Lezione sui filtri (materiale Prof. Morini)

s21( j)
Esempio
1
A

s21 ( j )  e
 (0 )  
 1
0
 ( )  
 ln( A)   1
 ( )
20



1
ln A
d 
2
2
  0
Esempio (cont.)


20 ln A

ln A

ln


1
 1
1  1

d 


   0   0  20
1  0
1  0
1  0
 ( )  
ln

1  0
ln A
d ( )
Ritardo di gruppo Tg  
d
Nel caso appena visto:
Tg  
2 ln A

1
ln
2
1 
10
9
8
Grafico del ritardo di gruppo
I valori sono normalizzati alla
costante
2 ln A
Tg
7
6

5
4
3
2
Tg ideale
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2


Risposte ottime
Risposta massimamente piatta
d s21 ( j )
k
d
2
 0
d s21 ( j )
k
d
s21 ( j ) 
2
 0 k  1,...,2n  1
k
2
 0 k  1,...,2n  1
k
 
1
1 
2n
Butterworth
Risposta massimamente piatta
1
0.8
n=1
n=2
0.6
n=4
n=8
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
Risposta Equiripple
max
2
s21 ( j )  1   2
 1
d s21 ( j )
k
d
2
 0 k  1,...,2n  1
k
 
1
s21 ( j ) 
2 2
1   Tn ( )
2
Polinomio di Tchebysheff
1
Tn ( x)  cos( n cos x)
Risposta equiripple
1
0.9
0.8
0.7
n=1
n=2
n=4
n=8
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
Dettaglio della risposta in banda
Risposta equiripple
1
0.995
0.99
n=1
n=2
n=4
n=8
0.985
0.98
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Grado del filtro
Normalmente si usano quantità espresse in dB:
Perdite di inserzione minime in banda soppressa:
LA  20 log
1
s21 max
Perdite di ritorno minime in banda passante:
LR  20 log
1
s11 max
Rapporto delle frequenze di cut-off
• Oltre a Lr e La viene tipicamente richiesto il
rapporto  s tra la frequenza di cutoff della
banda soppressa e quello della banda
passante
Risposta max piatta:
10 log( 1   )  LA
2n
s
Ora, essendo:

2n
s
 1  (1   )  
2n
s
2n
s

LA
n
20 log  s
Esempio filtro massimamente piatto
LA  50 dB
s  2
 n  8.3  n  9
Nel caso si specifichi il rapporto g delle frequenze di cut-off, cioè
il rapporto tra minima pulsazione soppressa e massima
pulsazione passante:
 soppressa
g
 passante
Essendo:
2
s11  1  s21
2

1
 1  2n
 2n

 1
 1 1 1
2n

1
2n
Grado del filtro max piatto
  g


1
1
1 
  10 log 1  
10 log

10
log
2

  2n


passante 
s11 ( j passante)

  s
Se LR >>1



2n

L
R


LR
LR
n
 20 log( g /  s ) 
20 log( g /  s )
n
LA
LA
 20 log(  s ) 
Ma n 
20 log(  s )
n
Pertanto:
Es:
LA  LR
20 log g 

n
LA  LR
n
20 log g
LA  50 dB LR  20 dB
g 2
 n  11.7  n  12
Grado del filtro equiripple
s21 ( j ) min
2
2
1

2

 s11 ( j ) max 
2
1 
1  2
LR  10 log( 1  1 /  )  20 log 
2
Alla frequenza di cut-off della banda soppressa (s=g):
LA  10 log( 1   T (g ))
2
2
n
Osservando che:
2
n
(
g

g

1
)
Tn (g )  cosh( n cosh 1 g )  cosh( n ln( g  g 2  1) 
2
Grado Risposta Tchebysheff (cont.)
2
n

(g  g  1)
LA  20log   log

2


LA  LR  20 log( g  g  1)  6
2
n

n
Es:
LA  LR  6
20 log( g  g  1)
2
LA  50 dB LR  20 dB
g 2
 n  6.6  n  7
Contro il valore 12 richiesto dal
filtro con risposta max piatta
Confronto risposte prototipi LP Butterworth e Chebyshev
Prototipi passa-basso a scala
A
gN
g4
g2
R
g3
1
g1
V
A
A
g5
g3
g1
R'
gN
g4
1
g2
V
A
Valori dei parametri per un filtro Butterworth
R  1 n
 (2k  1) 
g k  2 sin 

2
n


Valori dei parametri per un filtro Chebyshev
2a1
g1 
  
sinh 

 2N 
4ai 1ai
gi 
bi 1 g i 1
k  10  LR / 20
a i  sin(
1
g N 1   2
2 K  1  2 K 1  K 2
2i  1
* )
2N
 
i 


bi  sinh(
)  sin( )
2N 
N 


2
2
1 K 2 1
  ln(
)
2
1 K 1
N dispari
N pari
Esempio: Filtro Chebyshev n=4, L =20 dB
R
R'
0.819
V
g4
g2
0.7628
1.2919
g3
1.5775
g1
0.931
1
Ovvero, normalizzando rispetto a R’
g4
g2
0.7628
1.2919
1
g3
V
g1
1.5775
g 2' i 1  g 2i 1 / RG
g 2' i
 g 2i  RG
RL  1 / RG
0.93138
1.291973
1.577411
0.762489
1.221001
0.931
1/R'
Trasformazione del prototipo passa-basso in
quello passa-banda
Attraverso il cambiamento di variabile:
0
 0
' 
(  )
2  1 0 
Essendo
1 , 2
0  1  2
gli estremi della banda passante
Trasformazione serie
• A partire dai parametri del filtro passa basso, mediante la
trasformazione in frequenza illustrata, le induttanze serie originarie L
si trasformano nei risonatori serie L' e C '
L
L' 
2  1
2  1
C' 
2
L  0
L
L'
C'
Trasformazione parallelo
•Analogamente, le capacità parallelo C diventano risonatori parallelo L'' e C'':
2  1
L' ' 
2
C  0
C
C
C'' 
 2  1
L"
C"
Trasfomazione Lp-Bp per il circuito prototipo di grado 4
SPECIFICHE
- Estremi della banda passante: 37 GHz - 37.3 GHz.
- Return loss minimo in banda passante (LR): = 20 dB.
- Attenuazione minima in banda soppressa (LA): 40 dB per f  37.750 GHz.
Con le trasformazioni mostrate si ottiene il circuito:
C2'
R'
0.819
V
0.04pF
L2'
0.40nH
L2"
0.02pH
L1'
C1'
0.68nH
0.02pF
C2"
0.83nF
L1"
C1"
0.49nF
0.03pH
1
Difficoltà nella implementazione del circuito risonante in un dispositivo a
microonde
• L' implementazione della rete mostrata pone
alcuni problemi:
• la realizzazione dei risonatori;
• la connessione tra i diversi blocchi non può
avvenire in un unico punto fisico, come accade nel
prototipo illustrato, per cui la caratteristica viene
irrimediabilmente alterata;
• impiegando strutture guidanti vere risulta
difficoltoso collegare elementi in serie e in
parallelo;
Quindi il prototipo deve essere modificato perché diventi
simile alla struttura fisica che lo realizza
Il primo passo è quello di trasformare i risonatori in modo da renderli
tutti serie o parallelo; tale operazione viene resa possibile tramite
l'impiego di INVERTITORI DI IMPEDENZA.
Un invertitore di impedenza è un rete due porte la cui matrice di
trasmissione vale:
0
J

K
JK 

0

Trasformazione circuito parallelo
Con K viene indicata l'impedenza caratteristica dell'invertitore; è agevole
dimostrare l'uguaglianza tra una suscettanza parallelo ed una reattanza
serie compresa tra due invertitori uguali, come illustrato :
C'
L''
C''
L'
K
K
L' uguaglianza sussiste se :
- L'=C"*K²
- C'=L"/K²
Si osservi che, dopo ogni trasformazione, il risonatore serie conserva
la medesima frequenza di risonanza del risonatore parallelo:
2
0
1
1


L" C" L' C '
Anche i parametri dei risonatori serie possono essere modificati tramite
l'utilizzo di due trasformatori, come illustrato di seguito:
C
1:n
L
n
L'
L
C'
L'
n:1
Quindi la rete a scala iniziale viene trasformata in un circuito
in cui vi sono solamente risonatori serie separati da invertitori
di impedenza:
L04
1
K5
C04
L03
K4
C03
L02
K3
C02
L01
K2
C01
K1
1
Realizzazione dei risonatori serie
Un tratto di linea di trasmissione di impedenza caratteristica Z0 e lunghezza
elettrica =l, ammette il circuito equivalente:
l
jX
Z0
X  Z 0 sin 
jB
jB
1
B
cot 
Z0
Se la lunghezza elettrica  del tratto di linea è pari a  alla
pulsazione di risonanza 0, sviluppando X() in serie di
Taylor attorno a = e arrestando lo sviluppo al primo ordine,
si ottiene:
X ( )  Z0 cos   (   )  Z0 (   )
Perché l'uguaglianza precedente sia verificata per un intorno non
nullo della pulsazione 0, è necessario che :
d
d
X  Z0
d 0
d
0
D’altra parte:
d
X
d
Quindi:
0
1
 L  2  2L
0 C
1 d
L  Z0
2 d  0
L dipende dal tipo di struttura guidante che si sta utilizzando. Tramite
l‘impiego di invertitori di impedenza e trasformatori è possibile così
acquisire notevole flessibilità nella costruzione del circuito, rimanendo
vincolata la sola pulsazione di risonanza.
I trasformatori sono stati inglobati negli invertitori di impedenza considerando che
la cascata di un invertitore K e un trasformatore n:1 è ancora un invertitore di
impedenza caratteristica K/n e, analogamente, la cascata di un trasformatore 1:n e
un invertitore K produce un invertitore di impedenza nK.
I valori i L0i saranno determinati in funzione delle strutture guidanti che verranno
utilizzate per costruire il filtro.
I valori di K possono essere dedotti utilizzando le seguenti relazioni, in cui con Li e
Ci vengono indicati i valori delle capacità e delle induttanze relative al prototipo
passa banda descritto.
L01
K1 
C1 "
L02 L01
K2 
C1 " L1 '
L04 L03
K4 
C 2 " L2 '
K3 
K5 
L03 L02
L1 ' C 2 "
L04 R'
L2 '
Realizzazione degli invertitori di impedenza in microstriscia
 / 2
 / 2
 / 2
Z0  1
 / 2
 A B
C A


Z0  1
Il calcolo delle dimensioni delle finestre avviene oggigiorno
attraverso simulatori elettromagnetici dedicati allo studio di
circuiti planari, come Ensemble, Microwave Office, etc.
Equalizzazione della fase
• Calcolata il gap che consente di ottenere la stessa
riflettenza dell’invertitore, si aggiusta la fase aggiungendo
a dx e sx del gap due tratti di linea negativa che producano
la compensazione di fase desiderata.
Il calcolo delle dimensioni delle finestre avviene oggigiorno
attraverso simulatori elettromagnetici commerciali basati su
tecniche idonee come HFSS, Microwave Studio, Mician,
WASP, et cetera. Risultati in forma chiusa ma notevolmente
approssimati sono reperibili in ‘Microwave Handbook’, di
N. Marcuvitz (1948).
Realizzazione degli invertitori di impedenza in guida rettangolare
a
b
K
Z1
a'
Z2
b'
Le due linee di trasmissione sono realizzate tramite tratti di
guida d'onda rettangolare aventi, alla frequenza di centro
banda, impedenza caratteristica Z1 e Z2; se indichiamo con a1
e a2 le larghezze delle due guide, i coefficienti di riflessione
alle sezioni aa' e bb' hanno lo stesso valore:
K2
S11
P
 Z1
Z AA'  Z1
Z2
K 2  Z1 Z 2
P

 2
 2
 S 22
Z AA'  Z1 K
 Z1 K  Z1 Z 2
Z2
Nel caso in cui le guide a dx e sx della finestra siano uguali:
 0
j/k

jk 
0 
 / 2
Z0  1
 / 2
 A B
C A


Z0  1
La simmetria della finestra implica A=D
Uguagliando le matrici di trasmissione dei due circuiti, si ottiene:
2 jA
  arctan
BC
Se la finestra è modellata con una suscettanza parallelo 
  arctan
2

Se la finestra è modellata con una
suscettanza parallelo . Quanto
maggiore è  (finestra più chiusa)
tanto più   0
Risposta tipica di un filtro BP
0
72.5
73.5
-10
|s11|
|s21|
-20
-30
-40
-50
-60
74.5
75.5
76.5
77.5
Realizzazione degli invertitori di impedenza in microstriscia
 / 2
 / 2
 / 2
Z0  1
 / 2
 A B
C A


Z0  1
Il calcolo delle dimensioni delle finestre avviene oggigiorno
attraverso simulatori elettromagnetici dedicati allo studio di
circuiti planari, come Ensemble, Microwave Office, etc.
Conclusioni
• Adattatori
• Risonatori
• Filtri