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Manubrio simmetrico • Se il corpo è simmetrico rispetto all’asse di rotazione z, asse di rotazione F1t – Il momento angolare totale è parallelo all’asse di rotazione Lx Ly 0 dL z Mz dt • Lz 0 I Mz dL x Mx 0 dt dL y My 0 dt R v1 Nel caso della figura il momento Mz è applicato mediante una coppia di forze – Due forze uguali ed opposte non aventi la stessa retta di azione • v2 Per mantenere le due particelle sulla traiettoria circolare occorre applicare due forze centripete – A causa della simmetria del corpo esse sono collineari, uguali in modulo ed opposte – Costituiscono una coppia di momento nullo – Possono benissimo essere delle forze interne. F2t F1t v2 F1c v1 z, di asse rotazione F2c F2t G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Coppia di forze • • • • Due forze uguali ed opposte non aventi la stessa retta di azione Attraverso una coppia è possibile applicare al corpo un momento puro La risultante della coppia è nulla. Il momento della coppia invece è indipendente dal polo O F b F r – Per esempio rispetto ad O, il punto di applicazione della forza F: M1=0, M2=rFsen rFsen(-=Frsen(-=Fb • • • • È diretto perpendicolarmente al piano della coppia Nel caso considerato il verso è uscente Il modulo vale Fb dove b è il braccio della coppia pari alla distanza tra le retta di azione delle due forze Se le due forze sono collineari il momento della coppia è nullo F F b • Lo stesso momento può essere ottenuto in infiniti modi diversi. G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Manubrio asimmetrico • Se il corpo non è simmetrico rispetto all’asse di rotazione, e l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia z, asse di rotazione – Il momento angolare totale non è parallelo all’asse di rotazione • Infatti: 1 1 r1 mv1 rmv 1 rmR Lz 1z 2z 2 2 r2 mv2 v1 R v2 R R rmv 2 rmR 2 rmR cos rmR cos 2mR 2 Il momento angolare trasverso, in questo caso F1t particolare, in cui i due momenti angolari sono allineati, vale: F1c L 1 2 rmR sen rmR sen 2rmR sen Nel caso del manubrio asimmetrico Lx ed Ly non sono nulli, anzi non sono neppure costanti perché il momento angolare precede attorno all’asse di rotazione: L 1 2 rmR rmR rmR L M z 0 cos tan te L cos tan te 2z 1z 1 I • • v2 F2c r2 O F2t 90 r1 v1 dL x Mx 0 dt dL y My 0 dt G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Calcolo del momento delle forze esterne quando L non è parallelo all’asse di rotazione • Supponiamo che il momento angolare sia costante in modulo z – Vuol dire che Mz=0, =costante • • Prendendo l’origine di L sull’asse di rotazione, la punta di L descrive una traiettoria circolare in un piano perpendicolare all’asse di rotazione. La variazione subita da L nell’intervallo dt è data da: • dL M dL Mdt dt Il suo modulo dL M dt • Dalla figura M L sen • d dL L costante dL Lsend dL Lsen dt L M 2 Affinché il momento angolare L preceda attorno all’asse di rotazione occorre applicare un momento delle forze, e quindi delle forze, la cui intensità è proporzionale al quadrato della velocità angolare. G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Manubrio asimmetrico • • • Riusciamo a capire il motivo dell’esistenza di questi momenti ? Facendo riferimento alla figura, osserviamo che per mantenere sulla traiettoria circolare i due punti materiali che formano il nostro manubrio occorre applicare a ciascun punto materiale una forza centripeta. Le due forze sono uguali in intensità ma di verso opposto e non sono allineate. z, asse di rotazione v2 R 2 – Formano una coppia di momento diverso di zero – Esse quindi non possono essere delle forze interne, come nel caso simmetrico, perché sappiamo che il momento risultante delle forze interne è nullo. F1c – Devono essere fornite dall’esterno. – Normalmente sono i vincoli a cui è affidato il compito di mantenere fisso l’asse di rotazione, che si occupano di esercitare delle forze che svolgono lo stesso ruolo delle forze centripete menzionate. – Naturalmente anche l’intensità di queste forze aumenta con l’aumentare della velocità angolare 2z 1z 1 F2c r2 O 90 r1 v1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Equilibratura • • • • • Poiché queste forze non hanno nessun altra funzione che quella di far precedere il momento angolare attorno all’asse di rotazione Per esempio non hanno alcuna influenza sulla velocità angolare Ma al tempo sottopongono a sforzi inutili tutta la struttura (l’asse di rotazione, i cuscinetti, etc) Si preferisce lavorare in modo che il momento angolare sia parallelo all’asse di rotazione (in cui tali forze non sono richieste) Questo si ottiene “equilibrando” il corpo rigido rispetto all’asse di rotazione (equilibrature delle gomme dell’automobile) z, asse di rotazione v2 v1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 • Un cilindro di massa 2 kg può ruotare attorno al proprio asse (longitudinale) passante per O. Nel piano della sezione rappresentata nella figura sono applicate quattro forze, aventi le intensità F e le distanze r dal centro riportate in tabella. Trovare l’intensità e il verso dell’accelerazione angolare del cilindro, ammettendo che, durante il moto, le forze mantengano la orientazione rispetto al cilindro. Applicaz ione F1 6.0N F2 4.0N F3 2.0N F4 5.0N R1 5.0cm R 2 12.0cm M z I • L’equazione del moto: I 1 1 MR2 2kg.12m2 0.0144kgm 2 2 2 F1 F2 Mz1 F1R 2 6N .12m 0.72Nm Mz2 F2 R2 4N .12m 0.48Nm F3 Mz3 F3R1 2N .05m 0.10Nm F4 Mz4 0 M z .72 0.48 0.10 .14Nm Mz .14Nm rad 9.7 I 0.0144kgm 2 s2 • L’accelerazione è diretta in verso antiorario G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 • Una riga di lunghezza L=1m, è messa in posizione verticale, appoggiata al pavimento e quindi lasciata cadere. Trovate la velocità dell’estremità superiore quando colpisce il pavimento, ammettendo che l’estremità inferiore non slitti • • • • Applicaz ione Possiamo considerare la riga come una sbarretta sottile. Il moto di caduta può essere immaginato come un moto di rotazione attorno ad un asse passante per il punto di contatto O. Le forze agenti sono la forza peso, la normale e la forza di attrito (statico) che mantiene fermo il punto di contatto. Possiamo applicare la conservazione dell’energia: E Wn c WN WFa 0 0 p erch è ap pl. p un to fermo Ei Ef K i Ui K f Uf U=0 L 1 0 mg I 2 0 2 2 L mgL 3g 2 1 2 1 I mL 2 L 2 3 P mg 3g L N Fa O 3g m v L L 3gL 5.42 L s G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 • Un corpo rigido è formato da tre asticelle sottili identiche di lunghezza L, unite tra loro in modo da assumere una forma ad H come mostrato in figura. L’insieme è libero di ruotare intorno ad una asse orizzontale fosso che coincide Applicaz con una delle gambe della H. Partendo da una posizione di riposo in cui il ione piano della H è orizzontale, il sistema è lasciato libero di cadere. Qual è la velocità angolare del corpo quando il piano della H arriva in posizione verticale? • • • Rv Proviamo ad applicare la conservazione dell’energia Le forze agenti sono il Peso e la reazione vincolare applicata dall’asse di rotazione: E Wn c P 0 WR v 0 p erch è ap pl. p un to fermo Asse di rotazione Ei Ef K i Ui K f Uf 0 MgL 2 1 2 L I Mg 2 2 L 2 MgL 1 I I 2 Mg M 3m • U=0 Dobbiamo calcolare il momento di inerzia dell’H rispetto all’asse di rotazione G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 • • Un corpo rigido è formato da tre asticelle sottili identiche di lunghezza L, unite tra loro in modo da assumere una forma ad H come mostrato in figura. L’insieme è libero di ruotare intorno ad una asse orizzontale fosso che coincide Applicaz con una delle gambe della H. Partendo da una posizione di riposo in cui il ione piano della H è orizzontale, il sistema è lasciato libero di cadere. Qual è la velocità angolare del corpo quando il piano della H arriva in posizione verticale? I I1 I 2 I3 I • I1 0 1 I 2 mL2 3 I 3 0 mL 2 I1 1 4 mL 2 mL2 mL 2 3 3 I3 La velocità angolare vale dunque: I2 2 MgL 3mgL 9g 4 I mL 2 4L 3 9g 4L G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto di puro rotolamento • Con questo moto si intende il moto caratteristico delle ruote – Quando un veicolo si muove, anche le ruote si muovono. – Naturalmente il moto delle ruote non è di pura traslazione – Né una semplice rotazione attorno ad un asse fisso – Può essere immaginato come un moto di rototraslazione • Qual è la peculiarità di questo moto? – I punti della ruota a contatto con l’asfalto sono fermi rispetto all’asfalto (non scorrono, non strisciano sull’asfalto) – Da qui il nome: rotolamento senza strisciamento (oppure puro rotolamento). • Consideriamo due istanti successivi t1 e t2. – Lo spostamento subito dal centro della ruota x è pari alla distanza tra i punti di contatto della ruota agli istanti t1 e t2. – Nello stesso tempo la ruota avrà subito anche uno rotazione e quindi uno spostamento angolare . • Se il moto è di puro rotolamento esiste una relazione tra questi due spostamenti: x R Condizione di puro rotolamento G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Le condizioni di puro rotolamento • Abbiamo stabilito che in condizioni di puro rotolamento vale la seguente relazione tra i moduli dello spostamento angolare e quello lineare. x R • Con il sistema di riferimento scelto osserviamo che se x è positivo, come in figura, allora è negativo (rotazione oraria) Tenendo conto dei segni la condizione di puro rotolamento diventa: x R • v x R • Dividendo per t, e valutando il limite per t che tende a zero: si ottiene: • La velocità lungo l’asse x del centro della ruota (CM) è uguale all’opposto del prodotto del raggio della ruota per la sua velocità angolare. ax R Con una seconda derivazione, si ottiene • • L’accelerazione lungo l’asse x del centro della ruota (CM) è uguale all’opposto del prodotto del raggio della ruota per la sua accelerazione angolare. • • Queste tre condizioni sono verificate contemporaneamente (dipendono l’una dall’altra) Esse vengono indicate come “condizioni di puro rotolamento” N.B.:Il segno meno presente nelle condizioni di puro rotolamento dipende dal sistema di riferimento usato. Una diversa scelta del SdR potrebbe chiedere tale segno 2002/03 G.M. non - Informatica B-Automazione • • • • • Ruolo della forza di attrito nel moto di puro rotolamento Nel moto di puro rotolamento il punto di contatto della ruota con l’asfalto è fermo rispetto all’asfalto. Il compito di mantenere fermo rispetto al piano di appoggio il punto (o i punti) di contatto è affidato alla forza di attrito Naturalmente si tratta di una forza di attrito statica proprio perché il punto di contatto non scivola sulla superficie di appoggio Senza attrito questo tipo di moto non è realizzabile (al massimo è possibile un moto uniforme: velocità del centro di massa costante e velocità angolare costante, non appena si vuole cambiare una delle due velocità e fare in modo che il moto continui ad essere di puro rotolamento è necessaria la presenza della forza di attrito) Naturalmente, poiché la forza di attrito statico è limitata superiormente, non sempre è garantito il moto di puro rotolamento. – Si pensi alle frenate brusche fatte con l’automobile in cui si bloccano le ruote che scivolano sull’asfalto – Oppure alle accelerazioni brusche in cui le ruote girano, ma slittano sull’asfalto e non producono l’avanzamento dell’automobile. – Occorre verificare caso per caso se la forza di attrito statico sia sufficiente per garantire il moto di puro rotolamento • Si osservi infine che la forza di attrito statico compie lavoro nullo (punto di applicazione fermo). (Lo stesso vale anche per la Normale). G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Interpretazione del moto di puro rotolamento • Pura rotazione attorno ad un asse perpendicolare alla figura passante per i punti di contatto. – L’asse di rotazione cambia continuamente (si parla di asse istantaneo di rotazione. – Comunque istante per istante il moto di ogni punto della ruota è uguale a quello che avrebbe se la ruota ruotasse attorno ad un asse fisso passante per i punti di contatto. • Sovrapposizione di un moto di traslazione – Moto del centro di massa più un moto di rotazione attorno ad un asse perpendicolare alla figura e passante per il centro di massa • • Il moto della ruota nel sistema del centro di massa è una rotazione attorno ad un asse fisso. La velocità angolare è la stessa di quella misurata nel sistema inerziale. G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 • • • Una forza orizzontale costante di 10 N è applicata a una ruota di massa M=10kg e raggio R=0.30 m, nel modo come indicato in figura. La ruota rotola senza strisciare sulla superficie orizzontale, e l’accelerazione del suo centro di massa è 0.60 m/s2. Quali sono l’intensità ed il verso della forza di attrito sulla ruota Qual è il momento di inerzia della ruota intorno all’asse di rotazione passante per il suo centro? Applic azione G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto di puro rotolamento di un cilindro • • Consideriamo un cilindro di massa M e raggio R che si può muovere su di un piano orizzontale sotto l’azione di una forza F applicata nel suo centro di massa. Le altre forze agenti sul cilindro sono – La forza peso applicata al centro di massa – La normale N applicata nel punto di contatto – La forza di attrito anch’essa applicata nel punto di contatto. • y F N Fas x P Sia la normale N che la forza di attrito statico sono distribuite su tutti i punti della generatrice del cilindro a contatto con il piano – Facendo ricorso a questioni di simmetria possiamo renderci conto che l’insieme di queste forze è equivalente ad un’unica forza applicata nel punto di mezzo del segmento costituito dai punti contatto tra cilindro e piano orizzontale – Nella figura le forze risultanti, sia per quanto riguarda la Normale che per la forza di attrito statico, sono state applicate proprio nel punto precedentemente determinato (esso si trova infatti sulla sezione del cilindro che contiene il centro di massa). • NB: in generale non si può stabilire a priori il verso della forza di attrito statico – Ragioni di simmetria ci dicono che deve essere parallela alla forza applicata F, però potrebbe andare verso destra o verso sinistra. • In figura abbiamo scelto a caso (quasi) uno dei due versi: se risolvendo il problema determiniamo un modulo negativo, non vuol dire che abbiamo raggiunto un risultato assurdo, solo che abbiamo sbagliato la scelta del verso che, pertanto, andrà corretta. G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Risoluzione del moto di rotolamento come pura rotazione attorno ai punti di contatto y M z I • L’equazione del moto è: • • • I è il momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione Mz è il momento assiale risultante delle forze applicate. Nel nostro caso: F P Mz FR Mz 0 N Mz 0 Fas Mz 0 • Steiner N Fas x P 1 3 MR2 MR 2 MR2 2 2 FR I Utilizzando la condizione di puro rotolamento a FR I x R • I I * Mh2 F FR 2 ax I NB:non abbiamo avuto alcuna informazione sulla forza di attrito. ax R FR 2 FR2 2F ax 3 I MR2 3M 2 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Risoluzione del moto di rotolamento come sovrapposizione del moto del centro di massa più una rotazione attorno al centro di massa • Dal teorema del centro di massa: F P N Fas Ma CM x F Fas Ma CM x y N Mg Ma CM y 0 • y F N Mg L’equazione del moto di rotazione attorno ad un asse fisso nel SdR del CM: M*z I* F N Fas Traslazione F Fas Ma CM x P Mz 0 Mz 0 Rotazione Fas R I a CM x R N Mz 0 * con dizion e di p uro ro tolamento a Fas I CM2 x R * F F I* Fas Mz FasR a CMx 2 Ma CMx a CMx R F F 2F ax 1 1 I* 2 MR M M 3M M 2 2 R M 2 2 R x P I* 1 MR2 2 Fas R I * F I* M 2 R a CM x 1 F 2 2F MR R2 2 3MR 2 3 F puro rotol. sN s Mg 3 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Fas I* Dove è finita l’energia N N F Fas • F P P ax Con attrito – Moto di puro rotolamento • • • ax Senza attrito – Pura traslazione F M Se la forza opera per un tratto x: v f vo 2ax x 2 v 2f • 2F 3M 2F 2 x 3M Solo i due terzi del quadrato della velocità del caso senza attrito Bisogna considerare anche l’energia cinetica del moto di rotazione K K f Ki 0 2 F x M 1 1 F 2 K K f Ki Mvf M2 x Fx WF 2 2 M 0 v 2f 2 1 1 1 11 1 2F 1 Mv2f I* 2f Mv2f MR 2 2f M2 x1 Fx WF 2 2 2 22 2 3M 2 2 vf 3 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 2 • • • • Una forza orizzontale costante di 10 N è applicata a una ruota di massa M=10kg e raggio R=0.30 m, nel modo come indicato in figura. La ruota rotola senza strisciare sulla superficie orizzontale, e l’accelerazione del suo centro di massa è 0.60 m/s2. Quali sono l’intensità ed il verso della forza di attrito sulla ruota Qual è il momento di inerzia della ruota intorno all’asse di rotazione passante per il suo centro? Applic azione Dal teorema del centro di massa: F P N Fas Ma CM x F Fas Ma CM x y N Mg Ma CM y 0 N y N Mg x Fas F Ma CMx 10 10 .60 4N • per la rotazione F P Mz 0 Mz 0 M*z I* N Mz 0 Fas Mz FasR F I* 1 MR2 2 Fas R I * R 2 Fas .32 4 .36 I 0.6kgm 2 a CM x 0.60 0.60 Fas P ax R Fas I* a CM x R2 * G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03