Effetti di riduzione della resistenza Effetto della finitura superficiale

RESISTENZA A FATICA
Indice argomenti
Introduzione
Modalità di rottura a fatica
Cicli di prova e di lavoro – Nomenclatura e definizioni
Prove e macchine di prova
Prove di fatica e raccolta risultati
Curve S-N
Capacità di resistenza e tensione di lavoro effettive
Effetti di riduzione della resistenza
Effetti di amplificazione delle tensioni (Effetto d’intaglio)
Relazioni tra il limite di fatica ed altre proprietà del materiale
Diagrammi di resistenza a fatica
Verifica di resistenza per stati di sollecitazione composta
Danno cumulativo
Introduzione
Considerazioni generali
Un componente meccanico assoggettato a carico variabile,
Dopo un certo numero di cicli di sollecitazione, può manifestare
Cedimento anche se il livello medio della tensione risulta inferiore
A quello corrispondente alla rottura statica
Tale fenomeno va sotto il nome di FATICA
Fasi principali
Innesco
Propagazione
Rottura
A Punto di innesco della fatica
B Zona cha appare liscia (è quella che si è rotta inizialmente)
C Zona cristallina (quella che si rompe di schianto alla fine)
Modalità di rottura a fatica
Slipband e zone di frattura
Slipband visibili in superficie di
un provino privo di singolarità
assoggettato a carico alternato
Modalità di rottura a fatica
Casistica
Cicli di prova e di lavoro
Definizioni e notazioni
Ciclo affaticante, ciclo di tensione o ciclo di fatica è la parte di
funzione tensione-tempo che si ripete identicamente e periodicamente
Con riferimento principalmente a cicli di tipo sinusoidale, in quanto segue si
utilizzeranno le notazioni indicate.
smax sollecitazione massima a cui è sottoposto il provino
smin sollecitazione minima a cui è sottoposto il provino
R = smin /smax coefficiente di asimmetria del ciclo
sm = (smax + smin)/2 sollecitazione media o precarico
sa = (smax - smin)/ 2 ampiezza della variazione della sollecitazione
2sa elongazione della sollecitazione
smax = sm + sa
e smin = sm - sa
N numero di cicli finali di fatica
n numero del ciclo generico a cui si sta lavorando
Cicli di prova e di lavoro
Notazioni
sA ampiezza del limite di resistenza a fatica
sD limite a fatica: massimo valore di tensione per cui il provino resiste ad un
numero indefinito di cicli (oppure ad numero di cicli convenuto)
Risulta sD = sm ± sA
sA(N) ampiezza di resistenza a fatica per una durata o vita di N milioni di cicli
sD(N) resistenza a fatica per una vita di N milioni di cicli
sfr limite di fatica nel caso di flessione rotante simmetrica
(srb rotating bending)
stc limite di fatica per sollecitazione di tipo trazione-compressione
stp limite di fatica nel caso di sollecitazione pulsante
srt limite di fatica nel caso di torsione variabile
Cicli di prova
Nomenclatura
Al fine di una uificazione e di una semplificazione delle prove,
Dell’interpretazione, della ripetibilità e della comprensibilità
dei risultati usualmente si applicano carichi ciclicamente variabili
ed in particolare variabili sinusoidalmente.
Ciclo alterno simmetrico
smax = - smin con R = -1 e sm = 0
Ciclo alterno asimmetrico smax > 0 e smin < 0 con R < 0 e sm = 0
Ciclo dallo zero o dall'origine
smax > 0 e smin = 0 con R = 0 e sm = smax /2
oppure
smax = 0 e smin < 0 con R = e sm= smin /2
Ciclo pulsante smax> 0 e smin > 0 con 1> R > 0 e sm = 0
Cicli di prova
Diagrammi



max
m
min
max
m
min
max
m
min
t
t
t
R = -1
R>0
R<0
Ciclo Simmetrico

max
m
min

max
m
min
t
R=0
Ciclo dall’origine
t
Prove di fatica
Macchine di prova – Trazione-compressione
Prove di fatica
Schema
di macchina di prova
Prove di fatica
Macchine di prova – Flessione rotante
Flessione Alternata
Flessione Rotante
Provetta vista dall’alto
Provetta
Morsa fissa
A
Moto alternato
Peso
Provetta
Provetta
Moto eccentrico
Peso
Prove di fatica
Flessione Alternata
Provino
Bielletta
Sforzo Normale
Momento Flettente
sN
sF
Prove di fatica
Flessione Rotante
sF(wt)
Provino Rotante
a
y
-sFMax
y = r sin a = r sin wt
Momento Flettente
sF(wt) = (y/r) sFMax= sFMax sin wt
r
Prove di fatica e raccolta risultati
Curve di Woehler o curve S-N
sa
Curva tracciata per un
Assegnato valore della
Tensione media sm
Prove di fatica e raccolta risultati
Curve di Woehler per differenti materiali

sa = c N-k
Acciaio
Alluminio
107
108
N
Prove di fatica e raccolta risultati
Curve di Woehler in coordinate logaritmiche
logln
sa
lnA
log sA
log sa = log c – klogN
Zona 1
Fatica
oligociclica
Zona 2
Resistenza
a termine
Zona 3
Resistenza
illimitata
107
loglnNN
Prove di fatica e raccolta risultati
Considerazioni Probabilistiche 1
Dalle prove di fatica si traggono risultati in
termini relazione tra il livello di tensione
indotto nel provino e la corrispondente
durata dello stesso. Come per tutte le prove,
anche la caratterizzazione del
comportamento dei materiali sotto carichi
variabili necessita di esperienze condotte su
numerosi provini ed i risultati devono essere
trattati con metodi statistici.
Prove di fatica e raccolta risultati
Generalità sulla teoria della Probabilità
A tal proposito si ricorda che, considerando come
evento
A, nel nostro caso la rottura, il risultato di un
.
esperimento, nel nostro caso la prova, se si indica con
X il numero totale di esperimenti ed XA il numero di
volte che si verifica l’evento A la frequenza relativa che
accada l’evento A si definisce come rapporto XA/ X e la
probabilità con il limite
XA
P( A)  lim
X 
X
Prove di fatica e raccolta risultati
Generalità sulla Teoria delle Probabilità
D’altra parte se, x è una variabile continua associata
ad un evento, viene definita la funzione p(x) che
esprime la densità di probabilità che x cada
nell’intervallo x1, x2 come

x2
x1
p( x)dx  P( x1  x  x2 )
Prove di fatica e raccolta risultati
Generalità sulla Teoria delle Probabilità
Modello di Gauss
La funzione p(x) sopra definita può assumere
diverse forme che sono caratteristiche del
fenomeno che si vuole modellare. Quella che
meglio esprime la densità di probabilità con
riferimento alle prove di caratterizzazione dei
materiali è quella introdotta da Gauss
2

1
x 
p ( x) 
exp  - 2 
2
2s
 2s 
Prove di fatica e raccolta risultati
Generalità sulla Teoria delle Probabilità
che viene anche chiamata distribuzione normale ed ha
l’andamento mostrato in figura successiva. In essa la
variabile x esprime, in questo caso, i cicli avanti rottura
N e l’ordinata rappresenta il numero di provini rotti,
ovvero il numero di provini rotti rapportato a tutti i
provini in esame, per un assegnato livello di tensione
corrispondente al numero di cicli compreso
nell’intervallo (Ñ, Ñ + dN).
Prove di fatica e raccolta risultati
Generalità sulla Teoria delle Probabilità
Curva di Gauss
Curva di Gauss
Curva di densità di probabilità
Probabilità di rottura
0,0014
per un assegnato livello di
tensione (sa, sm)
0,0012
0,001
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
0
0
1000
2000
3000
4000
Numero di cicli
Curva di Gauss: la variabile x, in questo caso, è il
numero di cicli avanti rottura, l’ordinata e il
numero di provini rotti in un intervallo dN
Prove di fatica e raccolta risultati
Generalità sulla Teoria delle Probabilità: media
• La curva di distribuzione fornisce, tra l’altro, il
valor medio, che risulta, per la gaussiana, essere
anche in corrispondenza dell’asse di simmetria del
diagramma, espresso dalla relazione

xm   xp( x)dx
-
Prove di fatica e raccolta risultati
Generalità sulla Teoria delle Probabilità: varianza e deviazione standard
considerando poi il secondo ordine si ottiene
il valor medio del quadrato della variabile
espresso da
(x   
2
m

-
2
x p( x)dx
per cui è possibile definire la varianza s2
s  (x
2
2

m
-x
2
m
E di conseguenza la sua radice quadrata indicata
come deviazione standard s
Prove di fatica e raccolta risultati
Generalità sulla Teoria delle Probabilità: cumulativa
• Poiché la funzione densità di probabilità rappresenta,
come prima detto, nel caso in esame, la probabilità
che un provino si rompa con una durata compresa tra
Ñ ed Ñ + dN si può aggiungere alla definizione
quella della funzione cumulativa che esprime la
probabilità che accada un evento per valori della
variabile associata x compresi tra -∞ e quello corrente
x ottenendo la funzione cumulativa
x
P( x)   p( x)dx
-
Prove di fatica e raccolta risultati
Generalità sulla Teoria delle Probabilità: cumulativa
Probabilità Cumulativa
Curva Cumulativa
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1000
2000
Numero di cicli
3000
4000
Prove di fatica e raccolta risultati
Generalità sulla Teoria delle Probabilità
Nel nostro caso, ad esempio, associando x al numero
di cicli, essa può esprimere la probabilità che, ad
un assegnato livello di tensione, la rottura si
verifichi tra il numero di cicli compreso tra -∞ ed
Ñ. Considerando quanto detto, se ci si pone al
valor medio la probabilità che un provino si rompa
in corrispondenza di numeri di cicli compresi tra ∞ ed Ñm è
P( x)  
Nm
-
1
p ( x)dx 
2
Prove di fatica e raccolta risultati
Generalità sulla Teoria delle Probabilità
• Nel caso di variabili discrete al posto della
curva di densità di probabilità ci si si riferisce
all’istogramma ottenuto suddividendo l’asse
delle ascisse in intervalli Dx e riportando sulle
ordinate il corrispondente numero di eventi, o
meglio la frequenza relativa degli stessi, e le
relazioni sopra ricordate vanno interpretate di
conseguenza.
Prove di fatica e raccolta risultati
Generalità sulla Teoria delle Probabilità
Istogramma
Numero provini rotti rapportato al numero di provini del campione
Probabilità di rottura nell’ intervallo Ni, Nj
Ni
Nj
numero di cicli N avanti rottura
Curva di densità di probabilità: l’ascissa x
rappresenta il numero di cicli avanti rottura e
l’ordinata è la probabilità di rottura
Prove di fatica e raccolta risultati
Generalità sulla Teoria delle Probabilità: istogramma
Curva di Gauss con ascisse logaritmiche
(Lognormale): la variabile x è il logaritmo del
numero di cicli avanti rottura logN, l’ordinata e il
numero di provini rotti in un intervallo dN
Prove di fatica e raccolta risultati
Determinazione del limite di fatica – Procedura generale
La procedura di raccolta dei risultati pertanto può essere articolata come segue:
-si suddivide l’ascissa che rappresenta il numero di cicli in intervalli DN;
-si definisce un’ampiezza di tensione sa, per un assegnato valore di sm, e si
procede nelle prove registrando di volta in volta il numero di cicli;
-si riporta in corrispondenza di ciascun intervallo il numero di provini rotti
rapportato al numero totale di provini sottoposti alla prova (frequenza dell’evento
rottura) costruendo l’istogramma nelle coordinate N (ovvero log N);
- poichè a ciascun intervallo corrisponde una probabilità di rottura (al valore
medio corrisponde la probabilità del 50%) si possono tracciare le curve di Wöhler
relative alla probabilità prescelta.
Prove di fatica e raccolta risultati
Determinazione del limite di fatica - Woehler
logsa
ln
p = 90 %
p = 50 %
p = 10 %
Log N
ln N
Prove di fatica e raccolta risultati
Metodo staircase - Procedura
Applicando le formulazioni che forniscono la stima
della media tenendo conto delle coordinate
logaritmiche si ha il valor medio del numero di cicli a
seguito di m esperimenti desumibile dalla relazione
N m  (N1 N 2 N 2 ....N m 
1/ m
ovvero
1 m
log N m   log Ni
m i 1
Prove di fatica e raccolta risultati
Metodo staircase - Procedura
e la deviazione standard
1 m
2
(log N i - log N m 
sigma 

m - 1 i 1
Prove di fatica e raccolta risultati
Metodo staircase – Diagramma Riassuntivo
Determinazione Limite di Fatica
Metodo Staircase
500
490
480
470
460
450
440
430
420
0
2
4
6
8
10 12 14
16 18 20 22 24 26
28 30 32
Prove di fatica e raccolta risultati
490
480
470
460
450
440
430
6
5
4
3
2
1
0
Somme
Totale provini
31
0
2
2
4
3
2
1
14
Ev
en
ti
o
R
ot
tu
re
i
m
re
ro
ttu
O
N
on
rd
in
e
lo
Li
ve
l
s
en
o
fre
Te
ns
io
ne
(M
qu
en
t
i
Pa
)
Metodo staircase – Tabella riassuntiva
x
n
2
3
4
4
3
1
0
17
ni
0
2
2
4
3
1
0
12
N
ni2
0
10
8
12
6
1
0
37
A
0
50
32
36
12
1
0
131
B
Prove di fatica e raccolta risultati
Metodo staircase – Calcolo Standard
d = 10
s0= 430
ordine i =
N=
A=
B=
Mpa
Passo dei valori delle tensioni
"
Sollecitazione più bassa
(s-s0)/d
Numero totale di eventi meno frequenti
Sommatoria dei prodotti n*i
Sommatoria dei prodotti n*i^2
Se la rottura è meno frequente si sceglie +
Se la rottura è più frequente si sceglie -
A

 0.5 
Valor medio del limite di fatica s A m s 0  d 
N

 N  B - A2


s  1.62 d
 0.029
2
N


Deviazione standard
valida per
N  B - A2 / N 2  0.3
Nel caso particolare
1,4097222 <0,3
sAm
465,8333
dev stand
22,79052
Prove di fatica e raccolta risultati
Metodo staircase – Calcolo Semplificato 1
Metodo semplice della media pesata corretta
Si considerano gli eventi meno frequenti e si effettua la media pesata
aggiungendo d/2 se tali eventi sono non rotture
sottraendo d/2 se invece gli eventi meno frequenti sono le rotture
non rotture eventi meno frequenti
490
0
0
480
2
960
470
2
940
460
3
1380
450
3
1350
440
3
1320
430
1
430
14
6380
Media pesata
455,7143
Correzione d/2=5 in detrazione
5,0000
sA
460,7143
Prove di fatica e raccolta risultati
Metodo staircase – Calcolo Semplificato 2
Eventi più frequenti
Metodo non valido
in questo caso
rotture
490
480
470
460
450
440
430
2
3
4
4
3
1
0
17
Correzione d/2=5 in somma
980
1440
1880
1840
1350
440
0
7930
466,4706
5
sA
471,4706
meno cautelativo
motivo per cui si utilizzano gli eventi meno frequenti
Capacità di resistenza e tensione di lavoro
effettive
Considerazioni generali
Nota:
La valutazione del coefficiente di sicurezza va effettuata
con l’introduzione di fattori riduttivi della resistenza a fatica
del materiale e moltiplicativi della tensione nominale di lavoro
atti a tener conto di effetti che alterano la capacità di resistenza
di riferimento o la tensione valutata.
Tensione affaticante effettiva
Effetti di riduzione della resistenza su provini o
componenti privi di singolarità
Numerosi effetti contribuiscono ad alterare il limite di fatica determinato su
provini normalizzati anche se privi di singolarità.
Di tali effetti si tiene conto attraverso coefficienti che influiscono sul valore
della tensione al limite di fatica.
I valori dei coefficienti sono reperibili in letteratura o vanno accertati per casi
specifici.
I principali aspetti di cui si può tener conto sono:
Effetto del tipo di carico - coefficiente CL
Effetto delle dimensioni - coefficiente CD
Effetto della finitura superficiale - coefficiente CS
Effetto della forma della sezione - coefficiente Cq
Effetto dell’ anisotropia delle proprietà a fatica - coefficiente Ca
Effetti di riduzione della resistenza
Effetto del tipo di carico
La resistenza a fatica in un componente meccanico privo di
singolarità sD, prendendo in considerazione gli effetti prima
indicati a partire da valori noti in casi specifici, può essere ottenuta
con relazioni, con riferimento al tipo di carico:
sD = srb CL CD CS Cq Ca ;
rotating bending
sD = srt CL CD CS Cq Ca ; CL = 0.58 =1/ 3
reversed torsion
sD = stc CD CS Cq Ca ; CL = 1
traction compression
Effetti di riduzione della resistenza
Effetto delle dimensioni
Effetti di riduzione della resistenza
Effetto della finitura superficiale
Effetti di riduzione della resistenza
Effetto della forma della sezione
Effetto dell’anisotropia delle proprietà a fatica
Fattori Cq e Ca
Tipo sezione Flessione rotante Torsione alternata Trazione Compressione
Circolare
1
1
1
Quadrata
0.9
1
0.9
Rettangolare
0.8
0,9
0.8
Effetti di amplificazione delle tensioni
Effetto d’intaglio
esempi di singolarità
Effetti di amplificazione delle tensioni
Effetto d’intaglio
piastra tesa con foro ellittico
P
s senzaforo  s remota 
A
A
P
Tensione teorica st
A
Tensione nominale s n 
s remota
Arid
Tensione teorica st
Fattore Teorico d’intaglio Kt
st
KT 
sn
Arid
P
Effetti di amplificazione delle tensioni
Effetto d’intaglio - Distribuzione tensioni in Piastra
con foro circolare
Effetti di amplificazione delle tensioni
Effetto d’intaglio - Distribuzione tensioni in Piastra
con foro circolare
Effetti di amplificazione delle tensioni
Effetto d’intaglio
diagrammi di KT per piastre tese con foro circolare
Effetti di amplificazione delle tensioni
Effetto d’intaglio - Distribuzione tensioni in Piastra
con foro ellittico e rettangolare
Effetti di amplificazione delle tensioni
Effetto d’intaglio - Distribuzione tensioni in Piastra
con foro quadro variamente orientato
Effetti di amplificazione delle tensioni
Effetto d’intaglio - Distribuzione tensioni in Piastra
con intagli laterali
Effetti di amplificazione delle tensioni
Effetto d’intaglio - Distribuzione tensioni in Piastra
con intagli multpli
Effetti di amplificazione delle tensioni
Tensioni modificate dall’Effetto d’Intaglio in un albero
con intaglio circonferenziale variamente sollecitato
Effetti di amplificazione delle tensioni
Tensioni modificate dall’Effetto d’Intaglio in un albero
con passaggio di sezione raccordato
Effetti di amplificazione delle tensioni
Effetto d’intaglio
diagrammi di KT per albero in torsione e in flessione
Effetti di amplificazione delle tensioni
Effetto d’intaglio
fattore di forma, fattore effettivo e sensibilità all’intaglio
A
F
A
B
B
C
C
D
D
F
s max
Kt 
sn
K f - 1 CB
q

K t - 1 CA
sd
KF 
s dn
Relazioni tra limite di fatica ed altre proprietà
del materiale
Tipologie di relazioni di letteratura
Per acciai al carbonio ricotto s rb = 0,45 s r + 8,4 MPa
Per acciai al carbonio rinvenuto s rb = 0,515 s r -24 MPa
Per acciai legati rinvenuti
s rb = 0,38 s r + 94 MPa
Per acciai tipo austenitico altamente legati s rb= 0,485 s r
Se adesso si considerano altri tipi di carichi
Per leghe di acciaio s tc = 0,3 s r + 83 MPa
s rt = 0,274 s r + 9,6 MPa
tc sollecitazione di trazione compressione
rb sollecitazione di flessione rotante
rt sollecitazione di torsione rotante.
Relazioni tra limite di fatica ed altre proprietà
del materiale
T a b e ll a d e l r a p p o r t o  r b /  r e m a s s im o lim it e d i f a t i c a p e r
v a r i m a t e r i a li
M a t e r i a li
rb / r
 r b m a x in
M P a
A c c i a io
0 ,3 5
- 0 ,6 0
8 0 0
G h is a
0 ,3 0
- 0 ,5 0
2 0 0
L e g h e d i a ll u m i n io
0 ,2 5
- 0 ,5 0
2 0 0
L e g h e d i m a g n e s io
0 ,3 0
-
0 ,5 0
1 5 0
L e g h e d i ra m e
0 ,2 5
- 0 ,5 0
2 5 0
L e g h e d i n ic h e l
0 ,3 0
- 0 ,5 0
4 0 0
L eg h e
0 , 3 0 - 0 ,5 0
d i ti t a n io
6 3 0
Diagrammi di resistenza a fatica
Effetto della tensione media
max
N
Diagrammi di resistenza a fatica
Costruzione del diagramma nel piano (sm,sa )
max
m1 = 0
105
105
a
106
107
N
m2
m3 m4 m5 m
Diagrammi di resistenza a fatica
Rappresentazioni nel piano (sm, smax smin)
max
r
D
A0
max
A
m
min
r
m
Diagrammi di resistenza a fatica
Relazioni analitiche
Formula generale

sm
s a  s A0 1 
sr 


s a  s A0
Goodman

sm
s a  s A0 1 
sr 


1

1

sm

sr 
sm

sr 
Soderberg
Gerber

sm
s a  s A0 1 
sr 

Smith
2

sm
s a  s A0 1 
ss 

Diagrammi di resistenza a fatica
Rappresentazione delle relazioni analitiche
1,0
1 – Goodman
2 – Soderberg
3 – Gerber
4 - Smith
3
0,8
1
0,6
4
0,4
0,2
2
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Diagrammi di resistenza a fatica
Costruzione del diagramma di Goodman
max
s max
r

s A0 
 s m 1   s A0
sr 

s
A0
0 m10
m
Diagrammi di resistenza a fatica
Grado di sicurezza
sm, smax smin)
Diagrammi di resistenza a fatica
Diagramma di Goodman per diversi tipi di sollecitazioni
Verifiche di resistenza per sollecitazioni
composte
Criterio di Gough-Pollard
Per stati di sollecitazione biassiale, dove smax tmax sono le
sollecitazioni applicate e saf e taf sono le sollecitazioni
limite, si può ritenere valida la relazione
s
s
2
max
2
af
t

t
2
max
2
af
1
Verifiche di resistenza per sollecitazioni
composte
Criterio di Gough-Pollard
max
N/mm2
s
400
AF
2
af
s
Acc. al Ni Cr
300
2
max
s 2af 2
 2 t max
t af
Sollecitazione di confronto
AF
200
s' 
Acc. al C
100
AF
0
0
100
200 300
AF
400 500 600
max
N/mm 2
s 2max  H 2 t 2max
Danno cumulativo
Danneggiamento lineare – Formulazione di
Miner
n
a
Un elemento di macchina
D
sottoposto ad un’assegnata
sollecitazione per un numero
di cicli ni inferiore alla
corrispondente durata in
numero di cicli Ni subisce
comunque un danno che si
accumula. Miner e Palmgren
ipotizzarono che il danno
progredisce in modo lineare
con i cicli e per diversi tipi di
sollecitazione
"Danno cumulativo lineare”
n1
N
N1
n2
N2
n3
N3
n4
N4
N
Danno cumulativo
Danneggiamento lineare – Rappresentazioni
Danno cumulativo
Danneggiamento lineare – Sollecitazioni diverse
Formula generale
D
n1 n 2
n3
ni
nk
D


......

1
N1 N 2 N 3
Ni Nk
Pari danno
n1
n2

N1 N 2
D=1
Numero di cicli a pari danno
con sollecitazione diversa
D’
n1
n2 N1
N2
N
N2
n2 
n1
N2
Danno cumulativo
Danneggiamento lineare – Sollecitazioni diverse
Sequenza
B-A
 A - B   B- A
Sequenza
A-A
Rapporto cicli n/N
L2
L2
L1
Rapporto cicli n/N
1 -L2
 n1 
 n2 
  
 1
 N1  A  N 2  B
 n1 
 n2 
  
 1
 N1  A  N 2  B