il filtro rc passa – banda - Prof. Chirizzi Marco

IL FILTRO RC PASSA – BANDA
( RETE DI WIEN )
Prof. Chirizzi Marco
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Analizziamo il circuito riportato in figura 1. Esso è composto da un filtro passa – alto e un filtro
passa – basso.
Figura 1. Filtro passa - banda
L’intero circuito ammette una frequenza di taglio inferiore f L e una frequenza di taglio superiore
f H . Supponiamo che quest’ultima sia di gran lunga superiore a quella inferiore ( la frequenza f H
deve essere almeno dieci volte più elevata di f L ). In queste condizioni di lavoro, per frequenze
inferiori a f L il circuito in esame può essere schematizzato come in figura 2, mentre per frequenze
superiori a f H il circuito è equivalente a quello di figura 3.
Figura 2. Filtro passa - alto
Figura 3. Filtro passa - basso
Un circuito di questo tipo è un filtro passa – banda a banda larga, le cui frequenze di taglio
risultano:
fL =
1
2 π R2 C1
fH =
1
2 π R1 C 2
In centro banda, la tensione di uscita non risulta attenuata rispetto a quella di ingresso. Analizzando
il circuito di figura 1 nel dominio di Laplace ( si faccia riferimento al circuito trasformato di figura
4 ), la funzione di trasferimento si calcola come segue:
G(s) =
Vu ( s )
Z 2 (s)
=
formula del partitore di tensione
Vi (s ) Z1 ( s) + Z 2 ( s )
dove:
Z 1 ( s ) = R1 +
1 + s R1 C1
1
=
s C1
s C1
1
1
R2
s C2
s C2
R2
Z 2 (s) =
=
=
1
1 + s R2 C 2 1 + s R2 C 2
R2 +
s C2
s C2
R2
Pertanto si ha:
R2
R2
1 + s R2 C 2
1 + s R2 C 2
G(s) =
=
=
(
1 + s R1 C1
R2
1 + s R1 C1 )(1 + s R2 C 2 ) + s R2 C1
+
s C1
1 + s R2 C 2
s C1 (1 + s R2 C 2 )
=
s R2 C1
=
s R1 R2 C1 C 2 + s (R2 C 2 + R1C1 + R2 C1 ) + 1
=
1
R C + R2 C 2 + R2 C1
1
s R1C 2 + 1 1
+
R2 C1
s R2 C1
2
Figura 4. Circuito di partenza trasformato secondo Laplace
La funzione di trasferimento, espressa nel dominio delle frequenze, assume valore reale se è
soddisfatta la seguente condizione:
jω R1 C 2 +
1
= 0 annullamento della parte immaginaria di G ( j ω )
jω R2 C1
N.B.
Per passare dal dominio di Laplace al dominio della frequenza, basta porre s = j ω nella
espressione di G ( s ) .
Da quest’ultima equazione si risale alla pulsazione ω 0 , che è la pulsazione di centro banda, in
corrispondenza della quale il modulo della funzione di trasferimento assume il massimo valore e
non vi è sfasamento tra Vu e Vi . In formula si ha:
ω0 =
G ( jω 0 ) =
1
R1 R2 C1 C2
R2 C1
R1 C1 + R2 C 2 + R2 C1
In figura 5 è riportato il diagramma del modulo della funzione di trasferimento del filtro in
questione.
Figura 5. Risposta in frequenza del filtro passa - banda
Per ottenere un filtraggio a banda stretta, si pone:
R1 = R2 = R
C1 = C 2 = C
e le ultime due espressioni assumono le seguenti forme:
ω0 =
1
RC
G ( j ω0 ) =
1
3