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Urti e forze impulsive
“Urto”: interazione che avviene in un tempo t molto breve (al limite infinitesimo)
tra corpi che esercitano mutuamente forze molto intense (“impulsive”) tali da causare
Variazioni finite della quantità di moto dei corpi stessi nel tempo infinitesimo
dell’interazione.
Nella trattazione degli urti (limitatamente al tempo dell’urto) le forze non impulsive
(es.: forza peso, attriti, qualsiasi forza la cui intensità rimane finita nel tempo dell’urto)
sono trascurabili: esse esercitano un impulso nullo durante il tempo infinitesimo
dell’urto, e quindi è nullo il loro contributo alla variazione della quantità di moto
totale del sistema di corpi che si urtano.
In generale, tra l’istante finale ed iniziale di un urto:
impulso della
risultante delle
quantità di moto totale del sistema
forze esterne

t t
f





dP
agenti sul sistema
P  Pf  Pi  
dt   R ( E ) (t ) dt  I ( E )
i
i

LO 
f

i

dLO
dt 
dt
dt
ti
t i t


M
(E)
(t ) dt
ti
momento angolare totale del sistema
U.Gasparini, Fisica I
impulso del
momento delle
forze esterne
1
Teoremi di conservazione
Se il sistema è isolato oppure su di esso non agiscono forze esterne impulsive :
(E)
(I
 0)
Esempio: urto
tra due punti
materiali

P  0
la quantità di moto totale del sistema si conserva
pf1
pf2
pi1
m1g



Pf  p f 1  p f 2 



 Pi  pi1  pi2 
pi2
m2g
forza esterna non impulsiva
Se il sistema è isolato oppure su di esso non agiscono forze esterne impulsive
oppure agiscono forze esterne impulsive con momento nullo rispetto ad un polo O :
 (E)
(M
 0)

LO  0
il momento angolare totale si conserva
Esempio: urto tra un punto materiale m
ed un asta vincolata (di massa M)
LOi = ri mvi
( vettore uscente
dal piano del foglio)
U.Gasparini, Fisica I
ri
m
M
vincolo (sviluppa una forza in O
impulsiva)
O
rf
LOf = rf mvf + Lasta
mvi



Pi  mvi  Pf
mvf


LO f  LOi


 mv f  MvCM
2
Urto elastico ed anelastico
“Urto elastico”  urto nel quale l’energia cinetica totale si vconserva :
E k f  E ki
( il lavoro compiuto dalle forze interne al sistema è nullo:
l’energia potenziale delle forze interne non varia tra prima e dopo l’urto
 non vi sono state nell’urto deformazioni permanenti della struttura interna dei
corpi che hanno interagito )
“Urto anelastico” : si ha una perdita di energia cinetica
E k f  E ki
( le forze interne al sistema compiono un lavoro:
i corpi rimangono permanentemente deformati con un aumento
della loro energia potenziale interna e/o della loro temperatura )
Se due corpi rimangono attaccati a seguito dell’urto, si ha
un “urto completamente anelastico”, nel quale la perdita di energia cinetica è massima
U.Gasparini, Fisica I
3
Urto elastico unidimensionale

Esempio: urto tra due punti materiali
i


p1
Pi  Pf
E ki
E
k
f

p1f


Pi  p1i  p2i

 m1v1i
i

p2
 m2 v2i
f


P  p1f  p2f



 m1v1f
p2f  m2 v2f
m1v1i  m2 v2i  m1v1 f  m2 v2 f
1
1
1
1
m1v12i 
m2 v22i 
m1v12f 
m2 v22 f
2
2
2
2
m1 (v1i  v1 f )  m2 (v2 f  v2i )
m1 ( v12i  v12f )  m2 ( v22 f  v22i )
v1i  v1 f  v2 f  v2i
v2 f  v1i  v1 f  v2i
m1 (v1i  v1 f )  m2 (v2 f  v2i )  m2 (v1i  v1 f  2v2i )
v1i (m1  m2 )  v1 f (m1  m2 )  2m2 v2i
v1 f
 v1i
v2 f

e analogamente:
U.Gasparini, Fisica I
( m1  m2 )
2m2

v 2i
( m1  m2 )
( m1  m2 )
2m1
( m2  m1 )
v1i 
v 2i
( m1  m2 )
( m1  m2 )
Urto elastico unidimensionale nel sistema del CM:



P'i  p'1i  p' 2i  0
E ' ki  E ' k f
p' 2f




p'1i  m1v '1i  p'i  m2 v ' 2i
p' 2f
p'i2
p'i2



2m1
2m2
2m1
2m2

P'
f


 p'1 f  p' 2
f
 0




p'1 f  m1v '1 f  p' f  m2 v ' 2 f
 1
1 
1 
2  1
p'i2 


  p' f 

m2 
m2 
 m1
 m1
p' f  m1v'1 f   p'i  m1v'1i
v'1 f  v'1i
v' 2 f  v' 2i
e analogamente :
nel sistema del CM le velocità restano invariate in modulo, invertendo la loro direzione
Dalle trasformazioni delle velocità (moti relativi):
v1 f  v'1 f vCM  v'1i vCM  (v1i  vCM )  vCM  v1i  2vCM
v1 f   v1i  2
U.Gasparini, Fisica I
m1v1i  m2 v2i
( m1  m2 )
2m2
 v1i

v 2i
m1  m2
( m1  m2 )
( m1  m2 )
come già trovato.
5
Urto elastico unidimensionale : esempi
In un urto elastico
unidimensionale:
v1 f  v1i
v2 f 
(m1  m2 )
2m2

v 2i
( m1  m2 )
( m1  m2 )
2m1
( m2  m1 )
v1i 
v 2i
( m1  m2 )
( m1  m2 )
Alcuni casi particolari :
i)
m1  m2
v1 f  v2i
“scambio delle velocità”:
v2 f  v1i
ii)
m1  m2
v1 f
 v1i
v2 f  2v1i  v2i
il corpo 1 (di massa maggiore) mantiene pressochè invariata la sua velocità,
il corpo 2 rimbalza indietro
(es.: urto contro un ostacolo fisso:
m1  m2 e
v 2i  0
iii)
m2  M Terra )
v1 f  v1i
il corpo 1 rimbalza indietro; il corpo 2 rimane
v2 f  0
pressochè fermo
Urto elastico tra due punti materiali nello spazio :
Le 4 equazioni di conservazione di energia e quantità di moto :
E1i  E2 i  E1 f  E2 f




p1i  p2 i  p1 f  p2 f
p1i x  p2i x  p1 f x  p2 f x
p1i y  p2i y  p1 f y  p2 f y
p1i z  p2i z  p1 f z  p2 f z
non sono sufficienti a determinare univocamente, noto lo stato iniziale
(ossia noti p1 i e p2 i ), lo stato finale , descritto da 6 incognite :

p1 f  ( p1 f x , p1 f y , p1 f z )

p2 f  ( p2 f x , p2 f y , p2 f z )
Lo stato finale è univocamente determinato se vengono misurati due parametri finali
(ad es., gli “angoli di diffusione” J1, j1 della particella
1)

J1

p1i

p2i
j1
“piano
dell’urto” (individuato da p 1i , p 2i )
p1 f

p2 f
7
Esempio:
urto elastico ( non centrale: l’urto non avviene lungo la linea congiungente
i due centri dei corpi in collisione) tra due oggetti di egual massa m, uno dei quali
inizialmente fermo
v1 f
m
m
J  /2
i
v1
v2i=0
v2f
Conservazione dell’energia e dell’impulso:



p1i  p1 f  p2 f
E1i  E1 f  E 2 f
p12f
p22 f
p12i


2m
2m
2m


p12i  p12f  p22 f  2 p1 f  p2 f
p12i  p12f  p22 f


p1 f  p2 f  0
l’angolo tra le due velocità finali è di 90o.
(cio’ è vero per velocità non relativistiche, per le quali vale la relazione
della meccanic classica : E  p 2 / 2m
L’analoga relazione relativistica :
E 
p 2  m2 c 4
predice un angolo minore, sperimentalmente osservato in
urti elastici di protoni di alta energia su nuclei di idrogeno )
8
Urto elastico obliquo contro una parete :

vi
y
Ji Jf

vf


v2i  v2 f  0
(
)
x
pi x  p f x
Ei  E f

(lungo l’asse x la parete non esercita
forze impulsive)
1
1
mvi2 
mv 2f
2
2
vi sin Ji  v f sin J f

vi  v f
Ji  J f
l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di rimbalzo (“riflessione”)
Questa osservazione, confrontata con la legge delle riflessione dei raggi luminosi,
portò Newton a formulare l’ipotesi della “natura corpuscolare” della luce
U.Gasparini, Fisica I
9
Urto completamente anelastico:
I due corpi che entrano in collisione rimangono attaccati:


m1v1i  m2 v2i



v1 f  v2 f  vCM 
m1  m2
La velocità del CM rimane invariata:
 tot

P
 (m1  m2 )vCM costante
L’energia cinetica finale è minore di quella iniziale :
Ek f
E ki
1
1
1
2
2
2

m1v1 f 
m2 v2 f 
(m1  m2 )vCM
2
2
2
1
1
1
2
2
2

m1v1i  m2 v2i  E ' ki  (m1  m2 )vCM
 Ek f
2
2
2
teorema di
Koenig
1
1
2

m1v '1i  m2 v ' 22i  0
2
2
La perdita di energia cinetica (dissipata in calore e/o energia potenziale di
deformazione dei corpi) è uguale all’ enercia cinetica associata al moto dei due
corpi nell’ istante iniziale relativo al CM :
1
1
2
 E k  E ki  E k f 
m1v '1i  m2 v ' 2
2i
2
2
U.Gasparini, Fisica I
10
“Coefficiente di restituzione”
Un generico urto anelastico viene caratterizzato da un “coefficiente di restituzione” e ,
definito in termini delle quantità di moto (o, equivalentemente, delle energie cinetiche)
iniziali e finali nel sistema del CM :
e
p'1 f
p'1i

quantità di moto finale nel CM
p' 2 f
p ' 2i
quantità di moto iniziale nel CM


p'1i   p' 2i


p'1 f   p'1i
( si ricordi che nel CM :
In un urto elastico:
In un urto completamente anelastico:


p'1 f  p' 2 f  0
0 e 1
In generale:
Inoltre:
E ' kf 
2
p'1
f
2m1

p' 2
2 f
2m2
,

e 1
 e0
2
e 2 p'1
e 2 p' 2
i
2i


2m1
2m2
2
 p'1

p' 2
i
2i

 e 

2
m
2
m

1
2 
E ' kf  e 2 E ' ki
2
U.Gasparini, Fisica I


p'1 f   p' 2 f
 E ' ki
11
)