13.1 Esesvolta

GEOTECNICA
ESERCITAZIONE 13
CEDIMENTI
DI FONDAZIONI SUPERIFICIALI
1
ESERCIZIO 1
Il carico uniforme q = 100 kPa è applicato
Sull’area di forma rettangolare BNRD.
Determinare l’incremento di tensione nel punto P,
posto alla profondità di 5,0 m, dovuto
all’applicazione del carico q dato.
ESERCIZIO 1-Soluzione
Ipotizzando il mezzo elastico è possibile risolvere il problema mediante l’uso dell’abaco di Fadum ed il principio di
sovrapposizione degli effetti. L’abaco di Fadum permette infatti di determinare l’incremento di tensione
verticale che si registra in un punto posto ad una certa profondità al di sotto di uno spigolo dell’area di
carico. In questo caso si deve considerare un’area di carico fittizia avente spigolo sopra il punto P, per poi
andare a togliere successivamente i contributi non facenti parte della fondazione reale (applicazione del
PSE). Il carico agente su ciascuna delle impronte considerate è uniformemente distribuito e pari a q=100kPa.
A
A
M
C
N
E
M
R
C
E
∆σ z ( P ) = q ( k ABCP − k ADEP − k MNCP + k MREP )
Z=5m Profondità del punto P al di sotto del piano di
fondazione.
AREA
B [m]
m=B/z
L[m]
n=L/z
NB: B ed L sono intercambiabili.
ABCP
15
3
13
2,6
ADEP
5
1
13
2,6
MNCP
15
3
5
1
MREP
5
1
5
1
Entrando nell ’ abaco di Fadum con i valori
adimensionali di “ m ” ed “ n ” è possibile
determinare i rispettivi valori del coefficiente k.
ESERCIZIO 1-Soluzione
Esempio relativo all’area ABCP:
m=3 n=2,6
Dall’abaco di Fadum si ottiene:
k=0,242
Ovvero nel punto P, posto a 5m di profondità
dal piano di posa della fondazione, si
registra un incremento di tensione
verticale pari a q*k=q*0,242 in seguito
all ’ applicazione dell ’ impronta di carico
fittizia ABCP, sulla quale agisce un carico
uniformemente distribuito di valore q.
ESERCIZIO 1-Soluzione
Eseguendo il medesimo procedimento per tutte le impronte di carico prese in esame si ottiene:
AREA
B [m]
m=B/z
L[m]
n=L/z
k
∆σ’
∆σ v=q
k
ABCP
15
3
13
2,6
0,242
24,2kPa
ADEP
5
1
13
2,6
0,203
20,3kPa
MNCP
15
3
5
1
0,205
20,5kPa
MREP
5
1
5
1
0,177
17,7kPa
∆σ z ( P ) = q (k ABCP − k ADEP − k MNCP + k MREP ) = 100 ⋅ (0,242 − 0.203 − 0.205 + 0.177) = 1,1kPa
Oppure:
∆σ z ( P ) = 24,2 − 20,3 − 20,5 + 17,7 = 1,1kPa
Incremento di tensione verticale nel punto P,
posto a 5m di profondità dal piano di posa
della fondazione, che si registra in seguito
all ’ applicazione di un carico reale
uniformemente distribuito di valore q
sull’area DBNR.
NB: Attraverso l’impiego dell’abaco di Fadum è possibile determinare l’incremento di tensione verticale dovuto
alla presenza di più fondazioni poste nelle vicinanze del punto in esame (PSE)
ESERCIZIO 2
Si consideri il rilevato stradale di figura.
Determinare l’incremento di tensione verticale in
corrispondenza della condotta passante
per il punto P.
Altezza del rilevato: H = 3,5 m
Peso dell’unità di volume
del terreno costituente il
rilevato: γ = 18 kN/m3
ESERCIZIO 2-Soluzione
Anche in questo caso è possibile risolvere il problema mediante l’uso di un abaco, applicando il principio di
sovrapposizione degli effetti. In questo caso si devono considerare carichi nastriformi con sezione a trapezio
rettangolo.
N
∆σ z ( P ) = q ( I ABCD − I ABMN )
Si calcola il carico q, ovvero il carico agente sulla parte di altezza costante:
q = γ ⋅ hRILEVATO = 18 ⋅ 3,5 = 63kPa
ESERCIZIO 2-Soluzione
Z=2m Profondità del punto P al di sotto del piano di
posa del rilevato.
AREA
a [m]
a/z
b[m]
b/z
ABCD
3
1,5
12
6→∞
ABMN
3
1,5
3
1,5
Esempio relativo all’area ABCD:
a/z=1,5
b/z=6
Dall’abaco si ottiene:
I=0,5
Ovvero nel punto P, posto a 2m di profondità
dal piano di posa del rilevato, si registra
un incremento di tensione verticale pari a
q*I=q*0,5 in seguito all’applicazione del
carico trapezoidale ABCD nastriforme.
ESERCIZIO 2-Soluzione
Eseguendo il medesimo procedimento per tutti i trapezi rettangoli presi in esame:
AREA
a [m]
a/z
b[m]
b/z
I
∆σ’
∆σ v=qk
ABCD
3
1,5
12
6→∞
0,5
31,5kPa
ABMN
3
1,5
3
1,5
0,48
30,24kPa
∆σ z ( P ) = q ( I ABCD − I ABMN ) = 63 ⋅ (0,5 − 0,48) = 1,26kPa
Oppure:
∆σ z ( P ) = 31,5 − 30,24 = 1,26kPa
Incremento di tensione verticale nel punto P,
posto a 2m di profondità dal piano di posa
del rilevato, che si registra in seguito
all’applicazione del rilevato nastriforme di
sezione a trapezio rettangolo.
ESERCIZIO 3
Sia data una fondazione superficiale rigida e continua di larghezza B = 1,50 m, posta alla profondità di 2,00
m dal piano campagna. Si consideri un carico trasmesso dalla fondazione pari a 1,5 kg/cm2.
Determinare il cedimento della fondazione data, e valutare in quanto tempo si raggiunge una
consolidazione del 90%.
Strato 1: SABBIA FINE
Strato 2: ARGILLA NC
H1 = 5,0 m
H2 = 2,0 m
γd = 1,7 t/m3 γsat = 1,9 t/m3
γsat = 1,8 t/m3 Cc = 0,20
Strato 3: SABBIA FINE
e0 = 0,950 cv = 6x10-4 cm2/s
ESERCIZIO 3-Soluzione
I cedimenti nei terreni a grana fine sono in genere di entità maggiore rispetto a quelli dei terreni incoerenti. Si sceglie
quindi di trascurare la deformabilità degli strati sabbiosi, riducendo il calcolo del cedimento a quello relativo al
solo strato d’argilla.
Un’ulteriore ipotesi è quella di considerare il cedimento dell’intero strato d‘argilla di altezza H2=2m, pari al cedimento
calcolato in mezzeria allo strato stesso. Questa approssimazione è giustificata dallo spessore limitato di tale
strato. Si permette così di evitare la suddivisione in sottostrati.
Il cedimento edometrico ∆H valutato a metà
dello strato d’argilla (punto A) è pari a:
∆H =
H0
C ⋅ (logσ '1A − logσ '0 A )
1+ e0
Terreno normalconsolidato: coefficiente di compressione
Cc=0,20
H0=2m=200cm
e0=0,950
logσ
σ’v0A Tensione verticale efficace in A per t<0
logσ
σ’v1A Tensione verticale efficace in A per t>>0
Strato 2: ARGILLA NC
A
H2 = 2,0 m
γsat = 1,8 t/m3 Cc = 0,20
e0 = 0,950 cv = 6x10-4 cm2/s
ESERCIZIO 3-Soluzione
Si valuta la tensione verticale efficace del punto A σ’v0A al tempo t<0.
D=2m
=5m
A
=2m
σ 'V 0( A) = γ d1 ⋅ D + γ '1 (H1 − D) + γ '2 (H2 / 2) = 69kPa
Si valuta ora l’incremento di tensione verticale efficace che si registra nel punto A al tempo t>>0, ovvero molto
tempo dopo la costruzione della fondazione superficiale rigida. Tale stima, in caso di fondazione rigida, può
essere effettuata attraverso l’uso di un metodo approssimato che considera una ridistribuzione del carico
superficiale netto qn su di un area che via via aumenta con la profondità, seguendo una pendenza di 2:1.
qn = (q − γ d1 ⋅ D) = 116kPa
D=2m
=5m
Z~
A
=2m
Solo il carico netto dà un incremento
di tensione verticale rispetto alla
tensione preesistente σ’v0.
~
Z = (H1 − D + H2 / 2) = 4m
∆σ 'V ( A) = qn
B
B
=
(
−
γ
⋅
)
q
D
~
~ = 31,6kPa
d1
B+Z
B+Z
ESERCIZIO 3-Soluzione
Il cedimento edometrico ∆H valutato a metà dello strato d’argilla (punto A) vale:
H0
σ 'v0 +∆σ 'v
Sed = ∆H =
Cc ⋅ (log
) = 3,36cm
1+ e0
σ 'v0
Per ARGILLE NC il cedimento totale può essere considerato pari a quello edometrico aumentato del 10%
(Burland et al., 1978):
St = Si + S c = 10%S ed + S ed = 1,1S ed = 3,70cm
Nel caso in cui si volesse, invece, considerare esaurito il processo di consolidazione in corrispondenza del suo
90%, si ottiene il seguente cedimento totale:
St 90% = Si + 90% S c = 10% S ed + 90%S ed = S ed = 3,36cm
ESERCIZIO 3-Soluzione
Si richiede inoltre di valutare in quanto tempo viene raggiunta una consolidazione del 90%. Utilizzando il seguente
grafico, è possibile determinare il fattore tempo adimensionale Tv relativo ad un grado di consolidazione del 90%.
Si fa riferimento alla curva intermedia corrispondente alla situazione di drenaggio da ambo i lati.
U = 90% ⇔ Tv = 0,848
90%
Tv=0,848
Sapendo che:
cv ⋅ t
Tv = 2
H
Percorso MAX di filtrazione
H2/2 (drenaggio ambo i lati).
Si ricava:
Tv ⋅ H 2 0,848⋅1002 cm2
8
t=
=
=
0
,
1413
⋅
10
s ≅ 5,5mesi
2
−4
cv
6 ⋅10 cm / s
ESERCIZIO 4
Sul piano campagna della stratigrafia di figura è appoggiato un serbatoio metallico di sezione circolare di
raggio 7,5 m contenente petrolio per un’altezza di 10,0 m.
Determinare i cedimenti di consolidazione (al centro ed al bordo) del terreno di fondazione ed il loro
andamento nel tempo.
γpetrolio = 9 kN/m3
ESERCIZIO 4
ESERCIZIO 4
ESERCIZIO 4-Soluzione
Il serbatoio può essere assimilato ad una FONDAZIONE FLESSIBILE. Si trascura il calcolo dei cedimenti negli strati
incoerenti, limitandosi al calcolo dei cedimenti nel mezzo di ciascuno degli strati a grana fine (Argilla grigia,
argilla grigia ed argilla limosa grigia).
Il cedimento al di sotto del bordo del serbatoio vale:
S bordo = S ( −7 m ) bordo + S ( −11m ) bordo + S ( −16 m ) bordo
Il cedimento al di sotto del centro del serbatoio vale:
S centro = S ( −7 m ) centro + S ( − 11m ) centro + S ( −16 m ) centro
In generale il cedimento di consolidazione di ciascuno strato viene valutato attraverso la seguente espressione:
H0
σ 'v0 +∆σ 'v
Sedo =
C? ⋅ (log
)
1+ e0
σ 'v0
Terreno normalconsolidato: coefficiente di compressione Cc=0,20
H0 Altezza del singolo sottostrato
e0 Indice dei vuoti del singolo sottostrato
σ’v0 Tensione verticale efficace in mezzeria del sottostrato in t<0
∆σ’v
∆σ Incremento di tensione verticale efficace nel sottostrato per t>>0
ESERCIZIO 4-Soluzione
Si valuta la tensione verticale efficace nella mezzeria di ciascuno dei sottostrati di grana fine σ’v0A al tempo t<0
(analoghe tensioni al bordo ed al centro perché analoga profondità rispetto al piano campagna).
σ 'V 0( −7 m) = 17 ⋅ 2 + 9 ⋅ 4 + 8 ⋅1 = 78kPa
σ 'V 0( −11m) = 78 + 8 ⋅1 + 9 ⋅ 2 + 8 ⋅1 = 112kPa
σ 'V 0( −16m) = 112 + 8 ⋅1 + 10 ⋅ 3 + 9 ⋅1 = 159kPa
ESERCIZIO 4-Soluzione
Per la valutazione degli incrementi di tensione verticale efficace nella mezzeria di ciascuno dei sottostrati di
grana fine ∆σ’
∆σ v al tempo t>>0 (differenti tra bordo e centro) viene utilizzato il seguente grafico, rappresentante
i bulbi di pressione ottenuti mediante l’applicazione della teoria dell’elasticità di Boussinesq.
L ’ incremento di tensione verticale efficace al di sotto del
CENTRO del serbatoio circolare (raggio serbatoio R=7,5m) vale:
Profondità
x/R
z/R
Is
∆σ’
∆σ v=q·Is
Sedo
7m
0
0,93
0,70
63kPa
6,40cm
11m
0
1,47
0,45
41kPa
3,40cm
16m
0
2,13
0,27
24kPa
1,12cm
Il cedimento edometrico totale al centro è pari alla somma dei
tre cedimenti appena calcolati:
S EDOcentro = 6,40 + 3,40 + 1,12 = 10 ,92 cm
Si ipotizza che il cedimento di consolidazione sia pari a quello
edometrico.
NB: Per ciascuno dei sottostrati viene calcolato il relativo
cedimento edometrico ed il cedimento edometrico totale si
ricava dalla somma delle singole aliquote.
Centro
x/R=0
z/R=
0,93
Is=0,70
ESERCIZIO 4-Soluzione
Per la valutazione degli incrementi di tensione verticale efficace nella mezzeria di ciascuno dei sottostrati di
grana fine ∆σ’
∆σ v al tempo t>>0 (differenti tra bordo e centro) viene utilizzato il seguente grafico, rappresentante
i bulbi di pressione ottenuti mediante l’applicazione della teoria dell’elasticità di Boussinesq.
L’incremento di tensione verticale efficace al di sotto del BORDO
del serbatoio circolare (raggio serbatoio R=7,5m) vale:
Profondità
x/R
z/R
Is
∆σ’
∆σ v=q·Is
Sedo
7m
1
0,93
0,34
31kPa
3,62cm
11m
1
1,47
0,27
24kPa
2,12cm
16m
1
2,13
0,19
17kPa
0,81cm
Il cedimento edometrico totale al bordo è pari alla somma dei
tre cedimenti appena calcolati:
S EDObordo = 3,62 + 2,12 + 0,81 = 6,55 cm
Si ipotizza che il cedimento di consolidazione sia pari a quello
edometrico.
Bordo
x/R=1
z/R=
0,93
Is=0,34
(interpolazione)
ESERCIZIO 4-Soluzione
Si studino ora gli andamenti dei cedimenti edometrici nel tempo al di sotto del centro del serbatoio.
Si considera la seguente CURVA di CONSOLIDAZIONE TEORICA.
Si scelgono alcuni punti della curva teorica di
coordinate (Tv;U%) da trasformare in
coordinate (t,s(t)) per ottenere la curva
cedimenti-tempo desiderata.
Sapendo che:
c ⋅t
Tv = v 2
H
Si ricava per ciscun
sottostrato:
Percorso MAX di filtrazione
H2/2 (drenaggio ambo i lati).
Tv ⋅ H 2
t=
cv
ESERCIZIO 4-Soluzione
Tv ⋅ H 2
t=
cv
Essendo H e Cv analoghi per i primi due sottostrati a grana fine,
ottengo per ciascuno di essi gli stessi valori di tempo t in
corrispondenza dello stesso grado di consolidazione U%.
H cv
s(t ) = sedo ⋅U %
Il grado di consolidazione U% per definizione è il rapporto tra il cedimento
al tempo t ed il cedimento di consolidazione, pari a quello edometrico.
Secondo strato d’argilla:
Primo strato d’argilla:
U%
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tv
0,032
0,07
0,12
0,197
0,28
0,4
0,59
0,85
t [s]
t [giorni] s(t) [cm]
355556
4
1,28
777778
9
1,92
1333333
15
2,56
2188889
25
3,2
3111111
36
3,84
4444444
51
4,48
6555556
76
5,12
9444444
109
5,76
6,4
U%
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tv
0,032
0,07
0,12
0,197
0,28
0,4
0,59
0,85
Terzo strato d’argilla:
U%
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tv
0,032
0,07
0,12
0,197
0,28
0,4
0,59
0,85
t [s]
t [giorni] s(t) [cm]
106667
1
0,224
233333
3
0,336
400000
5
0,448
656667
8
0,56
933333
11
0,672
1333333
15
0,784
1966667
23
0,896
2833333
33
1,008
1,12
t [s]
t [giorni] s(t) [cm]
355556
4
0,68
777778
9
1,02
1333333
15
1,36
2188889
25
1,7
3111111
36
2,04
4444444
51
2,38
6555556
76
2,72
9444444
109
3,06
3,4
ESERCIZIO 4-Soluzione
Primo strato d’argilla:
Secondo strato d’argilla:
Terzo strato d’argilla:
Si dovrebbero ora sommare i tre contributi per
determinare un’unica curva cedimenti-tempo; si noti
però come i valori di t, in corrispondenza dei quali si
sono calcolati i cedimenti s(t), siano diversi tra i primi
due strati ed il terzo strato. Per sommare le tre curve
punto per punto bisognerebbe scegliere valori di t fissi
e da tali valori ricavare i Tv ed i rispettivi gradi di
consolidazione U% per ciascun sottostrato.
CALCOLO DEI CEDIMENTI
TERRENI NON COESIVI
Per i terreni non coesivi: l’entità dei cedimenti è sicuramente in molti casi più contenuta. Il loro calcolo, ad ogni modo,
risulta assai complesso essendo i parametri di compressibilità non facili da ricavare → difficoltà di prelevare campioni
indisturbati. La maggior parte dei metodi si basa sull’uso diretto dei risultati delle prove in sito.
METODO DI BURLAND E BURBIDGE (1985)
Tale metodo è utilizzato per la stima del cedimento di fondazioni su sabbie NC e OC, dai risultati di prove SPT, e si basa
su un’analisi statistica di oltre 200 casi reali, comprendenti fondazioni con 0.8m<B<135m
W / Zi = q'⋅I c
W [mm] = q'⋅I c ⋅ B 0, 7
Ic =
W=cedimento in mm
Zi=B0,7 profondità significativa dal piano di posa della fondazione in m
q’=pressione efficace media sul piano della fondazione in kPa
σ’v0=pressione verticale efficace preesistente sullo stesso piano in kPa
B=larghezza della fondazione in m
Ic=indice di compressibilità
NSPT=numero di colpi medio SPT
1, 706
N1,4
SPTm
L’indice di compressibilità Ic è calcolato in funzione del valore di NSPTm che rappresenta il valore medio di NSPT alla
profondità significativa zi prima indicata, quando NSPT è costante o crescente con la profondità. Con valori decrescenti
di NSPT, la media va fatta entro una profondità pari a 2B.
Per sabbie fini e/o limose sotto falda NSPT va corretto: →
N’ = 15 + 0.5(NSPT-15)
Per ghiaie e/o sabbie con ghiaia NSPT va incrementato del 25% →
N’ = 1,25 NSPT
CALCOLO DEI CEDIMENTI:METODO DI BURLAND E BURBIDGE (1985)
I CASO: SABBIA NC
(fondazione quadrata)
W [mm] = q'⋅I c ⋅ B 0, 7
II CASO: SABBIA NC
(fondazione quadrata
e piano di posa a
profondità D dal PC)
W [mm] = σ 'vo ( D ) ⋅ I c / 3 ⋅ B 0, 7 + (q '−σ 'vo ) I c ⋅ B 0, 7
Eseguo uno scavo nel terreno fino
ad una profondità D, profondità alla
quale costruisco la fondazione che
trasmette il carico q al terreno. Fino
a σ’ v0 il terreno si ricarica ed è
dunque meno deformabile (Ic/3).
III CASO: SABBIA OC
(fondazione quadrata)
TERRENI NON COESIVI
Superato il valore di σ’v0 il terreno si
trova in compressione vergine ed è
dunque più deformabile (Ic).
W [mm] = q '⋅I c / 3 ⋅ B 0, 7
W [mm] = σ ' p ⋅I c / 3 ⋅ B 0, 7 + (q '−σ ' p ) I c ⋅ B 0, 7
q’<σ
σ ’ p il sovraccarico q’ è
inferiore alla tensione di
preconsolidazione (Sabbia OC
che rimane OC anche dopo
l’applicazione di q).
q ’ >σ
σ ’ p il sovraccarico q’ è
maggiore della tensione di
preconsolidazione (Sabbia OC
che diviene NC).
CALCOLO DEI CEDIMENTI:METODO DI BURLAND E BURBIDGE (1985)
TERRENI NON COESIVI
APPLICAZIONE DEI COEFFICIENTI CORRETTIVI PER FORMA FONDAZIONE, SPESSORE STRATO COMPRESSIBILE E
COMPRESSIONE SECONDARIA.
W [mm] = W ⋅ C1 ⋅ C2 ⋅ C3
Tiene conto della forma
della fondazione
Tiene conto dello spessore H
dello strato deformabile per
H<zi
(zi = profondità significativa)
Tiene conto della compressione secondaria,
dove t≥3 è il tempo in anni dopo la fine
costruzione, R3 =0,3 per carichi statici o 0,7
per carichi ciclici. Rt =0,2 per carichi statici o
0,8 per carichi ciclici.
Per t≥30anni C3=1,5 per strutture ordinarie
C3=2,5 per strutture speciali
CONSIDERANDO L’ELEVATO GRADO DI INCERTEZZA NEL CALCOLO DEL CEDIMENTO SU SABBIA, SI ASSUME UN
CEDIMENTO TOTALE OTTENUTO INCREMENTANDO DEL 50% QUELLO CALCOLATO CON I METODI EMPIRICI A
DISPOSIZIONE.
Wtot [mm] = 1,5 ⋅W
ESERCIZIO 5
Un plinto quadrato in c.a. di lato 2,5 m appoggia alla profondità di 1,5 m dal piano campagna.
Il terreno di fondazione è costituito da un deposito di sabbia medio-fine caratterizzata da un peso dell’unità
di volume pari a 19,0 kN/m3. I risultati di una prova SPT eseguita su tale terreno sono riportati in
figura.
Ipotizzando che il carico trasmesso dal plinto al terreno di fondazione sia pari a 200 kPa, determinare il
cedimento della fondazione.
ESERCIZIO 5-Soluzione
II CASO: SABBIA NC
(fondazione quadrata
e piano di posa a
profondità D dal PC)
Dove:
W [mm] = σ 'vo ( D) ⋅ I c / 3 ⋅ B 0, 7 + (q − σ 'vo ) I c ⋅ B 0, 7
Z i = B 0 , 7 = 2 ,5 0 , 7 = 1,9 m
Ic =
1, 706
N1,4
SPTm
σ 'v 0 = γ ⋅ D = 28 ,5 kPa
NSPTm=30 Calcolato nel tratto di profondità significativa Zi,
considerata a partire dal piano di posa.
Ic =
1,706
= 0 , 015
N 1, 4 SPTm
W [mm] = 28,5 ⋅ I c / 3 ⋅1,9 +
+ (200 − 28,5) I c ⋅1,9 = 5,16mm
A tale cedimento si applicano in generale i
COEFFICIENTI CORRETTIVI PER FORMA DELLA
FONDAZIONE,
SPESSORE
STRATO
COMPRESSIBILE
E
COMPRESSIONE
SECONDARIA.
ESERCIZIO 5-Soluzione
Fondazione quadrata
C1=1
Nessuna correzione perché
H>zi
Per t≥30anni per struttura ordinaria C3=1,5
W [mm] = W ⋅ C1 ⋅ C2 ⋅ C3 = 5,16mm ⋅1,5 = 7,24mm
CONSIDERANDO L’ELEVATO GRADO DI INCERTEZZA NEL CALCOLO DEL CEDIMENTO SU SABBIA, SI ASSUME UN
CEDIMENTO TOTALE OTTENUTO INCREMENTANDO DEL 50% QUELLO CALCOLATO CON I METODI EMPIRICI A
DISPOSIZIONE.
Wtot [mm] = 1,5 ⋅ 7,24mm = 11,6mm