Document

Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
BILATERE e TRILATERE
● Chiameremo bilatera la sequenza
di due lati consecutivi facenti parte di
un indefinito perimetro e caratterizzati dall’angolo tra essi compreso.

● Chiameremo trilatera la sequenza di tre lati consecutivi
facenti parte di un indefinito
perimetro e caratterizzati dai due
angoli tra essi compresi e dalla
lunghezza del lato centrale.

a

Le singole operazioni di frazionamento delle aree non riguardano l’intera
particella originaria, ma piuttosto una parte di essa, delimitata da una dividente e
da una parte del confine originario (perlopiù una bilatera o una trilatera).
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
2
LE DIVIDENTI
Le dividenti sono segmenti rettilinei (più raramente spezzate) con le quali
vengono frazionate le superfici degli appezzamenti di terreno. Per la loro
definizione è necessario determinare le posizioni degli estremi e le loro lunghezze.
Le dividenti (convenzionalmente disegnate in colore rosso) sono quasi sempre
vincolate da due diverse condizioni geometriche:
1. dividenti passanti per un punto (sul confine, interno o esterno
all’appezzamento);
2. dividenti con direzione assegnata (perlopiù parallele o normali a una
data direzione).
2)
1)
3
1
3
2
1
2
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
3
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
BILATERA CON VERTICE IN A
Problema: staccare le aree s1, s2, s3… con dividenti uscenti da P sul confine.
2 s1
x1 = ------------d · sen 
P
2 (s + s )
1
2
x2 = -------------d · sen 
2 (s1+ s2+ s3)
d
x3 = ---------------d · sen 
h
s1
A

x1
s2
1
2
x2
x3
Triangoli con stessa altezza h
s3
3
x2
x1
--------- = --(s1+ s2)
s1
x3
x1
------------- = --(s1+ s2+ s3) s1
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
(s1+ s2)
x2 = --------- x1
s1
(s1+ s2 + s3)
x3 = -------------- x1
s1
5
TRILATERA CON VERTICI IN A E B
Problema: staccare le aree s1, s2, s3… con dividenti uscenti da P sul confine.
m2 + a2 – d2
’=arccos -------------2ma
m=  d 2 + a 2 – 2 ad cos 
SABP = ½ d · a · sen 
Se s1 < SABP
1 è su AB
3
P

A
x3
s2
2
a
x2 = ------------------m · sen ”
in alternativa:
”
1
2(s1+ s2 – SABP)
Se s1+ s2 > SABP
2 è dopo B
m
x2
’ 
x1
x1 = ------------d · sen 
s3
d
s1
2 s1
B
2(s1+ s2 )=da sen  + ax2 sen  – dx2 sen (+)
2(s1+ s2+ s3 – SABP )
x3 = ------------------------m · sen ”
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
66
TRILATERA CON VERTICI IN A E B
Problema: staccare le aree s1, s2, s3 … con dividenti uscenti da P interno al confine.
m2 + a2 – d2
’=arccos -------------2ma
m=  d 2 + a 2 – 2 ad cos ’
SABP = ½ d · a · sen ’
3
2 s1
Se s1 < SABP
1 è su AB
s3
P
2
d
’
A
x3
s1
s2
1
a
2(s1+ s2 – SABP )
x2 = ------------------m · sen ”
Se s1+ s2 > SABP
2 è dopo B
m
in alternativa:
”
’
x1
x1 = ------------d · sen ’
x2 2(s1+s2 )=da sen ’ + ax2 sen  – dx2 sen (’+)

B
2(s1+ s2+ s3 – SABP )
x3 = ------------------------m · sen ”
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
77
BILATERA CON VERTICE IN A
PROBLEMA GENERALE: staccare un’area S con dividente uscente da P interno al confine.
• Si adotta un sistema cartesiano obliquo (  90°) con
origine in A e assi (che indicheremo con V e U ) coincidenti
con i lati della bilatera.
V
• Indichiamo con m e n le coordinate oblique di P (note).
H
S  S2 – 2 S · m · n · sen 
v = -----------------------------------m · sen 
v
P
s
A
2S
u = -----------v · sen 
n

u
U
G
• Il problema presenta 1 soluzione se: S2 =2 S ·m ·n·sen 
• Il problema presenta 2 soluzioni se: S2 >2 S ·m ·n·sen 
• Il problema non presenta soluzioni se: S2 <2 S ·m ·n·sen 
8
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
8
DETERMINAZIONE DELLE COORDINATE OBLIQUE M, N
Note le coordinate
polari di P
V
Note le coordinate
cartesiane di P
H
H
N
Y

1
A
V

n
’
 
P
P
d
n
G
2
A
n


U
xP
’ = 2 – 1
 = 200C – [’ +(200C – )]
d sen ’
m = -----------sen 
d sen 
n = -----------sen 
yP
n = --------sen 
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
yP
G
U=X
m = xP – yP cotg 
99
BILATERA CON VERTICE IN A: SOLUZIONE DELLA “FALSA POSIZIONE”
Problema: staccare un’area s con dividente uscente da P interno al confine.
1. Si traccia l’allineamento arbitrario MN passante per il
punto P.
2. Si misurano direttamente le distanze a, b, p, q che
determinano sia l’allineamento MN sia il punto P su esso.
3. L’allineamento MN rispetta la condizione geometrica, ma
stacca l’area SAMN e non quella richiesta S.
N
N’

q
a

A

s
4. Risolvendo il triangolo AMN si ricava l’area SAMN e
gli angoli , , .
5. Si confronta S con SAMN: supponiamo S < SAMN
6. Si ruota l’allineamento provvisorio MN intorno a P di un
angolo  ricavabile dalla seguente espressione:


b
p2
q2
2(SAMN–S) = -------------------  ------------------cotg +cotg ’ cotg +cotg 
P
M
p
M’
7. Con  si possono risolvere i due triangoli
PMM’ e PNN’ per ricavare MM’ e NN’,
quindi fissare la dividente definitiva
partendo dalla falsa posizione MN.
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
1010
POLILATERA CON VERTICI IN A, B, C, D…
Problema: staccare le aree s1, s2, s3… con dividenti uscenti da P su un lato della polilatera.
A
n
SPBC=½ m BC sen 
P
SPCD=½PC DC sen ”
m
B

SPDE=½PD DE sen ”
”
S1
’
S3
S2
x
’
M

C
supponiamo S1< SPBC
E
Q
”
y
’ 
N
”
z
D
x = 2S1 / m sen 
supponiamo S1+S2 >SPBC e S1+S2 >SPBCD
y = 2(S1+S2 –SPBC )/ PC sen ”
supponiamo S1+S2+S3 >SPBCD e S1+S2+S3 >SPBCDE
z = 2(S1+S2 +S3–SPBCD )/ PD sen  ”
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
1111
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
12
BILATERA CON VERTICE IN A
Problema: staccare le aree s1, s2, s3 con dividenti formanti un angolo  con un lato
della bilatera.
x1= 2 s1 (cotg  + cotg )
2 s1 sen ( + )
x1= ------------------sen  sen 
2(s1+s2) sen (+)
x2= ----------------------sen  sen 
2(s1+s2+s3) sen (+)
y1
A

x1
s3
s2
s1
x3=  -------------------------sen  sen 


1
2
x2
x3
3
2 s1
y1 = ----------x1 sen 
2 (s1+ s2)
y2 = -----------x2 sen 
2 (s1+s2+s3)
y3= --------------x3 sen 
TRIANGOLI SIMILI
s1
x12
s1+ s2
--------- = ---x2 = x1  ------(s1+ s2)
x22
s1
s1
x12
------------ = ---(s1+s2+s3) x32
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
s1+ s2+ s3
x3 = x1 -----------s1
1313
TRILATERA CON VERTICI IN A E B
Problema: staccare le aree s1, s2 con dividenti formanti un angolo  con un lato
della trilatera.
x1= 2 (s1+) (cotg  + cotg )
2 (s1+) sen (+)
x1= -------------------------  q
sen  sen 
2 (s1+)
y1 = ------------  r
x1 sen 
y1
B
r
O


q
=+–
2(s1+s2+) sen ( +)
s2

a
200C
2 (s1+ s2 +)
y2 = ---------------  r
x2 sen 
s1

A
x2= ----------------------------  q
sen  sen 

x1

1

NOTA
La dividente 2 dell’area S2 (di forma
trapezia) potrebbe essere determinata
con una diversa procedura…
a sen 
r = ---------sen 
 =½ q r sen 
2
x2
a sen 
q = ---------sen 
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
14
14
PROBLEMA DEL TRAPEZIO
Problema: staccare da una trilatera un’area S con dividente parallela al lato
mediano della trilatera.
D
x /sen 
C
x /sen 
M
N
A

x
x
S
x

a
B
x
x
x
x
2S = a ------- sen  + a ------- sen   ------- ------- sen (+)
sen 
sen 
sen  sen 
sen (+)
2S = a x + a x  x2 -------------sen  sen 
sen (+)
x2 --------------  2a x + 2S = 0
sen  sen 
x2 (cotg  + cotg )  2a x + 2S = 0
NOTE
• L’equazione di 2° grado fornisce
due soluzioni x1 e x2.
• Se una di esse è negativa viene
scartata.
• Se sono entrambe positive viene
adottata quella che più si avvicina
al rapporto S/a.
15
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
15
ESEMPIO
Problema: staccare le aree s1, s2, s3… con dividenti ortogonali al lato AB (=90°).
y /sen ”
x /sen ”
N
D
d


A
d cos 
c
b
s2
s3
s1–
90°
90°
x
M
y
a
0
x2 (cotg ” + cotg 90°)  2m x + 2 (s1– )= 0
MN = m + x cos ”
0
2
y (cotg ” + cotg 90°)  2MN y + 2s2 = 0
PQ = MN+ y cos  ”

y
x
A’
C
”
”
m=d sen 
’
P

Q
B
x quindi AM = d cos  + x; DN = x / sen ”
y quindi AQ = AM+y; PD = DN + y / sen ”
deve essere: PD  c
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
1616
ESEMPIO
Problema: staccare le aree s1, s2, s3 con dividenti parallele al lato AB.
E
F
Q
D
P
y
’

S2
D’
N
S2 – SDD’CH – SMNCD’

H
SDD’CH

SMNCD’
C
M
x S
1

AB+CD’ BC
SABCD’= ---------- ------2
sen 

B
A
poniamo: S1<SABCD’
SMNCD’ = SABCD’ – S1
x2 (cotg  + cotg )  2AB x + 2S1= 0
da cui x quindi BM; MC; MN; AN; ND’; D’D…
poniamo: S1 +S1 >SADHCB
y2 (cotg ’ + cotg )  2HD y + 2(S2– SDD’CH – SMNCD’)= 0
da cui y quindi DQ; PH; PQ…
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
1717
ESEMPIO (METODO DELLA FALSA POSIZIONE)
Problema: staccare l’area S con dividente uscente dal punto P interno all’appezzamento.
A
1. Si traccia l’allineamento arbitrario HK
passante per P misurando in campagna le lunghezze m, n, p, q.

H
2. Nel poligono HBCDK si calcola l’area
=SHBCDK e gli angoli  e .

M
m
p
B


P


 S
n

q


C
’
D
K
N
3. Supponiamo l’area >S
E
4. Ruotiamo l’allineamento HK attorno
a P di un angolo .
5. L’allineamento MN definisce l’area S
da staccare; l angolo incognito 
viene determinato con la seguente
relazione:
S =  – SPHM + SPNK
m2
n2
2(S–) =  ----------------- + -----------------cotg +cotg  cotg +cotg ’
ricavando y = cotg  si ottiene  = arctg (1/y)
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
1818
ESEMPIO (METODO DELLA FALSA POSIZIONE)
Problema: staccare l’area S con dividente uscente dal punto P interno all’appezzamento.
A
P
1. Si traccia l’allineamento arbitrario HK
passante per P misurando in
campagna le lunghezze m, n, p, q.


M

H
2. Nel poligono HBCDK si calcola l’area
=SHBCDK e gli angoli  e .
p
B
3. Supponiamo l’area <S.

E 4.
N

 S
’


C
 q
D
K
Ruotiamo l’allineamento HK attorno
a P di un angolo .
5. L’allineamento MN definisce l’area S
da staccare; l’angolo incognito 
viene determinato con la seguente
relazione:
S =  +(SPNK –SPMH)
(m+n)2
n2
2(S–) = ------------------  -----------------cotg+cotg’
cotg +cotg

Da cui cotg  = y quindi  = arctg (1/y)
Copyright © 2009 Zanichelli Editore S.p.A., Bologna [6629]
1919