brachistocrona

BRACHISTOCRONA
COS’È?
1. La curva, una semiellisse perfetta che si
forma sul collo delle rane quando gracidano
2. La traiettoria ottimale per una pista da sci, in
modo che lo sciatore la possa percorrere nel
tempo minimo
3. La curvatura da dare allo scafo di una barca a
vela, in rapporto all’albero, in modo da
evitarne il rovesciamento, studiata dal
matematico del 1800 Georgiu
Brachistocronos
BRACHISTOCRONA
1696 JOHANN BERNOULLI:
Determinare lineam curvam data duo
puncta in diversis ab horizonte distantiis
& non in eadem recta verticali posita
connectentem, super qua mobile propria
gravitate decurrens & a superiori puncto
moveri incipiens citissime descendat ad
punctum inferius.
BRACHISTOCRONA
Il nostro scopo è stabilire quale sia la curva che
unisce 2 punti posti ad altezze differenti nel più
breve tempo possibile.
retta
Secondo il principio di Erone,
qualora la velocità sia costante,
il percorso più breve per unire A
e B toccando la retta r è la
spezzata APB tale che gli angoli
i e r siano uguali.
RIFLESSIONE
Infatti la luce, quando si riflette su uno
specchio, segue proprio questo cammino.
P
i=r
Analizziamo il caso in cui la
velocità non è costante
Cosa succede in questo caso?
BAGNINO
V1
V2
V1 > V2
Un bagnino, che si trova sulla
spiaggia vede un bagnante in
difficoltà nel mare.
Qual è il percorso che
permette al bagnino di
raggiungerlo nel più breve
tempo possibile?
RIFRAZIONE
La luce, nel caso in cui la velocità non sia costante,
non segue più il principio di Erone, ma quello di
Fermat, verificato dalla legge di Snell-Descartes.
LEGGE DI SNELL:
sen i
sen r
=
V1
V2
V1 > V2
i≠r
PRINCIPIO DI FERMAT:
La luce percorre cammini
di tempo minimo, e quindi
spazi maggiori nella parte
di piano in cui la velocità è
maggiore.
Il problema è trovare la curva che minimizzi il
tempo di percorrenza da A a B
La velocità è proporzionale alla
radice della quota
Il problema è trovare la curva che minimizzi il
tempo di percorrenza da A a B
 ∆t 
Per la legge del bagnino, quando
la velocità è minima, si devono
percorrere spazi il più breve
possibili, quindi, se la velocità è
nulla, devo partire in verticale.
Soluzione con
segmento
T (s) = 2 / √g
Soluzione con
circonferenza
T (c)  2,6 / √2g  1,84 / √g
Il segmento non è quindi la soluzione al
problema, si dovrà usare una curva.
La cicloide è la curva descritta da un punto
fissato su di una circonferenza in rotazione
Equazione parametrica della cicloide:
γ (θ) = r ( θ – senθ ; 1 – cos θ )
γ ’ (θ) = r ( 1 – cosθ ; sen θ )
0 ≤ θ ≤ 2π
Condizioni indispensabili alla curva Brachistocrona
Rapporto
costante
sen α
√yc
Partenza
verticale
= cost
Proviamo con la circonferenza
yc = r sen α
sen α
√yc
=
√yc
r
Essendo r costante, il rapporto non può
esserlo, perché y varia sulla
circonferenza
Proviamo con la
curva più
astrusa che ci
viene in mente,
la cicloide
sen α = w ● t
t = 1/√2 (√1 - cos θ ; sen θ / √1 - cos θ)
sen α = √1 - cos θ /√2
ossia la componente orizzontale del
versore t
La y è la componente verticale dell’equazione
della cicloide: y = r ( 1 – cos θ)
sen α
√yc
=
√1 - cos θ/√2
√r √1 – cos θ
=
1
√2 √r
Il rapporto è quindi costante per
tutti i punti della curva
La cicloide è la
soluzione al
problema della
brachistocrona
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Progetto e realizzazione a cura di:
Abram Marco
De Martin Polo Daniele
Gambarotto Andrea
Gozzi Martin
Pellin Marco
Walzl Alice
Si ringrazia per la collaborazione:
Prof. Tamanini Italo
Prof. Gottardi Diego