Prova scritta del 15 gennaio 2008

C.d.L. in Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni – A.A. 2007-08 – Fisica Generale - Prova del 15-01-08
ESERCIZIO 1
Un’auto di massa m = 900 kg viaggia con una velocità v0 = 72 km / h su una strada piana.
Improvvisamente l'autista scorge un ostacolo a una distanza d = 30 m . Si calcoli:
G
a) l'accelerazione a (modulo e verso) necessaria all'auto per arrestarsi prima di colpire l'ostacolo;
G
b) il modulo della forza F costante necessaria per produrre questa accelerazione.
Soluzione
Innanzitutto bisogna convertire la velocità in unita del S.I.. Si ha:
km
103 m
v0 = 72
= 72
= 20 m s −1
3600 s
h
Data la distanza entro la quale ci si deve arrestare e la velocità iniziale della macchina,
l’accelerazione si calcola mettendo a sistema le due equazioni:
⎧ v ( t ) = v0 + a t
⎪
⎨
1 2
⎪⎩ x ( t ) = x0 + v0 t + 2 a t
a) Si ottiene per l’accelerazione:
v0
⎧
⎪t =− a
⎪
⎨
−1 2
2
m
s
20
(
) ≅ 6.7 m s −2
v
1
1
⎪a = − 0 = −
⎪
2 d
2 30 m
⎩
b) Il modulo della forza si può calcolare dalla 2a legge di Newton:
F = m a = ( 900 kg ) ( 6.7 m s −2 ) = 6 kN
ESERCIZIO 2
Una fune inestensibile e di massa trascurabile è avvolta strettamente attorno a un cilindro pieno di
raggio r = 7.6 cm e massa m2 = 23.4 kg . La fune passa su una puleggia di massa trascurabile e
priva di attrito, e sostiene un corpo di massa m1 = 4.48 kg . Il piano su
cui si muove il cilindro è inclinato di un angolo α = 30° rispetto
all'orizzontale. Supponendo che il corpo rotoli senza strisciare si calcoli:
m1
r
m2
- il modulo a dell’accelerazione del cilindro;
- la tensione T della fune.
α
Soluzione
Date le condizioni sulla puleggia (massa trascurabile e priva di attrito) e sulla fune
(inestensibile e di massa trascurabile), la tensione della fune stessa sarà la medesima in
ciascun punto.
Si può schematizzare quindi il problema per le due masse rispettivamente, come mostrato
nelle figure. Per la massa m1 si utilizza la 2a legge di Newton proiettata su un asse verticale
diretto verso l’alto:
T − m1 g = m1 a
Per la massa m2 , invece, considerate le tre forze agenti (peso, attrito e tensione della
fune) è opportuno utilizzare la 2a equazione cardinale proiettata sull’asse di rotazione
A
passante per il punto istantaneo di contatto P.
dω
( 2 r ) T − r m2 g sin (π − α ) = I P
dt
T
m1
m1g
T
r
.P
α
m2g
C.d.L. in Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni – A.A. 2004-05 – Fisica Generale - Prova del 13-12-05
Mettendo a sistema le due equazioni:
T − m1 g = m1 a
⎧
⎪
dω
⎨
⎪⎩2 r T − m2 g r sin (π − α ) = I P dt
essendo sin (π − α ) = sin α , con la condizione di puro rotolamento:
dω
dt
con il momento d’inerzia rispetto a un asse passante per il punto P dato, per il teorema di HuygensSteiner, da:
3
I P = I C + m2 r 2 = m2 r 2
2
si trova:
⎧
T = m1 ( g + a )
⎪
2 g ( 2 m1 − m2 sin α )
⎨
⎪a=
3m2 − 4 m1
⎩
⎧ T = m1 ( g + a )
⎪
2 g ( 2m1 − m2 sin α )
⎨
⎪a=
3m2 + 4 m1
⎩
e numericamente:
⎧
2 ( 9.8 ms −2 ) ⎡⎣ 2 ( 4.48 kg ) − ( 23.4 kg )( 0.5 ) ⎤⎦
⎪a =
= 0.6 ms −2
3 ( 23.4 kg ) + 4 ( 4.48 kg )
⎨
⎪
T = m1 ( g − a )
⎩
a=r
ESERCIZIO 3
Un filo omogeneo di acciaio, di lunghezza l = 6 m , ha una massa m = 60 g . Calcolare:
a) la velocità di propagazione v di un’onda trasversale se un suo estremo è fissato, ed all’altro è
applicata una forza F = 103 N .
b) la frequenza della vibrazione fondamentale ν emessa dal filo quando entra in vibrazione.
Soluzione
a) La massa lineica del filo è:
m 0.06 kg
=
= 0.01 kg m −1
l
6m
la velocità di propagazione è data dalla relazione:
τ
103 N
v=
=
= 101.5 m s −1
−1
µ
0.01 kg m
b) La vibrazione in terza armonica è definita dalla relazione:
2
2
λ3 = l = ( 6 m ) = 4 m
3
3
e la sua frequenza ν 3 si ricava da:
µ=
101.5 m s −1
ν3 = =
= 25.4 Hz
4m
λ3
v
2