AM310 - Istituzioni di Analisi Superiore Foglio di esercizi n. 3
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AM310 - Istituzioni di Analisi Superiore Foglio di esercizi n. 3
Corso di laurea in Matematica - Anno Accademico 2013/2014 AM310 - Istituzioni di Analisi Superiore Docente: Prof. Alfonso Sorrentino Foglio di esercizi n. 3 1. Si consideri la misura di Lebsgue | · | su (Rn , L ). a) Si dimostri che se E ∈ L , allora per ogni x0 ∈ Rn si ha che E + x0 := {x + x0 | x ∈ E} è ancora misurabile e |E + x0 | = |E| (Invarianza per traslazione). b) Si dimostri che se E ∈ L , allora per ogni λ > 0 si ha che λE := {λx| x ∈ E} è ancora misurabile e |λE| = λn |E|. c) Si dimostri che se (Rn , B(Rn ), µ) è uno spazio di misura tale che µ è invariante per traslazione ed è finita sui compatti (i.e. µ(K) < ∞ per ogni K ⊂ Rn compatto) allora µ = γ| · | con γ > 0 (i.e. µ è proporzionale alla misura di Lebesgue). Trovare un’espressione per γ. [Suggerimento: È sufficiente dimostrarlo per i cubi di lato 1/2N , per ogni N ≥ 0.] 2. Sia E ⊂ R un insieme Lebesgue-misurabile tale che |E| > 0. Si dimostri che l’insieme E − E := {x − y| x, y ∈ E} contiene un intervallo (−δ, δ), per qualche δ > 0. [Suggerimenti: 1) Si dimostri che esiste un aperto G ⊃ E tale che |G \ E| < 1/3|E|. 2) Si dimostri che G contiene un intervallo I = (a, b) tale che |b − a| ≤ 4/3|I ∩ E|. 3) Sia A = I ∩ E; si dimostri che (d + A) ∩ A 6= 0 per d ∈ (−δ, δ), per un qualche δ (procedere per assurdo).] 3. Sia E ⊂ R un insieme Lebesgue-misurabile tale che |E| > 0. Si dimostri che esiste A ⊂ E non misurabile. [Suggerimento: Si consideri l’insieme di Vitali V e si considerino gli insiemi Eq := E ∩ (q + V ) al variare di q ∈ Q. Usando l’esercizio 2, si dimostri che almeno uno di questi Eq non può essere misurabile.] 4. [Insieme di Cantor con misura positiva] Si costruisca il seguente insieme à la Cantor. Sia 0 < δ ≤ 1/3 e sia C0 = [0, 1]. Al primo passo, si elimini l’intervallo aperto centrale di lunghezza δ e si denoti il nuovo insieme con C1 . Al secondo passo, si elimini da ciascuna componente connessa di C1 l’intervallo aperto centrale di lunghezza δ 2 . E così via... (al passo n-simo si eliminino intervalli aperti centrali di lunghezza δ n ). Si definisca Cδ := ∩n≥0 Cn . Si dimostri che Cδ è compatto, totalmente disconnesso, perfetto e più che numerabile. Si calcoli la misura di Cδ (per quali valori di δ è positiva?). 5. Si ricordi la costruzione della Funzione di Cantor (o “scala del diavolo”). Si consideri la seguente successione di funzioni su [0, 1]: f0 (x) = x per ogni [0, 1] e per n ≥ 1 si definisca (induttivamente) x ∈ [0, 1/3] 1/2fn−1 (3x) 1/2 x ∈ (1/3, 2/3) fn (x) = 1/2 + 1/2fn−1 (3x − 2) x ∈ [2/3, 1]. 1 a) Si dimostri che per ogni n, fn è continua, monotona non-decrescente e tale che fn (0) = 0 e fn (1) = 1. b) Si dimostri che per ogni n ≥ 0: |fn+1 (x) − fn (x)| ≤ 1 . 2n c) Si deduca che {fn }n è una successione di Cauchy in (C([0, 1]), k · k∞ ) e che quindi fn converge uniformemente ad una funzione F ∈ C([0, 1]). La funzione F è detta Funzione di Cantor. d) Si dimostri che F è continua, non-decrescente e F (0) = 0, F (1) = 1. e) Si dimostri che se x ∈ [0, 1] \ C (dove C denota l’insieme di Cantor ternario), allora esiste un intorno (x − δ, x + δ) su cui F è costante. Se ne deduca che F (C) = [0, 1] (F mappa un insieme di misura nulla in un insieme di misura positiva!). f) Si deduca che dF dx (x) = 0 per ogni x ∈ [0, 1] \ C (la derivata esiste ed è nulla “quasi ovunque”, cioè tranne che su un insieme di misura nulla). Si osservi (non abbiamo ancora definito l’integrale!) che: Z 0 1 dF (x)dx = 0 6= 1 = F (1) − F (0), dx cioè F non soddisfa il teorema fondamentale del calcolo! 6. Si consideri la funzione φ : [0, 1] −→ [0, 2], definita da φ(x) = x + F (x) (F denota la funzione di Cantor). Si dimostri che φ è continua, strettamente crescente e quindi invertibile (con inversa continua). a) Si dimostri che |φ(C)| > 0, dove C denota l’insieme di Cantor. b) Si dimostri che φ(C) contiene un insieme non misurabile V (si veda esercizio 3). c) Si dimostri che φ−1 (V ) ha misura nulla e quindi è Lebesgue misurabile. È boreliano? [Suggerimento: se f : R −→ R è continua e B è boreliano, allora f −1 (B) è boreliano.] 2