Baricenri, momenti d`inerzia

BARICENTRO
Ricordiamo che nel caso di un corpo pesante il complesso delle forze peso è equipollente al peso totale
applicato al baricentro di equazione
∑ con
Cioè
̅ ∑
∑
% ∑!" %
̅ ∑
&
per un corpo continuo, lo si divide
ivide in porzioni infinitesime; detta
detta P la posizione del generico elementino
infinitesimo
̅ cioè
̅̅ dove ' è il peso specifico e $ l’elemento di volume
Analogamente
̅ &
CENTRO DI MASSA
Si definisce centro di massa il punto ∑
∑!" ̅ ∑!"
̅ ∑!"
̅ ∑!"
̅ &
&
Con #$ dove k è la densità
Se g è costante in τ il centro di massa coincide con il baricentro.
MOMENTO DI INERZIA
Quantità legata alla distribuzione delle masse, utile nel campo delle quantità meccaniche, nel caso di
rotazione.
Momento d'inerzia di un punto materiale di massa m, rispetto ad un asse, da cui dista r è la quantità:
( ) *
( ∑+!" )*
(>0
Per un sistema di N punti materiali abbiamo
Per un corpo continuo
( = ) * = # $
(>0
ℎ densità, $ elemento di volume
(=0
solo se tutta la massa è sull’asse.
( = 0
Esempio asta
Esempio: asta di lunghezza / e massa m, rispetto ad asse ortogonale (omogenea # =
( = * = 1 *
0
( =
Asse bari centrale
(̅ =
(̅ =
0
6
4
6
4
0 2
"*
5
=
*
2
0 3
(osservo che è < di
6
4
6
4
0 4
5
3
)
30
7
0
02
8
1 * =
+
0
02
8
:
02
0
3
0
=
0 4
3
)
0
CASO DELLE LAMINE PIANE:
In 2d:
( ; * ( = ; * <=> ) = <=> ) = (& = ; * + * = ( + (
<=> ) * = * + *
( = * + * In 3D:
( = ; * + * (& = ; * + * MOMENTO D’INERZIA RISPETTO AD ASSI PARALLELI
L’asse z è il centro di massa per ; = ̅ = 0
; = = 0
asse z’ // z è a distanza Δ
) * = − ? * + − @*
?* + @ * = A
(BC = ; * + * + ?* + @ * – 2? − 2@ (BC = ; * + * + A* ; – 2 ? ; – 2 @ ; (BC = ( ̅ + A*
perchè
= 0
e
= 0
( = ( ̅ + A*
(̅ =
con (
> (̅
Esempio asta:
0 4
"*
0 *
∆* = G H
*
/ *
(I =
3
0 4
3
=
0 4
"*
0 *
+G H
*
MOMENTO D’INERZIA RISPETTO AD ASSI CONCORRENTI
In 2d nel piano:
( = ; ) * K = versore dell’asse
Dobbiamo porre ) *
Considero il parallelogramma formato da K e (P-O)
Calcolo l’area in due modi:
1) A = base x altezza
Base = │K│ = 1
Altezza = )
A=)
2)
N = │ − O K │
K ≡ Q, S
U
− O K = T Q
(α e β sono i coseni direttori)
V
S
#
0T = # S − Q 0
) * = N* = │ − O K │* = S − Q * = S * * + Q * * – 2QS
(= ;
S * * + Q * * – 2QS
("* − Definisco prodotto d’inerzia:
("" = ( = ; * (** = ( = ; * W = XY WZ + [Y W\ + YX[W]Y
W = XY W]] + [Y WYY + YX[W]Y
Estendiamo in 3d e otteniamo:
( = ("" = ; * + * > 0
( = (** = ; * + * > 0
(& = (33 = ; * + * > 0
("* = − (^ = (^
(""
_(*"
(3"
("*
(**
(3*
("3
(*3 _
(33
(*3 = − (3" = − Riuniamo in matrice, detta matrice d’inerzia o tensore d’inerzia.
Gli elementi diagonali sono >0
Quelli fuori dalla diagonale sono simmetrici.
Si possono cambiare gli assi in modo da ottenere una matrice diagonalizzata, per cui (^ = 0 per U ≠ #
N
_0
0
0
a
0
0
0_
b
A,B,C si dicono momenti principali d’inerzia
Se il corpo ha assi di simmetria materiale, gli assi di simmetria sono assi principali d’inerzia.