dinamica del corpo rigido

Il momento angolare
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
173
Il momento angolare
… e adesso
vediamo un altro
momento
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
174
Il momento angolare
ATTENZIONE
MOMENTO non vuol dire
ISTANTE,
ma ha la sua radice nel latino
(il nostro MOVIMENTO)
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
175
Il momento angolare

Si tratta del
Momento della quantità di moto
Momento angolare
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
176
Il momento angolare

… lo schema
θ
O
 … e la definizione
P
p
r
LO  r  p  r ×p
LO  r p sin 
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
177
Il momento angolare

È un vettore

Perpendicolare
 alla
velocità
piano individuato dalla velocità e da un punto
fisso
 al

Ha senso solo se è specificato un punto di
riferimento
 Momento
Flavio Waldner
angolare di P rispetto ad O
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
178
Il momento angolare

Unità di misura:
 L  m
2
kg s 
1
1
unità che non ha nome nel SI
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
179
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
180
Il momento angolare

Regola a spanne:

Senso antiorario: positivo
+

Senso orario: negativo

Flavio Waldner
Mano destra? cavatappi? Corrente in una spira?
 Ma va?
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
181
Il momento angolare

Partiamo da un punto materiale
 Prendiamo
un punto fisso O
 Individuiamo il punto con un raggio vettore r
 Teniamo presente il momento lineare del punto
 Infine costruiamo il vettore momento angolare (o
momento della quantità di moto)
Lo  r  p

Il momento angolare è sempre definito
rispetto ad un punto (polo)
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
182
Il momento angolare



Situazione descritta in
figura
Attenzione: è difficile
da visualizzare in
3D…
Si continua a
consigliare l’uso di
stecchini


Flavio Waldner
per tenerli insieme il
formaggio va benissimo
DAS per chi è a dieta...
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
183
Il momento angolare

Calcoliamo le sue componenti cartesiane
xˆ
yˆ
zˆ
Lo  r  p  x
y
z 
px
py
pz
 xˆ  ypz  zp y   yˆ  zpx  xpz   zˆ  xp y  ypx 
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
184
Il momento angolare

Esplicitamente
 Lx  ypz  zp y

 Ly  zpx  xpz
 L  xp  yp
y
x
 z
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
185
E per un sistema di punti?

Il momento angolare viene definito come
la somma dei momenti angolari dei singoli
punti
Lo   rk  p k
k

...oppure come un integrale, per un
sistema continuo
Lo   r  dp   r  v dV
C
Flavio Waldner
C
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
186
Vediamo degli esempi
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
187
UN PUNTO...

…con moto circolare nel piano xy
z
y
x
r
P

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
p
È il caso più semplice
188
Qualche ricordo...

…delle espressioni di coordinate e velocità
nel moto circolare
 x  r cos  t   

 y  r sin  t   

 x  r sin  t      y

 y  r cos  t      x
…e poi torniamo all’espressione standard
del prodotto esterno
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
189
UN PUNTO...
xˆ
yˆ zˆ
Lo  r  p  x
y 0  m  xy  yx  zˆ
mx my 0
 m  x  x   y   y  zˆ
2
ˆ
 m  x  y   z  m r zˆ
2
2
  mr   zˆ  I z zˆ  I z ω
2
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
190
ATTENZIONE
D’ora in avanti la velocità angolare sarà un
VETTORE
 Modulo: quello della solita velocità
angolare
 Direzione: perpendicolare al piano di
rotazione
 Verso: quello per cui si vede la rotazione
avvenire in senso antiorario

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
191
Caso particolare

Viene definito il
momento d’inerzia
di un punto
I z  mr
2

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
... rispetto ad un asse!
192
Alcune prime analogie...

...per evitare di ricordarsi troppe formule
Lo  I z ω
P  mv
Flavio Waldner
m  I z

v  ω
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
193
La conservazione del
momento angolare
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
194
Conservazione del momento angolare

Riprendiamo la definizione...
Lo  r  p

...e deriviamola
dLo dr
dp

p r 
dt
dt
dt
 v  mv  r  F  0   0
dLo
 0
dt
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
0  r  F
195
Conservazione del momento
angolare

Definiamo così una nuova quantità
r  F  0
il momento meccanico di una forza
rispetto ad un punto fisso O
(o momento della forza rispetto ad O)
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
196
Conservazione del momento
angolare

Anzitutto otteniamo la legge per il moto
rotatorio
dLo
 0
dt

Notate di nuovo le analogie con la II legge
F  
d
P
della dinamica  F

dt
Flavio Waldner
P  L0
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
197
Conservazione del momento
angolare

Quindi abbiamo che
Lo  cost 

dLo
 0  0  0
dt
Questo succede in tre casi
r  0 forza su O

0  0  r  F  0  F  0 moto uniforme
r // F forza centrale

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
198
Primo caso
F
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
199
Secondo caso
v  cost
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
200
Terzo caso (1)
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
201
Terzo caso (2)
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
202
Analogie

Le formule della meccanica rotazionale
per corpi con asse fisso sono analoghe a
quelle del punto materiale a patto di fare le
sostituzioni
m  I z
v  ω


P

L
0

F  
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
203
Le quantità meccaniche

Se si fa del lavoro su un punto …
dL  F ds
… vale il teorema dell’energia cinetica
1
2
dL  F ds  d  Mv 
2

1
2
L    Mv   K fin  K in
2

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
204
Il lavoro fatto da tutte le forze
su un punto è pari alla
variazione di energia cinetica
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
205
Le quantità meccaniche

L’energia cinetica
1
2
K  Mv
2
è definita a meno di una costante additiva (!)
 Nel SI l’unità di misura è il joule
 K   m kg s
2
Flavio Waldner
1 2
  J
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
206
Le quantità meccaniche
Un esempio: un’automobile da 850 kg che
viaggi a 130 km/h
 Un altro esempio: un meteorite da 1 kg
arriva sulla Terra a 45 km/s

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
207
Le quantità meccaniche
km
km 1000 m   1h 
1
1

h
h  1km   3600s 
1
1
1

m s  0.278m s
3.6


pautomobile  mv  8.5 10  1.3 10  0.278
 3.07 10 m kg s
4
Flavio Waldner
2
2

1
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
208
Le quantità meccaniche
pmeteorite  mv  1.0    45 103  
 4.5 10 m kg s
4
K meteorite
1
1
2
 Mv 
2

  0.5  1  45 10
3

2
 2.0110 J
9
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
209
Le quantità meccaniche
K automobile
1 2
 mv 
2


  0.5  8.5 10  1.3  10  0.278
2
2

2
 5.55 10 J
5
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
210
Le quantità meccaniche

Un esempio: momento angolare rispetto
all’asse di rotazione di una massa di un
grammo posta alla periferia del tamburo
della mia lavatrice (raggio: 23 cm) che gira
a 550 giri al minuto
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
211
Le quantità meccaniche
M  103 kg
R  23 cm  0.23 m

giri 2 rad 1 min 
v   R   550
   0.23 
min 1 giri 60 s 

1
 13.2 m s


L  MvR  103  13.2    0.23  3.04 103 m 2 kg 1s 1
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
212
Le quantità meccaniche

Altro esempio: momento angolare della
Terra nel suo moto attorno a Sole, rispetto
al suo centro di rotazione (il Sole, con
buona approssimazione)
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
213
Le quantità meccaniche
L  R Mv  R  M  R   MR 
2
R  1.49 10 m
11
M  5.97  10 kg
24
2
2



secondi in un anno  366.242    86400 
7
7
 1.99  10  2  10 rad s
Flavio Waldner
1
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
214
Le quantità meccaniche
L  MR  
2

 5.97 10
24
  1.49 10    2 10  
11
2
7
1 1
 2.65 10 m kg s
40
Flavio Waldner
2
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
215
ALTRE CONSEGUENZE
d LO d r ×p  d r
dp


×p  r ×

dt
dt
dt
dt
 r ×F   0
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
216
ALTRE CONSEGUENZE
d LO
 r ×F   0
dt
La quantità  0 si chiama momento
meccanico
 Le dimensioni sono

 0    m kg s
2
Flavio Waldner
1 2
  N m ...  J ? 
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
217
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
218
ALTRE CONSEGUENZE

Attenzione:
Nm
e non viceversa (confusione con
milli-newton )
 Non joule …

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
219
ALTRE CONSEGUENZE



E se
d LO
 r ×F   0  0
dt
… allora LO  cost
… e questo succede solo in uno dei tre casi
1. Siamo sull’asse r  0
2. A forza totale è nulla F  0
3.
La forza è diretta sempre verso lo stesso punto
(forza centrale)
r // F
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
220
Definiamo i termini
Cos’è un corpo rigido?
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
221
Definiamo i termini
In un corpo rigido le
distanze fra due
punti qualunque
restano sempre
costanti
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
222
Definiamo i termini

… ed anzitutto ricordiamoci che non
esistono corpi rigidi
Solo più o meno deformabili
 … e poi non piace alla relatività


Un buon parametro è il modulo di Young
 Rapporto

Flavio Waldner
tra forza e deformazione
Grosso modo …
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
223
Corpi rigidi e semplificazioni
… anzitutto: masse specifiche …
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
224
Corpi rigidi

Un corpo continuo viene diviso in elementi
infinitesimi, e si guarda alla massa degli
elementi infinitesimi

Ma esistono corpi continui?
OVVIAMENTE …
NO!
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
225
Corpi rigidi
E allora?
 … ci si accontenta …
 Un batterio: diametro 1  m circa; 10.000
atomi messi in fila


Possiamo considerarlo “continuo”?

Flavio Waldner
Mah …
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
226
Corpi rigidi

Massa lineica (o densità lineare)
dm

dl

   m
1
kg s   kg m
1 0
1
Tipico uso: fili, sbarre, travi (e non
necessariamente rettilinee …)
  cost
 Se
il corpo (filo, sbarra, trave, …)
si dice omogeneo
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
227
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
228
Corpi rigidi

Massa areica (o densità superficiale)
dm

dS

2
1 0
2


   m kg s   kg m
Tipico uso: membrane, lastre (e non
necessariamente piane …)
 Se   cost il corpo (membrana, lastra, …) si
dice omogeneo
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
229
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
230
Corpi rigidi

Massa volumica (o densità)
dm

dV


    m
3
kg s   kg m
1 0
3
Uso comunissimo.
Attenzione: la densità dell’acqua nel SI vale
H O  1000 kg m
3
2
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
231
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
232
Corpi rigidi
In generale    r     x, y, z 
 Se la densità è costante il corpo si dice
omogeneo
 Il corpo può essere complicatissimo
(un’auto? Un TIR? Un aereo?)

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
233
Corpi rigidi
Le densità dei solidi sono dell’ordine di 10
 Le densità nei nuclei vanno su di un
15
fattore 10 3(stelle di neutroni …)


3
1mm
di materia nucleare avrebbe una massa
dell’ordine di
1mm   1000 kg m   10  
 10 m   1000 kg m   10  
3
3
9
3
15
3
15
 109 kg  106 t
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
234
 Al  2.70
Cu  8.96
U  18.95
 Sn  7.31
 Pb  11.35
W  19.30
10 kg m
3
Flavio Waldner
 Fe  7.87
 Au  19.32
 Pt  21.45
3
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
235
Il centro di massa
… o baricentro …
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
236
Il centro di massa

Cominciamo col semplice:
Due masse M 1 ed M 2 poste su una retta
(asse x) a coordinate X 1 e X 2
X1
M2
X 1M 1  X 2 M 2

M1  M 2
M1
O
X CM
Flavio Waldner
X2
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
237
Il centro di massa
Si chiama media pesata
 Importante: se M1  M 2 si ha

X CM

X1  X 2

2
Proprietà fondamentale di simmetria
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
238
Il centro di massa



E se i punti sono tanti?
Siamo di fronte ad un sistema particellare (o
sistema discreto)
La definizione si estende subito, usando i vettori
M r

M
k k
rCM
k
k

M r
k k
k
M
k
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
239
Il centro di massa

… e proiettando sugli assi ….
M X

M
k
X CM
k
k

M
k
Xk
k
k
M
k
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
240
Il centro di massa

Ed ora passiamo al continuo
X CM 
X 1  dm 1  X 2  dm 2

 dm 1   dm 2
X 1  X 1  dX  X 2   X 2  dX

  X 1  dX    X 2  dX
X 1  X 1   X 2   X 2 

  X1     X 2 
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
241
Il centro di massa

In generale
X CM 
x

x
dx



L

x
dx




x

x
dx



L
M
L
rCM 
 r  r  ds  r  r  ds
S
  r  ds

S
M
S
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
242
Il centro di massa
rCM 
r

r
dV



V

r
dV




r

r
dV



V
M
V
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
243
Come si muove il CM?
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
244
Come si muove il CM?
In un sistema complesso (una Galassia?) il
moto si può spezzare in due tronconi
UN MOTO DI INSIEME (CM)

... come se si trattasse di un punto materiale …
UN MOTO ATTORNO AL CM

Flavio Waldner
… e spesso ci possiamo accontentare del primo schema
 VEDIAMO I DETTAGLI
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
245
Il momento lineare
o quantità di moto
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
246
Il momento lineare

Vediamo il caso discreto

rCM
1

M
M r
k k
Solo per semplicità di formule
M rCM   M k rk
k
k
d
d
d 
d

M rCM  M rCM   M k rk    M k rk 
dt
dt
dt  k
dt
 k
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
247
Il momento lineare
d
d
M rCM   M k rk 
dt
dt
k
M vCM   M k v k  p k  Ptot
k
Flavio Waldner
k
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
248
Il momento lineare

Il momento lineare di un sistema si può
calcolare
O come somma vettoriale dei momenti lineari
di tutti i punti
O come se il CM fosse un vero punto
materiale
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
249
Il moto del CM
… il celebre “teorema del moto del
baricentro” …
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
250
Il moto del CM
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
251
Il moto del CM
M vCM
d
d 

  pk
 M vCM    pk 
dt
dt  k
k

d vCM
d pk
M

dt
dt
k
M aCM   Fk
k
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
252
Il moto del CM

M aCM   Fk
Analizziamo:
k




Massa totale del sistema: M
Accelerazione del CM: aCM
Risultante di tutte le forze che agiscono sul
punto k : Fk
Risultante di tutte le forze che agiscono su tutti i
punti
F
k
k
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
253
Il moto del CM

Per il III principio tutte le forze che agiscono fra i
punti, a due a due, hanno risultante 0


Restano vive solo le “forze esterne”
QUINDI
M a CM  R
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
est
254
Il moto del CM
Nel moto di un sistema il CM si
muove come un punto
materiale con massa pari a
quello dell’intero sistema sul
quale agisca la risultante
delle forze esterne
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
255
Il moto del CM

E se la risultante delle forze “esterne” è
nulla?
IL CM SI MUOVE DI
MOTO
RETTILINEO ED UNIFORME
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
256
Moto di un corpo rigido: esempio
Ecco un martello tirato
per aria
 Mettiamo in evidenza

il moto del CM (rosso)
 il moto di un punto del
manico (verdino)

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
257
Il salto dei cinesi
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
258
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
259
Il salto dei cinesi

Quando saltiamo (80 kg) spingiamo la
Terra
Il momento totale non varia
 Il CM resta dov’era


Se il nostro CM si sposta di 1 m quello
della Terra si sposta di
80
23
 1.34 10 m
1 m  
24
5.97 10
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
260
Il salto dei cinesi

Circa 10.000 volte sotto l’attuale limite
sperimentale!


… e se un miliardo di cinesi, tutti insieme …
Basta moltiplicare …
1.34 10

23
10  1.34 10
9
14
m
Il diametro di una decina di nuclei
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
261
Il meteorite
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
262
Il meteorite

Il meteorite dei dinosauri, la Terra che
schizza dall’orbita. Ci perdiamo nello
spazio cosmico …

Ma non diciamo scemate …
Diametro: circa 10 km
 Densità: quella di una roccia
 Velocità: 40 km/s
 Momento lineare?

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
263
Il meteorite

Momento lineare del meteorite
3

4
3
4
19
1
 10     3 10    4 10   6.3 10 m kg s
6


Momento lineare della Terra
 5.97 10   3 10   1.2 10
24
Flavio Waldner
4
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
29
m kg s
1
264
Il meteorite

C’è un rapporto quasi
2 10
 Raggio dell’orbita
1.49 1011 m
9

Alla peggio il raggio dell’orbita può essere
variato di 79 m

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Come a dire: nulla
265
Il meteorite


… e l’energia?
Energia cinetica del meteorite
3
2
1 
4
3
4
24
  10     3 10    4 10   1.26 10 J
2 6



Circa 15000 arsenali nucleari …
… e quella della Terra


1
24
4
 5.97 10  3 10
2
Flavio Waldner

2
 2.68 10 J
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
33
266
Il meteorite

Ancora un rapporto di circa
2 10
9
Le velocità sono quasi uguali …
Una pietruzza da 1 mg che urta un’auto da 1t, entrambi a
100 all’ora


Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
267
Il razzo
… ed il trenino …
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
268
Il razzo
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
269
Il razzo

Diamo solo la formula finale
v finale  wefflusso
M iniziale
ln
M finale
v finale
M iniziale  M finale e
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
wefflusso
270
L’energia cinetica
… ed il teorema di König …
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
271
L’energia cinetica

Energia cinetica del punto k
1
2
K k  M k vk
2

Energia cinetica totale
1
2
K   K k   M k vk
k
k 2
1
  M k  vk vk 
k 2
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
272
L’energia cinetica

Adesso introduciamo un nuovo sistema di
riferimento
Con l’origine nel CM
 Con gli assi sempre paralleli al sistema di
partenza

È il sistema del
centro di massa
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
273
L’energia cinetica
v k  VCM  V

Velocità

Ora sviluppiamo:
*
k


1
1
*
*
K   M k  v k v k    M k VCM  Vk VCM  Vk
k 2
k 2
1
*
*
*
*
  M k VCM VCM  Vk VCM  VCM Vk  Vk Vk
k 2
2
1
2
*
*
  M k VCM  2 VCM Vk  Vk
k 2


Flavio Waldner


 
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
274
L’energia cinetica

Continuiamo
 

2
1
*
*
2
K   M k VCM  2 VCM Vk  Vk
k 2
1
1
1
*
2
  M kVCM   M k 2 VCM Vk   M k Vk*
k 2
k 2
k 2


 
1
1

 2
*
   M k  VCM  VCM   M k Vk    M k Vk*
2 k
 k 2
 k

 
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
2
2
275
L’energia cinetica

Continuiamo …
1
1
 2

*
K    M k  VCM  VCM   M k Vk    M k Vk*
2 k

 k
 k 2
2
1
1
2
*
 MVCM   M k Vk
2
k 2
 
2
 

Il termine in rosso è nullo per definizione!
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
276
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
277
Il momento angolare
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
278
Il momento angolare

La definizione ci dà subito
LO  pR   MV  R 


  MR   R  MR 
Flavio Waldner
2
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
279
L’energia cinetica
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
280
L’energia cinetica

La definizione ci dà subito
1
1
2
2
K  MV  M  R  
2
2
1
2
2
 MR 
2

Flavio Waldner

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
281
Il momento d’inerzia per un
punto materiale
Un modo difficile per dire cose
semplici?
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
282
Il momento d’inerzia
Definiamo il
momento d’inerzia
del punto materiale
rispetto all’asse di rotazione
I
Flavio Waldner
z
 MR
2
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
283
ANALOGIE

Massa

Momento d’inerzia
I
M

Momento lineare

Energia cinetica
1
2
K  MV
2
Flavio Waldner
 MR
Momento angolare
Lz  PR  I z
P  MV

z
2

Energia cinetica
1
2
K  I z
2
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
284
L’equazione del moto
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
285
L’equazione del moto

Ricordate?

Quindi rispetto ad un asse …
d I z
z
dt

d LO
 r ×F   0
dt
I
z
d
z
dt
 z  I z
… con l’ accelerazione angolare
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
286
Il momento d’inerzia in
generale
… ed ecco che le cose
cambiano…
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
287
Il calcolo dei momenti
d’inerzia
Ovvero
Il calcolo differenziale al lavoro
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
288
ANZITUTTO
CASI SEMPLICI
FACCIAMO USO DI TUTTA LA
SIMMETRIA POSSIBILE PER
FORME SEMPLICI
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
289
Il momento angolare
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
290
Il momento angolare

La definizione ci dà subito
LO  pR   MV  R 


  MR   R  MR 
Flavio Waldner
2
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
291
L’energia cinetica
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
292
L’energia cinetica

La definizione ci dà subito
1
1
2
2
K  MV  M  R  
2
2
1
2
2
 MR 
2

Flavio Waldner

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
293
Il momento d’inerzia per un
punto materiale
Un modo difficile per dire cose
semplici?
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
294
Il momento d’inerzia
Definiamo il
momento d’inerzia
del punto materiale
rispetto all’asse di rotazione
I
Flavio Waldner
z
 MR
2
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
295
ANALOGIE

Massa

Momento d’inerzia
I
M

Momento lineare

Energia cinetica
1
2
K  MV
2
Flavio Waldner
 MR
Momento angolare
Lz  PR  I z
P  MV

z
2

Energia cinetica
1
2
K  I z
2
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
296
ANALOGIE
Per un punto materiale che
ruota il momento d’inerzia ha
lo stesso ruolo della massa
per un punto che trasla
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
297
L’equazione del moto
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
298
L’equazione del moto

Ricordate?

Quindi rispetto ad un asse …
d I z
z
dt

d LO
 r ×F   0
dt
I
z
d
z
dt
 z  I z
… introducendo l’ accelerazione angolare
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
299
L’equazione del moto
Notate ancora le
analogie!
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
300
Il momento d’inerzia in
generale
… ed ecco che le cose
cambiano…
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
301
Il momento d’inerzia in generale

Se abbiamo tanti punti …
I
z
  Mk R
2
k
k

… e se abbiamo un corpo continuo
I
    x, y, z  R dV
2
z
V
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
302
Il momento d’inerzia in generale
Alti momento d’inerzia
rispetto ad un asse si hanno
non solo con alte masse,
ma anche con masse poste
distanti dall’asse
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
303
Il moto di un corpo rigido
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
304
Il moto di un corpo rigido
Si dimostra
che il moto più generale è
la sovrapposizione di un
moto di traslazione e di
uno di rotazione
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
305
Il moto di un corpo rigido
Attenzione
Il moto di rotazione è attorno ad un
asse che cambia continuamente
 Nello
spazio
 Dentro al corpo
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
306
Il moto di un corpo rigido
Un esempio:
la Terra
Il suo asse si sposta …
 … nello spazio (descrive un cono in circa
26000 anni)
 … attorno al Polo (in modo piuttosto
erratico, di circa qualche kilometro)
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
307
Il moto di un corpo rigido
Un moto estremamente complicato
NOI
Ci limiteremo a moti di rotazione
attorno ad un asse
E a qualche piccola digressione sul tema
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
308
Il moto di un corpo rigido
Il moto attorno ad un asse avviene con
velocità angolare costante per tutti i punti
del corpo SE il corpo è rigido
E
se no?


Flavio Waldner
Il corpo non è rigido
Esempio: il Sole
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
309
Il calcolo dei momenti
d’inerzia
Ovvero
Il calcolo differenziale al lavoro
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
310
ANZITUTTO
CASI SEMPLICI
FACCIAMO USO DI TUTTA LA
SIMMETRIA POSSIBILE PER
FORME SEMPLICI
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
311
Il momento d’inerzia
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
312
Momento d’inerzia

Per un insieme di punti materiali vale la
relazione
I a   I a ,k   mk d k2
k

k
Per un corpo continuo
I a   dI a   r dm   r  dV
2
a
C
Flavio Waldner
C
2
a
C
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
313
Momenti d’inerzia
Casi notevoli
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
314
I di una sbarra
Vediamo un primo esempio

Momento d’inerzia di una sbarra
omogenea rispetto ad un asse ad essa
ortogonale che passa per il suo CM
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
315
I di una sbarra
Asta omogenea, lunga L, massa M
 Rispetto ad un asse

passante per il centro (= di massa!)
 ortogonale alla sbarra


Facciamo la sbarra a fettine infinitesime

Proprio come se fosse una salsiccia
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
316
L
2
x
Flavio Waldner
dx
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
317
I di una sbarra
Momento d’inerzia (rispetto all’asse z)
dell’elemento dx
dI z   dm x2    dx  x2   x2dx
 Momento d’inerzia totale

L
L
3


x
L
I z  2   x 2 dx 2    2
24
 3 0
0
1
1
2
2
   L  L  ML
12
12
Flavio Waldner
2
3
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
2
318
I di un cilindro
Cilindro omogeneo, massa M, raggio R,
altezza h, densità 
 Rispetto all’asse di simmetria
 Pensiamo al cilindro come ad un insieme
di tubi vuoti di spessore infinitesimo
 Volume di un tubo

dV   dS  h  2 rdr  h
 2 h rdr
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
319
I di un cilindro

Momento d’inerzia di un tubo rispetto ad
un asse ad esso ortogonale che passa per
il suo CM
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
320
I di un cilindro


La densità  è costante
La massa di un sottile anello di raggio r vale
dm   dV    dS  h  2 rdr  h  
 2 h rdr

Tutta la massa sta a distanza r costante
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
321
I di un cilindro

Il momento d’inerzia elementare vale
dI
z
   dV   r 2    2 r dr h   r 2
 2 h r dr
3
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
322
I di un cilindro

In totale
I
R
4
R
1
 2 h  r dr  2 h
  hR 4
4 2
0
3
z
 

1 
1
2
2
   R  h   R  MR 2
2
2

…e la stessa cosa vale per un disco!

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Un cilindro sottile!
323
I di una sfera

Momento d’inerzia di una sfera rispetto ad
un suo diametro

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
324
I di una sfera

Momento d’inerzia del disco
 raggio r  R sin 
2

 massa dm    R sin     R d sin    


3
3
  R sin  d

momento d’inerzia elementare
1
1
2
2
3
3
dI  dm  R sin     R sin  d   R sin  
2
2
1
5
5
  R sin  d
2
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
325
I di una sfera

Ora calcoliamo il momento d’inerzia
complessivo


1
5
5
I z   dI    R sin  d
2
0
0

1
1
5
5
5 16
  R  sin  d   R
2
2
15
0
8
24
2
5
3  2
2
  R    R   R  MR
15
53
5

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
326
I di una sfera

Una nota sull’integrale
2
5
4
2
 sin x dx   sin x sin x dx    sin x  sin x dx
  1  cos x  sin x dx
2
2
  1  2 cos 2 x  cos 4 x  sin x dx
   1  2 cos 2 x  cos 4 x  d  cos x 
   1  2w  w
2
Flavio Waldner
4
 dw
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
327
I di una sfera

Momento angolare rispetto ad un asse
passante per il centro
2
2
Lz  I z  MR 
5

Energia cinetica del moto di rotazione
1
12
2
2 2
K  I z   MR    0.2 MR 2 2
2
25

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
328
I di una sfera

Energia cinetica nel moto di rotazione della
Terra
K  0.2 MR  
2

2
  0.2   5.9  10
24
   6.38 10 
6
2
 2 
.

86400


2
 2.54 10 J
29
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
329
UN DUBBIO
… E SE L’ASSE NON È DI
SIMMETRIA? …
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
330
E se l’asse non è di simmetria?

Ad esempio:
Un’asta rispetto ad un estremo
 Un cilindro rispetto ad una sua generatrice


Flavio Waldner
Non è una questione accademica: appare subito nel
moto di rotolamento
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
331
Il teorema di Steiner
Un teorema semplice ed utilissimo
Spostiamo l’asse parallelamente a
sé stesso?
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
332
Teorema di Steiner

Ecco la situazione vista dall’alto
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
333
y
dm
y
CM
a
a
Flavio Waldner
x-a
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
X
334
Teorema di Steiner

Momento d’inerzia rispetto all’asse z
2

dI z  dm  x  a   y


2
2
2
  x  y  2ax  a  dm
2
  x  y  dm  2a x dm  a dm
2
Flavio Waldner
2
2
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
335
Teorema di Steiner

Ora integriamo su tutto il corpo
I a   dI a    x  y  dm  2a  x dm  a
2
C
2
C
C
2
 dm
C
 I CM  2a xCM  a M
2
 I CM  Ma
Flavio Waldner
2
xCM  0
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
336
Il moto dei corpi estesi
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
337
Moto di un corpo rigido
 Ricordiamo
la
Definizione di corpo rigido
le distanze fra due punti qualunque
restano costanti

Flavio Waldner
e cominciamo a ricordare che non esistono corpi
rigidi in Natura…
 oltre a tutto non sarebbe relativistico...
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
338
Cominciamo dal basso
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
339
Una premessa

In un corpo rigido che ruota con punto o
asse fisso

ci sono masse che si muovono in modo
complesso


per di più di moto peggio che circolare uniforme
attenzione a considerarlo “fermo”

Flavio Waldner
“gira tanto in fretta che sembra fermo”
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
340
Una premessa
Le masse che si muovono sono sensibili a
forze e reagiscono con accelerazioni ad
esse parallele
 I risultati finali sono spesso sorprendenti

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
341
Iniziamo con un asse fisso

Se un corpo esteso si muove con un asse
fisso ci sono due punti fissi


Se si vuole tener fisso un asse...
La posizione del corpo è definita da un
solo angolo


In radianti!
Definiremo al solito la velocità angolare e
l’accelerazione angolare
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
342
Rotazione con asse fisso
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
343
Rotazione con asse fisso

Un punto del corpo si
muoverà con
traiettoria circolare
Spazio

Velocità

s  R
ds
d
R
 R  R
dt
dt
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
344
Rotazione con asse fisso

accelerazione
acent  R  R
2
2
v

R
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
345
L’energia cinetica
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
346
Energia cinetica di un corpo rotante

Riprendiamo il caso di un punto materiale
z
y
x
r
P
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
p
347
Energia cinetica di un corpo rotante

L’energia cinetica del punto vale
1 2 1
1
2 2
Ec  mv  m  R  mR 2  2
2
2
2
1
 I 2
2

La formula vale in generale dato che tutte
le quantità sono additive
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
348
Energia di rotazione e teorema di Koenig

Per un corpo che trasla
e ruota
1
1
2
Ec  MVCM  I a ,CM  2
2
2
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
349
Oscillazioni
IL PENDOLO FISICO
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
350
Il pendolo fisico
Ecco la situazione
 Un corpo qualunque
sospeso ad un asse

y

x
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
CM
mg
351
Il pendolo fisico

Calcoliamo anzitutto il momento
meccanico del peso rispetto ad O
xˆ
O  r  F  l cos
mg
yˆ
zˆ
l sin 
0
0
0
 z  mgl sin 
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
352
Il pendolo fisico

Ora calcoliamo la componente del
momento della quantità di moto rispetto
all’asse z
Lz  I z
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
353
Il pendolo fisico

Ed infine applichiamo la legge del moto …
dLo
 0
dt
… proiettata sull’asse z
dLo
 0
dt
Flavio Waldner
 mgl 
I z  mgl sin    
 sin   0
 Iz 
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
354
Il pendolo fisico

Che per piccole oscillazioni diviene
 mgl 
 
  0
 Iz 
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
355
Il pendolo fisico

Quindi per piccole oscillazioni il pendolo
si muove di moto armonico
 con pulsazione
mgl



con periodo
mgl

Iz

Iz
2
Iz
1 Iz
T
 2
 2

mgl
g ml
ecco la lunghezza ridotta del pendolo fisico
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
356
Il pendolo fisico

Applichiamo il teorema di Steiner?
 mgl 
 
  0
 Iz 

La lunghezza ridotta è più
grande della distanza fra O e il CM
CM

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
mg
O’
357
Il pendolo fisico

Il periodo del pendolo fisico vale quindi...
l l'
T  2
g
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
358
Il pendolo fisico

E se sospendiamo il pendolo per O’?
l ed l’ si scambiano i ruoli!

Quindi ci possiamo aspettare che il
pendolo abbia lo stesso periodo se è
sospeso per qualunque asse a distanza l o
l’ dal CM

Quindi se conosciamo la lunghezza ridotta del
pendolo e se misuriamo il suo periodo...
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
359
Il pendolo fisico
POSSIAMO MISURARE
g!
l l'
T  2
g

Si chiama pendolo reversibile di Kater, e
trova applicazione nei pendoli geodetici
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
360
Il pendolo fisico
Si prende una sbarra con due coltelli a
distanza ben misurata
 Si sospende la sbarra alternativamente su
uno e sull’altro, spostando delle masse
intermedie finché i periodi misurati sono
uguali
A questo punto il pendolo è tarato e la
lunghezza ridotta è proprio la distanza
fra i coltelli

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
361
Il pendolo fisico

5
10
Con distanze misurate a
si
raggiungono precisioni analoghe sulla
misura di g
grosso modo la variazione di g che si ha
per il fatto che ci si è alzati o abbassati
di 3m

oggi coi gravimetri a laser si fa circa 1000
volte meglio!
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
362
Rotazioni
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
363
Trottola e giroscopio

Trottola:




solido di rotazione con elevato momento d’inerzia
viene posta in rapida rotazione attorno al suo asse di
figura
ha quindi un grande momento angolare
Si fa un’approssimazione
il momento angolare è così grosso che varia
solo in direzione
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
364
Trottola e giroscopio
Q
LO
CM
h
O
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
365
Trottola e giroscopio

Anzitutto le equazioni del moto!
d LO
 o
dt

dLO  o dt
…e poi il momento meccanico
xˆ
yˆ
zˆ
o  0 h sin Q h cos Q  mgh sin Q xˆ
0
0
mg
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
366
Trottola e giroscopio

Quindi
dLO  o dt  mgh sin Q dt xˆ




l’incremento è ortogonale al vettore momento
angolare
il vettore momento angolare descrive un cono
di semiampiezza Q
È il moto di precessione


con velocità ortogonale alla forza applicata...
Vediamone la velocità angolare
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
367
Trottola e giroscopio

Modulo della variazione del momento
angolare
dL  L sin Q d  mgh sin Qdt
d mgh mgh


dt
L
I
mgh

I

Alcune conseguenze importanti:
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
368
Trottola e giroscopio
In un sistema inerziale si conserva il
momento angolare
 Quindi se abbiamo un corpo con alto
momento angolare che possa ruotare
liberamente in tutte le direzioni

POSSIAMO AVERE UNA DIREZIONE
COSTANTE IN UN SISTEMA
INERZIALE
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
369
Trottola e giroscopio
Una
girobussola

e se di direzioni costanti ne prendiamo
tre? Magari ortogonali?
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
370
Trottola e giroscopio

Otteniamo tre direzioni costanti in un
sistema inerziale
UNA
PIATTAFORMA
INERZIALE
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
371
Trottola e giroscopio
Non
ci servono le stelle
per definire
un sistema inerziale!
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
372
Moti composti
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
373
Moto di rotolamento
È un moto di rotazione istantanea attorno
al punto di contatto ruota-suolo
 Non facile da visualizzare

 si
consiglia l’uso di un disco fatto muovere (poco)
su un tavolo

Ogni punto del corpo ha velocità diverse in
modulo e (soprattutto) in direzione
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
374
Moto di rotolamento

Ecco la situazione
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
375
Moto di rotolamento

Il moto si può scomporre in
moto del CM
 moto attorno al CM


Attenzione a non fare confusione tra le
formule del tipo
v  R
che sono uguali nei due sistemi, ma hanno
significato diverso!
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
376
Moto di rotolamento
La rotazione attorno al punto di contatto
implica che il momento d’inerzia debba
venir calcolato col teorema di Steiner
 Una domanda:

MA CHI TIENE FERMO IL
PUNTO DI CONTATTO?
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
377
Moto di rotolamento

RISPOSTA
LA FORZA D’ATTRITO!

Il rotolamento non avviene se non c’è
attrito


Flavio Waldner
Ma la forza d’attrito (radente!) non era dissipativa?
Come mai nel rotolamento c’è così poca perdita di
energia?
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
378
Moto di rotolamento
PERCHÈ LA FORZA D’ATTRITO
C’È,
MA NON FA LAVORO
 agisce
sempre su un punto con velocità nulla
 Insomma un moto decisamente complicato ...
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
379
Sollecitazioni ai supporti
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
380
Sollecitazioni ai supporti
Supponiamo di avere un sistema
equilibrato staticamente, ma “un po’
strambo”
 …come in figura...

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
381
Sollecitazioni ai supporti

Ecco la situazione all’istante che consideriamo
iniziale
x
v
2b
a
a
CM
L
z
-v
y
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
382
Sollecitazioni ai supporti
Calcoliamo il momento angolare del
sistema
ˆx yˆ zˆ
ˆx
ˆy
ˆz  quindi delle due masse
L  a 0 b  a
0
b
0 mv 0
0 mv 0

  xˆ  bmv   zˆ  amv     xˆ  bmv   zˆ  amv  
 2bmv xˆ  2amv zˆ
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
383
Sollecitazioni ai supporti

Quindi il momento angolare vale, nell’istante
considerato
L  2bmv xˆ  2amv zˆ

Ci sono due componenti



una parallela all’asse di rotazione
una ortogonale all’asse di rotazione
L//  2amv
L  2bmv
La componente parallela non varia nel tempo,
ma quella ortogonale sì
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
384
Sollecitazioni ai supporti
La componente ortogonale ruota con la
velocità angolare del sistema
dL
d xˆ
L   2bmv xˆ
 2bmv
 2bmv   xˆ
dt
dt
dL
 2bmv  zˆ  xˆ  2bmv yˆ
dt


Il momento angolare NON è parallelo
all’asse di rotazione!
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
385
Sollecitazioni ai supporti
x
v
2b
a
CM
a
L
z
-v
y
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
386
Sollecitazioni ai supporti

Quindi delle due l’una

o conserviamo il momento angolare


e l’asse di rotazione non è quello che vogliamo!
o manteniamo fisso l’asse


ed il momento angolare varia
Se varia il momento angolare occorre un
momento meccanico!

Fornito da chi?
MA DAI SUPPORTI!
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
387
Sollecitazioni ai supporti

Ecco quanto vale il momento
 CM
dL
2
ˆ

 2bmv y  2abm  yˆ
dt
Il momento varia quindi continuamente in
direzione
 è proporzionale al quadrato della velocità
angolare!

Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
388
Sollecitazioni ai supporti

Il sistema si dice dinamicamente
squilibrato


fate equilibrare le ruote della macchina…
E se ci mettessimo a vedere cosa succede nel sistema
rotante?
DOVREMMO INTRODURRE LE
FORZE FITTIZIE
QUINDI
LE FORZE CENTRIFUGHE!
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
389
Sollecitazioni ai supporti

Ecco la situazione...
x
z
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
390
Sollecitazioni ai supporti

Le forze centrifughe generano un
momento!
 Di


direzione costante nel sistema rotante
e che quindi varia continuamente di direzione nel
sistema fisso
I supporti debbono fornire un momento
uguale ed opposto
 controllate
che in modulo e direzione otteniamo
proprio quello che abbiamo calcolato prima
Flavio Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
391