ITACOIN

Bologna, 28 Novembre 2008
Dipartimento di Scienze Statistiche
La costruzione di un indicatore
tempestivo dell’attività economica
italiana: ITACOIN
Dott.ssa Valentina Aprigliano
(Dottoranda in Statistica - Università La Sapienza di Roma)
Obiettivi

Costruire un indicatore che:



Migliora la stima real-time della componente
comune di medio-lungo periodo del tasso di
crescita del PIL;
Riassuma l’intera attività economica dell’Italia;
Rispetti le caratteristiche di:


Tempestività: importante per avere aggiornamenti in tempi
reali sulla dinamica dell’economia.
Smoothness.
2
Soluzione
STRUMENTO ATTUALE
PIL
SOLUZIONE PROPOSTA
ITACOIN
Rappresentativo
dell’attività
economica italiana
Incorpora rumore
Rappresentativo
dell’attività
economica italiana
Smooth
Rilevazione
trimestrale (ISTAT)
Aggiornamento
mensile
3
Problema
Per stimare il tasso di crescita di medio-lungo
periodo del PIL la soluzione più immediata è
applicare un filtro passa-banda al tasso di
crescita del PIL (Baxter, A., King R.G., 1999 e
Christiano L.J., Fitzgerald T.J., 2003).
Ma…
trattandosi di un filtro simmetrico, provoca
problemi nella stima real time (al tempo finale T).

4
Soluzione

Costruire un filtro che risolva il problema
della stima real-time

Applicarlo al tasso di crescita del PIL
5
Strumenti

Dominio delle frequenze;

Analisi fattoriale dinamica generalizzata
(Forni, M., Hallin, M., Lippi, M., Reichlin,
L., 2003, gruppo di ricerca del Center for
Economic Policy Research: CEPR);
6
Metodologia



Analisi spettrale: per lo studio dei segnali
economici nel dominio delle frequenze;
Modello fattoriale dinamico generalizzato;
Metodo New Eurocoin: applicazione ai dati
italiani del metodo elaborato dal gruppo di
ricerca del CEPR per la costruzione
dell’indicatore coincidente di attività economica
dell’Unione europea, (Altissimo, F., Cristadoro
R., Forni, M., Veronese, G., 2007).
7
Perché il dominio delle frequenze…
Le serie economiche hanno una struttura
oscillante e riproducono periodicamente lo
stesso comportamento a meno di
differenze casuali nell’ampiezza e nella
frequenza delle oscillazioni (Slutzky, E.,
1937).
8
Perché il dominio delle frequenze…
Consente di trattare anche la relazione
intertemporale fra le variabili, oltre che
quella cross-sezionale: si inserisce un
elemento di dinamicità;
 La scomposizione del segnale in
componenti di frequenza facilita la
separazione del dato strutturale (bassa
frequenza) dal rumore (alta frequenza).

9
Strumenti
ANALISI DI FOURIER
Teorema di Fourier:
“Well behaved periodic functions can be
expressed as a (possibly infinite) sum of sine
and cosine functions”.
10
Strumenti
Espansione di Fourier:
consente di rappresentare la funzione del
tempo f(t) rispetto alla base ordinata
ortogonale
B  (cos( nt ), sen(mt ); m, n  N )
Quindi:

f (t )   an cos( nt )  bn sen(nt )
n 0
11
Strumenti
Ovvero, utilizzando la formula di Eulero:

f (t )   An e
int
n 0
Con il coefficiente di Fourier:
1
An 
2


f (t )e int dt

12
Strumenti
L’analisi di Fourier può essere applicata a
Fenomeni deterministici
Fenomeni stocastici
13
Analisi spettrale
ANALISI SPETTRALE
Interpretazione statistica di caratteristiche
fisiche:
ENERGIA
VARIANZA
14
Strumenti nel tempo continuo
Definizione
 Funzione di densità spettrale (spettro non
normalizzato):
La funzione di densità spettrale ( h( )) è il contributo medio
alla potenza totale del processo che deriva dalle
componenti di frequenza appartenenti all’intervallo
infinitesimo ,   d  .

Spettro integrato non normalizzato:

H ( )   h( )d

15
Strumenti nel tempo continuo
TEOREMA
Sia X t tZ un processo stocastico
stazionario a media nulla e parametro t
continuo, con funzione di densità spettrale h( )
che esiste per ogni , e funzione di
autocovarianza R  .
Allora, h( ) è la trasformata di Fourier di R  :
1
h  
2

 i


R

e
d


16
Strumenti nel tempo continuo
TEOREMA
Rappresentazione spettrale del processo
stazionario a parametro t continuo X t 
tZ
(Wiener, 1930):

X t    e dZ  
it

Con Z   processo stocastico ad incrementi
ortogonali.
17
Strumenti nel tempo discreto

Trasformata discreta di Fourier:
dw j


1

N
N 1
 f t e
i 0
 i j t i
i
f ti , i  1,..., N
 j : j ima
segnale digitale al tempo t i ;
frequenza dell’intervallo discreto 0   j   N
18
Strumenti nel tempo discreto
 Matrice
di Fourier: matrice
NN
ortogonale, il cui generico elemento è
e

2
( j 1)( k 1)
N
 Matrice
di passaggio dal dominio del tempo al
dominio delle frequenze:
1
d  FN y
N
19
Strumenti nel tempo discreto
 Diagonalizza
la matrice circolante che
approssima la matrice di varianza/covarianza
R  :
SPETTRO
Insieme degli autovalori
di una matrice
Distribuzione dell’energia
di un segnale
per componenti di frequenza
20
STIMA DELLA MATRICE DI DENSITÀ
SPETTRALE

Periodogramma:
1 ( N 1) 
I N   
R ( ) cos( ),  0,1,...,( N  1)

2   ( N 1)
(1)
Ma…
La varianza dello stimatore è molto elevata, per la
presenza di troppe autocovarianze campionarie.
Soluzione…
Si limita la somma (1), applicando la lag window  ( )
( N 1)
1

i
h( ) 

(

)
R
(

)
e

2    ( N 1)
21
ANALISI FATTORIALE
Studio del ciclo economico
Burns-Mitchell (1946)
Stock-Watson (1989)
CRONOLOGIA
VARIABILI LATENTI
ANALISI FATTORIALE
22
ANALISI FATTORIALE DINAMICA

(Stock-Watson)
 Ogni
fattore comune evolve secondo un modello per i
processi stocastici;
 I fattori entrano nel modello a diversi lag temporali.

(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)
 Si
lavora nel dominio delle frequenze sulle matrici di
densità spettrale.
23
Modello fattoriale

Dato il processo vettoriale stazionario, a
media nulla con momenti secondi finiti:
x nt  ( xnt ,..., xnt )' si definisce il modello
fattoriale:
xit   it  it
 it  bi1 ( L) f1t  ...  biq ( L) f qt
A( L) f t  u t
24
Metodo di stima dei fattori

Definiti i fattori statici: F t  ( f t ' , f t 1 ' ,..., f t s ' )'
esistono due metodi di stima attraverso le
componenti principali:
 Componenti
principali statiche: attraverso gli
autovalori/autovettori della matrice di varianzacovarianza: Stock e Watson, 1998;
 Componenti principali dinamiche: attraverso gli
autovalori/autovettori della matrice di densità spettrale
(Brillinger, 1981): Forni, Hallin, Lippi, Reichlin,
2000.
25
Componenti principali
dinamiche:interpretazione fisica
(Brillinger, 1981).
 Si tratta di trasmettere un segnale X t ndimensionale attraverso q  n canali
disponobili.
 Si
trova l’approssimazione filtrata di
Xt
 (t )   b(t  u ) X (u )
u
 Si
ricostruisce il segnale originario:
X t*     c(t  u ) (u )   t
u
26
Componenti principali
dinamiche:interpretazione fisica
(Brillinger, 1989).
relazione fra X t e X t * è data dalla
funzione di trasferimento:
 La
A( )  C ( ) B( )
 Si
dimostra che la differenza fra i due segnali
è minimizzata ponendo B matrice dei primi q
autovettori della matrice di densità spettrale di
Xt
27
ANALISI FATTORIALE DINAMICA
GENERALIZZATA
(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)

Parte della correlazione fra le variabili è
spiegata dai fattori specifici.
Si costruiscono le componenti principali:
jT
T
Wnt  Z nj x nt , j  1,..., r
È l’autovettore generalizzato della matrice
n0T (n0T ) 1
28
ANALISI FATTORIALE DINAMICA
GENERALIZZATA
(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)

Two-sided estimation (2000):
della matrice spettrale  ( ) con la
finestra di Bartlett;
T

 Estrazione dell’autovalore nj ( ) e
dell’autovettore pnjT ( ) ;
 Si ottiene il filtro
T
n
 Stima
K ( )  ~p ( ) p ( )  ...  ~p ( ) p ( )
T
ni
T
n1,i
T
n1
T
nq,i
T
nq
K niT ( L) 
M
K
k  M
T
ni , k
Lk
1 2M T
ik h
K
(

)
e
 ni h 29
2 M  1 h 0
ANALISI FATTORIALE DINAMICA
GENERALIZZATA
(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin)
 Si
ottiene la componente comune:
 it ,n  proiez ( xit | span( pnj ( L) xnt , j  1,..., q, t  Z ))
Ovvero:
 it ,n  K ni ( L) xnt
30
Problema…
Si tratta di un filtro bilatero!
Soluzione…

One-sided estimation (2003):

Obiettivi:
 Pesare le variabili osservate contemporanee;
 Conservare la dinamicità.

Strumenti:
T
 Stimare con il “metodo dinamico” la n0
 Estrarre autovalori/autovettori dalla matrice


n 0 (n 0 )
1
31
Metodo dinamico

Si consideri l’esempio:
xit  ai ut  bi ut 1  it





bi  0, i  1,..., m

ai  0, i  m  1,..., n


Riallineo le variabili: yt  x1t ,..., xmt , xm 1,t 1 ,..., xn ,t 1 '
y
Costruisco la matrice di var/covar n0
, quindi estraggo
l’autovettore normalizzato c n
Ottengo il primo autovettore di  n ( ) come trasformata di
Fourier di c n
ˆ  ( )   ( ) ~
pn1 ( ) pn1 ( )
Stimo 
n
n1
Stima dinamica di

n0   eik ˆ n ( )d ( )

32
METODO EUROCOIN

È dato il modello fattoriale:
xit   it  it
 i,Ct

 itNC
C

Eurocoin si ottiene proiettando PIL,t sui fattori stimati
(dalle componenti principali dinamiche generalizzate).
Eurocoin è, quindi la componente comune del PIL che
giace sulle frequenze cicliche.
33
METODO EUROCOIN

Lo spazio su cui proiettare 
C
ottenere ̂ it è quello generato dalle
componenti principali contemporanee, ma
anche ritardate e anticipate di m lag:
C
it per

Z t  Wt ' m ,...,Wt ' ,...,Wt ' m

La stima è:

ˆ  RF F MF
C
t
'

1

'
F Xt
34
METODO EUROCOIN
 La
matrice
R
 La
matrice
F
contiene il


E  t X t' ;
è una matrice di matrici
diagonale. Le matrici della diagonale
contengono gli autovettori generalizzati;
 La
matrice
'
F MF è diagonale, con elementi
gli autovalori generalizzati.
35
METODO NEW-EUROCOIN
La costruzione di Itacoin

L’indicatore non è più la stima di una
variabile latente (non osservabile!), ma è
la stima della componente di medio-lungo
periodo del tasso di crescita del PIL.
CONSEGUENZA IMPORTANTE…
Esiste un target con cui confrontare Itacoin e
valutarne la prestazione.
36
Procedura

VARIABILE DI
RIFERIMENTO:
il tasso di crescita mensile
del PIL
yt  log zt  log zt 3
che filtrato diventa
approssimo
ct
ct   ( L) yt
FILTRO LOW-PASS IDEALE
con
ct*   ( L) yt*
 y ,1  t  T
yt*   t
ˆ , t  1, t  T
37
Procedura

DATI
DATI
CODICE
TRATTAMENTO
Indici dei prezzi al consumo
IT CPI-energy
ITOCP041F
(1-L)log
IT CPI-all items (harmonized)
ITEHARMF
"
IT CPI-harmonized
ITOCP049F
"
IT CPI
ITOCP009F
"
IT CPI-food
ITOCP019F
"
IT CPI-services
ITESCPSVF
"
IT CPI-services (less housing)
ITOCP064F
"
IT CPI (overall indexe exc. Energy,food,alcohol,tobacco)
ITESCPXFF
"
IT CPI-(less food,energy)
ITOCP042F
"
IT PPI-fabricated metal prod.(less machinery, equipment)
ITPPFMPXF
"
IT PPI-wood,wood prod.,cork (less furniture)
ITPPWWPXF
"
Indici dei prezzi alla produzione
38
IT PPI-manifacture of basic metals
ITESIP27F
"
IT PPI-chemicals and chemicals prod.
ITESIP24F
"
IT PPI-coke,refined petroleum prod., nuclear fuel
ITPPCRPNF
"
IT PPI-manifacture of electrical machinery,apparatus nec
ITESIP31F
"
IT PPI-food,beverages
ITESIP15F
"
IT PPI-pulp,paper,paper prod.
ITESIP21F
"
IT PPI-rubber,plastic prod.
ITESIP25F
"
IT PPI-textiles
ITESIP17F
"
IT PPI-wearing apparel
ITESIP18F
"
IT PPI-tanning,dressing
ITESIP19F
"
IT PPI-furniture manifacturing
ITPPMFURF
"
IT PPI-other non metallic mineral prod.
ITPPONMPF
"
IT PPI-manifacturing
ITESPPIMF
"
IT PPI-capital goods
ITESPPICF
"
IT PPI-durable consumer goods
ITESPPIDF
"
IT PPI-non durable consumer goods
ITESPPINF
"
IT PPI-industry (less construction)
ITESPPIIF
"
IT PPI-intermediate goods
ITESPPITF
"
39
Tassi di cambio
IT REAL EFFECTIVE EXCHANGE RATE VOLN
ITOCC011
(1-L)log
IT IP-investment goods
ITPINVTH
(1-L)log
IT IP-intermediate goods
ITIPINTMG
"
IT IP-consumer goods
ITIPCNGDG
"
IT IP-manifacture of basic metals
ITESPI27G
"
IT IP-manifacture of machinery and equipment (vola)
ITESPI29G
"
IT IP-manifacture of pulp,paper,paper prod. (vola)
ITESPI21G
"
IT IP-manifacturing (vola)
ITESMNPRG
"
IT IP-capital goods
ITESPIESH
"
IT IP-energy
ITIPENGYG
"
IT IP-(vola; less construction)
ITESINXCG
"
IT IO-capital goods (vola)
ITESN004G
(1-L)log
IT IO-consumer durable (vola)
ITESN006G
"
IT IO-manifacturing (vola)
ITESN003G
"
IT IO-total industry (vola; less construction and energy)
ITESN011G
"
IT NEW ORDERS TO MANIFACTURING
ITNEWORDF
"
Produzione industraile
Ordini industriali
40
Salari
IT CONTRACTUAL HOURLY WAGE:ALL WORKERS
ITWAGES.F
(1-L)log
IT HOURLY WAGE RATE:INDUSTRY
ITOLC007E
"
IT EMPLOYEES: LARGE FIRMS VOLN
ITEPLFS.H
(1-L)log
IT HOURS WORKED PER EMPLOYEE VOLN
ITEPHWE.H
"
ITESTUNPO
(1-L)log
ITOSP001F
(1-L)log
Occupazione
Disoccupazione
IT ENEMPLOYMENT
Finanza
IT SHARE PRICES-ISE MIB STORICO
Tassi di interesse
IT TREASURY BILL RATE
ITI60C..
(1-L)
IT MONEY MARKET RATE (Federal founds)
ITI60B..
"
IT GOVERNMENT BOND YIELD-Longterm
IT61..
"
IT GOVERNMENT BOND YIELD-medium term
IT61B..
"
IT PRIME (AB)"DEAD"-middle rate
ITPRIME
"
IT TREASURY BOND NET YIELD-SECONDARY MARKET
ITLNGYLD
"
41
Offerta di moneta
IT MONEY SUPPLY:M1 (Italian contribution to the euro area curn)
ITM1…A
(1-L)log
IT MONEY SUPPLY:M2 (Italian contribution to the euro area curn)
ITM2…A
"
IT MONEY SUPPLY:M3 (Italian contribution to the euro area curn)
ITM3…A
"
Industria
IT INDUSTRIAL TURNOVER
ITSALTOTF
(1-L)log
IT RETAIL SALES
ITRETTOTF
(1-L)log
IT SALES-consumer goods
ITSLCNGDF
"
IT SALES-domestic
ITSALDOME
"
IT SALES-foreign
ITSALFORE
"
IT SALES-intermediate goods
ITSLINVMF
"
IT SALES-investment goods
ITSLINVTF
"
IT NUMBER OF NEW CAR REGISTRATION
ITESCAR.G
"
IT RETAIL SURVEY-future busness situation
ITEUSREBQ
log(log(•))
IT RETAIL SURVEY-current business situation
ITEUSRPBQ
"
IT ECONOMIC SENTIMENT INDICATOR
ITEUSESIG
"
Indicatori di domanda
Sondaggi
42
IT CONSUMER CONFIDENCE INDICATOR
ITEUCCIQ
"
IT CONSUMER SURVEY-economic situation next 12 mth
ITEUSCEYQ
"
IT CONSUMER SURVEY-employment next 12 mth
ITEUSCUNQ
"
IT CONSUMER SURVEY-prices next 12 mth
ITEUSCPYQ
"
IT CONSUMER SURVEY-prices last 12 mth
ITEUSCPRQ
"
IT CONSUMER SURVEY-savings at present
ITEUSCSAQ
"
IT INDUSTRY SURVEY-prod. Expectation for mth. Ahead
ITEUSIPAQ
"
IT INDUSTRY SURVEY-stock of finished goods
ITEUSIFPQ
"
IT INDUSTRY SURVEY-order book position
ITEUSIOBQ
"
IT INDUSTRIAL CONFIDENCE INDICATOR
ITEUSICIQ
"
IT INDUSTRY SURVEY-expectation for mth. Ahead
ITEUSIEMQ
"
IT INDUSTRY SURVEY-export order book position
ITEUSIEBQ
"
IT INDUSTRY SURVEY-selling prices exp. Mth. Ahead
ITEUSISPQ
"
IT SERVICES SURVEY-evolution of demand exp. In mth. Ahead
ITEUSVEMQ
"
IT CONSTRUCTION CONFIDENCE INDICATOR
ITEUSBCIQ
"
IT CONSTRUCTION SURVEY-price exp.
ITEUSBPRQ
"
IT CONSTRUCTION SURVEY-order book position
ITEUSBOBQ
"
IT ISAE HOUSEHOLD CONFIDENCE INDEX (net of irregular components)
ITCNFCNIQ
"
IT ISAE BUSINESS SURVEY-selling price forecast
ITPRCEXPR
"
IT ISAE BUSINESS SURVEY-investment goods,order book forecast
ITINVFOBR
"
IT ISAE BUSINESS SURVEY-foreign order assessment
ITFORORDR
"
IT ISAE BUSINESS SURVEY-domestic orders assessment
ITDOMORDR
"
43
Commercio con l'estero
IT EXPORT FOB
ITEXPORTA
(1-L)log
IT EXPORT VOLUME INDEX
ITEXPVOLH
"
IT IMPORTS CIF
ITIMPORTA
"
IT IMPORTS VOLUME INDEX
ITIMPVOLH
log(log(•))
IT COMPOSITE LEADING INDICATOR-prod. Future tendency
ITOL0372Q
log(log(•))
IT COMPOSITE LEADING INDICATOR-prod. Future tendency
ITOL0376Q
"
Composite leading indicator
PIL
GDP-SA
GDPIT
(1-L)log
44
Procedura

TARGET
*
La variabile ct è una stima di ct :
 buona all’interno del campione;
 meno buona a fine serie: al tempo T.
45
Procedura

TARGET
stima
confronto
T
T+h
Itacoin
c*t
*
ct costituisce il target con cui confrontare Itacoin al
tempo T  h !
46
Procedura

COSTRUZIONE DEI REGRESSORI:

Duplice sintesi:


Si estraggono le componenti comuni delle variabili del
dataset;
Si estraggono le sole componenti comuni che
giacciono sulle frequenze cicliche.
1.
Stimo la matrice di densità spettrale:
1
ˆ x ( j ) 
2
2.
M
Wk ˆ x (k )e
 i j k
k  M
Estraggo i primi q autovettori/valori e costruisco:
ˆ   U ( )( )U~( )
47
Procedura

COSTRUZIONE DEI REGRESSORI:
3.
Applico la trasformata discreta inversa di Fourier:
4.
Seleziono, in particolare, le frequenze basse: calcolo la media di
sull’intervallo   ,   : ottengo ̂
J
2

ˆ  
ˆ  ( j )

2 J  1 j  J

5.
6 6 
ˆ  ( )


Estraggo gli autovettori/valori generalizzati dalla coppia di matrici
ˆ , 
ˆ x con cui costruisco i regressori: le componenti principali

generalizzate (stime consistenti dei fattori comuni).


48
Procedura

COSTRUZIONE DI ITACOIN
Indicato con w lo spazio vettoriale delle componenti principali
generalizzate, Itacoin (al tempo T, real-time) si ottiene
proiettando cT su w:


1
P cT | wT    cww wT
PROBLEMA…
Al tempo T non ho il valore di
una procedura particolare…
cT , quindi per calcolare cw
bisogna usare
49
Procedura
 Costruzione

di cw
Stimo la matrice di varianza/covarianza fra yt , wt
ˆ yw (k )   y3l 1w3' l 1 k /  T  k  / 3  1 
l

Quindi stimo la matrice di densità spettrale
applicando la finestra di Bartlett, e
ˆ cw ( j )
“tagliandola” sulle alte frequenze: 

Infine, applicando la trasformazione inversa di
Fourier ottengo la matrice cw :
J
2

ˆ cw 
ˆ yw ( j )

2 J  1 j  J
50
Itacoin
Fig. 1: Itacoin (linea blu) a confronto con il suo target (linea verde).
Elaborazioni MATLAB, versione 7.6
51
Itacoin: coerenza
Fig. 2: Misura di coerenza fra Itacoin e il target
Elaborazioni MATLAB, versione 7.6
c.t
52
LE ULTIME SU EUROCOIN
53
54
55