la ricerca operativa - itcg galilei di avigliana

RICERCA OPERATIVA
(PROBLEMI DI SCELTA)
G.Barbaro
1
Il termine “ RICERCA OPERATIVA” sembra sia stato usato per la prima volta
nel 1939, ma già precedentemente alcuni scienziati si erano occupati di
problemi decisionali:
Fra gli esempi isolati, ma importanti di anticipazione dei metodi della RO
possiamo ricordare i seguenti :
•Nel 1776 il matematico G. MONGE ha affrontato un problema di trasporti
esaminandone con metodi analitici gli aspetti economici.
•Nel 1885 F.W. TAYLOR ha pubblicato uno studio sui metodi di produzione
•Nel 1908 A.K. ERLANG ha studiato il problema della congestione del traffico
telefonico.
Tuttavia il progresso della RO non si sarebbe forse verificato se non fosse
stato per i suoi sviluppi nelle organizzazioni militari durante la seconda
guerra mondiale.
G.Barbaro
2
Durante la II Guerra Mondiale i responsabili militari inglesi si rivolsero agli
scienziati per chiedere il loro aiuto, quando iniziò l’attacco aereo tedesco sulla
Gran Bretagna.
L’aiuto specifico chiesto agli scienziati riguardava l’adozione del radar nella
strategia di difesa aerea.
Piccoli gruppi di scienziati, provenienti da diverse discipline, lavorarono su
questi problemi con notevole successo nel periodo 1939-1940.
Questi gruppi di scienziati avevano come riferimenti i responsabili delle
operazioni militari e quindi il loro lavoro divenne noto come “Ricerca
Operativa”.
Dopo la guerra, questi operatori vennero, poco a poco, assorbiti dall’industria,
dalle aziende di consulenza, da università e da organizzazioni statali.
Oggi la maggior parte delle grandi imprese si serve della RO.
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DEFINIZIONE DI RICERCA OPERATIVA
(MORSE E KIMBALL)
La ricerca operativa è l’applicazione del metodo scientifico da
parte di gruppi interdisciplinari a sistemi complessi e
organizzati per fornire al personale dirigente soluzioni
utilizzabili nei processi decisionali .
ESEMPLIFICAZIONE
UFFICIO APPROVVIGIONAMENTO
DECISIONI IN MERITO A:
•QUANTITA’ DI MATERIA PRIMA DA ACQUISTARE
•DA QUALE FORNITORE ACQUISTARE
•QUANDO ACQUISTARE
1 – Formulazione
del problema
Fasi di una
ricerca
operativa
2 – Raccolta
dei dati
3 – Costruzione del
modello matematico
4 – Ricerca di
una soluzione
5 – Controllo
del modello
e della soluzione
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FORMULAZIONE DEL PROBLEMA E RACCOLTA DATI
In una prima fase è necessario determinare con chiarezza gli
obbiettivi appropriati, i vincoli da porre, le intercorrelazioni tra
il settore da studiare e gli altri settori dell’organizzazione ecc…
Questa fase è fondamentale, perché influenza molto le
conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio
cioè la raccolta dei dati che saranno utilizzati per le fasi
successive
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7
Costruzione del modello matematico
I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni
reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche.
Ci sarà sempre una funzione obiettivo da massimizzare(ricavi,
profitti, vendite) o minimizzare(costi, perdite, macchinari).
Tale funzione dipenderà da una o più variabili d’azione (o
variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi
valori.
Le variabili spesso sono legate tra di loro, e devono sottostare a
determinate limitazioni.
Tutto questo sarà rappresentato nel modello da equazioni e da
disequazioni.
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8
MODELLO MATEMATICO
Funzione Obiettivo
Y = f (x 1, x 2…………..x n)
La funzione obiettivo esprime un costo, un ricavo, un guadagn0
+
Vincoli
espressi da equazioni e\o disequazioni
I vincoli sono di due tipologie: vincoli di segno(che esprimono la
positività delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle
situazioni reali p.es. capacità del magazzino)
Le variabili x1 , x2 …. xn si chiamano variabili di azione e sono
le variabili controllabili
Creato il modello matematico, si cerca, se esiste, la soluzione ottimale, o con
i metodi della matematica classica, o con metodi di analisi numerica, oppure
con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di
migliorarla.
Una soluzione ottimale è quella che massimizza o minimizza (a seconda dei
casi) la misura del rendimento in un modello
Trovata la soluzione ottimale nel
modello, bisogna verificare la
corrispondenza tra il modello e la
realtà e la soluzione deve essere
valutata.
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10
ESEMPIO
Un’azienda che produce concime ha una capacità
produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana.
Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a
15.000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro
al quintale.
Il prezzo di vendita del prodotto è legato alla domanda
dalla funzione: x = 250 – 0,5 * p
Determinare la quantità da produrre settimanalmente per
massimizzare il guadagno
P = 500 – 2*x
Il guadagno è dato da :
Y = (500 – 2*x)*x –15.000 –30*x
Y = -2x2 +470 –15.000
con vincoli:
x>=0
x<=220
Il modello risolto con l’analisi ci conduce alla conclusione che
sarà necessario vendere 117,5 quintali di concime
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R. O.
EFFETTI
IMMEDIATI
CONDIZIONI
CERTEZZA
R.O.
•Max.-min(continui-discreti) ad
una o due variabili
•Scorte
•Scelte tra due o più alternative
•Programmazione Lineare
EFFETTI
DIFFERITI
EFFETTI
IMMEDIATI
CONDIZIONI
INCERTEZZA
EFFETTI
DIFFERITI
Investimenti Finanziari e
Industriali
Nei problemi di R.O. spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti
relazioni:
Costo totale che verrà indicato con C(x)
C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv
Costo fisso è il costo che non dipende dalla quantità x di beni prodotti e/o
venduti
Costo variabile è il costo che dipende dalla quantità x di beni prodotti e/o
venduti
Ricavo è ciò che si ottiene dalla vendita di uno o più prodoti.
Lo indicheremo con R(x) = p·x cioè il prodotto del prezzo per la
quantità venduta
Guadagno o Utile.
Verrà indicato con U(x) = R(x) –C(x)
G.Barbaro
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PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO
In questi problemi dovrà essere ricercato il MIN nel
caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo
In questi problemi dovrà essere ricercato il MAX nel caso
in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile
Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo
valori interi. In tal caso si parla di problemi DISCRETI.
Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i
valori interi e non interi. Si parla di problemi CONTINUI.
G.Barbaro
15
Problema
Un commerciante acquista prodotti al costo di 0,7 euro al kg e li rivende a 1,2
euro al kg.
Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo può
trasportare giornalmente 20 kg di merce.
Calcolare la quantità di prodotti da vendere per avere il massimo Utile.
E’ un problema di tipo continuo.
x = quantità prodotti venduti (problema continuo)
R(x) = 1,2·x
C(x) = 6 + 0,7·x
U(x) = R(x) - C(x) = 1,2·x – (6 + 0,7·x ) = 0,5·x - 6
G.Barbaro
16
Riassumendo il modello matematico sarà il seguente:
U(x) = 0,5·x - 6
Funzione Obiettivo
Con vincoli x ≥ 0
e x ≤ 20
Vincolo di segno
Vincoli tecnici
In x =12 si il punto
di equilibrio
6
4
Break-even point
2
U
0
0
-2
10
5
20
15
P
25
Che divide la zona
di perdita da quella
di utile
-4
-6
Per x=20 si ha il
MAX utile
-8
G.Barbaro
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Problema
Un laboratorio artigianale fabbrica birra.
Il prezzo unitario è legato alla quantità x venduta secondo la
seguente relazione p= 50 – 0,1 x .
Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000
più un costo unitario variabile Cuv= 10 euro . Determinare la quantità di
birra da produrre per ottenere il massimo guadagno.
X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo)
R(x) = (50-0,1x) · x
C = 1000 + 10· x
U(x) = R(x) – C(x) = (50-0,1x) · x - (1000 + 10· x)
Quindi
U(x) = -0,1 · x2 + 40 · x- 1000
G.Barbaro
18
Quindi il Modello matematico sarà costituito da:
U(x) = -0,1 · x2 + 40 · x- 1000
Funzione obiettivo
x≥0
vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici)
In questo esempio la funzione obiettivo è una parabola,
pertanto per disegnarla occorre trovarne concavità, vertice
e intersezione con gli assi (in particolare con l’asse delle x).
Xv = -b/2a = 200
Yv = 3000 (sostituendo nella funzione)
Intersezioni con l’asse delle x risolvendo l’equazione:
-0,1 · x2 + 40 · x- 1000 = 0
x1 = 26,8
G.Barbaro
x2 = 373,2
19
3500
3000
2500
Utile
2000
1500
1000
500
0
-500 0
50
100
150
200
250
300
350
400
-1000
-1500
x
I limiti di produttività(cioè le intersezioni della funzione con l’asse delle x)
sono dati dai valori di 26,8 373,2 litri
Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene
producendo e vendendo 200 litri di birra
G.Barbaro
20
Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacità produttiva di
300 litri di birra al giorno ?
Il Modello matematico sarà costituito da:
U(x) = -0,1 · x2 + 40 · x- 1000
Funzione obiettivo
x≥0
E x ≤ 300
vincolo di segno e tecnici
3500
3000
2500
2000
Utile
Il massimo
corrisponde
sempre a 200 litri
di birra
1500
1000
500
0
-500 0
50
100
150
200
250
300
350
400
-1000
-1500
x
G.Barbaro
21
In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere
all’analisi matematica
Nel caso di funzione ad una variabile:
•Calcolo della derivata prima
•Porre la derivata prima uguale a zero ( C.N.M.N.S.)
•Studio del segno della derivata prima (primo metodo)
•o calcolo della derivata seconda (secondo metodo)
G.Barbaro
22
Nel caso di funzione a due variabili senza
vincoli si deve procedere al calcolo
delle derivate parziali prime e porle
uguali a zero:
 f 'x  0

f' 0
 y
Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dell’Hessiano semplice:
H
f ''
f ''
xx
yx
f ''
xy
f ''
yy
Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili
G.Barbaro
23
Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti
Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere
solo valori interi.
Può accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione
matematica il legame tra prezzo e quantità venduta o tra costo e quantità
venduta.
In tal caso si aggira l’ostacolo utilizzando una tecnica differente
G.Barbaro
24
L’analisi di un problema discreto di questo tipo si può condurre anche
utilizzando la cosiddetta
ANALISI MARGINALE
Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione:
Δ f = f(x+1) – f(x) tale differenza è detta incremento marginale
Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione è crescente, se
sono negativi è decrescente.
•Quando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi
significa che si è in presenza di un massimo
•Quando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi
significa che siamo in presenza di un minimo
In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il
ricavo marginale ed il costo marginale
G.Barbaro
25
ESEMPIO
Un prodotto è fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno.
I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno, mentre il costo variabile è di 2,8
euro al pezzo. La produttività giornaliera massima è di 8 lotti.
Il prezzo di vendita al lotto non è costante , ma varia con il numero di lotti
prodotti secondo al seguente tabella:
n.r.
lotti
1
Prezzo 400
unitario
2
3
4
5
6
7
8
400
380
360
350
320
280
250
Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile
G.Barbaro
26
Applichiamo questa tecnica all’esempio precedente:
n.ro lotti
costi
ricavo guadagno Costo
Ricavo
marginale marginale
1
640
400
-240
-
-
2
780
800
20
140
200
3
920
1140
220
140
340
4
1060
1440
380
140
300
5
1200
1750
550
140
310
6
1340
1920
580
140
170
7
1480
1960
480
140
40
8
1620
2000
380
140
40
Costo per lotto
2,8·50 =140 euro
a cui aggiungere
il costo fisso
Max.
Conviene espandere la produzione finchè il ricavo marginale
supera il costo marginale
G.Barbaro
27
Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni:
I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni
matematiche; in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max.
min. approssimando gli eventuali dati non interi
Non è possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni
matematiche; in tal caso si ricorre alle tabelle(come nell’esempio)
utilizzando l’analisi marginale
G.Barbaro
28
PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIU’ ALTERNATIVE
Nei problemi ad una sola alternativa, lo scopo era quello di determinare un valore
della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo. Vi sono
anche dei problemi in cui lo scopo è quello di scegliere l'alternativa più
conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono , per esempio
procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto, oppure tariffe diverse
per il trasporto di merce.
Per arrivare alla soluzione di questi problemi sarà necessario:
•rappresentare graficamente, su un unico piano cartesiano, le diverse alternative;
•determinarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di
indifferenza(BEP);
•determinare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o l’altra alternativa
G.Barbaro
29
ESEMPIO
Per il trasporto di una merce un’impresa può ricorrere a due differenti ditte per il
trasporto.
La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione più un costo di 0,5
euro per ogni chilometro del tragitto;
La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro più un costo per chilometro pari a 1
euro.
Con quali modalità effettuare la scelta tra le due offerte?
G.Barbaro
30
E’ un problema di costi.
Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale.
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
Funzioni
C(x) = 50 + 0,5 · x
C(x) = 30 + 1 · x
obiettivo
x≥0
vincolo
Dove x, che è la variabile di azione, rappresenta il numero di km
G.Barbaro
31
Graficamente:
SCELTA TRA ALTERNATIVE
140
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
NUMERO KM
100
ALTERNATIVA A
ALTERNATIVA B
X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP)
Con x < 40 km conviene l ‘offerta B
Con x > 40 km conviene l’offerta A
G.Barbaro
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ESEMPIO
Per trasportare della merce, ci si può servire di 3 imprese A, B, C, le
quali offrono i loro servizi
alle seguenti condizioni :
A)
10 euro a tonnellata
B)
120 euro fissi, più 6 euro a tonnellata
C)
200 euro fissi, più 5 a tonnellata
Determinare quando sarà più conveniente servirsi di ciascuna delle tre
imprese.
Questo è un esempio più complesso essendo tre
le alternative
G.Barbaro
33
Graficamente la situazione è la seguente
costo totale
800
600
OFFERTA A
OFFERTA B
400
OFFERTA C
200
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
tonnellate
Fina a 30 ton conviene l’offerta A
Fra 30 e 80 tonnellate conviene l’offerta B
Oltre 80 tonnellate conviene l’offerta C
G.Barbaro
34
ESEMPIO
Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di
vendita è fissato in 10 euro;per la stampa deve decidere tra le seguenti
alternative:
LAVORAZIONE A
Costo fisso = 4000 euro
Costo variabile = 2 euro/unità
Costo pubblicità = 0,1 % del quadrato del numero di libri
LAVORAZIONE B
Far eseguire il lavoro da terzi con un
Costo totale = 8 euro/unità
La massima tiratura consentita è di 6000 libri.
G.Barbaro
35
Il modello matematico è il seguente:
CA(x) = 4000 + 2x +0,001 x2
CB(x) = 6x
UA(x) = 10x – (4000 + 2x +0,001 x2) = -0,001x2 +8x -4000
UB(x) = 10x -8x = 2 x
Con x ≥ 0 e x ≤ 6000
G.Barbaro
36
Graficamente:
20000
15000
UTILE
10000
5000
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
-5000
6000
7000
8000
9000
ALTERNATIVA A
NUMERO TESTI
ALTERNATIVA B
Per 0<x < 763 conviene la lavorazione B
X=764 punto di indifferenza
Per 764<x<5235 conviene la lavorazione A
x= 5236 punto di indifferenza
Per 5237< x < 6000 conviene la lavorazione B
G.Barbaro
37
IL PROBLEMA DELLE SCORTE
Il problema delle scorte riguarda la modalità con cui un'azienda manifatturiera si
approvvigiona di materie prime oppure un'azienda commerciale si rifornisce di
prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela.
Il problema delle scorte prevede:
•costi fissi per ogni ordinazione
•costi variabili di stoccaggio per ogni unità di merce
•costi di acquisto della merce.
Osserviamo subito che, per limitare i costi di ordinazione, bisognerebbe
fare poche ordinazioni ma di grosse quantità , questo però aumenterebbe
i costi di magazzino. Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla
quantità immagazzinata. Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti.
Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la
somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio. Di tale funzione si
determina il minimo
G.Barbaro
38
Il problema delle scorte in realtà è piuttosto complesso e per comprenderne la
complessità si può rappresentare su un grafico l’andamento di un
magazzino:
Quantità di merce
in magazzino
tempo
Tale andamento può assumere
diverse connotazioni anche per
eventi non preventivabili(scioperi,
cali di produzione,…)
G.Barbaro
39
E’ necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema:
-la quantità di merce da ordinare è fissa per ogni ordinazione e, inoltre, arriva in magazzino
quando esso si è svuotato;
-il consumo dello stock è uniforme nel tempo.
L'andamento delle scorte assume, quindi, un andamento periodico e lineare
G.Barbaro
40
Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati:
Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere l’anno)
S = costo fisso per ogni ordinazione
s = costo di magazzinaggio variabile
x = quantità ottimale da ordinare ogni volta
Quindi: Q/x = numero di ordinazioni
Dal momento che la giacenza non è costante nel tempo, si considera la
giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori
estremi 0 e x; per cui
giacenza media = (0+x)/2 =x/2
La funzione obiettivo è data dal costo : C = SQ/x + sx/2
con 0 ≤ x ≤ CM se ci sono vincoli tecnici
dove CM è la capacità del magazzino
G.Barbaro
41
Questa funzione obiettivo in matematica è molto conosciuta e viene chiamata
funzione somma:
b
y  ax 
x
Tale funzione può essere considerata come la somma di due funzioni:
y1 = a x
e y2 = b/x in cui:
y1 rappresenta una retta passante per l'origine degli assi coordinati,
y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati
G.Barbaro
42
Grafico della funzione somma
La funzione
somma ha
quindi il suo
grafico nel I e
III quadrante.
Per i problemi
di R.O. è però
sufficiente
considerare
solo la parte
di grafico
relativa al I
quadrante(x
positive)
45
35
25
m
15
5
-10
-8
-6
-4
-5 0
-2
2
4
6
8
10
-15
-25
-35
-45
Per valori di x molto piccoli la
funzione somma si avvicina
all’iperbole, mente per valori
alti della x si avvicina lal retta
Relativamente al I quadrante si può
notare che sussiste un punto di
minimo
G.Barbaro
43
y'  a 
y'  0
y' ' 
b
x2
a
2 xb 2b
 3
x4
x
b
0
x2
quindi
b
)0
a
y' ' (
x
b
a
quindi è un min imo
Le coordinate del minimo sono :
b
m  ( ,2 ab )
a
G.Barbaro
44
Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre all’analisi calcolando la
derivata prima:
SQ s
C' 
x
2

2
Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene: x  
2 SQ
s
P.C . si considera ovviamente
solo il valore positivo.
Il punto critico trovato rappresenta un
minimo in quanto:
C '' 
2 SQ
x3
e C '' (
2 SQ
)0
s
Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate:
G.Barbaro
2 SQ
(
, 2 SQs )
s
45
Esempio:
Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima.
Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di
magazzinaggio ammontano a 1,2 euro/kg
Determinare la quantità ottimale da ordinare
La funzione obiettivo è la seguente:
C= SQ/x + sx/2 = 1624.000/x + 1,2x/2 = 384.000/x + 0,6x
con x ≥ 0
Calcolando la derivata prima si ottiene: C’ = -384.000/x2 + 0,6
Ponendola uguale a zero: -384.000/x2 + 0,6 = 0
si ottiene:
x= ± 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800
G.Barbaro
46
Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui
corrisponde una spesa di 960 euro.
E’ possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un
anno:
n.ord. = 24.000 / 800 = 30
f = 360 / 30 = 12 giorni
3000
2500
Costo
2000
1500
1000
m
500
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000 1100 1200 1300
x
G.Barbaro
47
Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico; affrontiamo due situazioni:
a)
Capacità del magazzino pari a 600 kg; C = 384.000/x + 0,6x con
0 ≤ x ≤ 600
b)
Capacità del magazzino di 1200 kg;
0 ≤ x ≤ 1200
C = 384.000/x + 0,6x con
a)
3000
2500
n.ord. = 24.000 / 600 = 40
2000
Costo
Il minimo si ha per x =
600
f=360 / 40 = 9 giorni
1500
1000
500
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000 1100 1200 1300
b) Il minimo si ha per
x= 800 come nel caso
senza vincoli tecnici
x
G.Barbaro
48
PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI
DIFFERITI E’ NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI
ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
G.Barbaro
49
Matematica finanziaria
Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi
diversi.
Ovvero spostamento di importi nel tempo.
Scopo:
Operazioni finanziarie
Valutazione di una somma nel futuro
Capitalizzazione
C
M
0
t
Spostamento in avanti
M=C+I
M = MONTANTE
Attualizzazione o sconto
V
0
C
t
Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza
Spostamento all‘ indietro
V=C–S
V = VALORE ATTUALE
G.Barbaro
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LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE
Regime di Capitalizzazione semplice
Ipotesi: Interessi proporzionali al tasso ed al tempo
I  C i t
M C  I C  C i t
M  C  (1  i  t )
Capitalizzazione composta
Ipotesi: Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo
M  C  ( 1  i )t
Capitalizzazione mista
Ipotesi: Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n,
semplice per la restante frazionaria f
tn f
M  C  ( 1  i )n ( 1  i  f )
G.Barbaro
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LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO
Sconto razionale (o semplice)
Ipotesi: Operazione inversa della Capitalizzazione semplice
V
C
1 i  t
Sconto composto
Ipotesi: Operazione inversa della Capitalizzazione composta
V  C  ( 1  i ) t
(1+i) – t : fattore di sconto composto
Tassi di interesse
Equivalenza: due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante
nello stesso tempo sullo stesso capitale
Formula per la conversione di tassi (legge composta):
1  i  ( 1  ik )k
G.Barbaro
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RENDITE
Definizione: successione di importi (rate) nel tempo.
Classificazioni delle rendite:
Relativamente al periodo:
•annua: se fra due rate intercorre un anno
•frazionata: se fra due rate intercorre una frazione di anno
•poliennale: se fra due rate intercorre più di un anno
Relativamente alla scadenza della rata:
•anticipate: le rate scadono all'inizio di ogni periodo
•posticipate: le rate scadono alla fine di ogni periodo
Relativamente alla data di decorrenza
•immediate: iniziano dal momento della stipula del contratto
•differite: iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto
Relativamente alla durata
•temporanee: le rate sono in numero finito
•perpetue: le rate sono in numero infinito
G.Barbaro
53
Montante: valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate:
Rendite anticipate:
(1  i )n  1
M  R
i
(1  i )n  1
M  R
 (1  i )
i
Valore attuale: valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate)
Rendite posticipate :
Rendite anticipate:
1  (1  i )
V  R
i
n
1  (1  i ) n
V  R
 (1  i )
i
G.Barbaro
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PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
Un problema di scelta può anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo
Sono tipici esempi di tali problemi gli:
•Investimenti finanziari (capitale/i investiti con modalità differenti)
•Investimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature)
Esempio di investimento finanziario:
Tizio investe oggi 10.000 euro e gli vengono prospettate due possibilità:
Ipotesi a)
Ricevere dopo cinque anni 5.000 euro e dopo 12 anni altri 10.000 euro:
Ipotesi b)
Ricevere dopo 4 anni 6.000 euro e dopo 12 anni 9.500 euro
E’ chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta.
G.Barbaro
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CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE
Si dice risultato economico (R.E.A.) attualizzato di una data operazione d’investimento:
la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi, entrambi con
sconto composto in base a uno stesso tasso:
R.E.A. = Va(R) – Va(C)
Viene normalmente utilizzato il regime dell’interesse composto.
Il criterio sarà così applicato:
Prese due operazioni di investimento finanziario, calcoleremo per ciascuna di essere il
R.E.A. e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il R.E.A. più elevato.
E’ chiaro che il R.E.A. varia al variare del tasso di attualizzazione. Esso è funzione del
tasso i perciò possiamo scrivere G (i). In particolare esso è funzione decrescente del
tasso.
Pertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni
differenti.
G.Barbaro
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Esempio
Si vogliono investire 10.000 di euro e si puo’ scegliere tra:
a) ricevere tra 10 anni euro 25.000
b) ricevere tra 3 anni euro 8.000 e fra 9 anni altri 9.000 euro
Valutare i due investimenti al tasso dell’ 8 % annuo
Svolgimento
Criterio attualizzazione
IPOTESI A)
0
R.E.A. = 25.000 (1 + i)-10 -10.000=1.579 euro
1
2
3
4 5
6
7
Asse dei tempi
8
9
10
IPOTESI B)
R.E.A.= 8.000 (1 + i)-3 + 9.000 (1 + i)-9 10.000=1.852 euro
Soluzione: e’ piu’ conveniente B)
G.Barbaro
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Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si
usa il criterio del R.E.A. con una variante:
si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si
sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto.
Un industriale deve decidere l’acquisto tra due diversi tipi di macchinari:
A)
Macchinario A che costa 20.000 euro con spese di esercizio annue di 800
euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario
per un valore di 2.000 euro;
B)
Macchinario B che costa 25.000 euro con spese di esercizio annue di 500
euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario
per un valore di 2.250 euro.
Valutare i due investimenti al tasso del 7 % annuo.
G.Barbaro
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Ipotesi A)
1  (1  0,07 )10
Va  20.000  800 
 2.000  (1  0,07 )10  24.602 euro
0,07
Ipotesi B) :
1  (1  0,07 )10
Vb  25.000  500 
 2.250  (1  0,07 )10  27.368 euro
0,07
Quindi risulta più conveniente l’ipotesi A)
G.Barbaro
59
Il limite del criterio dell’ attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso
con cui effettuare la valutazione può essere soggettiva.
D’altra parte il R.E.A. è funzione del tasso di interesse scelto:
R.E.A.
Tasso di rendimento interno
tasso
G.Barbaro
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CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso
effettivo di impiego) t.i.r.
Si dice tasso interno di rendimento di una data
operazione, quel tasso in base al quale, il r.e.a. della
distribuzione di costi e ricavi dell’operazione considerata
risulta uguale a zero.
Cioè il tasso soluzione dell’equazione:
G.Barbaro
R.E.A.(i)=0.
61
Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si può
affermare che esso fornisce un indice di redditività dell’operazione. Ad
esempio, affermando che il t i.r. è 10% si vuole indicare che l’operazione
considerata è finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse
composto) del 10%.
Il criterio viene applicato nel seguente modo:
Tra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno
più alto.
Per la determinazione del tasso di volta in volta occorrerà risolvere
un’equazione che a seconda del tipo richiederà tecniche diverse: (eq. di
secondo grado o riconducibili ad essa, interpolazione lineare ecc.).
Al contrario di quanto accade per il criterio dell’attualizzazione, che fa
dipendere la scelta dall’operatore, per quanto riguarda l’adozione del
tasso di attualizzazione, il criterio del tasso interno di rendimento
conferisce alla scelta carattere oggettivo
G.Barbaro
62
ESEMPIO
Si deve scegliere tra
Un investimento comporta un costo iniziale di 10.000 euro e ricavo di 3.150 euro
alla fine di ogni anno per 4 anni,
Un investimento che comporta un costo iniziale di 10.000 ricavi di 6.500 euro alla
fine del secondo e quarto anno.
Determinare l’investimento più conveniente col metodo del tir.
1  (1  x)4
10000  3150 
0
x
10000  6500  (1  x )2  6500  (1  x )4  0
X = 0.0993107
X = 0.0928251
Si sceglie quindi la prima alternativa
N.B.: questo metodo è utilizzabile solo quando le operazioni
G.Barbaro
hanno la stessa durata
63
PROGRAMMAZIONE LINEARE
Un problema di Programmazione Lineare (P.L.) presenta un modello matematico
costituito da:
•Una funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile, da minimizzare se
esprime un costo) lineare in n variabili di azione
•Un sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili
I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negatività delle variabili di
azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema.
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64
Nel caso di due variabili di azione il modello assumerà la seguente
struttura:
Z  c1 x1  c 2 x 2
Funzione obiettivo
,
x2  0
 x1  0

 a11 x1  a12 x 2  o  b1
a x  a
 21 1
22 x 2  o  b2
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
Funzione obiettivo
z  4000x 1  5000 x
ESEMPIO
2
Vincoli :
20x 1  30x 2  72.000

20x 1  10x 2  48.000
x  0 , x  0
2
 1
G.Barbaro
65
RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO
Questo metodo può essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due.
Il metodo prevede la ricerca dell’AREA AMMISSIBILE definita dal sistema di
disequazioni dei vincoli.
Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante
del piano cartesiano
Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del
sistema dei vincoli, si otterrà un poligono che costituisce l’area ammissibile.
Tale area contiene tutte le coppie (x1,x2) che soddisfano le disequazioni/equazioni
del sistema; tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili.
Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni
ammissibili di base; tra queste va cercata la soluzione ottimale.
G.Barbaro
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Quindi:
In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione
obiettivo, se esistono, si trovano sui vertici dell’Area Ammissibile.
Esempio
Funzione obiettivo
z  4000x1  5000 x2
A
Vincoli :
 20x1  30x2  72.000

 20x1  10x2  48.000
x , x  0
 1 2
B
O
C
Vertici:
O(0,0)
Z=0 (min)
B(1800,1200)
Z=11.600.000
A(0,2400) Z=12.000.000
C(2400,0)
G.Barbaro
Z= 13.200.000 (MAX)
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