Scrivere l`equazione della conservazione dell`energia meccanica

•
Si consideri un punto materiale
– posto ad un altezza h dal suolo,
– posto su un piano inclinato liscio di altezza h,
– attaccato ad un filo di lunghezza h il cui altro estremo è attaccato ad un soffitto che
dista h dal suolo: quando il filo si trova in posizione verticale, il corpo sfiora il
pavimento,
– posto su una guida liscia di forma qualsiasi di altezza h
•
•
Appli
cazio
ne
In tutti e quattro i casi, inizialmente il corpo si trova ad altezza h, e viene
abbandonato con velocità nulla da questa posizione
Determinare la velocità con cui il corpo raggiunge il pavimento.
h
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•
Nel primo caso
– Agisce solo la forza peso (che è conservativa)
– Posso applicare la conservazione dell’energia
h
Appli
cazio
ne
E  0  Ei  Ef
K i  Ui  K f  Uf
Ki  0
U i  mgh
K f  12 mv 2f
Uf  0
Abbiamo scelto il pavimento come
punto di riferimento ed assegnato
al pavimento energia potenziale
nulla
0  mgh  12 mv 2f  0
v f  2gh
L’energia potenziale iniziale viene
trasformata in energia cinetica
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•
Appli
cazio
ne
Nel secondo caso agiscono
– Sia la forza peso, che è conservativa,
– E la reazione vincolare del piano inclinato,
• Solo la componente normale, perché per ipotesi il piano è liscio
•
Possiamo applicare la relazione lavoro energia:
E  Wnc
N
h
 Wnc  WN
La normale è perpendicolare allo
spostamento: quindi il suo lavoro è nullo
P
E  Wnc  0  E i  Ef
Si ritorna la caso precedente
0  mgh 
1
2
mv 2f
0
K i  Ui  K f  Uf
v f  2gh
Ki  0
U i  mgh
K f  12 mv 2f
Uf  0
La velocità finale è la stessa del caso precedente
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•
Appli
cazio
ne
Nel terzo caso agiscono
– Sia la forza peso, che è conservativa,
– E la tensione nella corda.
•
h
Possiamo applicare la relazione lavoro energia:
T
E  Wn c  Wn c  WT
dWT  T  dr  0
dr
perchè Tdr
P
Il lavoro infinitesimo fatto dalla tensione
E  Wnc  0  E i  Ef
T è nullo, ma anche il lavoro complessivo
Si ritorna la caso precedente
K i  Ui  K f  Uf
Ki  0
U i  mgh
K f  12 mv 2f
0  mgh  12 mv 2f  0
v f  2gh
Uf  0
La velocità finale è la stessa del caso precedente
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•
Appli
cazio
ne
Nell’ultimo caso agiscono
– Sia la forza peso, che è conservativa,
– E la reazione vincolare della guida,
• Solo la componente normale, perché per ipotesi la guida è liscia
•
Possiamo applicare la relazione lavoro energia:
E  Wnc
 Wnc  WN
dWN  N  dr  0
N
h
perchè Ndr
dr
P
Il lavoro infinitesimo fatto dalla Normale
N è nullo, ma anche il lavoro complessivo
E  Wnc  0  E i  Ef
K i  Ui  K f  Uf
Si ritorna la caso precedente
0  mgh  12 mv 2f  0
v f  2gh
Ki  0
U i  mgh
K f  12 mv 2f
Uf  0
Conclusione: la velocità finale è sempre la
stessa in tutti e quattro i casi esaminati.
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Consigli sull’uso della conservazione
dell’energia nella risoluzione dei problemi
• Utilizzare la conservazione dell’energia ogni volta che è possibile
(quando non è richiesto di determinare intervalli di tempo o trovare
funzioni del tempo (legge oraria))
– L’approccio energetico è più semplice della seconda legge della dinamica:
• la conservazione dell’energia è un’equazione scalare mentre le seconda legge
di Newton è vettoriale corrispondente a ben tre equazioni scalari
• la seconda legge di Newton è un’equazione differenziale del secondo ordine,
la conservazione dell’energia è solo del primo ordine.
• Introdurre un sistema di riferimento inerziale
• Individuare tutte le forze agenti sul punto materiale o sui punti
materiali
– Ricercare i corpi dell’ambiente circostante che possono esercitare
forze
• Tener presente che alcune forze agiscono a distanza
• Altre agiscono per contatto
– Attenzione ai corpi a contatto
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Consigli sull’uso della conservazione
dell’energia nella risoluzione dei problemi
• Separare le forze tra forze conservative e forze non conservative.
• le forze conservative
– Forza peso
Ux, y, z  mgy  mgh
– Forza elastica
U(x, y,z) 
1 2
kx
2
Ux, y, z  
– Forza di gravitazione universale
– Forza di Coulomb
h = quota
Ux, y, z 
GmM
r
1 q1q 2
4 o r
• Tutte le altre forze vanno considerate non conservative
• Scrivere l’equazione della conservazione dell’energia meccanica
totale.
–
–
E = 0 se tutte le forze sono conservative
E = Wnc se non tutte le forze sono conservative
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Consigli sull’uso della conservazione
dell’energia nella risoluzione dei problemi
• Scegliere l’istante iniziale e quello finale tra cui valutare la
conservazione dell’energia
– Ottimizzate i calcoli e la precisione del risultato
– Partite sempre istanti iniziali e finali i cui dati sono derivabili dalla traccia.
• Valutare il lavoro delle forze non conservative (se presenti)
–
–
–
–
La forza di attrito statico non fa lavoro
La forza di attrito dinamico fa sempre un lavoro negativo
La Normale compie lavoro nullo perché perpendicolare allo spostamento
La tensione nelle corde con uno dei capi fissi compie lavoro nullo (caso
del pendolo)
– Il lavoro complessivo delle tensioni ai due capi di una corda ideale è nullo
• Ad un capo la forza e lo spostamento sono concordi (lavoro positivo)
• All’altro capo sono discordi (lavoro negativo)
• Nelle corde ideali le forze ai due capi della corda sono uguali così come gli
spostamenti dei due capi.
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Consigli sull’uso della conservazione
dell’energia nella risoluzione dei problemi
• Valutare l’energia cinetica e potenziali negli stati selezionati come
iniziale e finale.
– Per calcolare l’energia potenziale occorre fissare il punto di riferimento
(arbitrariamente) a cui assegnare un valore arbitrario dell’energia
potenziale (solitamente il valore zero).
– Mi raccomando: il punto di riferimento e il valore arbitrario assegnato
all’energia potenziale del punto di riferimento deve essere lo stesso sia nel
calcolo delle quantità iniziali che per quelle finali.
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L’integrale primo del moto
• La legge di conservazione dell’energia può anche essere usata per
determinare la legge oraria quando le forze agenti sono conservative.
• Con un certo numero di vantaggi sulla seconda legge della dinamica
– Equazione scalare e non vettoriale
– Equazione differenziale del primo ordine e non del secondo
• Come si fa?
– Consideriamo un moto unidimensionale: l’energia potenziale sarà solo
funzione di x, U(x).
E  K  U(x)  cos tan te
E  12 mv 2x  U(x)
2E  U(x)
vx  
m
dx
2E  U(x)

dt
m
Che può essere integrata
separando le variabili
E è una costante
dx
 dt
2E  U(x)

m
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Il diagramma dell’energia
L’energia meccanica
totale
dell’oscillatore armonico
La normale N e la forza
peso non fanno lavoro
1 2
U  kx
2
K<0
K<0
Punti di inversione del moto
Felx dx  dU Felx
dU

dx
Punto di equilibrio stabile
N
Fel
P
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La determinazione della forza
dall’energia potenziale
• Nota l’espressione dell’energia potenziale possiamo determinare la
forza (direzione verso ed intensità)
• Superfici equipotenziali
– Sono il luogo dei punti in cui l’energia potenziale assume lo stesso valore
• Forza peso: piani orizzontali (h=cost)
• Forza elastica: piani perpendicolari all’asse x (x=cost)
• Forza di gravitazione universale e forza di Coulomb: superfici sferiche con
centro nell’origine della forza.
• La forza è perpendicolare alle superfici equipotenziale
– Consideriamo un qualsiasi spostamento infinitesimo su una superficie
equipotenziale (dr tangente alla superficie).
– Poiché la superficie è equipotenziale dU=0
dU  dW  F dr  0  Fdr
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La determinazione della forza
dall’energia potenziale
• Per uno spostamento che avviene lungo l’asse x:
dU
dU  dW   Fx dx  Fx  
dx
• Per uno spostamento che avviene lungo l’asse y:
dU
dU  dW   Fy dy  Fy  
dy
• Per uno spostamento che avviene lungo l’asse z:
dU  dW   Fz dz  Fz  
dU
dz
dU
dU
dU
F   gradU  
i
j
k
dx
dy
dz
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Il diagramma dell’energia
Punti di equilibrio instabile
Punti di equilibrio stabile
equilibrio indifferente
dU
Fx  
dx
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