Ilario Pirini

Pirini Ilario 3^ EA
Istituto tecnico I.I.S.
Maserati
Indice:
L’algebra di Boole
o Applicazione dell’algebra di Boole
o Esercizi e test
o Approfondimenti e curiosità
o
Chi era George Boole?
Boole George nasce il 2 novembre 1815 a
Lincolnshire in Gran Bretagna. Sviluppò
assieme ad Auguste De Morgan la logica
matematica moderna e il metodo simbolico.
Boole e De Morgan fondarono l'algebra della
logica o algebra booleana.
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L’ algebra Booleana



Contempla due costanti 0 e 1 (falso e vero)
Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda
Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di
un generico contatto o di un circuito a più contatti
0

1
Si definiscono delle operazioni fra i valori booleani:
AND, OR, NOT sono gli operatori fondamentali
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L’operazione di AND
 Si definisce l’operazione di prodotto logico (AND):
il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore
di tutti gli operandi è il simbolo 1
00
01
10
11
=
=
=
=
0
0
0
1
0
0
0
00
1
0
10
www.wikipedia.org
1
01
1
1
11
L’operazione di OR

Si definisce l’operazione di somma logica (OR):
il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore
di almeno uno degli addendi è il simbolo 1
0+0
0+1
1+0
1+1
=
=
=
=
0
1
1
1
0
0
0
1
0+0
0+1
1
1
0
1
1+0
1+1
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La negazione NOT


Si definisce l’operatore di negazione (NOT):
l’operatore inverte il valore della costante su cui
opera
0 = 1
1 = 0
Dalla definizione…
0 = 0
1 = 1
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La tabella di verità
• Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di verità
della funzione logica A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Y
0
1
1
0
1
0
0
1
• Si può scrivere la funzione Y come somma logica di
prodotti logici
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
Funzioni logiche


Una variabile y è una funzione delle n variabili
indipendenti x1, x2,…, xn, se esiste un criterio che fa
corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n
configurazioni delle xi un valore di y
y = F(x1,x2,…,xn)
Una rappresentazione esplicita di una funzione è la
tabella di verità, in cui si elencano tutte le possibili
combinazioni di x1, x2, …, xn, con associato il valore di
y
x1 x2
y
y = x1+x2
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
La forma canonica

Date tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la
funzione Y che vale 1 quando solo due di esse hanno
valore 1 A B C Y
Si può scrivere la funzione
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
come somma logica delle
configurazioni corrispondenti
agli 1
Y = ABC + ABC + ABC
Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND)
 tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma
Variabili binarie


Una variabile binaria indipendente può assumere uno
dei due valori 0 e 1
0
x
1
Date n variabili binarie indipendenti, la loro somma
logica (OR) è
1 se almeno una xi vale 1
x1 + x2 + …+ xn =
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0 se x1= x2= …= xn = 0
AND e NOT con variabili binarie

Date n variabili binarie indipendenti, il loro prodotto
logico (AND) è
0 se almeno una xi vale 0
x 1  x 2  … x n =

1 se x1= x2= …= xn = 1
La negazione di una variabile x è
x=0
x=1
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se
se
x=1
x=0
Configurazioni delle variabili

Date n variabili binarie indipendenti x1, x2,…, xn,
queste possono assumere 2n configurazioni distinte
Ad esempio per n=3 si hanno 8 configurazioni
x1 x2 x3

000 001 010 011
100 101 110 111
Una
configurazione
specifica
è
individuata
univocamente da un AND (a valore 1) di tutte le
variabili, dove quelle corrispondenti ai valori 0
compaiono negate
010
x 1 x2 x3
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Minterm


Se in una configurazione una variabile compare con 1
si assume il valore diretto se invece compare con
uno 0 si assume il valore negato.
Prendendo una funzione in esempio scriveremo:
y = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

Ciascuno di questi prodotti si chiama MINTERM
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Minterm


La funzione conoscendo la sua tabella di verità,
potrà essere espressa sotto forma di somme di
prodotti dei termini minimi.
Se una funzione è direttamente espressa sotto
forma di somme di minterm sarà possibile costruire
la sua tabella di verità, mettendo 1 nelle
configurazioni relative ai minterm, e 0 negli altri
casi.
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Maxterm

Dalla tabella di verità si può affermare ogni
maxterm è la somma di tutte le variabili dirette o
negate a seconda che la configurazione contenga 1 o
0.
y = (x1+x2+x3)· (x1+x2+x°3)· (x1+x°2+x°3)·
(x°1+x°2+x3)· (x°1+x°2+x°3)


ossia sotto forma di prodotto di somme.
Ciascuna delle somme chiama maxterm (termine
massimo).
Applicazione dell’algebra di Boole ai
circuiti digitali

In questa presentazione l'algebra di Boole verrà
utilizzata in un diagramma di flusso per rendere
più intuitivo comprendere il funzionamento di quei
semplici circuiti digitali che costituiscono la base
dei computer.
"esco se è bel tempo ed è caldo.“
"esco se è bel tempo o se è caldo".
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Applicazione dell’algebra di Boole ai
circuiti digitali
Tenendo presente la seguente tabella possiamo
verificare le due frasi
Quindi avremo:
•"esco se è bel tempo ed è caldo”= AND
•"esco se è bel tempo o se è caldo“ = OR
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Applicazione dell’algebra di Boole ai
circuiti digitali

Nel Primo caso la
lampadina si accenderà
quando:
A

Nel secondo invece la
lampadina si accenderà
quando:
A
Y
B
A=0 B=0
B
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A=0 B=1
Y
Un esercizio

Progettare un circuito per accendere e spegnere una
lampada da uno qualsiasi di tre interruttori
indipendenti
Y = 0
Cambia lo
stato di un
interruttore
qualsiasi
0
0
0
1
1
1
A
0
B
0
C
0
Y = 1
0
0
0
1
1
1
A
0
B
1
C
0
Un circuito con due interruttori

I due interruttori corrispondono a due variabili (A,B)
a valori booleani  le variabili assumono i due valori 0
e 1 che corrispondono alle due posizioni
dell’interruttore
A
A
0
0
1
1
B
Y
A
A
B
A=0 B=0
A
A
0
0
1
1
B
B
A=1 B=0
Y
A
A
0
0
1
1
B
Y
B
A
B
Y
A=0 B=1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
B
B
A=1 B=1
Y
Y = AB+AB
Altre proprietà

Per gli operatori AND e OR valgono le seguenti
proprietà:
commutativa x1+x2 = x2+x1
x1 x2 = x2x1
associativa
x1+x2+x3 = x1+(x2+x3)
x1 x2x3 = x1(x2x3)
distributiva del prodotto rispetto alla somma x1 x2 + x1x3 = x1(x2+x3)

Per l’operatore NOT si provano le seguenti identità:
x + x = 1
x x = 0
x = x
Mappe di KARNAUGH
Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che
permettono in modo immediato la rappresentazione
e la semplificazione di funzioni booleane fino 6
variabili.
xy

00
01
11
10
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
z
Rappresentazione con Mappa di K. di
una funzione.

Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per
rappresentare una funzione booleana;
Analisi delle combinazioni
Si considera cosa accade a partire dalla configurazione di
partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta

Y = 1
Y = 0
Y = 0
A
B
C
A
B
C
0
0
1
0
1
1
Y = 1
Y = 1
Y = 0
A
B
C
A
B
C
A
B
C
0
0
0
0
1
0
1
0
1
Y = 0
Y = 1
A
B
C
A
B
C
1
0
0
1
1
0
A
B
C
1
1
1