il piano cartesiano e la retta

IL PIANO CARTESIANO E LA
RETTA
INDICE ARGOMENTI
PIANO CARTESIANO
DISTANZA TRA DUE PUNTI
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
LA RETTA
GRAFICO DI UNA RETTA
RETTE PARTICOLARI
COEFFICIENTE ANGOLARE
APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UNA RETTA
RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI
RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI
INTERSEZIONE TRA RETTE
FASCI DI RETTE
DISTANZA PUNTO RETTA
IL PIANO CARTESIANO
Asse delle y o asse delle
ordinate
I QUADRANTE
II QUADRANTE
O= origine
Asse delle x
o asse delle ascisse
IV QUADRANTE
III QUADRANTE
IL PIANO è SUDDIVISO IN 4 QUADRANTI NUMERATI IN SENSO ANTIORARIO
PUNTI SUL PIANO CARTESIANO
E’ POSSIBILE DEFINIRE LA POSIZIONE DI UN PUNTO SUL PIANO CARTESIANO
FORNENDO LE SUE COORDINATE P(x,y) DOVE IL PRIMO NUMERO RAPPRESENTA
L’ASCISSA ED IL SECONDO L’ORDINATA
Ordinate
y
P(x,y)
y
Ascisse
x
SI DICE CHE ESISTE UNA
CORRISPONDENZA BIUNIVOCA
TRA COPPIE ORDINATE DI
NUMERI REALI X,Y E PUNTI SUL
PIANO CARTESIANO
x
DISTANZA TRA DUE PUNTI
DATE LE COORDINATE DI DUE PUNTI A(XA,
YA) E B (XB,YB) SI VUOLE TROVARE LA
DISTANZA TRA QUESTI
Y
B
YB-YA
A
CI VIENE IN AIUTO IL TEOREMA DI
PITAGORA
XB-XA
X
SE FACCIAMO RIFERIMENTO ALLA
FIGURA SULLA DESTRA SI VEDE COME
LA DISTANZA AB SIA L’IPOTENUSA DI
UN TRIANGOLO RETTANGOLO ED I
DUE CATETI SIANO FACILMENTE
RICAVABILI UTILIZZANDO LE
COORDINATE DEI PUNTI
AB  ( X B  X A ) 2  (YB  YA ) 2
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
TUTTI GLI STUDENTI SANNO COME CALCOLARE LA MEDIA DEI LORO
VOTI. SE LE VALUTAZIONI DELLO STUDENTE FILIPPO SONO 4 E 8 IN
MATEMATICA, LA SUA MEDIA SARA’ (4+8 )/2 =6
ALLO STESSO MODO E’ POSSIBILE CALCOLARE LE COORDINATE DEL
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO CONOSCENDO LE COORDINATE DEGLI
ESTREMI P E P
XM 
X1  X 2
2
Y1  Y2
YM 
2
LA RETTA
FORMA ESPLICITA
FORMA IMPLICITA
y=mx+q
ax+by+c = 0
y = -4x + 5
4x+y-5 = 0
E’ EVIDENTE CHE L’EQUAZIONE DI UNA RETTA E’ SEMPRE UN’EQUAZIONE DI PRIMO GRADO
O LINEARE
COME TRACCIARE IL GRAFICO DI UNA
RETTA
Se dobbiamo disegnare la retta y = 3 x+ 5, dobbiamo trovare 2 punti che le appartengono.
Il procedimento più semplice consiste nel compilare una tabella
X
0
1
y
5
8
Se diamo il valore x=0, sostituiamo x=0
nell’equazione della retta e otteniamo y=5 e
quindi troviamo il punto A( 0, 5)
Se diamo il valore x=1 e lo sostituiamo
nell’equazione della retta otteniamo y=8
quindi troviamo il punto B( 1, 8).
Possiamo ora tracciare il grafico
COME TRACCIARE IL GRAFICO DI UNA
RETTA
y
.
A(0,5)
B(1,8)
.
x
RETTE PARTICOLARI
y = mx retta passante per O
y=x
y = -x
bisettrice I° e III° Quadrante
bisettrice II° e IV° Quadrante
RETTE PARTICOLARI
y = k con K numero reale
Retta orizzontale
x = k con k numero reale
Retta verticale
y=0
corrisponde
all’asse delle x ascisse
x = 0 corrisponde
all’asse delle y ordinate
APPARTENENZA DI UN PUNTO
AD UNA RETTA
In alcuni problemi viene chiesto di verificare se un punto P appartiene ad una retta ovvero se la
retta passa per il punto.
La richiesta può essere risolta in modo semplice
E’ sufficiente inserire nell’equazione della retta le coordinate del punto, l’ascissa al posto della x
e l’ordinata al posto della y.
Se l’equazione è verificata allora è possibile concludere che il punto appartiene alla retta.
ESEMPIO
Data la retta di equazione 5x -2y -9 = 0 verificare se il punto P(1,-2) appartiene alla retta.
Sostituiamo le coordinate del punto nell’equazione della retta: 5 ∙1 -2 ∙(-2) +4 = 0 ???
L’equazione è verificata per cui concludiamo che il punto appartiene alla retta.
IL COEFFICIENTE ANGOLARE
Il coefficiente angolare m esprime
la pendenza della retta
Se m < 0 la retta è decrescente
Se m = 0 la retta non ha
pendenza cioè è orizzontale
Se m >0 la retta è crescente
COME DETERMINARE IL COEFFICIENTE
ANGOLARE
CONOSCO
L’EQUAZIONE DELLA
RETTA IN FORMA
GENERALE ax +by +c = 0
CONOSCO L’EQUAZIONE
DELLA RETTA IN FORMA
GENERALE ax +by +c = 0
CONOSCO LE
COORDINATE DI DUE
PUNTI PER I QUALI
PASSA LA RETTA
A( XA, YA) B (XB , YB)
m = - a/b
SCRIVO LA RETTA IN
FORMA ESPLICITA
m
m è il coefficiente della x
quando la retta è scritta in
forma esplicita
y = mx +q
APPROFONDIMENTO
yB  y A
xB  x A
APPROFONDIMENTO
B
y B –y A
Vogliamo determinare la pendenza di una
retta conoscendo le coordinate di due
punti di essa A e B.
Per fissare le idee supponiamo di
percorrer con la bicicletta una strada in
salita da A a B.
Quando ci muoviamo da un punto all’altro
in realtà compiamo due movimenti:
Uno in verticale y B –y A
Uno in orizzontale x B – x A
Il rapporto tra i due spostamenti ci
fornisce la pendenza della strada ovvero
la pendenza(coefficiente angolare della
retta)
A
xB–xA
RETTA PASSANTE PER DUE
PUNTI
E’ noto che per due punti
assegnati passi una ed una
sola retta
y  yB
x  xB

y A  y B x A  xB
Conoscendo le coordinate di
due punti
A(x A, y A) e B (x B, y B) è
possibile scrivere l’equazione
della retta passante per essi
y  2 x 1

5  2 3 1
y  2 x 1

3
2
2 y  4 3x  3

6
6
2 y  4  3x  3
Esempio
Trovare l’equazione della retta
passante per A(3,5) B(1,2)
2 y  3x  1  0
3
1
y  x
2
2
o in forma esplicita
CONDIZIONE DI PARALLELISMO E DI
PERPENDICOLARITA’ TRA RETTE
RETTE
PARALLELE
HANNO LA STESSA PENDENZA E
PERTANTO
m1 = m2 CONDIZIONE DI PARALLELISMO
RETTE
PERPENDICOLARI
FORMANO 4 ANGOLI DI 90°
m1 ∙ m2 = -1
CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITA’
PER LA DIMOSTRAZIONE DELLA
CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITA’ SI
RICORRE AL 2° TEOREMA DI EUCLIDE
ESERCIZI
APPROFONDIMENTO TEOREMI EUCLIDE
PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE
IN UN TRIANGOLO RETTANGOLO
ABC RETTO IN A IL QUADRATO
COSTRUITO SULL’IPOTENUSA E’
EQUIVALENTE AL RETTANGOLO
CHE HA PER DIMENSIONI
L’IPOTENUSA E LA PROIEZIONE
DEL CATETO SULL’IPOTENUSA
IN FORMULA AB 2 = BC ∙HB
SECONDO TEOREMA EUCLIDE
SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE
IN UN TRIANGOLO RETTANGOLO IL
QUADRTAO COSTRUITO
SULL’ALTEZZA RELATIVA
ALL’IPOTENUSA E’ EQUIVALENTE AL
RETTANGOLO AVENTE PER
DIMENSIONI LE PROIEZIONI DEI
CATETI SULL’IPOTENUSA
IN FORMULA AH 2 = CH ∙HB
COME DIMOSTRARE LA CONDIZIONE DI
PERPENDICOLARITA’
Si prendano due rette perpendicolari passanti per l’origine
Y= m1x e y= m2x
Si tracci il triangolo rettangolo AOB nel quale il punto
A ha coordinate (1, m1) e B(1, -m2).
L’altezza OH =1
Per il secondo teorema di Euclide:
OH 2 = HB ∙HA
1 2 = m1 ∙ m2
1 = m1 ∙ m2
però m2 è negativo per cui
m1 ∙ m2= -1
ESERCIZI
Consideriamo le rette y = 3x + 4 e y = 3x + 2
Poiché i coefficienti angolari sono m1 = 3 e m2 = 3 possiamo concludere che
sono rette parallele in quanto posseggono lo stesso coefficiente angolare m.
Consideriamo le rette y = 3x + 3 e y = -1/3 x + 3
Poiché i coefficienti angolari sono m1 = 3 e m2 = -1/3 possiamo concludere che
sono rette perpendicolari in quanto il coefficienti angolare del secondo è l’antireciproco del primo ,
ovvero il prodotto dei due coefficienti angolari m1∙ m2 = -1
Assegnate le rette di equazione 3x -2y +1 = 0 e 2x +
3y -5 = 0 determinare se esse sono perpendicolari o
parallele
Calcoliamo i coefficienti angolari delle due rette
m1  
a
3
3


b
2 2
m2  
a
2
2
 
b
3
3
le rette sono perpendico lari
m1  m2  1
FASCI DI RETTE
Con il termine fascio di rette intendiamo non una singola
retta ma un insieme infinito
di esse
La figura a lato rappresenta un FASCIO
PROPRIO di rette cioè ‘insieme di tutte le
infinite rette passanti per un punto
Il punto C viene detto
C
CENTRO DEL FASCIO
E’ possibile scrivere l’equazione del
fascio di rette conoscendo le
coordinate del centro del fascio
Scriviamo per esempio l’equazione
del fascio di rette passante per un
punto di coordinate (3,-5)
y  5  m( x  3)
y  5  mx  3m
y  mx  3m  5
C ( xc , y c )
y  y C  m  ( x  xC )
E’ FACILE RICONOSCERE IN TALE
EQUAZIONE NON QUELLA DI UNA SINGOLA
RETTA, MA QUELLA DI “ TANTE” RETTE
AVENDO LASCIATO m, L COEFFICIENTE
ANGOLARE, IN FORMA LETTERALE CIOE’
GENERICA
ANCORA FASCI DI RETTE
Esistono anche i FASCI IMPROPRI DI
RETTE
Sono costituiti dall’insieme delle retta
parallele ad una retta assegnata che funge
da GENERATRICE.
Se la retta generatrice ha equazione y = 3x -5
Il fascio di rette improprio avrà equazione y= 3x +q trattandosi di tante rette
parallele a quella assegnata(e quindi con identico coefficiente angolare) ma
semplicemente traslate verso l’alto o il basso a seconda del valore assunto dal
termine noto q
ESERCIZI SUL FASCIO DI RETTE
1.Trovare l’equazione della retta passante per P (3,5) parallela alla retta y-5x = 0
y  5  m( x  3) FASCIO DI RETTE
Poiché si cerca una retta parallela a y -5x = 0 occorrerà calcolarne il coefficiente angolare
Scrivendola in forma esplicita y = 5x
quindi m = 5
Sostituendo il valore 5 nel fascio si otterrà:
y-5 = 5(x-3)
y-5 = 5x – 15
in forma generale y- 5 -5x +15 = 0
e infine
y -5x +10 = 0
ESERCIZI SUL FASCIO DI RETTE
2.Trovare l’equazione della retta passante per P (2,5) perpendicolare alla retta y + 3x -7 = 0
y  5  m( x  2) FASCIO DI RETTE
Poiché si cerca una retta parallela a y +3x-7 = 0 occorrerà calcolarne il coefficiente angolare
Scrivendola in forma esplicita y = -3x+7
quindi m = -3
Sostituendo il valore 1/3 nel fascio si otterrà:
1
y  5  ( x  2)
3
1
2
y  5 x
3
3
1
2
x
3
3
1
13
y  x
3
3
y 5 
INTERSEZIONE TRA RETTE
Per trovare l'intersezione di due rette nel piano, una volta nota la loro equazione, per prima cosa
dobbiamo assicurarci che non siano parallele.
Troveremo quindi, dapprima, il loro coefficiente angolare. Se è diverso le due rette non sono parallele e
quindi, necessariamente, saranno due rette incidenti le quali si incontreranno in un punto. Per trovare
le coordinate cartesiane del punto di intersezione ci basta trovare la soluzione del sistema lineare
formato dall'equazione delle due rette
Ora ci proponiamo di trovare il punto di intersezione tra le due rette: 2x + y – 3 = 0
e
x-y = 0
Le due rette non sono parallele poiché i due coefficienti angolari sono rispettivamente m1 = -2 e m2 = 1
Per trovare le coordinate del punto di intersezione dobbiamo quindi impostare un sistema lineare
2 x  y  3  0

x  y  0
2 y  y  3  0

x  y
metodo di sostituzio ne
3 y  3

x  y
2 x  y  3  0

x  y
y 1
da cui il punto P(1,1)

x

1

DISTANZA PUNTO -RETTA
In matematica e più precisamente in geometria
analitica la distanza di un punto P da una retta r
è definita come la minima distanza fra P ed un
punto Q di r
Sia P ( x0 , y0 ) e sia r la retta di equazione implicita ax +
by + c = 0. Indico con H il piede della perpendicolare
condotta da P ad r.
La distanza PH = d è data dalla seguente formula
DISTANZA PUNTO-RETTA
Calcolare la distanza tra il punto A(-3;5) e la retta di equazione 2x - y + 4 = 0
L'equazione è scritta in forma implicita; basta sostituire i dati nella formula:
x0 = -3 , y0 = 5 , a = 2 , b = -1 , c = 4