Trave Inflessa con deformazione a taglio

Trave Inflessa
con
deformazione a taglio:
Il modello di Timoshenko
q
F
m
EI, A
Modello della trave con deformazione a taglio
Cinematica
Spostamenti
w
spostamento orizzontale
v
spostamento trasversale
j
rotazione (positiva antioraria)
w=yj
Deformazioni
e = w’ = y j’
dilatazione lineare
g = v’ + j
scorrimento angolare
Trave con deformazione a taglio
2
Legame costitutivo
s=Ee
tensione normale
E modulo di Young
t=cGg
tensione tangenziale
G modulo a taglio
c
fattore di correzione a taglio
t
Risultanti
t
g>0
M   y s dA   y Ee dA   y 2 Ej' dA  EI j'
A
A
A
T   t dA   cG g dA   cG v' j dA  cGA v' j
A
A
A
I
momento di inerzia
A
area
Trave con deformazione a taglio
3
Equilibrio
q
T
M’ = T
M+dM
T’ = -q
M
T+dT
In definitiva si ottiene:
EI j’’ = c GA (v’ + j)
- q = c GA (v’’ + j’)
EI j’’’ = - q
EI j’’ = c GA (v’ + j)
Trave con deformazione a taglio
4
Soluzione analitica
q
F
m
EI, A
EI j’’’ = - q
EI j’’ = c GA (v’ + j)
v(0) = 0
j(0) = 0
M(L) = m
T(L) = F
Trave con deformazione a taglio
5
EI j' ' '  q
q
q 2
j' '  
z  c1
j'  
z  c1 z  c2
EI
2 EI
q 3 1 2
j
z  c1 z  c2 z  c3
6 EI
2
EIj' '  cGAv'j
EI
v' 
j' 'j
cGA

EI  q
  q 3 1 2

z  c1    
z  c1 z  c2 z  c3 

cGA  EI
2
  6 EI



q 3 1 2  EI q
EI
z  c1 z  
 c2  z 
c1  c3
6 EI
2
cGA
 cGA EI

v

 EI

q
1
1  EI q
z 4  c1 z 3  
 c2  z 2  
c1  c3  z  c4
24 EI
6
2  cGA EI

 cGA

Trave con deformazione a taglio
6
In definitiva
q 3 1 2
j
z  c1 z  c2 z  c3
6 EI
2

 EI

q
1
1  EI q
v
z 4  c1 z 3  
 c2  z 2  
c1  c3  z  c4
24 EI
6
2  cGA EI

 cGA

M  EIj'
 q 2

 EI  
z  c1 z  c2 
 2 EI

T  cGAv' j
 qz  EIc1
Trave con deformazione a taglio
7
Condizioni al contorno
v(0) = 0
j(0) = 0
M(L) = m
T(L) = F
0  v(0)  c4
0  j(0)  c3
 q 2

m  M ( L)  EI  
L  c1L  c2 
 2 EI

F  T ( L)  qL  EIc1
F  qL
EI
1 
q 2 F  qL 
c2 
L
m  L 
EI 
2
2

c1 
Trave con deformazione a taglio
8
Perché esiste il fattore di correzione a taglio?
Tensioni nella trave:
s
tensione normale ,
t
tensione tangenziale
Equilibrio locale in assenza di forze di volume:
t s

0
y z
t
s
d
 h / 2 z

y
Tenendo conto che s = E e = y E j’, si ha:
y
 2 
1  2 h2 
t   E j' ' d   Ej' '  
  Ej' '  y  
h / 2
2
4
 2 h / 2

y
Trave con deformazione a taglio
9
t=cG g
1  h2
2
t  Ej' '   y 
2 4

Emergono
tensioni
tangenziali
inaccettabili
Tensione tangenziale da legame costitutivo
Tensione tangenziale da equilibrio
Distribuzione
ottimale
Trave
tensioni
tangenziali da
legame costitutivo
tensioni
tangenziali da
equilibrio
Trave con deformazione a taglio
10
Sezione rettangolare
Risultante delle tensioni
tangenziali da legame

A
………… da equilibrio

T  t dA  cGg dA cGA g
A


1
T  t dA  Ej' '
2
A
A
1
 Ej' '
2
t
h / 2
 h2

  y 2  dA
 4

 h2

  y 2  dA
b / 2
 4

 
h/2
T
A
b/2
h/2
 h2
1
y3 
 Ej' ' b  y  
2
3 h / 2
4
 h3 h3  1
1
 Ej' ' b    
Ej' ' bh3
2
 4 12  24
24T
3T
2
2
j' ' 
t

h

4
y
Ebh3
2bh3

Trave con deformazione a taglio

11
Energia associata alle tensioni tangenziali:
•
da legame
 leg 


1
1
tg dA 
t2 dA 
2A
2 cG A
1
T2
T2

dA 
2
2cG A A
2cGA

Trave con deformazione a taglio
12
Energia associata alle tensioni tangenziali:
•
da equilibrio


2
1
1
1  3T
2
2 

tg dA 
t2 dA 
h

4
y
dA 
3


2A
2G A
2G A  2bh






1
9T 2 4
4
2 2

h

16
y

8
h
y dA 
2 6
2G A 4b h

1 9T 2
16
8 
5

bh
1




2G 4b 2 h 6
5
*
16
3
*
4


1 9T 2
1 2  1 9T 2
5
5 15  3  10

bh
1



bh


2 6
2G 4b 2 h 6
5
3
15

 2G 4b h
1 9T 2
3 T2
5 8

bh

2 6
2G 4b h
15 5G bh
Trave con deformazione a taglio
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Eguagliando le energie si ottiene:
 leg  
T2
3 T2

2cGA 5G bh
c
Trave con deformazione a taglio
5
6
14
Energia potenziale


1
1
2
2

E  yj' dV 
cGv'j dV 
2
2
1

2

1
EI j' dz 
0
2
flessione
L
2
 fv dz  F v
L
0 L
0
 cGAv'j dz   fv dz  F v
L
2
0
 M 0j L
L
0
0 L
 M 0j L
taglio
Eulero-Bernoulli (v’ + j = 0)

1 L
2

EI v' ' dz 
2 0
flessione
 fv dV  F v
L
0
0 L
 M 0j L
Trave con deformazione a taglio
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