esercitazione

HALLIDAY - capitolo 5 problema 19
Una ragazza di massa 40kg e una slitta di massa 8,4kg sono
sulla superficie di un lago gelato, distanti fra loro 15m. Per
tirare a sè la slitta la ragazza, per mezzo di una fune di massa
trascurabile, esercita sulla slitta una forza orizzontale di 5,2N.
Qual è l’accelerazione della slitta? Qual è l’accelerazione della
ragazza? A quale distanza si incontreranno, in assenza di
attrito, a partire dalla posizione della ragazza?
M=40 kg
m=8,4kg
T
T
x
x=0
D=15m
x=D
T
2
a


0,62m/s
Accelerazione della slitta:
m
T
2
A


0,13m/s
Accelerazione della ragazza:
M
Moto della slitta:
1 2
x S (t)  D  at
2
1 2
Moto della ragazza: x R (t)  At
2
La ragazza raggiunge la slitta nell’istante t1 in cui xR=xS:
1 2
1 2
2D
x R (t 1 )  x S (t 1 )  At1  D  at 1  t 1 
2
2
Aa
1 2
AD
x R (t 1 )  At1 
 2,6m
2
aA
HALLIDAY - capitolo 5 problema 20
Uno sciatore di massa 40kg scende su una pista priva di attrito
inclinata di 10° rispetto al piano orizzontale mentre soffia un
vento forte parallelo alla pista. Calcolare modulo e direzione
della forza esercitata dal vento sullo sciatore se (a) la sua
velocità scalare rimane costante; (b) la sua velocità scalare
aumenta in ragione di 1m/s2; (c) la sua velocità scalare
aumenta in ragione di 2m/s2.
N
y
x
θ
θ
P
F
Se la velocità è costante, applichiamo la prima legge di Newton:
  
F PN 0

 mgsinθ  F  0


 N  mgcosθ  0

 F  mgsinθ  68N


 N  mgcosθ  386N
Supponendo a≠0, applichiamo la seconda legge di Newton:
  

F  P  N  ma
mgsinθ  F  ma

 N  mgcosθ  0
F  m(gsinθ  a)

 N  mgcosθ
se a=1m/s2 è F=28N: vento contrario al moto dello sciatore
se a=2m/s2 è F= -12N: vento favorevole al moto dello sciatore
HALLIDAY - capitolo 5 problema 23
La cabina di un ascensore col suo carico ha una massa di
1600kg. Trovate la tensione del cavo di sostegno quando la
cabina, mentre sta scendendo a 12m/s, rallenta ad
accelerazione costante, fino ad arrestarsi in 42m.
T
x
P
1 2
Moto della cabina: x  v0 t  at
2
v  v0  at
v0=12m/s
a<0 incognita
Calcoliamo ora l’istante t1 in cui la cabina si ferma:
v0
v(t 1 )  0  v0  at 1  0  t 1  
a
Al tempo t1 la cabina avrà percorso un tratto h=42m:
1 2
x(t 1 )  h  v 0 t 1  at 1  h 
2
2
v 02
v02
 v0  1  v0 
v0  
 ha  
  a 
  h 
2a
2h
 a  2  a 
 

Seconda legge di Newton: P  T  M a

v02 
Mg  T  Ma  T  M(g  a)  M  g    1.8  10 4 N
2h 

HALLIDAY - capitolo 5 problema 29
Un blocco di massa 5,00kg è trascinato su un piano orizzontale
privo di attrito da una corda che esercita una forza F di modulo
12,0N con un angolo θ di 25,0° rispetto al piano orizzontale.
Qual è il modulo dell’accelerazione del blocco? L’intensità della
forza F viene lentamente aumentata. Quale sarà il suo valore
all’istante in cui il blocco è sollevato completamente dal suolo?
Quale sarà il modulo dell’accelerazione del blocco in
quell’istante?
y
N
F
θ
x
P
Secondo principio della dinamica:
  

F  P  N  ma
Fcos θ  ma
Scomponendo lungo gli assi cartesiani:
N  Fsin θ  mg  0
F cos θ
2
a


2,18m/s
accelerazione:
m
Supponendo F variabile, il blocco si distacca dal pavimento
nell’istante in cui questo cessa di esercitare una reazione (N=0):
Dalla seconda equazione del moto: N  mg  F sin θ
Imponendo la condizione N=0:
mg
N 0F 
 116N
sin θ
a
F cos θ
g

 21,0m/s 2
m
tgθ
HALLIDAY - capitolo 5 problema 32
Tre blocchi, collegati tra loro come in figura, sono spinti verso
destra su un piano orizzontale privo di attrito da una forza
T3=65,0N. Se m1=12,0kg, m2=24,0kg e m3=31,0kg, calcolare
l’accelerazione del sistema, la tensione T1 e la tensione T2.
m1
T1
m2
T2
m3
T3
x
Scriviamo la seconda legge di Newton per i 3 blocchi, studiando
le sole componenti delle forze lungo l’asse x:
T3  T2  m 3 a
T2  T1  m 2 a
T1  m1a
(N.B.: poichè le funi sono inestensibili,
l’accelerazione è la stessa per i 3 blocchi)
Sommando membro a membro le 3 equazioni:
T3
T3  (m 3  m 2  m1 )a  a 
 0,970m/s 2
m 3  m 2  m1
Sostituendo il valore di a si ricavano T1 e T2:
m1T3
T1 
 11,6N
m 3  m 2  m1
(m 2  m1 )T3
T2 
 34,9N
m 3  m 2  m1
HALLIDAY - capitolo 5 problema 35
Una scimmia di massa 10kg si
arrampica su una fune priva di massa
che può scorrere, senza attrito, su un
ramo d’albero ed è fissata ad un
contrappeso di massa 15kg,
appoggiato al suolo. Qual è il minimo
valore del modulo dell’accelerazione
che deve avere la scimmia per
sollevare dal suolo il contrappeso?
Se, dopo aver sollevato il
contrappeso, la scimmia smette di
arrampicarsi e rimane appesa alla
fune, quali sono il modulo e la
direzione della sua accelerazione? E
qual è la tensione della fune?
T
x
mg
N
T
Mg
Per studiare il moto della scimmia che si arrampica applichiamo
la seconda legge di Newton:
T  mg  ma
T  m(g  a)
La cassa si trova in quiete, quindi applichiamo la prima legge
di Newton:
T  Mg  N  0
N  Mg - T
Affinchè la cassa si sollevi, deve annullarsi la reazione normale:
M -m
N  0  Mg - m(g  a)  0  a 
g  4,9m/s 2
m
Quando la scimmia cessa di arrampicarsi, e la cassa si è
sollevata, si ha una situazione analoga a quella del dispositivo
di Atwood.
T  mg  ma S
T  Mg  Ma C
T
x
mg
N
T
Mg
a S  a C
m M
aS 
g  1,96m/s 2
mM
mM
aC 
g  1,96m/s 2
mM
2Mmg
T
 118N
M m
HALLIDAY - capitolo 5 problema 37
Un blocco di massa m1=3,70kg, su un piano privo di attrito,
inclinato di un angolo θ=30,0°, è collegato da una corda che
passa sopra una puleggia priva di massa e di attrito, a un altro
blocco, sospeso in verticale, di massa m2=2,30kg. Quali sono
le accelerazioni di ciascun blocco e la tensione nella corda?
N
T
T
y
x
θ
θ
P1
P2
x
 

Corpo m2: P2  T  m 2 a 2
m2 g  T  m2 a 2
  

Corpo m1: P1  T  N  m1a1
T  m1 gsinθ  m1a1
N 1  m1 gcosθ  0
L’accelerazione dei due corpi è la stessa: a1=a2=a
Dalla prima equazione si ricava T: T  m2 (g  a)
Sostituendo nella seconda: m 2 (g  a)  m 1 gsinθ  m 1a 
m 2  m1 sinθ
ag
 0,735m/s 2
m1  m 2
La tensione è quindi: T  m2 (g  a)  20,8N
HALLIDAY - capitolo 5 problema 50
Immaginiamo un modulo di atterraggio che si stia avvicinando
alla superficie di Callisto, una delle lune di Giove. Se la spinta
verso l’alto del motore è di 3260N, il veicolo scende a velocità
costante; se invece è di soli 2200N, accelera verso il basso
con modulo di 0,39m/s2. Qual è il peso del modulo di
atterraggio in prossimità della superficie di Callisto? Qual è la
sua massa? Quanto vale l’accelerazione di gravità vicino alla
superficie di Callisto?
F1
P
velocità
costante
F2
P
accelerazione
verso il basso
Se la navicella scende con velocità costante:
P  F1  0  P  F1  3260N
Se la navicella accelera verso la superficie della Luna:
P  F2
P  F2  ma  m 
 2720kg
a
Accelerazione di gravità su Callisto:
P
gC   1,20m/s 2
m
HALLIDAY - capitolo 6 problema 9
Un operaio spinge orizzontalmente una cassa di 35kg con
una forza di 110N. Il coefficiente di attrito statico tra cassa e
terreno vale 0,37. Qual è, in questa situazione, la massima
intensità fas,max della forza di attrito statico? La cassa si
sposterà? Qual è la forza di attrito esercitata dal suolo sulla
cassa? Supponiamo ora che un operaio venga in suo aiuto
tirando la cassa verticalmente verso l’alto. Qual è la minima
forza di alleggerimento necessaria perchè la spinta di 110N
del primo operaio sia sufficiente a far spostare la cassa? Se,
invece, il secondo operaio interviene tirando anche lui
orizzontalmente, qual è la minima forza di trazione che
consentirà lo spostamento della cassa?
N
y
fas
F
x
P
   
F  N  P  f as  0
 N  mg  0

 F  f as  0
Reazione normale: N  mg
Massima forza di attrito statico: f as,max  μs N  μs mg  127N
Poichè F<fas,max la cassa non si muove.
f as  F  110N
Supponiamo ora che il secondo operaio tiri la cassa verso l’alto
con una forza F1
N
F1
fas
y
F
x
P
   

F  N  P  f as  F1  0
 N  mg  F1  0

F  f as  0
Reazione normale: N  mg  F1
Perchè la cassa inizi a muoversi deve essere fas=fas,max:
F
f as  μs N  F  μs N  F  μs (mg  F1 )  F1  mg 
 45,7N
μs
Supponiamo infine che il secondo operaio applichi una forza F2
orizzontale
N
y
F2 F
fas
x
P
   

F  N  P  f as  F2  0

 N  mg  0


F  f as  F2  0
Reazione normale: N  mg
Perchè la cassa inizi a muoversi deve essere fas=fas,max:
f as  μs N  F  F2  μs N  F2  μs mg  F  16,9N
HALLIDAY - capitolo 6 problema 11
Una forza orizzontale F di modulo 12N spinge un blocco del
peso di 5,0N contro una parete verticale. I coefficienti di attrito
fra parete e blocco sono μs=0,60 e μd=0,40. All’inizio il blocco è
fermo. Comincerà a muoversi? Quale sarà, espressa mediante
versori, la forza esercitata dal blocco sulla parete?
Nella direzione x il blocco è in equilibrio:
fa
F N 0 N  F
F
N
L’attrito è statico o dinamico?
f as,max  μs N  μs F  7,2N
Essendo P<fas,max, l’attrito è statico!
P
Anche in direzione y c’è equilibrio:
y
f as  P
Forza esercitata
  dalla parete sul blocco:
x
R  N  f as  (-12N)iˆ  (5,0N)ˆj
HALLIDAY - capitolo 6 problema 20
I blocchi A e B della figura pesano rispettivamente 44N e 22N.
Trovate il peso del blocco C da collocare su A per impedirne lo
slittamento, sapendo che fra A e il piano d’appoggio μs=0,20.
Togliamo bruscamente il blocco C: quale sarà l’accelerazione di
A per μd=0,15?


PB  T  0  T  PB
Blocco B: PB  T  0


  
y
N
PA  PC  T  N  f as  0
Blocchi
A+C:
C
x

fas
 N  PA  PC  0 
 N  PA  PC
A T




T  f as  0
 f as  T
A+C restano fermi finchè fas≤fas,max:
T
PA+PC
B
PB
x
f as  μs N  PB  μs (PA  PC )
PB
 PC 
 PA  66N
μs
N
fad
y
A T
PA
Supponiamo ora di togliere il blocco C



Blocco B: PB  T  m B a B

  

x
Blocco A: PA  T  N  f ad  m Aa A
Scomponendo lungo gli assi:
T
 PB  T  m B a B

B
x
T  f ad  m Aa A

PB
 N  PA  0  N  PA
Ricordando che fad=μdN, mA=PA/g, mB=PB/g e ponendo a=aA=aB:
PB

P

T

a
 B
g

P
T  μd PA  A a

g
a
PB  μd PA  (PB  PA ) 
g
P  μd PA
ag B
 2,3m/s 2
PB  PA
HALLIDAY - capitolo 6 problema 29
Un giovane di massa 80kg, seduto su una poltroncina di una
ruota panoramica, ruota lungo una circonferenza di raggio
10m con asse orizzontale con velocità di modulo costante
6,1m/s. Che periodo ha il moto? Che intensità ha la forza
normale che il seggiolino applica al giovane quando questi si
trova nel punto più alto della traiettoria e nel punto più basso?
N
2 R
 10,3s
Periodo: T 
v
Nel punto più alto:
R
mg
N
mg

mv 2
v2 
mg  N 
 N  m g    486N
R
R

Nel punto più basso:

mv 2
v2 
N  mg 
 N  m g    1080N
R
R

HALLIDAY - capitolo 6 problema 35
La figura mostra un disco di massa m=1,50kg che percorre
una circonferenza di raggio r=20,0cm sul piano privo di attrito
di un tavolo e sostiene una massa M=2,50kg appesa a un filo
che passa attraverso un foro al centro del cerchio. Trovate a
quale velocità deve muoversi m per trattenere M.
Equilibrio di M: Mg  T  0  T  Mg
mv
Moto di m: T 
R
T
T
Mg
2
Si può quindi ricavare la velocità:
mv 2
Mg 
v 
R
MgR
 1,81m/s
m
HALLIDAY - capitolo 6 problema 50
Un bambino mette il cestino della merenda sul bordo esterno
di una giostra di raggio 4,6m che compie un giro ogni 30s.
Qual è la velocità di un punto su un bordo della giostra?
Quanto deve essere il minimo coefficiente di attrito statico fra
la giostra e il cestino perchè questo rimanga al suo posto?
Velocità dei punti della giostra:
2 R
2 R
T
v
 0,96m/s
v
T
fas
R
La forza centripeta che mantiene il
cestino in rotazione con la giostra è
l’attrito statico:
mv 2
mv 2
f as 
 μs N 
 μs mg
R
R
 μs  v 2 /gR  0,020