settimana_4

L’accelerazione riferita alla traiettoria
•
•
Partendo dalla velocità riferita alla traiettoria
Ci calcoliamo l’accelerazione
v = vut
dv d(vu t )
a=
=
dt
dt
d( vut ) dv
du t
a=
= ut + v
dt
dt
dt
Accelerazione
tangenziale
fa cambiare il modulo
della velocità
?
Per valutare la seconda componente studiamo un moto in cui varia la
direzione della velocità ma non il suo modulo: il moto circolare uniforme
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Il moto circolare
• Il punto P percorre una traiettoria circolare
r = costante
Asse y
y
O
• Il modulo di r è costante.
r
x
q
Ds
x = r cosq
y = r senq
Asse x
Ds = r q
v = rw
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Moto circolare uniforme
•
La traiettoria è una circonferenza ed il modulo della velocità è costante.
Asse y
v(t+Dt)
v(t)
r(t+ Dt)
DQ
O
•
Dv
r(t)
v(t)
v(t+Dt)
DQ
Sono
uguali
Asse x
Come appare dal disegno la velocità (come vettore) non è costante.
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Accelerazione nel moto circolare uniforme
•
L’accelerazione media nell’intervallo Dt è:
Dv
am =
Dt
•
Vettore che
ha la direzione ed il
verso di Dv. (Dt >0)
Dv
v(t)
v(t+Dt)
DQ
L’accelerazione all’istante di tempo t si ottiene facendo il limite
dell’accelerazione media per Dt che tende a zero.
Dv dv
a = lim Dt® 0
=
Dt dt t
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Accelerazione nel moto circolare uniforme
Dv
v(t)
v(t+Dt)
•
Direzione e verso
DQ
– Quando Dt tende a zero anche DQ tende a zero
– Poiché la somma degli angoli interni in un triangolo è sempre 180, se DQ tende a
zero, gli angoli alla base tendono a 90°. (Il triangolo è isoscele)
– L’accelerazione è perpendicolare a v(t)
– Poiché v(t) è tangente alla circonferenza, l’accelerazione è radiale diretta verso il
centro (accelerazione centripeta)
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Accelerazione nel moto circolare uniforme
•
modulo
Asse y
Ds
r(t+ Dt) Dr
DQ
r(t)
O
a = lim Dt ®0
Dv
Dt
a = lim Dt ®0
Dv
v(t)
v(t+Dt)
DQ
Asse x
Poiché i due triangoli isoscele
della figura sono simili (hanno
lo stesso angolo al vertice)
Dv Dr
=
v
r
Dv
v Dr
v Ds v 2
= lim Dt ®0
= lim Dt ® 0
=
Dt
r Dt
r Dt
r
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Accelerazione nel moto su traiettoria non
rettilinea
•
Abbiamo trovato che nel moto circolare uniforme (velocità costante in modulo) c’è solo
l’accelerazione centripeta.
•
Se il modulo della velocità non è costante ci sarà:
– L’accelerazione normale (centripeta) an
• responsabile del cambiamento della direzione della velocità
– L’accelerazione tangenziale at
•
• responsabile del cambiamento del modulo
Ogni volta che un punto materiale si muove su una traiettoria curva (la velocità cambia
direzione) c’è un’accelerazione centripeta,
a = a t + a n = a t ut + a n u n
v2
an =
r
un
r = raggio di curvatura della traiettoria
versore normale, direttor verso il centro
di curvatura della traiettoria
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Problema
•
Un’automobile di 1000 Kg affronta una
curva avente un raggio di 40 m alla velocità
di 36 km/h. Determinare il valore
dell’accelerazione centripeta.
36
km
1000m
m
= 36
= 10
h
3600s
s
v
a
v2 100
a=
=
= 2, 5 m 2
s
r
40
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Il moto circolare uniforme ed il moto
armonico
v2
a = - ur
r
v = rw
w2 r 2
a=u r = -w 2 rur = -w 2 r
r
Asse y
a = -w r
2
y
O
a
r
q
x
Ds
a y = -w 2 y
Asse x
d 2x
2
=
-w
x
2
dt
dq
= w Þ q(t) = q o + wt
dt
j
a x = -w 2 x
d2y
2
=
-w
y
2
dt
x = r cosq = r cos(wt + j )
y = r senq = r sen(wt + j )
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La lancetta dei minuti di un orologio misura 12.0 cm dal suo perno all’estremità
libera. Qual è lo spostamento della sua estremità
A)
da 15 a 30 minuti
B)
nella successiva mezzora
C)
nella successiva ora
D)
calcolare la velocità angolare media ed istantanea
E)
calcolare la velocità media nel caso A
F)
il modulo della velocità istantanea e dell’accelerazione.
r1 = i
r3 = j
r2 = - j
D r1 = r2 - r1 = - j - i
D r2 = r3 - r2 = j - (- j) = 2 j
modulo = 2
D r3 = r3 - r3 = 0
modulo = 2
modulo = 0
wm =
p
2
15 ´ 60
w = wm
= 1.74 ´ 10 -3
Applic
azione
rad
s
m
s
Dr - j - i
-2
-8 m
v1 = 1 =
a = w 2 =1.74 2 ´ 10-6 rad
´12
´
10
m
=
36.33
´
10
s
Dt
Dt
s2
2
1.41 ´ 12 ´ 10 -2
m
modulo =
=
= 0.0188 ´ 10 -2
Dt
15 ´ 60
s
v = w = 1.74 ´10 -3
rad
s
´ 12 ´10 -2 m = 20.88 ´ 10 -5
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Il treno veloce francese, TGV, compie viaggi ad una velocità media di 216 Km/h. Se
abborda una curva a questa velocità e la massima accelerazione centripeta accettabile
dai passeggeri è 0.050g, qual è il minimo raggio ammissibile per le curve dei binari.
Se una curva ha un raggio di 1.00 km, a quale valore deve essere ridotta la velocità
per rispettare il limite di accelerazione consentito?
Applic
azione
km
10 3 m
m
216
= 216
= 60
h
3600s
s
v
v
(
)
£ 0.050g Þ R ³
=
= 7.4km
m
R
0.050g 0.050 ´ 9.81 2
2
m 2
60 s
2
s
v2
£ 0.050g Þ v2 £ 0.050gR = 0.050 ´ 9.81´ 1000 = 490( ms )
R
-3 km
3600-1 h
v £ 22.1 ms = 22.1 10
2
= 79.7 km
h
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Una ruota panoramica di un luna park ha un raggio di 15 m e compie ogni minuto
cinque giri attorno al proprio asse orizzontale
Qual è il periodo di rotazione?
A quale accelerazione centripeta è sottoposto un passeggero nel punto più alto?
E nel punto più basso?
Applic
azione
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria
rettilinea parallela all’asse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che
all’istante iniziale il punto materiale si trovi sull’asse x, ossia con y =0.
Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche
l’angolo formato dal vettore posizione r(t) con l’asse delle x : determinare la velocità
angolare in funzione del tempo.
Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella
trasversa.
Considerando le condizioni iniziali, la legge oraria diventa:
y
y = vot
Ma la coordinata y è anche data da:
Applic
azione
v
y = atanq
r
q
La velocità a sua voltà sarà data da:
a
x
d(tan q )
d(tan q ) dq
dy d( atan q )
a
vo =
=
=a
=a
=
w
2
dt
dt
dt
dq dt cos q
Possiamo ricavare la velocità angolare:
v o cos2 q
w=
a G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria
rettilinea parallela all’asse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che
all’istante iniziale il punto materiale si trovi sull’asse x, ossia con y =0.
Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche
l’angolo formato dal vettore posizione r(t) con l’asse delle x : determinare la velocità
angolare in funzione del tempo.
Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella
trasversa.
y
Esprimendo il cosq in funzione di a e di y si ottiene:
a2
vo 2
2
v o cos q
a
a + v o2 t 2
w=
=
= vo 2
a
a
a + v o2 t 2
v
r
q
a
Il vettore posizione si può esprimere:
r = ai + v o tj
Il suo versore vale:
ur =
a
a +v t
2
2 2
o
i+
Applic
azione
v ot
a +v t
2
2 2
o
x
j
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Cambiamento del Sistema di Riferimento
•
Il moto dipende dal sistema di riferimento dal quale viene osservato:
– Un viaggiatore seduto sul sedile di una carrozza ferroviaria non si muove rispetto al
vagone
– Se osservato dal marciapiede della stazione, egli invece percorre diversi metri al
secondo.
– Il viaggiatore, se lascia cadere un oggetto nel vagone, descriverà il moto come un
moto rettilineo (uniformemente accelerato)
– Lo stesso moto apparirà parabolico (moto del proiettile) ad un osservatore sul
marciapiede della stazione.
•
Come si fa a trasformare le grandezze
cinematiche, posizione , velocità,
accelerazione da un sistema di riferimento
ad un altro?
P
z
z'
r
O
y'
r'
O
O'
¾
¾®
r = r' + OO'
O
y
x'
x
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Sistemi di riferimento in moto traslatorio
trasformazioni della posizione
y'
y
Studieremo il caso molto particolare in cui gli assi del
sistema O’x’y’z’ sono costantemente paralleli a quelli
corrispondenti nel sistema Oxyz e l’origine O’ del
secondo sistema si muove sull’asse delle x.
r
O
z
z
r'
O'
xºx'
z'
¾
¾®
r = r' + OO'
r = x i + y j + zk
x = x' +x o'
r' = x' i ' + y' j' +z' k' = x' i + y' j + z' k Û y = y'
®
z = z'
OO' = xO' i
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Sistemi di riferimento in moto traslatorio
trasformazioni della velocità
dr d (x i + y j + zk) dx
dy
dz
v=
=
=
i+
j+ k
dt
dt
dt
dt
dt
dr' d( x' i' +y' j' +z' k' ) dx'
dy'
dz'
v' =
=
=
i+
j+
k
dt
dt
dt
dt
dt
y'
y
r
O
z
z
r'
O'
xºx'
z'
d OO' d ( xO' i ) dxO'
=
=
=
i
dt
dt
dt
®
v O'
®
æ
®
d è r' + OO' öø
dr
dr' d OO' d r'
v=
=
=
+
=
+ v O'
dt
dt
dt
dt
dt
v = v' + v O'
v x = v' x' + vxO'
Û v y = v' y'
vz = v' z'
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Sistemi di riferimento in moto traslatorio
trasformazioni dell’accelerazione
dv d(v' +vO' ) dv' dvO' dv'
a=
=
=
+
=
+ a O'
dt
dt
dt
dt
dt
a = a' + a O'
y'
y
r
a x = a' x' +a xO'
a y = a' y'
O
z
z
a z = a' z'
r'
O'
xºx'
z'
Solo se ao=0 l’accelerazione nei due sistemi di riferimento
è la stessa!
= a'a+ a=O'a'
a O' = 0 aÞ
a x = a' x' +a xO'
a y = a' y'
a z = a' z'
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Trasformazioni di Galilei
y'
y
Se O’ si muove lungo l’asse x con velocità costante
e O’ coincide con O a t=0:
r
x = x' + vxO' t
y = y'
z = z'
v x = v' x' +v xO'
v y = v' y'
v z = v' z'
a x = a' x'
a y = a' y'
a z = a' z'
O
¾
¾®
r = r' + OO'
z
z
r'
O'
xºx'
z'
v = v' +v O'
a = a'
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
La neve sta cadendo verticalmente ad una velocità costante di 8 m/s. A
quale angolo rispetto alla verticale sembrano cadere i fiocchi di neve per
il guidatore di un auto che viaggia a 50 km/h?
•
•
•
Applicazi
one
Consideriamo il sistema di riferimento Oxyz fermo rispetto al suolo co n l’asse x
diretto lungo la strada e il sistema O’x’y’z’ fermo rispetto al guidatore.
il sistema O’x’y’z’ si muove con velocità costante rispetto al sistema Oxyz
Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei:
v = v' +v O'
y
km
1000m
50
= 50
= 13,9m / s
h
3600s
y’
v
v O'
•
La velocità dei ficchi di neve rispetto alla macchina
(sistema O’x’y’z’ ) sarà:
v' = v - vO'
- vO'
v'
q
v
O
tan q =
O’
x’
x
v a 13.9
=
= 1.737
v
8.0
q = 60°
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Un fiume largo 200 m ha una corrente che scende a velocità uniforme di
1.1 m/s verso est attraverso al giungla.
Un esploratore vuole lasciare la sua radura posta sulla sponda sud per
raggiungere la riva nord con la sua barca a motore capace di navigare a
velocità costante di 4.0 m/s rispetto all’acqua.
Sulla riva nord c’è un’altra radura situata a 82 m più a monte rispetto al
punto posto di fronte alla posizione iniziale dell’esploratore.
In quale direzione occorre puntare la barca per raggiungere la radura sulla
sponda opposta con una traversata in linea retta?
Quanto dura questa traversata?
Applicazi
one
y
v = v' +v O'
v' cosq' = v cosq
v' senq' = vsen q + vo'
cosq =
senq =
v
v O'
v'
200
= 0.925
2
2
200 + 82
82
= 0.379
2
2
200 + 82
v
v O'
x
O
tan q' =
vsenq + vo'
v cosq
v' = v + 2vv o' senq +
2
2
q' = 37°
2
vo'
v = 3.38 ms
G.M. - Edile-Architettura 2004