Equazioni 1° grado

Tutor d'aula prof,ssa Sannino Patrizia
Unità didattica 1: Le equazioni.
Unità didattica 2: Risoluzione di problemi.
Competenze. L’alunno sarà in grado di:
 classificare un’equazione;
 risolvere equazioni di primo grado e ad esse
riconducibili;
 risolvere problemi mediante equazioni.
Descrittori
Al. Sa classificare un’equazione.
A2. Sa riconoscere equazioni determinate, indeterminate, impossibili.
B1. Sa applicare i principi di equivalenza.
B2. Sa determinare il dominio di un’equazione.
B3. Sa risolvere un’equazione numerica intera di primo grado.
B4. Sa risolvere un’equazione numerica frazionaria.
B6. Sa risolvere un’equazione di grado superiore al primo applicando la legge
di annullamento del prodotto.
C1. Sa costruire il modello algebrico di un problema.
C2. Sa individuare le soluzioni del modello e del problema.
Trova il numero tale che il suo doppio
diminuito di cinque sia uguale a quindici.
Indicando con x il numero si ottiene
2x – 5 = 15
Un modello è una forma di
rappresentazione semplificata della
realtà.
2x – 5 = 15
È la formalizzazione in linguaggio algebrico del
problema dato.
Giochiamo
“Pensa un numero, aggiungi 5 e moltiplica il risultato per 2.
Che numero hai ottenuto?”
“Ho ottenuto 30”
“Allora il numero che hai pensato è 10”.
Questo semplice giochino che ci è stato proposto tante volte si
risolve mediante un’equazione
2(x + 5) = 30
Si chiama equazione algebrica un’uguaglianza fra due
espressioni algebriche, in una o più variabili, che risulti
verificata solo per particolari valori attribuiti alle variabili
che in essa figurano.
Un’equazione algebrica, in una sola variabile, si dirà di primo
grado se la variabile che in essa figura è di primo grado.
La variabile x si chiama incognita dell’equazione.
I particolari valori che attribuiti all’incognita soddisfano
l’equazione, si chiamano soluzioni o radici dell’equazione
stessa.
In matematica una uguaglianza e‘ un uguale fra due enti.
Esempi possono essere
1+1=2
125 + 250 = 375
a + a + 3a + 2a = 2a + 5a
Regola importante:
se un'uguaglianza e' vera si comporta come una bilancia a piatti: quello
che c'e' su un piatto deve variare come quello che c'e' sull'altro piatto
altrimenti la bilancia non e' più in equilibrio e l'uguaglianza non e' più
valida
Una equazione generica di primo grado è del tipo:
ax = b con a, b, x  
Chiameremo 1° membro l’espressione posta a sinistra
dell’uguale e 2° membro l’espressione a destra.
x – 1 + 2x
1° membro
=
3x - 1
2° membro
Se l’equazione (di 1° grado) possiede una sola soluzione si dirà determinata;
se, invece, possiede infinite soluzioni si dirà indeterminata; infine, si dirà
impossibile se non ammette soluzioni.
Equazione
ax = b con a,b,x
Equazioni
determinate
(una soluzione)
Equazioni
indeterminate
(infinite soluzioni)
Equazioni
impossibili
(nessuna soluzione)
ax = b
0x = 0
0x = b
Equazioni
Classificazione
Razionali
Irrazionali
Le incognite non
compaiono sotto un segno
di radice
Le incognite compaiono
sotto un segno di radice
Numeriche
Letterali
Oltre alle incognite non
compaiono altre lettere
Oltre alle incognite
compaiono altre lettere
Intere
Fratte
le incognite non
compaiono in un
denominatore
Le incognite compaiono
anche nei denominatori
EQUAZIONI EQUIVALENTI
Diremo che due equazioni, di primo grado, sono equivalenti se
ammettono la stessa soluzione
Per risolvere un’equazione è necessario applicare un
procedimento risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che
consentono di trasformare un’assegnata equazione in una nuova
equazione ad essa equivalente ma di forma più semplice.
A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti
principi di equivalenza.
Principio di addizione
Addizionando ad ambo i membri di una equazione uno stesso numero o
una medesima espressione algebrica in x si ottiene una equazione
equivalente alla data
Esempio:
8x – 6 = 7x + 4
Applicando il 1° principio, aggiungiamo ad ambo i membri l’espressione 67x
8x – 6 + 6 – 7x = 7x + 4 + 6 – 7x
x = 10
Da tale principio ricaviamo:
Regola del trasporto: in una equazione è sempre possibile trasportare un
termine qualunque da un membro all’altro cambiandone il segno
Regola della cancellazione: se uno stesso termine figura nei due membri di
una equazione, può essere eliminato
Principio di moltiplicazione e divisione
– Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una equazione per uno stesso numero
diverso da zero o per una stessa espressione algebrica contenente l’incognita, si ottiene
una equazione equivalente alla data
Esempio:
8x = -16
Applicando il 2° principio, dividendo ambo i membri per 80:
8x : 8 = – 16 : 8
x=–2
Da tale principio ricaviamo:
– Regola del cambiamento di segno: cambiando il segno a tutti i termini di una
equazione se ne ottiene un’altra equivalente alla data
– Regola della soppressione dei denominatori numerici: per trasformare una
equazione dotata di denominatori numerici in un’altra equivalente, priva di denominatori,
si moltiplicano ambo i membri dell’equazione data per il m.c.m. dei suoi denominatori
Come si risolve una equazione di I grado
Equazione 1
10 (x + 2) + 20 = 6 (x - 2) + 22 - x
Soluzione
Verifica
10x+20+20 = 6x - 12 + 22 – x
10 [(-6) + 2] + 20 = 6 [(-6) - 2] + 22 - (-6)
10x + x - 6x = -12 + 22 - 20
10 (-6 + 2) + 20 = 6 (-6 - 2) + 22 + 6
5x = -30
10 (-4) + 20 = 6 (-8) + 22 + 6
5x/5 = -30/5
-40 + 20 = - 48 + 22 + 6
x = (-30)/5 = - 6
-20 = -26 +6
-20 = - 20
verificata
Soluzione
Verifica
-12 - 4x - 14x - 28 + 15 = - 15 - 8x
4 [-3 - (-1)] - 14 [(-1) + 2] + 15 = - 15 - 8(-1)
4x - 14x + 8x = - 15 + 12 + 28 - 15 4 (-3 +1) - 14 (-1 + 2) + 15 = - 15 + 8
-10x = + 10
4 (-2) - 14 (1) + 15 = - 7
-10x/(-10) = + 10/(-10)
-8 - 14 + 15 = - 7
x = (-10)/(10)
-7 = - 7 verificata
x = -1
Vediamo ora qualche esempio di risoluzione di un’equazione di I grado indeterminata:
Equazione 3
4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)²
Soluzione
4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)²
4 ∙(x² - 10x + 25) = 4x² - 40x + 100
4x² - 40x + 100 = 4x² - 40x + 100
identità verificata per qualsiasi valore attribuito alla x oppure riprendendo da
4x² - 40x + 100 = 4x² - 40x + 100
e applicando la regola dell’elisione si ottiene
0=0
quindi, anche in questo caso, indipendentemente dal valore attribuito all’incognita l’equazione è
sempre verificata
Equazione 4
x – 1 + 5 ∙ (x – 3) + (-2)² = 6 ∙ (x – 2)
Soluzione
x – 1 + 5 ∙ (x – 3) + (-2)² = 6 ∙ (x – 2)
x – 1 + 5x – 15 + 4 = 6x – 12
x + 5x – 6x = -12 + 1 + 15 – 4
0=0
anche in questo caso l’equazione è soddisfatta indipendentemente dal valore
attribuito alla x, cioè è soddisfatta da qualsiasi valore di x, dunque l’equazione è
indeterminata
Esempio di risoluzione di un’equazione di I grado impossibile
Equazione 5
(5x – 2)² + (5x +2)² = 50 ∙ (x + 2) ∙ (x –2)
Soluzione
(5x – 2)² + (5x +2)² = 50 ∙ (x + 2) ∙ (x –2)
25x² – 20x + 4 + 25x² + 20x + 4 = 50 ∙ (x² - 4)
50x² + 8 = 50x² - 200
8 = - 200
risulta dunque che l’equazione non è mai soddisfatta indipendentemente dal valore
attribuito alla x, cioè nessun valore dato alla x è soluzione dell’equazione. L’equazione è
impossibile