ALGEBRA booleana - I blogs del`ISIS Leonardo da Vinci`

Indice:
o
o
L’algebra di Boole
Applicazione dell’algebra di Boole
Boole sviluppò assieme a De Morgan
la logica matematica moderna e il metodo simbolico.
Boole e De Morgan costruirono l'algebra della logica
(o algebrea booleana),
staccando la logica dalla filosofia (Logica Aristotelica)
e legandola alla matematica.
L’ algebra Booleana



Contempla due costanti LOGICHE 0 e 1 (falso e vero)
Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda
Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un
generico contatto o di un circuito a più contatti
0

1
Si definiscono delle operazioni fra i valori booleani:
AND, OR, NOT sono gli operatori fondamentali
Porte logiche


1.
2.
3.
Le variabili logiche sono indicate
generalmente con lettere maiuscole A, B, C..
Gli operandi principali sono tre:
la negazione o NOT (¯ oppure !)
la somma logica o OR ( + )
il prodotto logico o AND ( • )
L’operazione di AND
 Si definisce l’operazione di prodotto logico (AND):
il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore
di tutti gli operandi è il simbolo 1
00
01
10
11
=
=
=
=
0
0
0
1
0
0
0
00
1
0
10
1
01
1
1
11
L’operazione di OR

Si definisce l’operazione di somma logica (OR):
il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore
di almeno uno degli addendi è il simbolo 1
0+0
0+1
1+0
1+1
=
=
=
=
0
1
1
1
0
0
0
1
0+0
0+1
1
1
0
1
1+0
1+1
La negazione NOT


Si definisce l’operatore di negazione (NOT):
l’operatore inverte il valore della costante su cui
opera
0 = 1
1 = 0
Dalla definizione…
0 = 0
1 = 1
Porte logiche
Le possibili combinazioni tra le porte principali sono:

L'operatore NAND (cioè la

L'operatore NOR (cioè la


negazione del risultato
dell'operazione AND)
negazione del risultato
dell'operazione OR)
L'operatore XOR (detto anche
OR esclusivo)
L'operatore XNOR (cioè la
negazione del risultato
dell'operazione XOR)
La tabella di verità
• Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di verità
della funzione logica A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Y
0
1
1
0
1
0
0
1
• Si può scrivere la funzione Y come somma logica di
prodotti logici
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
Funzioni logiche


Una variabile y è una funzione delle n variabili
indipendenti x1, x2,…, xn, se esiste un criterio che fa
corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n
configurazioni delle xi un valore di y
y = F(x1,x2,…,xn)
Una rappresentazione esplicita di una funzione è la
tabella di verità, in cui si elencano tutte le possibili
combinazioni di x1, x2, …, xn, con associato il valore di
y
x1 x2
y
y = x1+x2
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
La forma canonica

Date tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la
funzione Y che vale 1 quando solo due di esse hanno
valore 1 A B C Y
Si può scrivere la funzione
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
come somma logica delle
configurazioni corrispondenti
agli 1
Y = ABC + ABC + ABC
Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND)
 tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma
Un circuito con due interruttori

I due interruttori corrispondono a due variabili (A,B)
a valori booleani  le variabili assumono i due valori
0 e 1 che corrispondono alle due posizioni
dell’interruttore
A
A
0
0
1
1
B
Y
A
A
B
A=0 B=0
A
A
0
0
1
1
B
B
A=1 B=0
Y
A
A
0
0
1
1
B
Y
B
A
B
Y
A=0 B=1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
B
B
A=1 B=1
Y
Y = AB+AB
Mappe di KARNAUGH

Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che
permettono in modo immediato la rappresentazione
e la semplificazione di funzioni booleane fino 6
variabili.
xy
00
01
11
10
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
z
Rappresentazione con Mappa di K. di
una funzione.

Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per
rappresentare una funzione booleana