I LIMITI

I LIMITI
f:
In matematica , il concetto di limite serve a
descrivere il comportamento di una funzione
all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore,
oppure al crescere illimitato di tale argomento (per
esempio una successione).
Vediamolo con alcuni esempi:
Consideriamo la funzione
f: R → R
x → y = x-2
Come si vede mano a
mano che ci avviciniamo al
valore X=3 la funzione
tende al corrispondente
valore f(3)=1. Lo possiamo
vedere meglio con la
sottostante tabella
Grafico 1
x
2,00
2,50
2,55
2,80
2,85
2,90
2,93
2,95
2,98
3,00
3,05
Y
0,00
0.50
0.55
0.80
0.85
0.90
0,93
0,95
0.98
1,00
1,05
Consideriamo un’altra funzione
Grafico 2
Dall’analisi del suo grafico, (grafico 2 ) si nota
che la funzione ha lo stesso comportamento ,
anche nelle vicinanze di x=3 anche se la funzione
non è definita in x=3 . Lo possiamo verificare con
la tabella:
x
2,00
2,50
2,55
2,80
2,85
2,90
2,93
2,95
2,98
3,00
3,05
Y
0,00
0.50
0.55
0.80
0.85
0.90
0,93
0,95
0.98
0:0
1,05
Altre volte la funzione si comporta in maniera
“asintotica”nelle vicinanze di qualche punto,
come si può nell’ esempio successivo.
Grafico 3
Per descrivere il comportamento di una funzione nelle
vicinanze di un punto si utilizza il concetto di Limite.
Questa operazione la si rappresenta con il simbolo
Si legge : limite per x che tende a x0 di f(x).
Ad esempio, abbiamo visto che
La prima considerazione che dobbiamo fare è
che se descrivere il comportamento della
funzione nelle vicinanze di un punto significa
calcolare i valore che questa assume in punti via
via più vicini al punto x0 considerato allora
necessariamente x0 deve essere punto di
accumulazione per il dominio.
A volte si studia il comportamento della
funzione avvicinandoci a x0 solo da destra
x0
In questo caso si calcola un limite destro
A volte si studia il comportamento della
funzione avvicinandoci a x0 solo da sinistra
x0
In questo caso si calcola un limite sinistro
Si possono classificare i limiti in base ai diversi
comportamenti delle funzioni:
Limite finito per x che tende ad un valore finito
Sia f una funzione reale di variabile reale, f:A→R,
e sia x0 un punto di DA . Dire che
Significa dire che:
mano a mano che ci
avviciniamo a x0 la
funzione tende a l
Grafico 4
cioè che
comunque io scelga un intorno “piccolo a piacere” di
l, in corrispondenza di tale intorno esiste un intorno di
x0 tale che, per ogni x del dominio che appartiene a
tale intorno la
nell’intorno di l
Cioè
corrispondente
f(x)
cade
Oppure
A volte ci si avvicina ad x0 solo per valori minori
di x0 (da sinistra) o solo per valori maggiori di x0
In questi casi si parla di limite sinistro o limite destro:
oppure
Le definizioni diventano rispettivamente
Limite infinito per x che tende ad un valore finito
Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R
e sia x0 un punto di accumulazione per A. Dire che
Grafico 5
Mano a mano che ci avviciniamo a x0 la funzione
tende a +∞ , cioè significa dire che
comunque io scelga un “intorno di +∞”, in
corrispondenza di tale intorno esiste un intorno di x0
tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale
intorno la corrispondente f(x) cade nell’intorno di +∞
O meglio che
comunque io scelga un K positivo, “grande a piacere”,
in corrispondenza di tale K esiste un intorno di x0 tale
che, per ogni x del dominio che appartiene a
tale intorno la corrispondente f(x) è maggiore di K
Oppure
(1)
Possiamo avere anche
Grafico 6
In questo caso diremo che mano a mano che ci
avviciniamo a x0 la funzione tende a -∞
Significa dire che
comunque io scelga un “intorno di -∞”, in
corrispondenza di tale intorno esiste un intorno
di x0 tale che, per ogni x del dominio che
appartiene a tale intorno la corrispondente f(x)
cade nell’intorno di -∞
O meglio che
comunque io scelga un K positivo, “grande a piacere”, in
corrispondenza di tale K esiste un intorno di x0 tale che,
per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno f(x) è
minore di -K
Cioè
(2)
Le definizioni (1) e (2) possono essere riunite in
un’unica espressione
Anche in questo caso possiamo avere limiti destri
o limiti sinistri cioè
o
Oppure
o
Le definizioni diventano
Oppure
Limite finto per x che tende ad un valore infinito
1. Sia f una funzione reale di variabile reale, f:
A → R con A illimitato superiormente. Dire che
Significa dire che al tendere di x a +∞ f(x) tende a l
Vediamolo graficamente
Grafico 7
Come si può vedere, comunque io scelga un
intorno di l, in corrispondenza di tale intorno
esiste un intorno di +∞, tale che, per ogni x del
dominio che appartiene a tale intorno la
corrispondente f(x) cade nell’intorno di l
O meglio
2.
Sia f una funzione reale di variabile reale,
f: A → R con A illimitato inferiormente. Dire che
Significa dire che al tendere di x a -∞ f(x)
tende a l
Vediamolo graficamente
Grafico 8
Come si può vedere, comunque io scelga un
intorno di l, in corrispondenza di tale intorno
esiste un intorno di -∞, tale che, per ogni x del
dominio che appartiene a tale intorno la
corrispondente f(x) cade nell’intorno di l
O meglio
Limite infinito per x che tende ad un valore infinito
Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R
con A illimitato superiormente. Dire che
Significa dire che al tendere di x a +∞ anche
f(x) tende a +∞.
Vediamolo graficamente
Grafico 9
Come si può vedere, comunque io scelga un
intorno di +∞, in corrispondenza di tale intorno
esiste un secondo intorno di +∞, tale che, per
ogni x del dominio che appartiene a tale intorno
la corrispondente f(x) cade nel primo intorno di
+∞ , o meglio
Oppure
Analogamente, se f è una funzione reale di variabile
reale, f: A → R con A illimitato inferiormente o
semplicemente illimitato possiamo avere
oppure
Oppure
Significa dire che al tendere di x a -∞ f(x)
tende a +∞ o viceversa oppure che al tendere
di x a -∞ anche f(x) tende a -∞.
.
Si può dire che, comunque io scelga un intorno
di +∞ o - ∞, in corrispondenza di tale intorno
esiste un secondo intorno di - ∞ o +∞, tale che,
per ogni x del dominio che appartiene a tale
intorno la corrispondente f(x) cade nel primo
intorno di +∞ o - ∞, o meglio
Oppure
Le definizioni di limite possono essere sintetizzate
in unica definizione in
( R ampliato) . Per
si
intende
.
Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R
con
e sia x0 un punto di accumulazione per
A . Se
Allora vuol dire che