altrimenti x se x xc xf 0 2 0)2 4( )( eE )6.01(6.0 5 10 )5 (

Esercitazioni in aula parte II_b:
Esercizio 1) Ross Cap. 4 autoval. N. 9 ) Se X è una v.a. binomiale di valore atteso 6 varianza 2.4, si determini P(X = 5).
Esercizio 2)
Comunicazione attraverso un canale rumoroso. Un simbolo binario (0 oppure 1) è trasmesso attraverso un canale
rumoroso ed è ricevuto incorrettamente con probabilità e0 ed e1 rispettivamente. Gli errori su simboli diversi sono
indipendenti. Inoltre sappiamo che il canale trasmette 0 con probabilità p ed 1 con probabilità 1-p.
(a) Qual è la probabilità che un simbolo scelto a caso sia ricevuto correttamente?
(b) Supponiamo di trasmetter 1011. Qual è la probabilità che tutti i simboli della stringa vengano ricevuti
correttamente?
(c) Nello sforzo di migliorare l’affidabilità della trasmissione, ciascun simbolo è trasmesso 3 volte ed il simbolo è
ricevuto secondo la regola della maggioranza. In altre parole uno 0 (oppure 1) è trasmesso come 000 (oppure 111) ed
è decodificato in ricezione come 0 (oppure 1) se la stringa di tre simboli ricevuti contiene almeno due 0 (oppure due
1). Qual è la probabilità che uno 0 sia trasmesso correttamente?
Esercizio 4) Ognuno dei 7 giudici di una corte prenderà la decisione corretta in maniera indipendente dagli altri con
probabilità 0.7. Se la decisione della giuria è presa a maggioranza, qual è la probabilità che la giuria prende la
decisione corretta?
Esercizio 5) Ross (probabilità) cap. 4 N. 28 ) Un campione di 3 elementi viene scelto a caso da una scatola contenente
20 articoli dei quali 4 sono difettosi. Si trovi il numero atteso di articoli difettosi nel campione.
Esercizio 6) Ross (probabilità) cap. 5 esempio 1a ) supponiamo che X sia una variabile aleatoria continua con densità
data da
c(4 x  2 x 2 ) se 0  x  2
f ( x)  
determinare la costante c. Determinare P(X > 1)
0 altrimenti

Esercizio 7) Sia X uniforme in [0,1], determinare
E (e X )
Esercizio 8) Ross (probabilità) n.49 cap. 4
Quando la moneta A viene lanciata, si ottiene testa con probabilità pari a 0.4; quando viene lanciata la moneta B, ciò
avviene con probabilità 0.7. Scegliamo a caso una di queste due monete e lanciamola 10 volte.
(a) Qual è la probabilità che esattamente 7 dei 10 lanci diano testa?
(b) Dato che il primo lancio ha dato testa, quanto vale la probabilità condizionata che esattamente 7 dei 10 lanci
diano testa
Risposte esercizi del foglio Esercitazioni_aula_parteII_b
Risposta 1) E(X)=n p= 6 e inoltre var(X)=n p (1-p)=2.4 questo è un sistema di 2 eq in due incognite da cui segue p=0.6
10 
P( X  5)   0.6 5 (1  0.6) 5
5
e n=10. Per cui la risposta è
Risposta 2)
(a) p(1-e0)+(1-p)(1-e1) (b)
(1  e1 ) 3 (1  e0 )
 3
 3
 (1  e0 ) 2 e1   (1  e0 ) 3
2
 3
(c)  
Risposta 4) sia X è la v.c. che descrive il numero di giudici che prendono la decisione corretta essa è una binomiale di
7
7
P( X  4)    0.7 i 0.37i
i 4  i 
parametri n=7 e p=0.7 e dunque la probabilità richiesta è
Risposta 5) la domanda del testo si traduce nel calcolo del valore atteso della v.c. X (ipergeometrica) discreta che
assume valori 0,1,2,3. Si dovrà dunque calcolare prima la f.m.p. e poi procedere al calcolo del valor medio.
 16  4 

 
3  i  i 

P( X  i) 
 20 
 
3
proseguiamo calcolando P(X=0)= 0.4912 ; P(X=1)= 0.4211; P(X=2)= 0.0842 ; P(X=3)= 0.0035 da cui segue lo stesso
risultato E(X)=…= 0.6

Risposta 6) imponendo che
 f ( x)dx  1

si ricava c= 3/8 . Calciamo adesso la P(X>1) utilizzando la f.d.p. che già
2
conosciamo, otteniamo
P( X  1)  3 / 8 (4 x  2 x 2 )dx  ...  1 / 2
1
Risposta 7) Seguiamo due procedimenti di cui il primo più lungo. Calcoliamo la densità di probabilità della v.c.
Y  e X e poi ne valutiamo il valor medio.
FY ( y)  P(Y  y)  P(e X  y)  P( X  ln( y))  log( y) da cui derivando si ottiene
f Y ( y)  FY' ( y)  1 / y se 1 < y < e
e
E (Y )   dy  e  1
1
Da cui il calcolo del valor medio fornisce
. Allo stesso risultato saremmo giunti applicando
direttamente la formula per il valor medio di funzione di variabile casuale e cioè
1
E (e X )   e x dx  e  1
0
Risposta 8) (a) 0.1546 (b) 0.1968