + 5) + √319 arctan 2x−1
d)
19
x2 − x + 5
e)
f)
g)
h)
i)
l)
2x2 + x
√ +c
dx. . . . . . . . . . . . . log |x + 2| + 12 log x2 + 2x + 6 − √45 arctan x+1
5
(x + 2) (x2 + 2x + 6)
3x − 1
x−1
5
2 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 log x−2 − x−2 + c
(x − 1) (x − 2)
3
x4 − 5x3 + 8x2 − 9x + 11
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x3 + 2x − log |x − 2| + 2 log |x − 3| + c
x2 − 5x + 6
1
x
1
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1+x
2 + 2 arctan x + c
2
(x + 1)2
1
1 3x3 +5x
3
3 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 (x2 +1)2 + 8 arctan x + c
2
(x + 1)
x2
(x + 1)
4 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
+3x+1
− 13 3x(x+1)
+c
3
5. Calcolare i seguenti integrali mediante opportune sostituzioni:
ex + 1
a)
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x − 12 log e2x + 1 + arctan ex + c
e2x + 1
(5ex + 4) ex
b)
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 log (ex − 2) − log e2x + ex + 1 + c
x
(e − 2) (e2x + ex + 1)
INTEGRALI INDEFINITI
c)
d)
e)
f)
3
√
√
√
x 1 − xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 − x)2 1 − x − 23 (1 − x) 1 − x + c
√
√
√
√
1+ x
√
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [6 6 x + log x − log (1 + 3 x) − arctan 6 x + c]
3
x (1 + x)
1
x
+c
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . log 1+sin
cos x
cos x
1
tan(x/2)
+c
dx.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 log tan(x/2)−2
2 sin x + cos x − 1
g)
cos2 x
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 − 2 sin2 x
h)
tan3 x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
1
4
sin x+cos x
sin x−cos x
log
tan2 x −
1
2
+ 12 x + c
log 1 + tan2 x + c
6. Calcolare i seguenti integrali mediante la sostituzione suggerita a fianco:
a)
x2 − 1 dx,
x = cosh t.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b)
x2 + 1 dx,
x = sinh t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c*)
d)
e)
f)
g*)
x
2
x
2
√
x2 − 1 −
1
2
cosh−1 x + c
(1 + x2 ) +
1
2
sinh−1 x + c
√
1−x
dx, x = sin t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . arcsin x + 1 − x2 + c
1+x
1
√
dx, x = sinh t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √x12 +1 + c
2
(x + 1) x2 + 1
√
√
x2 + 1
−1
x2 +1
dx,
x
=
sinh
t.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
sinh
x
−
+c
x
x2
√
√
√
x2 − 1
dx, t = x2 − 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 − 1 − arctan x2 − 1 + c
x
1 √
x x2 + x + 1 dx, x =
3 sinh t − 1
2
√
3/2
3
√
− 18 (2x + 1) x2 + x + 1 − 16
sinh−1 2x+1
+c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 x2 + x + 1
3
7. Per ciascuno degli integrali a) degli esercizi 1-6 precedenti, determinare la primitiva F (x) della
funzione integranda che si annulla nel punto x0 = 1.
8. Calcolare i seguenti integrali:
x
√
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 arcsin x2 + c
a)
1 − x4
√
√
x
√
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 x − 1 + 23 (x − 1) x − 1 + c
b)
x−1
√
√
1
√ √
c)
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [4 4 x + 4 log | 4 x − 1| + c]
4
x ( x − 1)
1
√
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 arcsin 2x + c
d)
1 − 4x2
√
9x2 − 1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 9x2 − 1 − 16 cosh−1 (3x) + c
e*)
f)
ex
1
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [x − log (ex + 1) + c]
+1
x
x
g)
ex+e dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee + c
h*)
√
√
√
ex − 1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ex − 1 − 2 arctan ex − 1 + c
4
M .GUIDA, S.ROLANDO
i*)
l)
m)
n)
1
√
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[arcsin (ex ) + c]
−2x
e
−1
1
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [log |1 + log x| + c]
x + x log x
log x
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 + 3 log2 x + c
x 4 + 3 log2 x
√
log x
√ dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [2 x (log x − 2) + c]
x
o)
sin2 x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p)
sin3 x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
q)
r)
s)
t)
u*)
x−sin x cos x
2
cos3 x
3
+c
− cos x + c
1
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [log |tan x| + c]
sin x cos x
1
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [tan x − cot x + c]
2
sin x cos2 x
cos x
√x +c
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √12 arctan sin
2
3 − cos2 x
4 sin x
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−2 arctan (2 cos x − 2) + c]
4 cos2 x − 8 cos x + 5
x arctan (1 + 16x) dx. . . . . . . . . . . . . .
x2
2
arctan (1 + 16x) +
1
512
log 1 + (1 + 16x)
2
−
x
32
+c
9. Per ciascuna delle seguenti funzioni definite a tratti (continue sul proprio dominio), calcolare tutte
le primitive F (x) e determinare quella che vale 1 in x0 = 0:

 x+2
x + 3 log |x − 1| + c
se x < 0
se x < 0
a) f (x) =
. . . . . F (x) =
, c=1
x−1
1 e3x
1
 xe3x − 2 se x ≥ 0
x − 3 3 − 2x + c + 9 se x ≥ 0
b) f (x) =
−x3 sin π + πx2
x2 − 8x + 7
se x ≤ 1
se x > 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F (x) =
c) f (x) =
log 1 + 25x2
x log 26
c
−
10
3
se x ≤ 1
, c=1
se x > 1
se x ≤ 1
se x > 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F (x) =

 4x + 1
1
d) f (x) =
 √
4−x−3
sin(πx2 )
cos(πx2 )
− x2 2π
+
2π2
x3
1
2
3 − 4x + 7x + c + 2π
x log 1 + 25x2 − 2x +
log 26 2
2 x +c
2
5
arctan 5x + c se x ≤ 1
, c=1
se x > 1
se x ≤ 0
se 0 < x ≤ 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F (x) =
2x2 + x + c − 4
se x < 0
√
√
, c=5
−2 4 − x − 6 log 3 − 4 − x + c se 0 < x ≤ 4
INTEGRALI INDEFINITI
ALTRE SOLUZIONI.
Esercizio 7.
a1) F (x) = log |x| +
9
9
4x4 − 4
sin 1
a2) F (x) = esin x − e
a3) F (x) = 13 x3 log x −
a4) F (x) = log |x − 2| −
1
2
1
3
+
4
x−2
2x
1
9
−4
a5) F (x) = x − log e + 1 + arctan ex − 1 +
√
a6) F (x) = x2 x2 − 1 − 12 cosh−1 x
1
2
log e2 + 1 − arctan e
5