Sorgenti termiche. Radiazione di corpo nero

Sorgenti termiche.
Radiazione di corpo nero
1. Grandezze radiometriche
(tutte le quantità possono essere
definite per unità di lunghezza d'onda)
Flusso di radiazione (energia irraggiata
dU
per unità di tempo):
Φ=
dt
[W]
Intensità radiante (di una sorgente
puntiforme):
d
I=
[ W/ stearadiante ]
d
d
Radianza (di una superficie)
θ
2
d Φ
dI
L=
=
dA cos θ d Ω dAcos θ
dA
Legge di Lambert: L è indipendente dalla
direzione
L=L , = costante
Emettenza (di una superficie)
M =∬2 π L( θ , ϕ) cos θ d Ω
θ
M =∬2 π L(θ , ϕ) cos θ sin θ d θ d ϕ=π L
per una sorgente lambertiana
Irradianza (attraverso una superficie)
n
d
2
E=
[ W/ m ]
dA
dA cos 
d =
2
r
d =I d  =E dA
dAcos 
d =I
=E dA
2
r
I cos 
E=
2
r
dA
r
I
Sorgente puntiforme
2. Sorgenti termiche
In generale una sorgente termica è un sistema
termodinamico in equilibrio con il campo elettromagnetico.
La sorgente termica emette radiazione “ a spese” della
propria energia interna e viene rifornita di energia in
misura uguale all'energia emessa.
Si possono fare considerazioni importanti e generali sulla
base della Termodinamica, senza conoscere i particolari del
sistema, facendo l'ipotesi che si tratti di un assorbitore
perfetto: un corpo nero.
Corpo nero
Data dA infinitesima su cui incide una
certa quantità di energia
R frazione di energia riflessa
a (λ ) frazione di energia assorbita
R(λ)+a(λ)=1
Supponiamo non vi
sia trasmissione
se R(λ)=0 → a( λ)=1
allora dA si dice superficie di corpo nero
3.Corpo nero: modello
teorico/sperimentale
Pareti
(parzialmente)
assorbenti
dA
Cavità a temperatura costante con una piccola
apertura da cui la radiazione può entrare, ma
difficilmente viene riflessa indietro. La
superficie dell'apertura è “nera”
Date due superfici di corpo nero (ad esempio due cavità che
scambiano energia), esse, per rimanere all'equilibrio
termodinamico devono emettere la stessa quantità di energia
θ
S1

S2
2
2
d 1 =d 2 
Principio del
bilancio
dettagliato:
l'uguaglianza vale
per ogni λ
θ
S2
S1

d 2=
d 1 =
2
d 1 =L1  ,  , dA1 cos  d  2
2
d  2 =L 2 0, 0, dA2 d  1
d A2
r
2
d A1 cos 
r2
2
d 1 =L1  ,  , 
2
d  2 = L2 0, 0,
L1  ,  , =L2 0, 0, 
dA1 d A2 cos 
r2
dA 2 d A1 cos 
r
2
θ
S1

●
●
●
S2
L1  ,  , =L2 0, 0, 
Le superfici nere sono sorgenti lambertiane
Le superfici nere hanno una radianza spettrale
identica se sono in equilibrio termico, dunque la
radianza di un corpo nero è una funzione
universale di λ e T
Anche l'emettenza M di una superficie nera è
una funzione universale di λ e Tm dato che L e
M sono proporzionali (sorgenti lambertiane)
4. Legge di Kirchhoff
dA
Sostituiamo a un
elemento di
uperficie di corpo
nero un elemento di
superficie generico
Consideriamo una
cavità a
temperatura
uniforme
dA
dA
Se l'equilibrio
termodinamico non è
alterato la nuova superficie
riceve la stessa energia di
prima dal resto della cavità
M nero 
Di questa assorbe la
frazione :
Per l'equlibrio
termodinamico, deve
essere la stessa
energia emessa:
a  M nero 
M =a  M nero 
Legge di Kirchhoff
M 
M nero =
a 
Il rapporto tra l'emettenza e il fattore di
assorbimento di un elemento di superficie di
un corpo è una funzione universale di λ e di T
M =a  M nero 
Nella legge di Kirchhoff a
(λ) prende il nome di
emissività
Legge di Kirchhoff
M =a  M nero 
●
●
●
●
Dato a (λ ) <1, a parità di temperatura un corpo nero
ha una emissione maggiore di qualunque altra sorgente
termica alla stessa temperatura
Tutto ciò che diminuisce a (λ) (cioè la riflessione)
diminuisce anche M (λ )
Le superfici rese speculari hanno un coefficiente di
riflessione massimo e quindi un fattore di
assorbimento minimo
Dunque le superfici speculari emettono meno delle
superfici scabre o annerite
Legge di Kirchhoff
M =a  M nero 
●
●
●
Se un corpo emette una radiazione allora deve anche
assorbirla, ma non è vero il contrario
Un corpo, a una data temperatura, può assorbire
radiazioni, che, alla stessa temperatura non emette
Un corpo a temperatura ambiente, sia pure nero,
assorbe radiazione visibile ma non la emette
M VIS =0
●
Ad esembio un vetro rosso assorbe tutta la radiazione
visibile tranne il rosso (che riflette) ma ha alcuna
emissione termica nel visibile
Momento Elettromagnetico. Pressione di radiazione
Energia per unità di tempo e di
superficie normale alla direzione di
propagazione (vettore di Poynting)
Momento trasportato per unità di
volume
Superficie
nera
n
Onda piana
θ
<S>=u c n
<...> media temporale
<S> u 
=
n
2
c
c
Momento trasferito nell'intervallo dt
u
cos  A cos  c dt
c
Pressione di radiazione
p=u cos2 
Pressione mediata su tutte le direzioni
1
u
2
p=
u cos d =
∫
2

2
3
5. Emettenza e densità di energia
Dalle Equazioni di Maxwell:
u  J / cm 3 
Vettore di Poynting per una
onda piana :
dA
S=uc
Energia per unità di tempo e di superficie
normale alla direzione di propagazione
d
θ
u
dA
La potenza irraggiata in una
direzione θ entro un angolo
solido d Ω
d
d =uc dA cos 
4
Emettenza e densità di energia
Secondo la definizione di radianza:
d
θ
u
dA
d =L dAcos  d 
Quindi:
d
L dA cos  d =u c dAcos 
4
u (λ)c
L=
4π
Per determinare la radianza L (o l'emettenza M) di
un corpo nero calcoleremo l'energia del campo
elettromagnetico in una cavità
6. Legge di Stefan-Boltzmann
Energia interna della cavità
U =u T V (volume)
3
u  J / cm 
1
dQ=dU  p dV =d u V  u dV
3
u
Pressione di radiazione p=
3
dQ d u V  1 u dV
dS =
=

(trasformazione reversibile)
T
T
3 T
S=S V , T 
dQ V
4u
V ∂u
4u
dS =
= du
dV =
dT 
dV
T
T
3T
T dT
3T
Legge di Stefan-Boltzmann
3
u  J / cm 
dS =
dQ V ∂ u
4 u
=
dT +
dV
T
T dT
3T
dS =
∂2 S
∂2 S
=
∂V ∂ T ∂T ∂ V
∂u
u
=4
dT
T
dQ ∂ S
∂S
=
dT +
dV
T
∂T
∂V
1 ∂u 4 ∂ u 1 4 1
=
− u 2
T dT 3 dT T 3 T
1 ∂u 4
=
u dT T
log u=4 logT +cost
u=σ T 4
La costante σ non risulta determinata dalla
Temodinamica classica
Calcolo della densità di energia in cavità
Consideriamo un'onda monocromatica, stazionaria, in
una cavità cubica di lato L:
E  x , y , z =A sin k x x sin k y ysin k z z 
La condizione di annullamento del campo alle pareti è:



k x =mx , k y =m y , k z =mz ,
L
L
L
mx , m y , m z interi
Lo spazio dei vettori d'onda è diviso in
celle elementari di volume:
3

3
L
Spazio dei vettori
d'onda
2π
2 m
π
k x = =m → =
λ
L λ L
se: L≫λ ,
allora:
m≫1,
kx≫ π
L
kx
kz
3
π
V
k
ky
La distribuzione dei
modi è quasi-continua
Basta ammettere che L >> λ per considerare una
densità continua di modi di oscillazione del campo. Il
numero dei modi in un volume:
dV =d k x d k y d k z
è:
d kx d k y d kz L

3
3
Numero di modi in un guscio
sferico di spessore dk :
2
3
4  k dk L 1
×2
3
8

Si divide per 8 perché contano solo i valori positivi e si
moltiplica per 2 per i gradi di libertà di polarizzazione
Spazio dei vettori d'onda
kz
dk
3

V
k
ky
2
kx
3
4  k dk L 1
×2
3
8

2
k dk
 k  dk = 2

È la densità degli stati
per unità di volume:
 2 
k= =
c
c
2
2
2
4 
8 v
2
  d  =
2 d = 3 d 
3
c
c
Legge di Rayleigh-Jeans
A questo punto se associamo a ogni
oscillazione del campo l'energia media k T
otteniamo un valore divergente per
l'energia totale:
2
∞
∫
0
8 v
kT
d

3
c
Ipotesi di Planck
L'energia del campo elettromagnetico è
quantizzata. Il parametro, per ora
esclusivamente empirico è chiamato costante di
Planck h. Ogni modo di frequenza ν ha un
numero di quanti di energia n
E=nhν
che dipende dalla temperatura secondo la
Termodinamica statistica:
Distribuzione di Boltzmann
P E j =
Ej
−
kT
e
Ej
−
kT
∑j e
Nel nostro caso il numero medio di quanti per
una frequenza ν è
〈 n〉=∑ j j P j
−
P j=
e
jh
kT
−
∑i e
jh
kT
Chiamiamo:
h
−
kT
x=e
〈 n 〉=
j −1
x∑ j j x
∑j x
x
〈 n〉=
=
1− x
j
d
1
=x (1−x )
dx 1−x
1
h
kT
e −1
( )
Curva di Planck
2
8πν
u (ν , T )d ν= 3 d ν h ν
c
1
hν
kT
e −1
Numero dei fotoni nel
modo del campo
Numero dei modi di oscillazione
Energia del singolo
fotone
Curva di Planck
3
8πh ν
u (ν , T )d ν=
3
c
2 h ν3
L (ν , T ) d ν= 2
c
1
u c
L=
4
dν
hν
kT
e −1
1
M =π L
dν
hν
kT
e −1
Per unità di lunghezza d'onda:
c
c
ν=
d ν=− 2 d λ
λ
λ
2hc
L (λ ,T )= 5
λ
2
1
e
hc
λ kT
−1
Curva di Planck ( http://en.wikipedia.org/wiki/Black_body)
Legge di Wien
2 h c2
L (λ ,T )= 5
λ
dL
=0
dT
1
e
hc
λ kT
−1
Legge di Wien :
–3
λ max T =2.897×10 m K =2897 μ m K
Esempi:
La temperatura effettiva del Sole è 5777 K,
corrispondente a 502 nm
vicino al massimo della sensibilità dell'occhio
umano
http://spie.org/x34389.xml
Fattore di luminosità relativa V (λ)
fattore di luminosità
K (λ)=K MAX V (λ)
Fattore di
Luminosità
scotopica (bassa
intensità) bastoncelli
Fattore di
Luminosità fotopica
(luce diurna) coni
http://en.wikipedia.org/wiki/Luminosity_function
nm
Grandezze radiometriche e fotometriche
flusso di radiazione
dU
Φ=
[W ]
dt
flusso luminoso (fotopico)
∞
Φ l =K MAX ∫0 Φ (λ)V (λ)d λ [ lumen ]
Intensità radiante
dΦ
I=
[ W/ sr ]
dΩ
K MAX =683 lm /W
Intensità luminosa
d Φl
I l=
[cd ]
dΩ
La candela è l'intensità luminosa di una sorgente che emette una radiazione
monocromatica di 5.4 1014 Hz con una intensità radiante nella direzione di emissione di
1/683 W/sr
radianza
2
d Φ
2
L=
[ W/ m sr ]
dA cos θ d Ω
luminanza
2
d Φl
2
Ll=
[ cd/ m ]
dA cos θ d Ω
Grandezze radiometriche e fotometriche
Emettenza luminosa
M l =∬2 π L l ( θ , ϕ)cos θ d Ω
Emettenza radiometrica
M =∬2 π L( θ , ϕ) cos θ d Ω
θ
Irradianza
dΦ
2
E=
[ W/ m ]
dA
Illuminamento
d Φl
El=
[ lm/ m 2 ]
dA
2
1 lm/ m =1 lux
Temperatura effettiva del sole e costante solare
http://en.wikipedia.org/wiki/Effective_temperature
Legge di Wien
2 h c2
L (λ ,T )= 5
λ
1
hc
λ kT
e −1
λ max T =2897 μ m K
Esempi:
Lampada a incandescenza, circa 3000 K,
λ max ≈1 μ m
Legna che brucia a 1500 K
λ max ≈2μ m
Corpo umano e mammiferi circa 300 K
λ max ≈10 μ m
http://en.wikipedia.org
/wiki/Black_body
MWIR λ=3−8 μ m
LWDIR λ=8−15 μ m
Sono le finestre
dell'infrarosso
termico
34 C
32 C
30 C
27 C
23 C
Legge di Stefan-Boltzmann
∞
∞
u (T )=∫0 u(ν ,T )d ν=∫0
3
8πh ν
3
c
∞
ℏ
= 2 3 ∫0
π c
1
hν
kT
e −1
3
ω
ℏω
kT
∞
d ν=∫0
dω
e −1
ℏω
Se: x =
allora:
kT
3
(k T )4 ∞
(k T )4 π 4
x
u (T )= 2
d x= 2
3 ∫0
x
π (ℏ c )
e −1
π (ℏ c )3 15
π2 k 4
4
u (T )=
T
3
15(ℏ c )
3
hω
2 3
π c
1
ℏω
kT
e −1
dω
2π
Legge di Stefan-Boltzmann
2
4
uc
L=
4π
π k
4
u (T )=
T
3
15(ℏ c )
5
4
2π k
4
M (T )=
T
3 2
15 h c
M =π L
k =1.38×10−23 J/K
−34
h=6.63×10 Js
8
c=3×10 m/s
M (T )=σ T 4
−8
σ=5.67×10
2
4
W/(m K )
Sorgenti termiche non nere
M (T )=ε(λ) M nero (λ ,T )
ε(λ)=a (λ ) emissività
M (T )=σ ε T
σ=5.67×10
−8
4
2
4
W/(m K )
Approssimazione di corpo grigio
M (λ , T )=ε M nero (λ , T ) ε (λ)= costante
Diaframmi e pupille di un sistema ottico
Raggio
principale
Raggio
marginale
Diaframma
di apertura
Pupilla di
ingresso
Modificato da:
Optics E. Hecht
Pearson 2002
Diaframma di apertura: diaframma fisico che limita la sezione trasversale
del fascio (l'energia) entrante nel sistema ottico
Raggio principale: raggio dall'oggetto passante attraverso il centro del
diaframma di apertura
Raggio marginale: raggio dall'oggetto passante attraverso il contorno del
diaframma di apertura
Pupilla di ingresso: Immagine del diaframma di apertura
attraverso la parte del sistema ottico che lo PRECEDE
Diaframmi e pupille di un sistema ottico (ii)
Raggio
principale
Diaframma
di apertura
Raggio
marginale
Pupilla di uscita: Immagine del diaframma di
apertura attraverso la parte del sistema ottico che
lo SEGUE
Energia radiante
2
D
=L A cos  d =L Acos 
2
4R
Superficie
radiante
D
θ
 
A'
s'
=
A
s
A
Pupilla di
ingresso,
diametro D
R
2
Piani
principali
s
s'
A'
Energia radiante
2
D
=L A cos  d =L Acos 
2
4R
 
A'
s'
=
A
s
2
Piani principali
A
A'
s'
s
Densità di energia nel piano immagine
2
2
2
Φ =L A cos θ π D =L s cos θ π D
2
2
A'
A'
s
'
4R
4R
( )
se s≈R , s ' ≈ f , allora:
2
Φ =L cos θ π D
2
A'
4f
In queste ipotesi, la densità di energia nel
piano immagine (al rivelatore) dipende solo
dalla radianza della superficie e dalle
caratteristiche del sistema ottico
Pirometro manuale
Sistema ottico
Operatore
Strumento di
misura
Superficie
radiante
Superficie
di riferimento
Per un corpo non nero è necessario conoscere
l'emissività
Pirometro a filamento
Michalski L., Eckersdorf K., Kucharski J., McGhee
J. Temperature measurement (2ed., Wiley, 2001)
http://www.pyrometer.com/PDF_files/MicroTherm.PDF