Cinematica relativistica (last version 11 ottobre)

Corso di Biofisica
•
Programma
1. Richiami di cinematica relativistica
2. Interazione della radiazione con la materia
3. Concetti di dosimetria
4. La radioattività e le sorgenti radioattive
5. Grandezze dosimetriche. Indicatori del rischio da radiazioni
6. Nozioni di dosimetria interna
7. Dosimetria e Contaminazione Ambientale
8. Il Sistema IRCP di limitazione delle Dosi
9. Strumentazione per la Radioprotezione
•
Libri di testo: M. Pelliccioni: Fondamenti Fisici della Radioprotezione
(Pitagora Editrice)
Sito web x materiale e comunicazioni del docente:
–
http://www.ba.infn.it/~pugliese/
Esoneri/esami: una prova pratica durante la pausa esoneri (Novembre)
orale a fine corso.
•
•
Richiami di Cinematica Relativistica
La teoria della relatività, elaborata da Albert Einstein all'inizio del XX secolo, è
alla base dell'intera fisica moderna. Il problema di fondo è quello di dare una
forma invariante, indipendente cioè dal sistema di riferimento, alle leggi
fisiche.
Per molto tempo si credette che l'unica soluzione dei problema fosse costituita
dal 'Principio di relatività di Galileo'. Secondo cui tutti i sistemi di
riferimento 'inerziali' sono equivalenti per la descrizione dei fenomeni
meccanici. Esso venne messo in discussione alla fine del XIX secolo in
seguito alla scoperta dei fenomeni elettromagnetici.
I postulati della relatività ristretta si possono così enunciare:
1. (principio di relatività): tutte le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di
riferimento inerziali;
2. (invarianza della luce): la velocità della luce nel vuoto (c = 2.9979 108 m/s)
ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali,
indipendentemente dalla velocità dell'osservatore o dalla velocità della
sorgente di luce.
Trasformazioni di Lorentz
Si può dimostrare che esiste uno e un solo sistema di equazioni capace di
soddisfare i due postulati:
Senza perdere di generalità, consideriamo un
sistema di riferimento S' che abbia i tre assi
spaziali paralleli a quelli di S, che si muova
con velocità v lungo l'asse x di S e che le
origini dei due sistemi di riferimento
coincidano per t' = t = 0
Trasformazioni di Lorentz
I tempi non sono più gli stessi nei due sistemi inerziali

 x 




 t 


x  vt
1  v2 / c2
y  y
z  z
t  vx/ c 2
1  v2 / c2
Richiami di Cinematica Relativistica
In fisica relativistica per la velocità si pone:

v

c

 
 2 1


1
1  2
Per → 1
  1
1  
1
2 2
1
2
 1
 
1
2 2
0.7071
1 
Richiami di Cinematica Relativistica
Un'altra grandezza di uso frequente è:
1
      1   
2
2
Per  1 :
 


1 
   1  2 
 2 


0.5
1.154
0.577
0.8
1.67
1.34
0.9
2.29
2.06
0.95
3.20
3.04
0.99
7.09
7.02
Trasformazioni di Lorentz

 x 




 t 


x  vt
1  v2 / c2
y  y
z  z
t  vx/ c 2
 x   ( x  vt )   ( x  ct )

y  y


z  z


ct    (ct  x)
1  v2 / c2
 x0   ct 
   
0
 x   x1   x1 
   
x
   x2   x2 
x  x 
 3  3
Si chiama quadrivettore ogni insieme di 4
grandezze dimensionalmente omogenee che si
trasformano come le xa quando si passa da un
sistema di riferimento inerziale ad un altro.
Punto spazio tempo
Un punto P (evento) dello spazio-tempo (spazio di Minkowsky) è rappresentato
da un quadrivettore
 x0   ct 
   
 x0   x1   x1 
a
x         
 x   x2   x2 
x  x 
 3  3
xk rappresenta un punto dello spazio
euclideo tridimensionale
Normalmente si pone c = 1, così il tempo può venire misurato in metri o le
lunghezze in secondi (unità naturali).
In questo caso xi e ct sono misurati in m (nel SI)
Un Sistema di unità di misura in cui tutte le quantità sono espresse in unità di
lunghezza si chiama “SISTEMA GEOMETRIZZATO”.
Invarianti di Lorentz
ds   dx  dx  dx  dx 
02
2
Distanza tra due punti è invariante:
22
12
32
2

 dl  
0 
2
0
  dx  dl   dx 1   0 
  dx  


 
2
2
dl v


c
cdt
ds  dx 1  
2
02
Definito:
2
 
1
2
dx
d  ds 
2
2
INVARIANTE DI LORENTZ
(è la stessa in tutti i sistemi di riferimento)
02
1

2
dx
02
(anch’esso è INVARIANTE DI LORENTZ)
Tetravelocità
a
a
dx
dx
ua 
 0
d
dx
ma si trasforma come dxa ed è un
tetravettore che ha componenti
u0  
dx i
dx i
ui   ( 0 )   ( )  i
dx
cdt
u u u u
02
12
22
32
(anch’esso INVARIANTE DI LORENTZ)


  2 1   2  1
  
  
    1
a
u    
      2 



 3
Tetravelocità
Tetramomento
Il TETRAMOMENTO DI UNA PARTICELLA DI MASSA m, è dato da:
 m 

p  mu  
 m  
a
a
Ad esempio, per una particella che si muove lungo l’asse x:
per  ≈ 0 siamo nel limite classico, quindi  ≈ 1
 2 
  m
m  m
 m 1 
2
2 
1 


m  m
1
1  2
 m
1
m 2
2
 m 


 m 
pa  
0 


 0 


Al limite classico le componenti spaziali,
sono componenti della quantità di moto
Ener. cinetica
Ener. Intrinseca della particella
Tetramomento
 m1 


i
p   m 2 
 m 
3

p 0  m  E
è il MOMENTO DELLA PARTICELLA
l’ENERGIA TOTALE
Il tetramomento o tetravettore energia-momento ha come componente
temporale l’energia totale della particella e come componente spaziale la
quantità di moto della particella.
 l’energia Cinetica: T = E - m = m - m = m ( -1)
per  = 0: E = m
energia a riposo, caratteristica di ogni particella, legata alla sua
massa, secondo la nota relazione di Einstein)
Tetramomento
Di notevole interesse è il modulo del tetramomento
( pa ) 2  m2 2  m2 2  2  m2
 m2  p 2  E 2
E2 = p2 + m2
Relazione di Einstein,
Unità di misura (2)
IN FISICA DELLE ALTE ENERGIE si fa una ulteriore posizione
  h / 2

= 6.582173 10-16 eV s = 1.0545887 10-34 J s = 1
FATTORI DI CONVERSIONE
c = 2.9979 108 m/s = 1
 = 6.58 10-16 eV s = 1.054 10-34 J s = 1
1 MeV = 1.602 10-13 J
e = 1.602 10-19 C
me = 0.511 MeV = 9.109 10-31 Kg
mp = 938.27 MeV = 1.673 10-27 Kg
mp/me = 1836.1
1 fermi = 1 fm = 10-15 m = 1/197.328 (MeV) -1 = 5.067 (GeV) -1
CAMBIAMENTO DI RIFERIMENTO
y
y
(SL)
(SR)
x
x

SL
z=z
 p0   E   m 

 1   
 p   p   m1 
p 2  x
m 2 
py
p

 3   
 p   p   m 
   z 
3
 E 
  
p x
p    
p y
 p z 


SCM
 E  m
   
p  0
p x 
 py   0 
p  0
 z  
SR(part. ferma)
CAMBIAMENTO DI RIFERIMENTO (2)
Per passare da SL→SCM
E   
   
p x  0
 p    0
 y 
 p z    

 
0 0    E 
 
1 0
0  px 
0 1
0  p y 
 
0 0
  pz 

Per passare da SCM→SL
 

 0
p
0

 

0
1
0
0
0
0
1
0
 

0  
p

0

 
 E   E  p z


p
x  px



p
y  py



p
 z  p z  E
 E  E   p  z

px  p x



p

p
y
y

 p z  E   p  z
Rimangono invariate le componenti traverse al moto (px
e py) cambia la componente parallela a 
CAMBIAMENTO DI RIFERIMENTO (3)
 E    
   E 
 
    
  p // 
 p //    


p
  p

 E      E  
  
   
 p //      p // 


p

p



inverse
L’EFFETTO DOPPLER
Effetto Doppler relativistico è la variazione di frequenza della
radiazione elettromagnetica osservata prendendo in considerazione gli
effetti della relatività speciale
y’
y
(S’)
(S)
Si consideri un fotone emesso nel
sistema (S’) con un angolo q’
rispetto a z’. L’emissione sia nel
piano y’z’.

p’y
q’
z=z
’
L'energia E di un fotone si calcola in base all'uguaglianza E = hn, dove h
è una costante universale (costante di Planck) e n è la frequenza
(numero di vibrazioni al secondo) della radiazione elettromagnetica.
L’EFFETTO DOPPLER
Il tetramomento del fotone:
Si ricordi che per un fotone: E = p (m = 0)
 E   
  E ' 
  



 E cos q   
  E ' cos q ' 

Esenq  E ' senq '

 E  E ' (1   cos q ' )

 Esenq  E ' senq '
 E cos q  E ' (cos q '  )

 E' 


 0 
 E ' senq ' 


 E ' cos q ' 


cos q ' 

 cos q 
1   cos q '

E  E ' (1   cos q ' )
FORMULE DELL’EFFETTO
DOPPLER ESATTE
 cosq  cosq '

 E  E ' (1   cosq ' )
Formule classiche
dell’effetto (per <<1):
Effetti previsti dalla relatività speciale per effetto Doppler:
• l’angolo di emissione del fotone diverso nei due sistemi (aberrazioni
Doppler)
• l’energia diversa nei due sistemi. Si hanno due casi: red shift e blu
shift, nel caso di allontanamento o avvicinamento.
Primo caso: allontanamento
q’=0 < 0
q’= >0
1 
COSq 
 1
1 
 q  
E  E (1   )
E  E
(1   )
(1   )
cos q ' 

 cos q 
1   cos q '

E  E ' (1   cos q ' )
1 
COSq 
1
1 
 q  0
E  E (1   )
 NON C’È ABERRAZIONE E
SI HA RED-SHIFT.
n n 
Secondo caso: avvicinamento
q’=0 >0
1 
COSq 
1
1 
 q  0
E  E ' (1   )  E ' (1   )
cos q ' 

 cos q 
1   cos q '

E  E ' (1   cos q ' )
q’= < 0
1  
 1
1 
 q  
E  E ' (1   )  E ' (1   )
COSq 
 NON C’È ABERRAZIONE E SI HA BLUE-SHIFT.
n n 
L’EFFETTO DOPPLER relativistico
RED-SHIFT allontanamento
BLU SHIFT avvicinamento
Decadimento del 0
y
y
(SL)
 0  
(SR)
   0.8310 16 s
0
x
x
98%

0    
e e 1.2%
1
q
2
 m 0 


P0   0 


0


dove m 0  134.96 MeV
z=z
 E

P1   E senq

 E cos q
 






 E

P2    E senq

  E cosq
 






Decadimento del 0
P0  P1  P2
 
P1  P2  0
ossia:
 p x1   p x 2

 p y1   p y 2

 p z1   p z 2
m 0  2E
Poiché m  = 0
m 0
E 
 67.48MeV
2
Applicando le
trasformazioni:
 E2   

 
P2   p2 y    0

  
p
 2z  
 E1   

 
P1   p1 y    0

  
p
 1z  
0   E

1 0   E senq

0    E cos q

  E (1   cos q ) 
0   E

 


1 0  E senq    E senq


 





0   E cos q

E
(


cos
q
)


 

  E (1   cos q ) 

 

    E senq

 
  E (   cos q ) 
  

Decadimento del 0
E1  E2
Maggiore è l’energia del  emesso in avanti
Gli angoli di emissione nel laboratorio
rispetto alla direzione del 0 sono diversi:
L’angolo a tra i due  nel SL (detto angolo di
apertura):
tg1 
sen
 (cos    )
tg1 
p1 y
tg2 
p2 y
p1z
p2 z

sen
 (cos    )

 sen
 ( cos    )
a  q1  (2  q 2 )
sen
tg (2  2 )  tg (2 ) 
 (   cos )
Decadimento del 0
tgq1  tg (2  q 2 ) tgq1  tgq 2
2sen
tga 

 2 2
1  tgq1tg (2  q 2 ) 1  tgq1tgq 2  (   cos 2  )  sen 2
l'angolo minimo: amin si ha per
tga min
  90
0
2  2 1
2
2
 2 2
 2
 2
  1
 2
 1
L’angolo di apertura minimo  0 quando   1
D(tga )
0
D( sen )