disequazioni di primo grado

Unità didattica progettata e realizzata dalle docenti:
Rita Montella, Gelsomina Carbone classi II e II A
Anno Scolastico 2007/2008
Ha collaborato alla realizzazione della presentazione
L’alunna Anna Paola De Caro della II A
Prerequisiti:
Scomposizione di un polinomio
Frazioni algebriche
Operazioni con le frazioni algebriche
Grafico della retta
Obiettivi






Conoscere e saper riconoscere un equazione algebrica di primo
grado.
Conoscere il concetto d’identità
Conoscere il concetto di grado.
Conoscere i principi di equivalenza
Saper risolvere algebricamente un’equazione di primo grado
Conoscere e saper riconoscere una disequazioni algebrica di primo
grado.

Si definisce Disequazione di primo grado una
disuguaglianza tra due espressioni algebriche
intere di primo grado in un’incognita.
Essa si presenta in una delle seguenti forme
dette “normali”:
A(x)>B(x)
A(x)<B(x)
A(x)≥B(x)
A(x)≤B(x)

I simboli “> , < , ≥ e ≤ ” si chiamano versi
della disequazione.

Per le disequazioni valgono i seguenti principi
di equivalenza:
› Se si aggiunge o si sottrae dal primo e dal secondo
membro di una disequazione una stessa quantità si
ottiene una disequazione che ha le stesse soluzioni
della disequazione data;
› Se entrambi i membri di una disequazione vengono
moltiplicati per una quantità positiva e diversa da
zero si ottiene una disequazione che è equivalente
alla disequazione data;
› Se si moltiplicano entrambi i membri di una
disequazione per una quantità negativa diversa da
zero, si ottiene una disequazione che ha le stesse
soluzioni della disequazione data solo se le viene
cambiato il verso.


Le soluzioni di una disequazione sono i valori che
sostituiti all’incognita rendono vera la
diseguaglianza.
Esse possono sono rappresentate da insiemi
numerici finiti, infiniti o vuoti.
L’insieme dei valori per i quali la disequazione è
verificata viene detto intervallo:
-a<x<b rappresenta l'intervallo di numeri compresi fra a e b, con a
e b esclusi;
-a≤x≤b rappresenta l'intervallo di numeri compresi fra a e b, con a e
b compresi:
-x>a tutti i numeri maggiori di a, in questo caso a è escluso;
-x≥a tutti i numeri maggiori di a, in questo caso a è incluso.
Una disequazione si dice:
- intera se tutti i termini sono interi rispetto
all’incognita;
- frazionaria se l’incognita compare anche al
denominatore;
- numerica se, oltre all’incognita, contiene solo
numeri;
- letterale se, oltre all’incognita, contiene altre
lettere dette variabili.

CLASSIFICHIAMO LE DISEQUAZIONI
Disequazione
Numerica intera
Risoluzione algebrica:
La disequazione intera di primo grado si
presenta nella forma:
ax+b<>=0
risolverla vuol dire trovare tutti i valori
numerici reali che sostituiti all’incognita
rendono vera la diseguaglianza.
Risolviamo con un esempio numerico applicando una
disequazione numerica intera di primo grado:
Data la seguente disequazione 5x+24 < 7x+2
portiamola alla forma normale applicando i principi di
equivalenza :
5x +24 -7x-2<0
riduciamola:
-2x + 22 < 0
isoliamo l’incognita:
-2x < -22
cambiamo il segno
invertiamo il verso
2x>22
quindi ricaviamo le soluzioni
x>11.
Rappresentazione grafica
Una volta risolta algebricamente la disequazione le
sue soluzioni sono rappresentate graficamente
sulla retta numerica (o reale), nel seguente modo
x>11
0
11
Disequazione
Prodotto
Una disequazione si dice prodotto quando si
presenta comeun prodotto di fattori.
Risoluzione
Procediamo con un esempio ad introdurre la
tecnica risolutiva:
Data la seguente disequazione prodotto
(x-3)(x+5)<0
Siccome ci interessa per quali valori di x questo
prodotto è positivo,negativo o nullo, studiamone il
segno, considerando il segno dei vari fattori.
Per fissare le idee studiamo la positività di ogni
fattore:
x-3>0
x+5>0
e si ha:
x>3
x>-5
Rappresentiamoli sulla retta reale:
-5
0
3
Il tratteggio indica il segno
negativo e la linea continua
indica il segno positivo si deve
facendo il prodotto si ha.
-5
+
0
-
3
+
Così abbiamo che da meno infinito a -5 la
disequazione avrà segno positivo, invece nell’intervallo
compreso tra -5 e 3 avrà segno negativo e
nell’intervallo cha va da 3 a più infinito è positiva.
Siccome la richiesta era per i valori negativi d
(x-3)(x+5)<0
Prendiamo in considerazione soltanto
l’intervallo dei valori negativi, e cioè
l’intervallo dei valori compresi tra -5 e 3.
Possiamo affermare che le soluzioni della
disequazione sono i valori :
-5<x<3 con x appartenente ad R
Disequazione
Letterale
intera
Risoluzione algebrica:
Data la seguente disequazione letterale
ax><=0
Risolverla vuol dire discutere i vari casi al variare di
a me b in R
Consideriamo un esempio
a(x-a)>2(x-2)
Discutiamo la seguente
disequazione
a(x-a)>2(x-2)
Riduciamola alla forma tipica
ax-a2>2x-4
ax-2x>a2-4
(a-2)x>a2-4
(a-2)x>(a-2)(a+2)
A questo punto, poiché il coefficiente della x può
essere positivo, negativo o nullo,
occorre distinguere i 3 casi:
(a-2)
a=2
a>2
a<2
Si ha:
Quindi:
Si ha:
0x>0+4
(a-2)>0
(a-2)<0
E quindi è
impossibile
Quindi
Cioè
x>a+2
x<a+2
Sistemi di
disequazione
L’insieme di più disequazioni rappresenta il
sistema di disequazioni.
• Per risolvere un sistema di disequazioni si
devono trovare gli insiemi di soluzioni di ogni
singola disequazione e considerarne
l’intersezione.
• Se le disequazioni non hanno soluzioni comuni
il sistema si dice impossibile.
•
Prendiamo come esempio il seguente sistema:
x-3>2
x-1<10
Abbiamo che la soluzione della prima disequazione è
x>5 e la soluzione della seconda è x<11.
Quindi:
x>5
x<11
Rappresentare poi le soluzioni delle disequazioni
sulla retta numerica:
0
5
11
Dal grafico si può vedere che le soluzioni in comune
sono quelle comprese tra 5 e 11.
La soluzione del sistema è quindi
5<x<11
Disequazioni
fratte
Studiamo la seguente disequazione fratta,
N.B. la tecnica è la stessa di quella prodotto
2x-1
5-4x
>1
Si ha:
2x-1
5-4x
-1> 0
2x-1-5+4x
5-4x
>0
6x-6
5-4x
6(x-1)
5-4x
x-1
5-4x
>0
>0
>0
Studiare quindi i segni del numeratore e del
denominatore della disequazione sulla retta
reale.
x>1
x< 5
4
1
5
4
Dallo studio dei segni si ha quindi che la
disequazione è verificata per:
1 <x< 5
4
Esercizi
1) x + 2 - 2x < 4x – (3 - 6x )
;
2)
3) 6x + 12 - 2x < 4x - 3
;
x+2
4x - 3
5) ——— < - 2x - ———
2
3
;
4)
6)
3x + 2 - 2x > 4x - 8
(x + 2)² - 2x > x² - 4x - 3
1
1
―>—
x
5
(x+1)*(2-x)
7) —————— ≥ 0
(3-x)
F
•
•
Test vero o falso
La disequazione 5x-3<0 è equivalente alla disequazione 5ax-3a<0
per ogni a reale e non nullo.
La disequazione 5x-3<0 è equivalente alla disequazione 5x-3+a <a
per ogni a reale .
•
Due disequazioni sono equivalenti se ammettono la stessa soluzione.
•
La disequazione -3x+2≤0 ammette come soluzione l’intervallo
[ 2/3;+∞ [ .
V
􀀀
􀀀
􀀀
􀀀
􀀀
􀀀
􀀀
􀀀
Disequazioni fratte
 Esercizi
 Test

Grazie all’ alunna Anna Paola De
Caro per aver collaborato con noi e a
tutti gli studenti che hanno
partecipato a questo progetto
dando sempre validi contributi.
GRAZIE PER LA CORTESE ATTENZIONE