La scomposizione dei polinomi

PREREQUISITI



Monomi e operazioni con i monomi
MCD e mcm di più monomi
Polinomi e operazioni con i polinomi
OBIETTIVI




Comprendere il concetto di polinomio
riducibile;
Scomporre un polinomio in fattori;
Imparare alcuni metodi standard di
scomposizione in fattori;
Saper determinare M.C.D. e m.cm. Di
polinomi
Contenuti:
Raccoglimento a fattor comune
ax+ay = a(x+y)
Utilizzo dei prodotti notevoli
 differenza di due quadrati
x²-y²= (x+y)(x-y)
 quadrato di un binomio
x²±2xy+y² = (x ± y)²
 quadrato di un trinomio
x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz = (x + y + z)²
 Cubo di un binomio
x³+3x²y+3xy²+y³ = (x + y)³

somma
e differenza di cubi
x³± y³ = (x±у)(x² ±xу+у²)
Trinomio notevole
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
Utilizzo della regola di Ruffini
M.C.D. e m.c.m.di polinomi
Definizioni
La scrittura di un polinomio come prodotto di fattori si dice
scomposizione in fattori (o fattorizzazione) del
polinomio.
Dunque:
Scomporre un polinomio in fattori significa
trasformarlo, quando è possibile, nel prodotto di
due o più polinomi di grado minore.
Quando ciò è possibile, il polinomio si dice riducibile,in caso
contrario, si dice irriducibile.

RACCOGLIMENTO A FATTORE COMUNE

Se tutti i termini di un polinomio contengono un fattore comune, il
polinomio si può scrivere come prodotto del fattore comune per il
quoziente che si ottiene dividendo il polinomio dato per tale fattore.
Allora si dice che si è messo in evidenza il fattore comune che è, di
solito, il M.C.D.
ax+ay = a(x+y)
Esempi:
a²x+a²bу+a²z²=a²(x+bу+z²)
3x²+6xу-12x³=3x(x+2у-4x²)
RACCOGLIMENTI SUCCESSIVI
A FATTORE COMUNE

Consideriamo il polinomio
ax + bx + ay +by
i primi due monomi hanno in comune x e gli ultimi
due y allora tra i primi due raccolgo la x e tra gli
ultimi due la y

ax + bx + ay +by = x(a+b) + y(a+b)
noto che ho due termini con le parentesi uguali, quindi
posso raccogliere tutta la parentesi

ax + bx + ay +by = x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(x+y)
SCOMPOSIZIONI MEDIANTE I
PRODOTTI NOTEVOLI
Questo metodo consiste nel riconoscere se il polinomio da scomporre
sia lo sviluppo di un prodotto notevole.
 Uso della differenza di due quadrati
A²-B² =(A+B)(A-B)
Esempio
9x²-4y²=(3x+2y)(3x-2y)
Regola: La differenza fra i quadrati di due monomi si scompone
moltiplicando la somma dei due monomi per la loro differenza

Uso del quadrato di un binomio
A²+2AB+B²=(A+B)²
Esempi
4a²+12ab+9b² = ( 2a + 3b )²
4x² -16xy+16y² = (2x - 4y)²

Uso del quadrato di un trinomio
A²+B²+C²+2AB+2AC+2BC = (A+B+C)²
Esempio
4x²+9y²+16z²+12xy-16xz-24yz= (2x+3y-4z)²

Uso del cubo di un binomio
A³+3A²B+3AB²+B³ = (A+B)³
Esempio
8x³ +36x²y +54xy² +27y³ = (2x+3y)³

Uso della somma e della differenza di due cubi
A³+B³ = (A+B)(A²-AB+B²)
Esempi
a³+27 = (a+3)(a²-3a+9)
A³-B³ = (A-B)(A²+AB+B²)
8x³-y³ = (2x-y)(4x²+2xy+y²)
Scomposizione di un trinomio notevole

Un trinomio del tipo:
x²+(a+b)x+ab
dove il 1°coefficiente è uguale a 1 e il 2°coefficiente
è la somma di due numeri il cui prodotto è uguale
al termine noto,
si scompone così
(x+a)(x+b)
Esempi:
x²+5x+6 = (x+2)(x+3)
x²+3x-10 = (x-2)(x+5)
Scomposizioni con la regola di Ruffini
Coefficienti del
polinomio da scomporre
1 -3
1
4
1 -2
1 -2
2
Coefficienti del
polinomio
quoziente
-2
2
//
Partiamo da un esempio, dobbiamo
scomporre il polinomio
P(x) = x3-3x2+4x-2
Se alla variabile sostituiamo il valore
numerico 1, il polinomio assume il valore 0
(13-3·12+4·1-2=0).
Dalla regola del resto di Ruffini deduciamo
che il polinomio è divisibile per il binomio
x-1.
Eseguiamo la divisione con la regola di
Ruffini e quindi possiamo scrivere che
x3-3x2+4x-2 = (x-1)(x2-2x+2)
M.C.D. e m.c.m. di due, o più, polinomi


Il M.C.D. di due o più polinomi,scomposti in
fattori irriducibili,è dato dal prodotto di tutti e
soli i fattori comuni ai polinomi dati,presi una
sola volta con il minimo esponente.
Il m.c.m. di due o più polinomi,scomposti in
fattori irriducibili,è dato dal prodotto di tutti i
fattori,comuni e non comuni, presi una sola
volta con il massimo esponente