carica condensatore

Carica e scarica dei un condensatore
La seguente presentazione è stata ideata per offrire agli
studenti una sintesi dei più importanti fenomeni riguardanti
l’elettromagnetismo.
La presente non deve sostituirsi al testo, che va studiato
accuratamente, ma intende focalizzare l’attenzione sui concetti
più importanti.
Le immagini ed il testo sono stati reperiti in rete o sono stati
modificati da libri per i licei scientifici o per l’Università e
vengono utilizzati per l’elevato contenuto didattico.
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Circuito RC
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Carica e scarica di un condensatore
Elenco dei contenuti:
Condensatore e capacità
Costante dielettrica relativa e rigidità dielettrica
Condensatori ceramici, a carta o a lamina, elettrolitici
Condensatori in serie e in parallelo
Processo di carica di un condensatore
Processo di scarica di un condensatore
Trattazione matematica
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Il condensatore e la sua capacità
Un condensatore è costituito da due conduttori isolati e
posti a distanza finita, detti armature.
Caricando i due conduttori con carica opposta, si forma
tra di essi un campo elettrico, e si produce quindi una
differenza di potenziale.
La differenza di potenziale tra i due conduttori è
proporzionale alla carica depositata su di esse:
Q  CV
Il coefficiente C è detto capacità del condensatore.
Si misura in Farad (simbolo F).
Unità pratiche sono il picofarad (pF), il nanofarad (nF) e
il microfarad (mF).
La capacità dipende dalla geometria delle armature e
dal materiale con cui è riempito lo spazio che le separa.
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Tipi di condensatori
Condensatore piano
C
 0 r  S
d

 S
d
Condensatore cilindrico
h
C  20 r
ln( R1 / R2 )
Condensatore sferico
R1R2
C  40 r
R1  R2
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Costante dielettrica relativa
La presenza di un materiale tra le armature di un condensatore ne
aumenta la capacità di un fattore
r detto costante dielettrica relativa
che dipende dalla caratteristica del materiale.

Valori comuni della costante dielettrica relativa sono compresi tra 2 e
10 (carta, olio, gomma, mica, vetro porcellana...) ma ad esempio l’acqua
presenta un valore di 81 e per altri materiali come ad esempio gli ossidi di
titanio si riescono a raggiungere valori compresi tra 100 e 200.
In presenza di campi elettrici intensi, però, si possono creare scintille
tra le armature in grado distruggere i condensatori.
Il minimo campo in grado di produrre una scintilla è detto rigidità dielettrica e
vale tipicamente qualche decina di kV per mm.
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Condensatori ceramici
Condensatori ceramici:
– I condensatori ceramici sono costituiti da un sandwich di lastre conduttrici
alternate con materiale ceramico.
– Hanno tipicamente capacità piccole (da qualche pF a qualche nF), e possono
resistere a grandi d.d.p.
– I valori sono solitamente espressi in pF:
ad esempio 103 indica 10*103 pF=10 nF.
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Condensatori a carta
Condensatori a carta o a lamina:
– Sono costituiti da due lamine metalliche intervallate da due fogli di carta o di
lamina plastica arrotolati a cilindro.
– Hanno capacità più grandi dei condensatori ceramici (fino a uno o due mF),
ma sono meno resistenti alle alte tensioni.
– Solitamente, i valori sono espressi in microF, seguiti da una lettera che
indica la tolleranza: .1K vuol dire 0.1 microF con una tolleranza del 10%,
4.7M indica 4.7 microF con una tolleranza del 20%
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Condensatori elettrolitici
Condensatori elettrolitici:
– Sono costituiti da due lamine metalliche avvolte a cilindro, separate da un
sottile strato di ossido ottenuto tramite un procedimento elettrolitico.
– Hanno capacità grandissime (centinaia di microF) , ma resistono tipicamente a
poche decine di Volts di d.d.p.
– Hanno una polarità da rispettare: una delle due armature va sempre caricata
positivamente e l’altra sempre negativamente.
– Visto che sono abbastanza grandi, i valori sono indicati chiaramente. Le
tolleranze non sono indicate, perche’ sono molto grandi: intorno al 50%
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Relazione tra tensione e corrente
Se una corrente i giunge sull’armatura positiva del condensatore, allora in un
intervallo di tempo dt la carica aumenta di una quantità dq=idt.
Una corrente uguale porterà via una quantità di carica uguale ed opposta
dall’altra armatura.
Si dice comunemente che nel condensatore “scorre corrente” anche se in realtà
tra le due armature non si ha un reale movimento di cariche.
V
q
C
La relazione tra carica e corrente è:
i
dq
dt
La caratteristica tensione-corrente è quindi:
dV
iC
dt
La caduta di potenziale tra i punti A e B è data da:
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Condensatori in serie
Come nel caso delle resistenze, i
condensatori si possono collegare in
serie o in parallelo.
Quando sono collegati in serie, la carica è
la stessa, mentre la d.d.p. ai capi della
coppia di condensatori è uguale alla somma
delle singole d.d.p.:
 1
1
1 
V  V1  V2  V3  q   
 
 C1 C2 C3 
 Ceq 
q
1

1  1  1
V
C1
C2
C3
1
1
1
1



Ceq C1 C2 C3
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Condensatori in parallelo
Quando due condensatori vengono
disposti in parallelo, la d.d.p. tra le
armature è la stessa, ma la carica si
distribuisce tra i due.
Quindi la carica del condensatore
equivalente è uguale alla somma delle
cariche:
q  q1  q2  q3  C1  C2  C3  V
Ceq  C1  C2  C3
Due condensatori posti in parallelo equivalgono quindi ad un condensatore
di capacità pari alla somma delle singole capacita.
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Carica del condensatore
Per caricare un condensatore, ovvero per
depositare le cariche positive e negative
sulle armature, si utilizza un circuito RC,
A CIRCUITO CHIUSO
La resistenza R è ineliminabile, in quanto anche collegando il generatore
direttamente al condensatore, rimane presente la sua resistenza interna.
– Intuitivamente, si capisce che man mano che il condensatore si carica, il
potenziale della armatura collegata al polo positivo aumenta, e si avvicina a
quello del generatore.
– Allora la differenza di potenziale ai capi della resistenza diminuisce, per cui la
corrente diminuisce di intensità.
– Quindi il condensatore si carica dapprima velocemente, poi sempre più
lentamente.
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Carica del condensatore
L’equazione delle maglie dice che:
la somma delle d.d.p. deve essere
nulla:
V0  VR  VC  0
q
V0  Ri   0
C
Utilizzando la relazione tra i e Q si ha infine:
dq q
V0  R

dt C
Se il condensatore è scarico all’istante t=0,
si ottiene l’equazione della carica:
Se il condensatore è scarico all’istante t=0,
si ottiene l’equazione dell’intensità di corrente:
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t



RC
q(t )  CV0 1  e 
 t

V0  RC
i (t )  e
R
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Grafico del processo di carica
q/CV
Grafico della carica di un
condensatore.
Il tempo RC è detto tempo
caratteristico del circuito.
Il tempo di salita è definito
come il tempo impiegato dal
condensatore per raggiungere il
90% del valore massimo.
t/RC
t90%   ln 1  0.9RC  2.3RC
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Scarica del condensatore
Per scaricare il condensatore, si utilizza il circuito seguente, A CIRCUITO APERTO:
Le equazioni si riducono a :
VR  VC  0
q
Ri   0
C
dq
i
dt
dq q
R
 0
dt C
La soluzione è un esponenziale decrescente, sia per la carica che per la corrente:
q(t )  q0e

t
RC
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q0
i (t ) 
e
RC
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
t
RC
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Grafico del processo di scarica
I/I0
Corrente in funzione del
tempo.
Lo stesso grafico
determina l’andamento della
carica.
• Il tempo di dimezzamento è
definito come il tempo in cui
la carica o la corrente
raggiunge metà del valore
iniziale.
• Il tempo di scarica è definito
come il tempo in cui la carica
o la corrente raggiunge il 10%
del valore iniziale.
t/RC
t1/ 2   ln 0.5RC  0.69 RC t10%   ln 0.1RC  2.3RC
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Trattazione matematica: carica (1)
Quando il deviatore viene posizionato su 1 (CIRCUITO
CHIUSO) il circuito viene chiuso sulla pila; su R circola
corrente finché il condensatore C si è completamente
caricato.
Dal momento che il condensatore si è caricato la
corrente cessa di fluire attraverso R.
Se con il condensatore carico il deviatore viene posizionato su
2 il condensatore si scarica attraverso R: fluisce corrente nel
verso opposto al caso precedente, finché il condensatore si
scarica completamente.
La legge di Ohm per il circuito (legge della maglia) nel caso
della carica è:
q(t )
V  Ri (t ) 
C
NB: La tensione applicata al circuito per mezzo della pila è costante.
Ricordando la relazione tra i e q:
i (t ) 
si potrebbe ricavare la relazione che lega la corrente al tempo.
Tuttavia è più conveniente operare in altro modo.
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dq(t )
dt
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Trattazione matematica: carica (2)
q(t )
V  Ri (t ) 
C
di (t ) i
0R

Se si deriva rispetto al tempo la relazione si ottiene:
dt
C
La soluzione dell’equazione differenziale è:
i  ke at
Dove a viene determinata sostituendo la soluzione nell’equazione differenziale:
k at
0   Rake  e
C
Si noti che RC ha le dimensioni di t.
 at
Da cui si ottiene:
1
a
RC
Per determinare k si impongono le condizioni
iniziali: per t=0 si ha infatti:
Da cui:
V
i ( 0)   k
R
V  Ri (0)
Quindi la corrente decresce nel tempo secondo la legge:
La quantità
  RC
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i (t ) 
V
R
e

t
RC
è la costante di tempo caratteristica del circuito.
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Trattazione matematica: scarica (3)
Se si pone il deviatore nella posizione 2 la legge di Ohm fornisce:
0  Ri (t ) 
q (t )
C
derivando questa relazione si ottiene la stessa equazione differenziale precedente,
pertanto la soluzione è la stessa.
Adesso possiamo chiederci cosa si misura ai capi rispettivamente della resistenza e
del condensatore.
Nel nostro caso misureremo una differenza di potenziale per mezzo
dell’oscilloscopio, pertanto potremo scrivere
t

RC
per la V(t)R:
R
t

RC
per la V(t)C:
C
R
Il valore della carica sulle placche del condensatore istante per istante
t

durante la carica o la scarica:
RC
C
V (t )  Ri (t )  Ve
V (t )  V  V (t )  V (1  e
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)

q(t )  CV (t )  CV 1  e

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



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Bibliografia
Alonso/Finn, Elementi di Fisica per l’Università, Inter European
Editions, Amsterdam
U.Amaldi, La fisica 3, Zanichelli
A.Caforio, A.Ferilli, Fisica 3, Le Monnier
J. S. Walker Fisica, Zanichelli
Halliday, Resnick, Walker, Elettromagnetismo, Zanichelli
J. D. Cutnell, K. W. Johnson, Fisica, Elettromagnetismo, Zanichelli
Isidoro Ferrante, Università di Pisa, Il condensatore
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Circuito RC
pag. 20