Distribuzione log-normale log - normale

Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Distribuzione log‐normale
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
3
log ‐ normale
La distribuzione log-normale è la distribuzione di una variabile Y il cui logaritmo naturale
X=log(Y) segue una distribuzione normale. Dalla definizione di distribuzione normale:
f ( x) 
1
x
 1  x   2 
x
 
 eexpp 
2
 2   x  
con -∞ < x < +∞
se si pone x=log(y), si ottiene la distribuzione log-normale di y
f ( y) 
1
y x
 1  log(y)   2 
x
 
 exp 
x
2
 2 
 
con 0 < y < +∞
1
0.8
f(t)
Questa distribuzione è spesso usata per
descrivere la vita a fatica di componenti
meccanici
0.6
0.4
Ovviamente la F(y) è calcolata come
integrale della f(y)
0.2
0
0
0.5
1
1.5
t
2
2.5
3
1
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Il valore atteso vale: E (Y )  e
La varianza
La mediana
2
2
2
2
Var(Y )  E (Y 2 )  E (Y )2  e2   (e  1)
 e  
La moda

log ‐ normale
2
2
 e
 = 1
 = 0.25
media
moda
mediana
1.5
f(t)
1
0.5
0
0
0.5
1
I simboli μ e σ in queste formule si riferiscono a μx e σx
1.5
2
t
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
2.5
3
log ‐ normale
Se sono noti μx e σx, allora si possono calcolare il valore atteso e la varianza della variabile
log-normale nel modo seguente:


1
2


 y  exp  x   x2 
 y   y2  exp x2   1
Se invece sono noti μy e σy, allora μx e σx si ricavano invertendo le relazioni precedenti:
  2 
  ln y   1
  y 



2
x
1
2
 x  ln  y   x2
2
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
log ‐ normale
Variazione della forma di pdf e cdf al variare di σx
(μx = 1 cost)
PDF
CDF
07
0.7
1
 = 1
 = 1.5
 = 0.3
0.6
0.5
f(t) 0.4
0.8
f(t)
0.3
0.6
0.4
 = 1
 = 1.5
 = 0.3
0.2
0.2
0.1
0
0
2
4
t
6
 e  
La moda
8
0
0
10
2
4
2
t
6
8
La mediana
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
(σx = 1 cost)
1
 = 0
x
06
0.6
 = log(3)
0.8
x
0.5
 = log(6)
f(t) 0.4
f(t)
x
0.3
0.6
 = 0
0.4
x
 = log(3)
0.2
x
0.2
 = log(6)
0.1
0
0
 e
log ‐ normale
Variazione della forma di pdf e cdf al variare di μx
0.7
10
1
2
3
4
t
5
La mediana
6
7
8
0
0
x
2
4
6
t
8
10
12
 e
3
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
log ‐ normale
Esercizio
E’ data una variabile Y la cui distribuzione è descritta da una log-normale con parametri
μx = -3.44 e σx = 1.13.
1. Determinare il valore atteso, la mediana e la moda.
2. Determinare la probabilità che y sia minore di 0.05.
3. Determinare il percentile 20%
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
log ‐ normale
Esercizio
E’ data una variabile Y la cui distribuzione è descritta da una lognormale con parametri
μx = -3.44 e σx = 1.13.
1. Determinare il valore atteso, la mediana e la moda.
valore atteso E (Y )  e
2

2
2
e
3.44
1.132
2
 e-2.8015  0.0607
2
moda  e    e3.441.13  e-4.7169  0.0089
mediana  e   e3.44  0.0321
4
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
log ‐ normale
Esercizio
E’ data una variabile Y la cui distribuzione è descritta da una lognormale con parametri
μx = -3.44 e σx = 1.13.
2. Determinare la probabilità che y sia minore di 0.05.
x  ln(0.05)  2.9957
Ma prima bisogna calcolare la variabile standardizzata corrispondente:
z
x  x
x

 2.9957  3.44
 0.3931
1.13
Dalla tabella della cdf della Gaussiana:
(0.3931)  0.6529  65.29%
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
log ‐ normale
Esercizio
E’ data una variabile Y la cui distribuzione è descritta da una lognormale con parametri
μx = -3.44 e σx = 1.13.
3. Determinare il percentile 20%
Dalla tabella dei percentili si ottiene zp per il 20%
z p 20%  0.84162
x p      z p  3.44  1.13  0.8416  -4.39103
y p 20%  e 4.39103  0.012388
5