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Lezione 19 Domini a fattorizzazione unica.

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Lezione 19 Domini a fattorizzazione unica.
Lezione 19
Prerequisiti: Lezione 18. Teorema Fondamentale dell’Aritmetica.
Riferimenti ai testi: [FdG] Sezione 5.2; [H] Sezione 3.11; [PC] Sezione 4.8
Domini a fattorizzazione unica.
In questa sezione tratteremo una classe di anelli in cui, come in e in K [ x ], vale l’esistenza e
l’unicità della decomposizione in fattori primi.
Definizione 19.1 Un anello commutativo unitario integro (dominio d’integrità) A si dice un dominio
a fattorizzazione unica se per ogni elemento non invertibile e non nullo a ∈ A esiste una
decomposizione
a = p1 ps ,
(*)
dove p1 ,… , ps sono elementi primi, e, inoltre, per ogni altra decomposizione
a = q1 qt
in cui q1 ,… , qt sono elementi primi, si ha che s = t, ed inoltre, a meno di permutare gli indici, per
ogni i = 1,… , s esiste un elemento invertibile ui ∈ A tale che
pi = ui qi .
La decomposizione (*) si dice fattorizzazione di a.
Nota I domini a fattorizzazione unica vengono anche chiamati anelli fattoriali e indicati con
l’acronimo inglese UFD.
Oltre agli esempi già citati all’inizio, scopriamo ora che molti anelli considerati di recente sono
domini a fattorizzazione unica.
Proposizione 19.2 Ogni dominio euclideo è un dominio a fattorizzazione unica.
Dimostrazione: Sia a ∈ A un elemento non invertibile e non nullo. Proviamo l’esistenza di una
fattorizzazione (*) per induzione su v(a), essendo v la valutazione di A. Proviamo che se v(a) è
minima tra le valutazioni degli elementi non invertibili e non nulli di A, allora a è irriducibile, e
quindi primo per la Proposizione 16.5 e la Proposizione 18.6. Infatti, se b, c ∈ A sono tali che a =
bc, allora v ( a ) = v (bc ) ≥ v (b) . Se vale la disuguaglianza stretta, allora b è invertibile. Supponiamo
che v ( a ) = v ( b). Allora, essendo a ∈ (b) , per quanto visto nella dimostrazione della Proposizione
16.5, ( a ) = (b) . In particolare, esiste d ∈ A tale che b = ad . Ma allora a = bc = adc , da cui,
essendo A integro ed a ≠ 0, segue che 1 = dc, quindi c è invertibile.
Supponiamo ora che v(a) non sia minima e che la tesi sia vera per tutti gli elementi non invertibili e
non nulli di A aventi valutazione più piccola. È sufficiente assumere che a non sia irriducibile.
Allora a = bc, con b e c non invertibili. Come nella prima parte della dimostrazione, segue che
v (b) < v ( a ) e v ( c) < v ( a ) , per cui l’ipotesi induttiva si applica a b e a c. Una fattorizzazione di a si
ottiene allora moltiplicando tra loro le fattorizzazioni di b e c.
Per dimostrare l’unicità della fattorizzazione, si procede come nella dimostrazione del Teorema
Fondamentale dell’Aritmetica, utilizzando la definizione di elemento primo e l’integrità dell’anello
A.
Osservazione 19.3 Segue che [i ] è un dominio a fattorizzazione unica.
Più in generale si dimostra:
Proposizione 19.4 Ogni dominio ad ideali principali è un dominio a fattorizzazione unica.
Dimostrazione: [PC] Prop. 4.8.4.
Nota Questa generalizzazione, ai nostri fini, è poco interessante. Infatti non abbiamo ancora
incontrato un dominio ad ideali principali che non sia un dominio euclideo.
Nei domini a fattorizzazione unica, come nei domini euclidei, le nozioni di elemento primo ed
elemento irriducibile coincidono.
Proposizione 19.5 Se A è un dominio a fattorizzazione unica, e x ∈ A è un elemento non invertibile
e non nullo, allora
x è irriducibile ⇔ x è primo.
Dimostrazione: In base alla Proposizione 18.19, basta provare ⇒ . Sia x irriducibile. Poiché, in base
alla Definizione 18.16, x non può essere scritto come prodotto di più di due elementi non invertibili
segue che l’unica fattorizzazione di x è quella che ha x come unico fattore. Segue che x è primo.
Osservazione 19.6 Dalla Proposizione 19.5 segue che la Definizione19.1 si può riformulare, in
maniera equivalente, in termini di fattori irriducibili.
Dall’Osservazione 18.18, alla luce della Proposizione 19.5, si deduce che i 5  non è un
dominio a fattorizzazione unica. D’altronde, avevamo trovato due diverse decomposizioni di 6 nel
prodotto di fattori irriducibili.
Il prossimo risultato ci consente di trovare nuovi esempi di domini a fattorizzazione unica.
Teorema 19.7 Se A è un dominio a fattorizzazione unica, anche A[ x ] lo è.
Dimostrazione: [H] Teor, 3.11.1.
Osservazione 19.8 Poiché ogni campo K è un dominio euclideo, è un dominio a fattorizzazione
unica (lo è, in realtà, a vuoto, perché non esistono elementi non invertibili e non nulli). Quindi, per
il Teorema 19.7, K [ x ] è un dominio a fattorizzazione unica, e lo è anche K [ x, y ] = K [ x ][ y ] . In
generale, lo è l’anello dei polinomi a coefficienti in un campo in un numero qualsiasi n di
indeterminate: lo si prova per induzione su n. Lo stesso dicasi per gli anelli di polinomi a
coefficienti in .
Se ne deduce, in particolare, che la Proposizione 19.4 non si può invertire: esistono domini a
fattorizzazione unica che non sono domini ad ideali principali. Esempi sono: [ x ] (vedi
l’Osservazione 18.13) e K [ x, y ] , (l’ideale (x)+(y) non è principale).
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