Analisi dei segnali - Dipartimento di Fisica

Introduzione all’analisi dei segnali digitali.
Lezioni per il corso di Tecnologie Fisiche
Isidoro Ferrante A.A. 2004/2005
1
Segnali analogici
• Si dice segnale il modo di variare di una qualsiasi grandezza fisica in
funzione del tempo.
• Ad esempio la pressione in un punto dello spazio (segnale sonoro), la
differenza di potenziale tra due elettrodi (segnale elettrico), la velocità di un
punto della crosta terrestre (segnale sismico), etc.
• Un segnale si dice analogico quando è definito per qualsiasi istante di tempo
e la grandezza in oggetto può assumere qualsiasi valore all’interno di un
intervallo.
• Estrarre da un segnale tutte le informazioni interessanti richiede tipicamente
una quantità enorme di calcoli, che possono essere effettuati solamente da
un calcolatore.
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2
Segnali deterministici e segnali aleatori
• Un segnale si dice deterministico se è possibile prevedere con precisione il
suo valore ad un istante assegnato.
– Es.: una sinusoide di frequenza e fase nota è un segnale deterministico.
• Un segnale di dice aleatorio quando è possibile prevedere solamente la
probabilità che il segnale assuma un certo valore ad un dato istante.
• Un segnale aleatorio viene definito completamente da due funzioni: la
densità di probabilità e la funzione di correlazione. La prima dà la
probabilità che il segnale assuma un valore dato, la seconda dà una relazione
tra i valori del segnale ad istanti di tempo diversi.
• I casi più importanti sono quelli in cui la distribuzione del segnale è
gaussiana e quello in cui il valore del segnale ad un dato istante è
completamente scorrelato da quello ad istanti precedenti e successivi
(rumore bianco).
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3
Scheda di acquisizione
• Per permettere ad un calcolatore di elaborare un segnale, bisogna dapprima
convertirlo in un segnale di tipo elettrico.
• In questo modo è possibile inviare il segnale ad una scheda di acquisizione
che trasforma il segnale in una tabella di numeri binari interi, gli unici in
grado di essere elaborati dal calcolatore, che poi l’utente leggerà come
numeri decimali, dopo una appropriata conversione.
• Si rendono quindi necessarie due distinte operazioni sul segnale: la
discretizzazione e la quantizzazione.
– La discretizzazione consiste nel misurare l’ampiezza del segnale ad intervalli di tempo
fissati.
– La quantizzazione consiste nella trasformazione dei valori misurati in numeri interi
binari.
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Trasduttori
• Un trasduttore è un sensore che fornisce ai morsetti di uscita una differenza
di potenziale proporzionale alla grandezza che si intende misurare.
• Un esempio di trasduttore è un microfono (sensore di pressione), una
termocoppia (sensore di temperatura), un fotodiodo (sensore di
luminosità), etc.
• Esistono anche sensori di posizione, di velocità, di forza, e di quasi tutte le
grandezze fisiche soggette a misura.
• Caratteristiche importanti di un trasduttore sono l’ampiezza del segnale in
uscita, la sensibilità, ovvero il minimo valore misurabile, la velocità di
risposta, ovvero il tempo impiegato al sensore per fornire una risposta
costante dopo una brusca variazione della grandezza da misurare.
• Da quest’ultima caratteristica dipende la cosiddetta banda passante, ovvero
la massima frequenza di variazione del segnale a cui il sensore è in grado di
funzionare.
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5
Segnale e rumore
• Un trasduttore è uno strumento di misura: pertanto la tensione fornita sarà
affetta da una piccola componente casuale, che porterà la misurazione a
fluttuare intorno al valor medio.
• Si schematizza questo fenomeno considerando il segnale prodotto dal
trasduttore come la somma di una parte proporzionale al segnale vero e
proprio, che si intende misurare (o “segnale” tout-court), e da un segnale
aleatorio. A quest’ultimo si da il nome di rumore.
• Le cause delle fluttuazioni, o “sorgenti di rumore” sono molteplici, si va
dalla temperatura (rumore termico) alla quantizzazione della carica
dell’elettrone, ai campi elettrici presenti nelle vicinanze dell’apparecchio (ad
esempio la linea a 50 Hz), alle vibrazioni meccaniche, etc.
• Ulteriore rumore verrà introdotto quando il segnale prodotto dal trasduttore
verrà trasportato lungo una linea elettrica, o amplificato, o comunque
manipolato.
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6
Discretizzazione
La discretizzazione consiste nel misurare l’ampiezza del segnale ad
intervalli di tempo fissati.
Sia ∆T l’intervallo di tempo tra due misure successive: la discretizzazione
genera un vettore xn definito come:
xn = x(n ∆T )
È evidente che l’intervallo di tempo ∆ T deve essere sufficientemente
piccolo da riuscire ad individuare anche piccole variazioni de segnale.
L’inverso dell’intervallo ∆ T si chiama frequenza di campionamento, o
frequenza di sampling, e indica quante volte al secondo viene misurata
l’ampiezza del segnale.
fs =
1
∆T
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7
Discretizzazione
Esempio di discretizzazione.
In questo caso, ∆ T=5 s, fs=1/5=0.2 Hz
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Quantizzazione
• La quantizzazione consiste nella trasformazione delle ampiezze misurate in
numeri interi binari ad N bit.
• Supponiamo che la scheda di acquisizione accetti in ingresso una tensione
positiva al massimo di V0 volts. Il numero di combinazioni che si possono
ottenere con N bit è dato da 2N.
• Allora il modo più efficiente di convertire il segnale è di dividere l’intervallo
V0 in 2N fettine, ciascuna di spessore V0 /2N, ed assegnare ad ognuna di
queste fettine un numero binario ad N bit. Quando il segnale cade in una di
queste fettine, viene assegnata al numero binario corrispondente. In questo
modo, si commette in ogni misura un errore pari al massimo a metà dello
spessore della fettina, e quindi V0 /2N+1. La minima variazione rilevabile del
segnale in ingresso risulterà inoltre V0 /2N .
• La quantizzazione comporta una approssimazione, e quindi introduce
rumore!
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Quantizzazione
Esempio di quantizzazione del segnale a 3 bit,
pari a 8 livelli distinti.
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Condizionamento
• Supponiamo che il trasduttore produca in uscita un segnale compreso tra un
massimo Vmax ad un minimo Vmin.
• Visto che la precisione con cui viene quantizzato il segnale dipende solo
dalle caratteristiche della scheda, per ottenere la massima risoluzione è
necessario che Vmax e Vmin rientrino all’interno dell’intervallo accettato dalla
scheda, e che vi si adattino al meglio. A questo scopo è necessario
amplificare o attenuare il segnale fornito dal trasduttore, ed eventualmente
fornire una tensione aggiuntiva per evitare valori negativi.
• Queste operazioni costituiscono l’esempio più semplice del cosiddetto
condizionamento del segnale, che può prevedere anche un filtraggio, la
sottrazione di una componente continua, etc.
• Molte di queste operazioni vengono effettuate automaticamente dalla scheda
di acquisizione stessa.
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Analogico e digitale
• Il segnale che risulta dalla discretizzazione e dalla quantizzazione consiste
essenzialmente in una sequenza di N combinazioni di 1 e 0, ed in questa
forma può essere salvata in un supporto magnetico o trasmessa via cavo o
via etere.
• Un segnale di questo tipo è detto segnale digitale.
• Il termine analogico e digitale si estende anche alle apparecchiature
elettroniche, in base al tipo di segnale che sono in grado di elaborare.
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Analogico vs. digitale
• I vantaggi del digitale rispetto all’analogico sono molteplici: il più grosso è
la robustezza al rumore.
• Infatti un segnale composto da 1 e 0 può subire danneggiamenti fino a metà
della propria ampiezza rimanendo sempre perfettamente ricostruibile.
• Inoltre i segnali digitali sono facilmente elaborabili tramite calcolatore, che
permette di effettuare manipolazioni più sofisticate rispetto a quelle
eseguibili sui segnali analogici.
• Tra gli svantaggi, si può annoverare la necessità di trasportare segnali
rapidissimamente variabili, che implica tipicamente frequenze di
trasmissione più alte.
• Inoltre, a meno di prevedere meccanismi di correzione di errore (che
esistono) un segnale digitale può risultare estremamente vulnerabile alla
perdita di piccole porzioni di segnale.
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Rilevazione segnale
Trasduttore
Condizionamento
Conversione A/D
Amplificatore,
filtro
Scheda di acquisizione
Analisi segnale
Memoria di massa
(disco rigido, CD, etc)
Calcolatore
Attuatore
Conversione D/A
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Serie di Fourier
• Sia x(t) periodica, di periodo T e frequenza f1=1/T
• Allora si dimostra che posso scriverla nella forma:
2πkt
2πkt
a0 ∞
+ bk sen
x(t ) = + ak cos
2 k =1
T
T
• Cioè: ogni segnale periodico di periodo T si può scrivere come somma di
una sinusoide (o cosinusoide) di frequenza 1/T (frequenza fondamentale)
più infinite sinusoidi di frequenza pari ad un multiplo intero della
fondamentale (frequenze armoniche superiori).
• La frequenza fk=k/T=k f1 si dice k-esima armonica.
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Calcolo dei coefficienti
• I coefficienti ak e bk possono essere calcolati a partire dalla funzione x(t)
tramite le formule:
2
ak =
T
2
bk =
T
T
t =0
T
t =0
x(t ) cos
2πkt
2πkt
dt = 2 x(t ) cos
T
T
x(t ) sen
2πkt
2πkt
dt = 2 x(t ) sen
T
T
• Ovvero il coefficiente del k-esimo termine in seno (o coseno) è il doppio del
valor medio del prodotto della funzione per il seno (o il coseno) che
rappresenta la k-esima armonica.
• L’operazione è ciclica:
– da x(t) calcolo ak, bk
– da ak, bk calcolo x(t)
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Una rappresentazione alternativa
• Un modo alternativo di scrivere la serie di Fourier consiste nel raggruppare i
termini in seno e coseno adoperando le formule di prostaferesi. Dopo un po’
di algebra si ottiene:
x(t ) =
∞
k =0
Ak cos
2πkt
+ φk
T
Ak = ak2 + bk2
ak
(
)
tan φ k =
bk
• Il coefficiente Ak rappresenta l’ampiezza delle singole armoniche, e l’angolo
ϕk la fase.
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Spettro
• L’insieme dei valori Ak costituisce lo spettro di ampiezza della funzione
x(t).
• Spesso, lo spettro viene riportato in forma grafica, ponendo in ascissa le
frequenze fk ed in ordinata le ampiezze Ak.
• Analogamente l’insieme delle ϕk si dice spettro di fase di x(t).
• Spesso, nel grafico vengono riportati i quadrati delle ampiezze, Ak2 :si parla
allora di spettro di potenza, o semplicemente spettro, del segnale.
• Lo spettro di potenza indica come viene ripartita tra le varie armoniche la
potenza, o l’energia, trasportata dal segnale x(t).
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Perchè “spettro di potenza”?
La potenza è associata a forme quadratiche.
Ad esempio la legge di Joule
W (t ) = RI (t ) 2 = V (t ) 2 / R
Se I(t) è una funzione periodica, e la serie di Fourier ha ampiezze Ik la
potenza media dissipata in un periodo è data da:
1
W =
T
t +T
W (t ) = R
t
∞
∞
k =0 k =0
I l I k cos(ω k t + ϕ k ) cos(ω l t + ϕ l ) =
1 ∞ ∞
1 ∞ 2
R
I l I k δ lk = R
Ik
2 k =0 k = 0
2 k =0
Quindi la potenza dissipata in media si scompone come somma di infiniti
termini ciascuno corrispondente ad una frequenza diversa: lo spettro
quindi, a meno di una costante di proporzionalità, dice come si suddivide
la potenza media tra le varie frequenze.
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Forma complessa
• Anche la serie di Fourier si può scrivere in forma complessa:
x(t ) = Re
∞
k =0
Ak e
− j ( 2πf k t +ϕ k )
= Re
∞
(ak + jbk )e − j 2πf t
k
k =0
• Possiamo estendere la sommatoria anche sui valori negativi di k, visto che
dalla definizione di ak e bk viene fuori che a-k =ak e b-k=-bk:
∞
1 ∞
− j 2πf k t
~
(ak + jbk )e
=
x(t ) =
xk e − j 2πf k t
2 k = −∞
k = −∞
ak + jbk Ak e − j 2πfφk
~
=
xk =
2
2
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Funzioni non periodiche
• Una funzione non periodica si può pensare come una funzione di periodo
infinito. E’ possibile allora cercare di capire cosa succede alla trasformata di
Fourier nel limite di T che tende ad infinito.
• Si osservi che la distanza tra due armoniche successive e’ data da :
f k +1 − f k = f1 = 1 / T
• Quindi man mano che il periodo aumenta, le frequenze si avvicinano e si
infittiscono.
• Nel limite di periodo infinito, si passa da uno spettro discreto ad uno
continuo, con alcune conseguenze:
– Le sommatorie si trasformano in integrali
x( f )
– I coefficienti ~
xk diventano una funzione della frequenza ~
– Lo spettro diventa una funzione continua.
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Trasformata di Fourier
• Nel caso di funzioni non periodiche, allora si definisce la Trasformata di
Fourier, che associa una funzione del tempo ad una funzione complessa
della frequenza.
+∞
x(t ) =
−∞
~
x( f ) =
~
x ( f ) exp(− j 2π ft )df
+∞
−∞
x(t ) exp( j 2π ft )dt
• Si dice tecnicamente che si passa dal dominio del tempo al dominio della
frequenza.
• Lo spettro di potenza e’ definito come
2
~
S( f ) = 2 x( f )
f >0
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Segnali casuali
• Se il segnale x(t) è un segnale casuale, o aleatorio, la sua trasformata di
Fourier è pure una funzione casuale.
• Se si considerano infinite realizzazioni di un segnale casuale, tutte con le
stesse caratteristiche (stessa distribuzione di probabilità e stessa funzione di
correlazione), si può calcolare la trasformata di Fourier media: ma questa
risulterà uguale a zero.
• Invece lo spettro medio, essendo la media di quantità positive, è diverso da
zero: si può dimostrare che un segnale casuale è completamente definito
dalla distribuzione di probabilità e dal suo spettro medio.
• Un segnale a correlazione zero ha uno spettro piatto: cioè, tutte le frequenze
sono rappresentate nello stesso modo. (da questo deriva il nome di “rumore
bianco”: infatti nel colore bianco tutti i colori dello spettro visibile sono
presenti in egual misura).
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Esempi di trasformata di Fourier
Seno troncato.
Seno smorzato.
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24
Esempi di spettri di segnali aleatori
Segnale contenente prevalentemente basse frequenze
Segnale contente prevalentemente alte frequenze
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25
Misura della trasformata di Fourier
• Una misura della trasformata di Fourier è impossibile, in quanto:
• 1) è impossibile maneggiare segnali di durata infinita.
• 2)la trasformata è una funzione continua, e quindi non posso sperare di
misurare tutti i punti.
• Soluzione:
– misuro solamente una parte di segnale di durata T.
– Considero la porzione come un singolo periodo di una funzione e ne calcolo la serie di
Fourier.
– Trovo i coefficienti Ak corrispondenti alle frequenze fk=k/T
– spero (quasi sempre vero), che al limite in cui T tende ad infinito, Ak2/T tenda a S(fk).
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Le differenze
• Operando in questo modo ottengo una stima dello spettro S(f) in
corrispondenza delle sole frequenze fk: in pratica, opero una discretizzazione
dello spettro.
– La distanza tra due frequenze successive è 1/T, per cui la risoluzione che ottengo è
dell’ordine di 1/T e migliora all’aumentare di T.
• La serie di Fourier di un tratto di segnale non può essere uguale alla
trasformata di Fourier di un segnale che si estende all’infinito: in particolare,
cambiando il segmento di dati analizzato, possono cambiare radicalmente le
caratteristiche.
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Serie di Fourier discreta
• In pratica, non sarà possibile misurare il segnale x(t) per qualunque t, ma
piuttosto il segnale campionato ad intervalli ∆T: xn=x(n ∆T), con n che va
da 0 a N=T/ ∆T.
• In questo caso, le formule per la serie di Fourier si trasformano: innanzitutto,
gli integrali vengono sostituiti da sommatorie.
• In secondo luogo, cosa più importante, la serie non risulta formata da infiniti
elementi, ma solamente da N/2 elementi.
• Quindi le frequenze a cui viene misurato lo spettro sono le frequenze: 1/T,
2/T,3/T……….N/2T=1/2 ∆T=fs/2
• La frequenza massima contenuta nella serie di Fourier discreta risulta quindi
uguale a metà della frequenza di campionamento
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Frequenza di Nyquist
• Supponiamo di voler campionare una sinusoide di frequenza f0.
Intuitivamente, per riuscire ad ottenere un campionamento che rappresenti
realisticamente il segnale dobbiamo essere in grado di misurare almeno due
volte l’ampiezza all’interno di un periodo, in modo tale da riuscire ad
evidenziare come il segnale oscilli e cambi di segno.
• Quindi la frequenza di campionamento minima per riuscire a ricostruire il
segnale è pari al doppio della frequenza f0.
• In altre parole, se il segnale viene campionato ad una frequenza fs, allora
sarà possibile campionare correttamente solo i segnali di frequenza minore
di fN=fs/2.
• La frequenza fN cosi’ definita si dice Frequenza di Nyquist.
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Aliasing
• Cosa succede se campioniamo un segnale di frequenza f0 ad una frequenza
troppo bassa?
• La risposta è bizatrra, ma se ci si pensa bene logica: il segnale appare come
una sinusoide di frequenza molto più bassa di quella originale.
• Nello specifico, due sinusoidi di frequenza f0>fs/2 ed f1=fs-f0 appaiono
assolutamente indistinguibili dopo il campionamento. Il fenomeno per cui le
frequenze maggiori della frequenza di Nyquist vengono riconosciute come
frequenze inferiori è detto aliasing.
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Esempio….
Le frequenze 5Hz e 20 Hz appaiono uguali se campionate alla
frequenza di 25 Hz.
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31
Formule per la DFT
Le formule usate per calcolare la trasformata di Fourier discreta sono le
seguenti:
xn =
1
~
xk =
N
2πnk
~
xk exp − j
N
n =0
N −1
N −1
n =0
xn exp + j
2πnk
N
Il vettore trasformato x k è un vettore complesso, ma, se x è reale, solo i
primi N/2 elementi sono indipendenti.
Con questa normalizzazione l’espressione per lo spettro diventa:
S ( f
k
) ≅
~x
2
k
T
N
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2
32
FFT: Fast Fourier Tranform
Il calcolo della trasformata di Fourier discreta richiede almeno N2
moltiplicazioni ed altrettante addizioni.
Esistono degli algoritmi in grado di ridurre notevolmente il tempo impiegato
nel calcolo: il più famoso è la cosiddetta Fast Fourier Transform.
La FFT funziona bene quando N è il prodotto di molti fattori piccoli.
Le prestazioni migliori si ottengono per N uguale ad una potenza di 2:in tal
caso, il numero di operazioni necessario ad effettuare il calcolo dipende da N
approssimativamente come N logN.
Spesso risulta conveniente, per migliorare le prestazioni di un programma,
utilizzare solamente porzioni di segnale formati da un numero di campioni pari
ad una potenza di due: si può scegliere se eliminare i campioni in eccesso, o se
sostituire con degli zeri quelli mancanti.
In ogni caso il guadagno in velocità e prestazioni dei programmi di analisi si
contrappongo ad un modesto deterioramento nella misura dello spettro.
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33
Spettri di segnali aleatori
• Per misurare lo spettro di un segnale aleatorio, nella pratica si procede nel
modo seguente:
– si acquisisce L volte il segnale da misurare
– Si calcola la TFD di ogni spezzone
– Si mediano gli spettri
• Se il segnale è stazionario, ovvero se le sue caratteristiche non cambiano col
tempo, allora per L che tende ad infinito si ottiene lo spettro del segnale
• Nella pratica, questa procedura viene spesso applicata a tutti i tipi di segnali,
siano essi periodici o deterministici o aleatori!
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Risoluzione in frequenza e precisione della misura.
• A volte è bene rinunciare alla risoluzione in frequenza in favore della
precisione nella misura dello spettro: infatti, come in ogni misura,
nell’approssimare lo spettro con il valore calcolato tramite DFT viene
commesso punto per punto, oltre all’errore sistematico causato dal
troncamento e dall’aliasing, un errore strumentale casuale dovuto a rumore
spurio nell’apparato di misura.
• Per ridurre questo errore è possibile ad esempio dividere il segnale, formato
da N campioni, in L spezzoni di M campioni ciascuno, con M*L=N.
• Per ciascuno di questi spezzoni viene calcolata lo spettro, e viene infine
eseguita la media sui risultati ottenuti.
• In questo modo la risoluzione in frequenza diminuisce di un fattore L, ma
contemporaneamente la precisione nella misura aumenta di un fattore M ½ ,
riducendo le oscillazioni, i picchi spurii, etc.
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Finestra (Bill Gates non c’entra)
• Troncare un segnale bruscamente può causare dei problemi nella misura
dello spettro. Per ovviare a questo problema, si usa moltiplicare ogni
spezzone per una funzione, detta finestra, che ha la caratteristica di valere
zero agli estremi dell’intervallo di definizione, e di essere pressapoco
costante al centro.
• Le finestre più adoperate sono:
–
–
–
–
rettangolare (nessuna finestra)
Triangolare (vale 1 al centro e zero ai lati, e scende linearmente)
Hann o Hanning
Hamming
• La scelta della finestra corretta è argomento complicato, che richiede pratica
e conoscenze approfondite.
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Riassunto
Per poter misurare il contenuto in frequenza di un segnale, siamo
costretti a campionarlo ad una frequenza fs=1/∆T, e a troncarlo in un
intervallo di lunghezza T.
Il troncamento limita la risoluzione in frequenza, che è circa 1/T, e porta
ad una misura necessariamente approssimata dello spettro.
Il campionamento impedisce la misura di frequenze superiori a fn=fs/2, e
porta queste ultime a sporcare la parte utile dello spettro.
Per avere una buona misura bisogna utilizzare T ed fs più grandi
possibili, ma in entrambi i casi si risulta limitati dalle prestazioni
dell’hardware, e dalla praticità d’uso: allungare T ed aumentare fs porta
infatti all’elaborazione di una grossa mole di dati, con problemi di spazio
e di velocità di elaborazione.
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Regole d’oro
• Verificare i limiti di variazione del segnale. Amplificarlo od attenuarlo in
modo da farlo rientrare nel range previsto dalla scheda di acquisizione.
• Scegliere una frequenza di acquisizione almeno il doppio della frequenza
più alta che ci interessa.
• Filtrare con un filtro analogico tutte le frequenze presenti nel segnale al di
sopra della frequenza di Nyquist (questo spesso lo fa la scheda)
• Scegliere un tempo di acquisizione sufficientemente lungo da permettere
una buona risoluzione, e sufficientemente breve da permettere una analisi
ragionevolmente veloce dei dati.
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Il programma di acquisizione
Il programma di acquisizione è scritto tramite il programma LabView.
LabView è un insieme di librerie e programmi che consentono di creare
“strumenti virtuali” tramite un linguaggio di programmazione grafico.
Per avviare l’esecuzione, cliccare su “analizzatore di spettro”. Dal menu
che appare, scegliere “spectrum analyzer” a premere ok.
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Il pannello frontale
Tramite il pannello frontale è possibile configurare la scheda, avviare
l’acquisizione, ed analizzare i dati raccolti.
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Lo schema del programma
LabView è un sistema di programmazione grafica.
I fili simboleggiano i flussi di dati, i quadrati delle
subroutine.
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Schema dell’esercitazione
In questa esercitazione si acquisirà dapprima una
sinusoide, poi un’onda quadra ed infine un’onda
triangolare.
Scopo dell’esercitazione è verificare la presenza delle armoniche nei
segnali periodici, e verificare come nell’onda quadra e nell’onda
triangolare le armoniche dispari risultino prevalenti, e che la loro
ampiezza decresce approssimativamente secondo la legge 1/k ed 1/k2
rispettivamente.
Si verificherà inoltre la presenza del fenomeno dell’aliasing
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Uso del Decibel
Lo spettro viene mostrato in dB: per le grandezze come energia e
potenza, il decibel è definito come 10 per il logaritmo in base 10 della
potenza.
WdB = 10 log10 W
Se lo spettro è mostrato in dB, allora data
l’ampiezza della fondamentale A1 e l’ampiezza
della k-esima armonica Ak, si ha che il valore dello
spettro (in dB) alle due frequenze f1 ed fk è dato da:
S(f1)dB -S(f1)dB=10 log10(A12/Ak2)=20 log10(k)
dove l’ultima uguaglianza è verificata nel caso dell’onda quadra.
Nel caso dell’onda triangolare, si ha, invece approssimativamente:
S(f1)dB -S(f1)dB= 40 log10(k)
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