Comments
Description
Transcript
Lezione N. 14
Lezione 14 1 Funzioni di trasferimento Lezione 14 2 Introduzione Lezione 14 3 Cosa c’è nell’Unità 4 • In questa sezione si affronteranno: – Introduzione – Uso dei decibel e delle scale logaritmiche – Diagrammi di Bode Lezione 14 4 Funzione di trasferimento • Si consideri una rete con ingresso s(t) ed un uscita y(t) • Si lavori nel dominio delle frequenze • Si definisce funzione di trasferimento il rapporto tra la trasformata di Fourier dell'uscita e quella dell'ingresso: Lezione 14 Y (ω ) H ( jω ) = S (ω ) 5 Esempio • Si consideri la rete nel dominio di Fourier ingresso: e(t) uscita: v(t) funzione di trasferimento H ( jω ) = Lezione 14 V (ω ) 1 = E (ω ) 1 + jω RC 6 Introduzione Lezione 14 7 Filtro passa basso 1/3 • Importanza funzioni trasferimento • È molto difficile prevedere nel tempo quale potrebbe essere l'andamento dell'uscita v(t) facendo variare l'ingresso e(t). • Lavorando però nel dominio delle frequenze si hanno relazioni algebriche. Tutto diventa semplice Lezione 14 8 Filtro passa basso 2/3 • Per elevati valori della frequenza la funzione di trasferimento tende ad annullarsi • La rete filtra, cioè lascia passare solo le frequenze più basse contenute nel segnale e(t). • La banda del segnale di uscita si riduce rispetto a quella dell'ingresso nel senso che sono praticamente eliminate tutte Lezione 9 le14frequenze superiori ad un certo valore. Filtro passa basso 3/3 • Il circuito si comporta quindi come un filtro passa basso. H ( jω ) = Lezione 14 1 1 + jω RC 10 Filtri passa alto e passa banda 1/2 • Tutte le reti dinamiche hanno proprietà filtranti. • Il circuiti indicato a sinistra rappresenta un filtro passa alto. Il circuito a destra un filtro passa banda. Lezione 14 11 Filtro passa alto e passa banda 2/2 • Il comportamento di un filtro dipende da come si comporta al variare della frequenza il modulo della funzione di trasferimento ossia dalla sua banda • La banda della funzione di trasferimento è costituita dagli intervalli di frequenza dove il suo modulo è convenzionalmente significativo Lezione 14 12 Introduzione Lezione 14 13 Significato 1/2 • La funzione di trasferimento rappresenta l’uscita della rete quando l’ingresso è il segnale impulsivo: – La funzione di trasferimento è una trasformata di Fourier – Nel dominio del tempo la funzione di trasferimento è un segnale • Lezione 14 Conseguenza: H (− jω ) = H * ( jω ) 14 Significato 2/2 – Il modulo della funzione di trasferimento è funzione pari della frequenza – La fase della funzione di trasferimento è funzione dispari della frequenza Lezione 14 15 Notazione più semplice • Per rendere più evidenti le proprietà delle funzioni di trasferimento conviene introdurre la pulsazione complessa s = jω • La funzione di trasferimento viene quindi scritta H ( jω ) = H ( s) • Esempio per il filtro passa basso: Lezione 14 1 H ( s) = 1 + sRC 16 Dominio dei fasori 1/2 • Per le reti in regime sinusoidale con pulsazione ωo , indicando con Y il fasore associato all’uscita e con S il fasore all’ingresso vale la seguente proprieta: Y = H ( jωo ) S Lezione 14 17 Dominio dei fasori 2/2 • Se l’ingresso è somma di due o più sinusoidi non isofrequenziali: s (t ) = S1m cos(ω1t + ϕ1 ) + S 2 m cos(ω2t + ϕ 2 ) + ... • A regime l’uscita vale: jϕ1 y (t ) = Re[ H ( jω1 ) S1m e e Lezione 14 jω1 t jϕ2 ] + Re[ H ( jω2 ) S 2 m e e jω2 t ] + ... 18 Esempio 1 1/3 • Nel filtro passa basso con R= 1 k ohm, C=1 nF, l’ingresso vale: e(t ) = 0.5 + 0.5 cos(1000 t ) + 10 cos(106 t ) determinare l’uscita v(t) a regime Lezione 14 19 Esempio 1 2/3 • Risulta: RC=10-6, ω1 = 0, S1m = 0.5, ϕ1 = 0, 1 H ( jω1 ) = H (0) = =1 −6 1 + j10 × 0 ω2 = 1000, S2 m = 0.5, ϕ2 = 0, 1 1000000 1000 H ( jω2 ) = H ( j1000) = = −j −6 1 + j10 ×1000 1000001 1000001 Lezione 14 20 Esempio 1 3/3 e(t ) = 0.5 + 0.5cos(1000 t ) + 10 cos(106 t ) ω3 = 106 , S3m = 10, ϕ3 = 0, 1 1 1 H ( jω3 ) = H ( j10 ) = = −j 6 −6 1 + j10 ×10 2 2 6 y (t ) = Re[ H ( jω1 ) S1m e jϕ1 e jω1 t ] + Re[ H ( jω2 ) S2 m e jϕ2 e jω2 t ] + ... = = 0.5 + 0.5cos(1000 t ) + 0.0005sin(1000 t ) + +5cos(106 t ) + 5sin(106 t ) Lezione 14 21 Esempio 2 • 1/2 In una rete si abbia la seguente funzione di trasferimento: s 2 + 3s + 1 H (s) = 3 2 s + 6 s + 11s + 6 Lezione 14 22 Esempio 2 2/2 • L’ingresso della rete sia dato da: s (t ) = 3sin(4t ) determinare l’uscita y(t) a regime: regime sinusoidale con ωo = 4 il fasore associato all’ingresso è: S = − j 3 il fasore associato all’uscita risulta: s 2 + 3s + 1 99 207 Y = H ( jωo ) S = H ( j 4)(− j 3) = 3 ( − j 3) = − −j 2 s + 6 s + 11s + 6 s = j 4 260 260 uscita: Lezione 14 99 207 y (t ) = − cos(4t ) + sin(4t ) 260 260 23 Esempio 3 • In una rete si abbia la seguente funzione di trasferimento: s 2 + 3s + 1 H (s) = • s 3 + 6s 2 + 11s + 6 L’ingresso della rete sia dato da: s (t ) = 30 + 10 cos(2t ) Determinare l’uscita y(t) a regime utilizzando la formula generale y (t ) = 30 H (0) + Re[ H ( j 2) 10 e Lezione 14 j 2t 69 33 ] = 5 + cos(2t ) + sin(2t ) 26 26 24 Dominio di Laplace 1/2 • Per le reti inizialmente scariche, indicando con S(s) la trasformata di Laplace dell’ingresso e con Y(s) la trasformata di Laplace dell’uscita vale la seguente proprietà: Y (s) = H ( s) S ( s) • Poichè la funzione di trasferimento rimane sempre la stessa nel dominio dei fasori, nel dominio di Fourier e nel dominio di Laplace, si parla di H(s) definita nel dominio delle frequenze senza ulteriori specificazioni Lezione 14 25 Dominio di Laplace 2/2 • La funzione di trasferimento rappresenta l’uscita della rete quando l’ingresso è il segnale impulsivo: – La funzione di trasferimento H(s) è una trasformata di Laplace – H(s) è una funzione analitica che possiede un semipiano destro di regolarità dove essa ha crescita lenta – Per reti stabili l’ascissa che definisce il semipiano di regolarità non può essere negativa – In generale i poli di H(s) coincidono con i poli della rete Lezione 14 26 Proprietà 1/2 • Nelle reti a parametri concentrati: – La funzione di trasferimento H(s) è una funzione razionale fratta in s – I coefficienti dei polinomi che definiscono il numeratore ed il denominatore di H(s) sono reali • se esiste uno zero (polo)di H(s) complesso, esiste anche lo zero (il polo) complesso coniugato. – Gli zeri del denominatore costituiscono i poli della funzione di trasferimento Lezione 14 27 Proprietà 2/2 – Gli zeri del numeratore costituiscono gli zeri della funzione di trasferimento – Per reti stabili l’ascissa che definisce il semipiano di regolarità non può essere negativa • In una rete stabile, i poli della funzione di trasferimento hanno parte reale non positiva • Gli zeri di una funzione di trasferimento possono avere parti reali positive (reti a fase non minima) • In generale i poli della funzione di trasferimento non dipendono né dall’ingresso, né dall’uscita considerate Lezione 14 28 Esempio • La funzione: 1 − 3ω 3 jω (ω 2 − 9) non è una funzione di trasferimento • Infatti posto s = jω ⇒ ω = − j s si ha: Lezione 14 1 − 3ω 3 1 − 3 j s3 =− 2 2 jω (ω − 9) s ( s + 9) 29 Introduzione Lezione 14 30 Esempio 1 • 1/4 Nel circuito in figura a) calcolare la funzione di trasferimento H(s)=I/E b) posto L=0.1 H, C=2F, R=1 ohm, alfa=6, calcolare i poli e gli zeri di H(s) Lezione 14 31 Esempio 1 2/4 • Rete nel dominio delle frequenze – Sovrapposizione degli effetti: sL + 1 sC sC E + ( s 2 LC + 1) α I x Ix = α Ix = + 1 1 1 R + sL + R + sL + R + sL + sC sC sC E Lezione 14 32 Esempio 1 3/4 • Risolvendo rispetto Ix: sC Ix = E 2 (1 − α ) s LC + sRC + 1 − α ne consegue: (1 − α ) sC I = (1 − α ) I x = E 2 (1 − α ) s LC + sRC + 1 − α Risposta a: Lezione 14 I (1 − α ) sC H (s) = = E (1 − α ) s 2 LC + sRC + 1 − α 33 Esempio 1 4/4 • Con i dati indicati 10 s H (s) = 2 s − 2s + 5 Risposta b: – zero in zo =0 – poli in p1,2= 1 ± j 2 • Rete instabile Lezione 14 34 Esempio 2 • 1/3 Il circuito in figura è nel dominio delle frequenze – calcolare la funzione di trasferimento H(s)=V/E Lezione 14 35 Esempio 2 • 2/3 Circuito equivalente • Applicando Millman: E V + (1 + s ) E + (1 + 2 s )V 1 1|| (1 + 1/ s ) V1 = = 2 1 1 s + 4s + 2 +s+ 1 1|| (1 + 1/ s ) Lezione 14 V1 V + V + sV = V− = V+ = 0 V2 = 1 1/ s = 1 1 1 s +1 + 1 1/ s 36 Esempio 2 • V1 + sV =0 L’equazione V2 = s +1 • porge: V1 = − sV • Sostituendo in si ottiene: 3/3 V1 = (1 + s ) E + (1 + 2 s )V s 2 + 4s + 2 1+ s 1 V =− 3 E=− 2 E 2 s + 4s + 4s + 1 s + 3s + 1 1 • Funzione di trasferimento: H ( s ) = − 2 s + 3s + 1 Lezione 14 37 Esempio 3 • 1/4 Il circuito in figura è nel dominio delle frequenze – calcolare la funzione di trasferimento H(s)=V/E Lezione 14 38 Esempio 3 2/4 • Circuito equivalente • Applicando Millman: E V + 1 (1/ s ) || (1 + 1/ s ) V1 = 1 1 1 + + 1 1 (1/ s ) || (1 + 1/ s ) Lezione 14 V V + 1 V + sV1 V2 = 1 1/ s = = V− = V+ = 0 1 1 s +1 + 1 1/ s 39 Esempio 3 • L’equazione porge: V2 = 3/4 V + sV1 =0 s +1 1 V1 = − V s • Sostituendo in si ottiene: V =− E V + 1 (1/ s ) || (1 + 1/ s ) V1 = 1 1 1 + + 1 1 (1/ s ) || (1 + 1/ s ) s E 2 s + 2s + 2 •Lezione Funzione di trasferimento: 14 s H (s) = − 2 s + 2s + 2 40 Esempio 3 Procedimento con il metodo dei nodi nodo 1 : 4/4 E − V1 V1 = s (V1 − V ) + + sV1 1 1 s E ⇒V = − 2 s + s +1 nodo 2 : Lezione 14 V sV1 + = 0 1 41 Esempio 4 Lezione 14 42 Altro metodo per l’esempio 4 Lezione 14 43 Introduzione Lezione 14 44 Risuonatori • I circuiti risuonatori sono particolari circuiti che hanno una funzione di trasferimento che presenta una banda molto stretta nell'intorno di una pulsazione che prende il nome di pulsazione di risonanza. Risuonatori Risuonatori parallelo serie Lezione 14 45 Risuonatore parallelo 1/4 • Funzione di trasferimento H ( jω ) = 1 1 1 + jω C + jω L R V ( s) 1 1 H (s) = = R || ( sL) || = A( s ) sC sC + 1 + 1 sL R Lezione 14 46 Risuonatore parallelo 2/4 • Funzione di trasferimento: H ( jω ) = 1 1 1 + jω C + jω L R = R ω ωo 1+ j Q − ωo ω • Parametri del risuonatore parallelo: – pulsazione di risonanza: – fattore di qualità: Lezione 14 ωo = 1 LC Q = ωo RC 47 Risuonatore parallelo 3/4 • Spettro di ampiezza della funzione di trasferimento – la banda è centrata nella pulsazione di risonanza. – al crescere di Q diminuisce la banda Lezione 14 48 Risuonatore parallelo 4/4 • Larghezza di banda (a 3 dB) della funzione di trasferimento – la banda viene definita dall’intervallo di pulsazione dove lo spettro risulta nel margine di 3 dB dal valore massimo – per valori elevati di Q risulta: B≈ Lezione 14 ωo Q 49 Espressione generale di Q • In un risuonatore arbitrario che funziona in regime sinusoidale alla pulsazione di risonanza – la somma W della energia sul condensatore e dell’energia sull’induttore non varia nel tempo – in un periodo viene dissipata una energia che è pari alla potenza attiva moltiplicata il periodo • Il fattore di qualità Q è espresso anche dalla formula: W Q = 2π energia dissipata in un periodo Lezione 14 50 Esempio • Valutare il fattore di qualità di un risuonatore che lavorando alla frequenza di fo= 1 MHz abbia un banda di Bf= 1 kHz – Risulta: Lezione 14 ωo f o 106 = = 3 = 1000 Q= B B f 10 51