Testo esercizi

ESERCIZI-CORSO DI METODI ANALITICI E NUMERICI
(1) Sia u : Rd → R. Dimostrare che ∇ · (∇u) = ∆u
(2) Applicare il teorema di Gauss-Green a ∇u e v, con u, v : Rd → R
(3) Si consideri il seguente problema:
−u′′ (x) = f (x) x ∈ (0, 1)
u(0) = a,
u(1) = b.
Si determini la soluzione analitica mediante l’uso della funzione di Green.
(4) Sia G(x, s) la funzione di Green associata alla soluzione del problema (3). Si dimostri che
R1
1
0 G(x, s)ds = 2 x(1 − x).
(5) Si dimostri che la soluzione del problema dell’esercizio (3) è stabile.
(6) Sia A = 1/h2 tridiag(−1, 2, −1). Si dimostri che
xt Ax = 1/h2 (x21 + x2N −1 +
N
−2
X
(xi − xi−2 )2 ),
i=2
dove x = [x1 , . . . , xN −1 ]t . Si deduca che A è definita positiva.
(7) Sia A = 1/h2 tridiag(−1, 2, −1). Si considerino
λj = 1/h2 (1 − cos(jθ))
e
wj = [sin(jθ), sin(2jθ), . . . , sin(N − 1(jθ))]t ,
(8)
(9)
(10)
(11)
con θ = π/N . Si dimostri che λj e wj , per j = 1, . . . , N − 1 sono rispettivamente autovalore e
autovettore associato della matice A.
Siano AU1 = F1 e AU2 = F2 . Si dimostri che kU1 − U2 k ≤ CkF1 − F2 k2 .
Si consideri la funzione u(x) = x−α . Per quali valori di α ∈ R si ha u(x) ∈ L2 (0, 1) ? Per quali
valori di α ∈ R si ha u(x) ∈ H 1 (0, 1)?
Si dimostri la disugualglianza di Poincaré: sia u(x) ∈ H01 (0, 1) allora esiste una costante Cp
non dipendente da u tale che kukL2 ≤ Cp ku′ kL2 .
Si scriva la formulazione debole del seguente problema
−u′′ (x) = f (x) x ∈ (0, 1)
u′ (1) = 1.
u(0) = 0,
Si dimostri l’esistenza e l’unicità della soluzione debole. Si scriva infine la formulazione algebrica corrispondente all’approssimazione della soluzione debole mediante elementi finiti lineari,
specificando in particolare i valori (dipendenti dalla scelta del passo di discretizzazione h) della
matrice di rigidità A.
(12) Si scriva la formulazione debole del seguente problema
−ǫu′′ (x) + u = f (x)
u(0) = α,
x ∈ (0, 1)
′
ǫu (1) + u(1) = β,
con ǫ > 0 e α, β ∈ R. Si dimostri inoltre l’esistenza e l’unicità della soluzione debole. Si
scriva infine la formulazione algebrica corrispondente all’approssimazione della soluzione debole
mediante elementi finiti lineari, specificando in particolare i valori (dipendenti dalla scelta del
passo di discretizzazione h) della matrice di rigidità A.
1
2
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(13) Si risolva il seguente problema ai limiti con il metodo delle differenze finite
−u′′ (x) = f (x)
u(−1) = 0,
x ∈ (−1, 1)
u(1) = 0,
considerando come termine sorgente la funzione f (x) = x e successivamente f (x) = sin(πx).
(a) Per h = 1/i con i = 10, 20, 40, 80 definire e risolvere il sistema lineare A ~uh = f~ dove
A rappresenta la matrice dei coefficienti del metodo delle differenze finite, f~ il termine
forzante e ~uh il vettore delle incognite.
(b) Calcolare e visualizzare l’andamento del numero di condizionamento della matrice A al
variare del passo di discretizzazione h.
(c) Sapendo che la soluzione esatta del problema definito al punto (a) risulta essere
u(x) = −1/6x3 + 1/6x con f (x) = x e
u(x) = 1/π 2 sin(πx) con f (x) = sin(πx),
calcolare nei due casi considerati l’errore u − uh in norma ∞, al variare del passo di
discretizzazione h
(d) Visualizzare l’andamenti dell’errore in funzione di h. Confrontare e spiegare alla luce della
teoria tale andamento per i due casi considerati f (x) = x e f (x) = sin(πx).
(14) Si risolva il seguente problema ai limiti con il metodo delle differenze finite
w
k
u=
T
T
u(0) = u(1) = 0,
−u′′ (x) +
x ∈ (0, 1)
dove u = u(x) rappresenta lo spostamento verticale di una fune lunga 1 metro, soggetta ad un
carico trasversale di intensità w(x) per unità di lunghezza. T è la tensione e k il coefficiente
di elesticità della fune. Si prendano w(x) = 1 + sin(4π x), T = 1 e k = 0.1 e si confrontino
i risultati ottenuti con h = 1/i con i = 10, 20, 40. Si verifichi sperimentalemte l’ordine di
convergenza del metodo.
Suggerimento: per stimare l’ordine di convergenza, non avendo a disposizione la soluzione
analitica, si può utilizzare per il calcolo dell’errore una soluzione approssimata relativa ad una
griglia estremamente fitta (ad esempio h = 1/1000).
(15) Sono state svolte delle prove a trazione su una nuova lega per determinare la relazione tra
lo sforzo σ (forza per unità di superficie) e la deformazione ε (allungamento per unità di
lunghezza). I risultati delle prove sono riportati nella seguente tabella:
σ [1000 × kgF /cm2 ]
0.1800
0.3000
0.5000
0.6000
0.7200
0.7500
0.8000
0.9000
1.0000
ε [cm/cm]
0.0005
0.0010
0.0013
0.0015
0.0020
0.0045
0.0060
0.0070
0.0085
A partire da questi dati (utilizzando opportune tecniche di interpolazione) si vuole stimare la
deformazione ε della lega in corrispondenza dei valori dei sforzo per cui non si ha a disposizione
un dato sperimentale.
Le funzioni interpolanti da utilizzare sono le seguenti:
• l’interpolazione polinomiale di Lagrange (polyfit e polyval);
• l’interpolazione polinomiale composita lineare (interp1);
• l’approssimazione nel senso dei minimi quadrati di grado 1, 2 e 4 (polyfit e polyval);
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In particolare l’esercizio chiede che siano svolti i seguenti punti:
(a) rappresentare graficamente le singole funzioni interpolanti (ed approssimanti) a confronto
con i dati sperimentali;
(b) confrontare in un unico grafico i dati sperimentali con tutte le interpolanti (per l’approssimante
ai minimi quadrati si consideri solo il polinomio di grado 4);
(c) valutare, per ogni interpolante ed approssimante, la deformazione ε in corrispondenza di
σ = 400 kgF /cm2 e σ = 650 kgF /cm2 ; si commentino i risultati ottenuti.
(16) Si consideri la funzione:
π f (x) = x − , con x ∈ [−1, 1].
12
(a) Si disegni il grafico della funzione.
(b) Si costruiscano i polinomi interpolanti di Lagrange Πn f di grado n = 5, 10, 15 su nodi
equispaziati. Si verifichi che l’interpolazione polinomiale di Lagrange su nodi equispaziati
presenti il tipico “fenomeno di Runge”.
(c) Si calcolino i polinomi interpolanti di Lagrange Πn f di grado n = 2, 4, 6, . . . , 25 su nodi
di Chebychev e si valuti l’errore in norma infinito (εn = max |f (x) − Πn f (x)|) per ogni
valore di n. (Suggerimento: si usi un ciclo for in Matlabr )
(d) Si visualizzi su un grafico in scala logaritmica (sia in ascissa che in ordinata) l’andamento
di εn in funzione di n.
(e) Si calcolino gli interpolanti polinomiali compositi lineari ΠH
1 f su n sottointervalli di uguale
ampiezza H = (b − a)/n, per n = 2, 4, 8, 16, . . . , 128. Si valuti l’errore in norma infinito εH
in ciascun caso e si visualizzi tale errore in funzione di H su un grafico in scala logaritmica.
È lecito aspettarsi una convergenza quadratico dell’errore in questo caso?
(f) Si tracci, sullo stesso grafico del punto 4, l’andamento dell’errore εH in funzione di n =
(b − a)/H, per n = 2, 4, 8, 16, 32.
(17) Si consideri la funzione
1
f (x) = sin
1 + x2
nell’intervallo [−2π, 2π].
(a) Si costruisca il polinomio interpolatore di Lagrange e si scriva l’espressione analitica delle
funzioni di base lagrangiane per la terna di punti [−2π, 0, 2π].
(b) Si calcoli il polinomio di Lagrange Πn f interpolante la funzione f (x) nell’intervallo [−2π, 2π]
su 11 nodi equispaziati e si riportino i coefficienti del polinomio.
(c) Si calcoli l’errore di approssimazione nella norma infinito.
(d) Per n = 4, 8, 10 si calcoli l’errore di interpolazione della funzione f (x) in norma infinito
sui nodi di Chebyshev. Si commentino i risultati ottenuti.
R 2π
(18) Si approssimi tramite opportune formule di quadratura l’integrale I(f ) = 0 f (x)dx dove:
(1)
f (x) = x e−x cos(2x),
x ∈ [0, 2π]
(a) Per k = 1, · · · , 20, suddivisioni uniformi dell’intervallo [0, 2π], si calcoli il valore approssimato Ik (f ) di I(f ), utilizzando le formule di quadratura composite del punto medio, del
trapezio e di Simpson su intervalli equispaziati. Per ciascuna delle tre formule considerate, riportare su un grafico l’andamento del valore dell’integrale approssimato Ik (f ) in
funzione del numero di sottointervalli k.
R 2π
(b) Conoscendo il valore esatto dell’integrale I(f ) = 0 f (x)dx = −1/25 (10π−3+3 e2π/e2π ),
si indichi con Ek (f ) = |I(f ) − Ik (f )| il valore assoluto dell’errore nel calcolo dell’integrale.
Riportare, in scala logaritmica, l’andamento dell’errore al variare dell’ampiezza dei sottointervalli per ciascuna delle formule di quadratura proposte al punto (a). Verificare che
ci sia accordo con i risultati teorici per ciascuno dei tre metodi utilizzati.
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(c) Per ciascuna delle tre formule considerate fornire, utilizzando l’espressione teorica dell’errore
di quadratura, una stima del numero minimo N di sottointervalli tale per cui si abbia:
EN (f ) ≤ toll, ove si scelga toll = 10−5 e verificare sperimentalmente tali risultati.
(19) Si calcoli il numero minimo di intervalli M necessari per approssimare, a meno di un errore di
10−4 , l’integrale delle seguenti funzioni negli intervalli indicati:
1
in [0, 5]
f (x) =
1 + (x − π)2
f (x) = ex cos(x) in [0, π]
p
f (x) = x(1 − x) in [0, 1]
utilizzando le formule composite del punto medio, del trapezio e di Simpson rispettivamente.
Si verifichino sperimentalmente i risultati ottenuti.
(20) Si valutino numericamente i valori di M (numero minimo di intervalli) che garantiscono un
R1
2
errore di quadratura inferiore a 10−4 per il calcolo approssimato di I(f ) = −1 e−10(x−1) dx
mediante le formule composite del trapezio e di Gauss.