Il campo elettrico all`interno del conduttore è nullo

Distribuzione sferica uniforme

•
•
Per i punti esterni, ci ritroviamo
nelle stesse condizioni del guscio
sferico:
Il campo elettrico, per punti esterni
alla distribuzione di carica, è
uguale a quello di una carica
puntiforme, pari alla carica totale,
posta al centro della distribuzione
1 q
E
4 o r 2

dq
dV

q

Vto t
q
4 R3
3
R
P
r
E
punto in cui si vuole determinare il
campo elettrico
G.M. - Edile A 2002/03
Distribuzione sferica uniforme

•
dq
dV

q

Vto t
q
4 R3
3
Per i punti interni, solo la carica
all’interno della superficie di Gauss
va considerata
– I gusci esterni alla superficie di
Gauss non contribuiscono al campo
elettrico in P
q
 4 3
R
3
 q in t 
 E  dS   EdS
E
il mo dulo del
camp o elettrico
E è co stan te
 43 r3
 dS
q
4
3
r
3
4
3
R
3
r3
q 3
R
R
r
P
E
q r3
 E4r 
 o R 3 punto in cui si vuole determinare il
superficie to tale
della sfera
= 4 r 2
q r
E
4 o R 3

2
campo elettrico
E
E
R
1 q
4 o R 2
r
G.M. - Edile A 2002/03
Distribuzione rettilinea uniforme
•
La simmetria del problema in questo caso ci permette
di affermare


– Il campo elettrico non può avere una componente
parallela alla distribuzione
• Si creerebbe una asimmetria tra i due versi lungo la
distribuzione
• Perciò giace nel piano perpendicolare alla distribuzione
rettilinea di carica
h
dq
dL
q in t  h
r
– Nel piano perpendicolare
• è diretto radialmente
• tutti i punti equidistanti dalla distribuzione devono avere
la stessa intensità del campo
– Il campo elettrico non può dipendere dalla coordinata
lungo la distribuzione di carica
•
Usiamo come superficie di Gauss una superficie
cilindrica
–
–
–
•
•
Concentrica con la distribuzione di carica
Passante per il punto in cui si vuole calcolare il campo (raggio r)
Di altezza arbitraria h
Sulle basi il flusso è nullo (E perpendicolare a dS)
Sulla superficie laterale (E parallelo a dS, E costante)
 E  dS 
 E dS
Basi
0
E è p erp endicolare adS


EdS  E
Sup erficie
laterale


 E dS 
Sup erficie
laterale
dS  E2rh 
Sup erficie
laterale
2 rh
h
o
1 
E
2
G.M. - Edile
A 2002/03
o r
Distribuzione piana
•
In questo caso la simmetria del problema ci
consente di affermare
dq
  dS
– Il campo elettrico non può avere alcuna
componente parallela alla distribuzione
• Perciò è diretto lungo la perpendicolare alla
distribuzione piana
– L’intensità del campo elettrico non può dipendere
dalle coordinate parallele alla distribuzione, ma,
eventualmente, solo dalla distanza,r, del punto P
dalla distribuzione.
– Il campo elettrico deve essere simmetrico in punti
simmetrici che si trovano da parte opposta rispetto
alla distribuzione
P
r
E
r
G.M. - Edile A 2002/03
Distribuzione piana
•
Si sceglie come superficie di Gauss un cilindro
dq
  dS
– con l’asse perpendicolare alla distribuzione di
carica
q in t  A
– di area di base arbitraria A
– di altezza pari a 2r, due volte la distanza del punto
P dalla distribuzione
– simmetrico rispetto alla distribuzione
•
Il flusso attraverso la superficie laterale è nullo
– E è perpendicolare a dS
•
Sulle basi E è parallelo e concorde con dS

E  dS 

E  dS 
Basi

E  dS
Sup erficie
laterale


EdS  E
Basi

dS  E2A 
Basi
2A
A
o
0
E è p erp endicolare adS
•
•
Il campo elettrico è costante in modulo, direzione e verso in ciascuno
dei due semispazi determinati dalla distribuzione di carica
Il campo elettrico è simmetrico rispetto alla distribuzione di carica

E
2 o
G.M. - Edile A 2002/03
Doppia distribuzione piana
•
Consideriamo due piani paralleli carichi
– con densità + e - rispettivamente
– A distanza arbitraria d tra di loro
•
•
•
Determiniamo il campo elettrico in tutti i punti
dello spazio con il principio di
sovrapposizione
Applicando Gauss abbiamo determinato il
valore del campo elettrico per ciascuna delle
due distribuzioni
Il campo elettrico complessivo si otterrà
sommando i valori dei ottenuti quando
ciascuna distribuzione agisce separatamente




2o




2o

2o




E0 


o








2 o

E0
G.M. - Edile A 2002/03
Moto di cariche in un campo elettrico
•
•
•
Consideriamo un campo elettrico uniforme
realizzato mediante due distribuzioni uniformi
piane di carica, diretto lungo l’asse y
Consideriamo una carica q che si muove con
velocità v lungo l’asse x
F  qE
La particella subisce una forza
y
-- - - - - - - - - - v
+ + + + + + + + + +
– Supponendo q positiva la forza sarà diretta come
il campo elettrico
– Per q negativa avrebbe avuto verso opposto
x
L
F  qE  ma
Applicando la seconda legge di Newton
Proiettando lungo gli assi e tenendo
moto


0

ma
x  vt
x 
uniforme
conto delle condizioni iniziali (xo=0,

yo=0, vox=v, voy=0)
 

motouniformente
1 qE 2
• Il moto è simile al moto del
qE  ma y 
y

t

accelerato

2
m
proiettile (traiettoria parabolica)
•
Questa tecnica viene
L
*
*
Tempo impiegato a percorrere la zona
utilizzata per deflettere gli
L  vt  t 
in cui è presente il campo elettrico
elettroni negli oscillografi
v
•
•
Deflessione all’uscita dal campo
elettrico
y
1
2

qE
t
m
* 2
2 •
2

1
2
qE L 

m v 
1
2
qEL
mv 2
o per deflettere gocce di
inchiostro nelle stampanti a
getto di inchiostro
G.M. - Edile A 2002/03
L’energia potenziale elettrostatica
z
• Come la forza di gravitazione
universale
• la forza di Coulomb è una forza
centrale
• quindi è conservativa
• Energia potenziale della forza di
gravitazione universale
mm
Ur  G 1 2
r
• L’energia potenziale compete al
sistema di cariche q1 q2.
• La carica q1, quando è da sola non
possiede energia potenziale
q2
Fq 2
r
q1
y
x
Fq 1
1 q1q 2
U
4 o r
o=8.85x10-12C2/Nm2
Il punto di riferimento si sceglie all’infinito
Si assegna energia potenziale nulla all’infinito.
G.M. - Edile A 2002/03
L’energia potenziale elettrostatica
•
•
L’energia potenziale può essere
interpretato come il minimo lavoro che
bisogna effettuare per portare la carica q2
dall’infinito a distanza r dalla carica q1.
Infatti, in condizioni quasi statiche, la
forza applicata deve differire al più per un
infinitesimo dalla forza di Coulomb
r

Fa   FC
U   FC  dr 

r
 F  dr
U  Ur   U    FC  dr  
r

x

Fa
FC
r
q1
Fq 1
r

Fq 2
y

r

q2
a
Se scegliamo un cammino radiale
0
z
1 q1q2
2 u r  dru r 
4 o r
qq 1
1 q1q 2
1 q 1q 2
 1 2   
0
4 o r  4 o r
4 o r
•
•
•
•
Se le due cariche hanno lo stesso
segno il lavoro fatto dalla forza
applicata è positivo,
così anche l’energia potenziale
Se le due cariche hanno segno
opposto il lavoro è negativo
Così anche l’energia potenziale
G.M. - Edile A 2002/03
L’energia potenziale della carica q
in presenza di un sistema di cariche
•
•
•
q3
Se tutte le cariche sono al finito
L’energia potenziale della carica q sarà
dato dal lavoro necessario per portare la
carica dall’infinito alla posizione iniziale
oppure
r
r3
q1

Ur  U   FC dr 

r

 F
q1

•

 Fq 2  Fq 3  dr 
3

i1
1 qi
4 o ri
ri è la distanza della carica q dalla carica
qi
z
x
q
r
r1
r2
y
q2
NB: questa non è l’energia potenziale del
sistema di cariche
Per calcolare questa energia va calcolato il lavoro
necessario per costruire il sistema di cariche
Prima si trasporta q1: il lavoro in questo caso è
nullo perché non ci sono altre cariche
Poi si trasporta q2: bisogna fare del lavoro contro
la forza generata da q1.
Poi si trasporta q3: anche in questo caso si fa del
lavoro contro le forze generateG.M.
da q1- Edile
e q 2. A
Etc.
2002/03
Il potenziale elettrostatico
z
•
•
Così come abbiamo fatto nel caso del
campo elettrico
si definisce potenziale elettrostatico
nel punto P, l’energia potenziale
relativa alla carica q quando si trova
in P diviso per la carica stessa
V
•
U
q
Il potenziale elettrostatico è l’energia
potenziale che spetterebbe alla carica
unitaria posta nel punto considerato.
q
r
q1
y
x
•
Per una carica puntiforme q1
1 q1q
Ur 
4 o r
n
•
•
Per un sistema di n cariche: q1,q2,…,qn
ri è la distanza del punto P considerato
dalla carica qi
VP  

i1
1 q1
V  r 
4 o r
1 qi
4o ri
G.M. - Edile A 2002/03
Legame tra il potenziale e il campo
elettrico
•
•
V(P1)
V(P2)
--->
--->
U(P1) = q V(P1)
U(P2) = q V(P2)
V  V(P2 )  V(P1 ) 
U Wif
V 


q
q
dalla definizion e di
energia p otenziale
•
P2
U(P2 ) U(P1 ) U


q
q
q
1 f

F  dr
q i

dr
E
P1
f
1 f

qE dr   E  dr
q i
i
utilizzando la
definizion e del lavo ro


utilizzando la
definizion e del campo
eletrico
NB: poiché la forza elettrostatica è conservativa, l’integrale puo
essere effettuato su qualunque traiettoria che connette P1 a P2
•
Se V>0 allora per q>0 anche U>0 ----> per la conservazione dell’energia K<0
•
•
Se V<0 allora per q>0 anche U<0 ----> per la conservazione dell’energia K>0
La carica q (positiva) si sposta spontaneamente verso punti a potenziale più basso, è
necessaria una forza esterna per spostarla verso punti a potenziale più elevato
G.M. - Edile A 2002/03
Definizione generale del potenziale
•
L’espressione

•
– Allora per Po si prende un punto
all’infinito
– E si assegna potenziale zero ai
punto all’infinito
f
V   E  dr
i
•
Può essere assunta come la
definizione del potenziale elettrico

P
VP   VPo    E  dr
Po
•
•
Per determinare V(P) occorre
fissare il punto di riferimento Po
Ed assegnare un valore arbitrario al
potenziale V(Po), solitamente
“zero”
Se tutte le cariche sono al finito
•
Se non tutte le cariche sono al finito
– Per esempio un una distribuzione
lineare indefinita di carica
– Si prende per P un punto a distanza
unitaria, 1m, dalla distribuzione di
carica
– Si assegna potenziale zero a tale
punto
– Nel caso di una distribuzione piana
– Si assegna potenziale 0 ad un punto
della distribuzione
G.M. - Edile A 2002/03
Superfici equipotenziali
•
•
Il luogo dei punti aventi lo stesso potenziale
Per una carica puntiforme
V
•
1 q1
4 o r
Le superfici equipotenziali sono delle superfici
sferiche con centro nella carica
G.M. - Edile A 2002/03
Superfici equipotenziali e campo
elettrico
•
Il campo elettrico è perpendicolare
alla superficie equipotenziale.
•
Consideriamo uno spostamento
infinitesimo dr su una superficie
equipotenziale: dr è tangente alla
superficie equipotenziale.
La variazione di potenziale dV sarà
sempre uguale a zero per qualunque
spostamento dr sulla superficie
equipotenziale
•
dV  E dr  0  Edr
•
per le proprietà del prodotto
scalare
Le linee di forza sono perpendicolari
alle superfici equipotenziali
G.M. - Edile A 2002/03
Differenza di potenziale tra due
distribuzione piane e parallele di carica
•
Sappiamo che
– Il campo elettrico è perpendicolare
alle distribuzioni di carica

– È costante in modulo
E
o
– È diretto dal piano positivo a
quello negativo
•
•
•
•
Le superfici equipotenziali sono dei
piani paralleli alle distribuzioni
Le due distribuzioni stesse sono
equipotenziali
Chiamiamo Vi il potenziale della
distribuzione positiva e Vf quello
della distribuzione negativa
Applichiamo la definizione di
differenza di potenziale

f
Vf  Vi   E  dr
i
•
Vf
-- - - - - - - - - - -
d
E
+ + + + + + + + + +
Vi
Integriamo tra i ed f lungo una linea di forza
del campo elettrico

f

f

f
Vf  Vi   E  dr   Ed  E d  Ed
i
•
•
•
i
i
Con d la distanza tra le due distribuzioni
Il potenziale della distribuzione negativa è più
basso del potenziale della distribuzione
positiva
Il campo elettrico tra le distribuzioni vale
Vi  Vf
volt/m
E
d
G.M. - Edile A 2002/03
Calcolo del campo elettrico dal
potenziale
•
Supponiamo di conoscere il valore
del potenziale in tutti i punti dello
spazio
– È possibile determinare i valori del
campo elettrico?
•
Si,
– Consideriamo uno spostamento
infinitesimo ds.
– La differenza di potenziale tra il
punto iniziale e quello finale di ds
ovviamente sarà infinitesima e
varrà:
•
In generale

dV  E ds   E x dx  E ydy  E z dz
dV
dx
dV
Ey  
dy
dV
Ez  
dz


Ex  
E  gradV  V
dV  E ds
– Dalla definizione di prodotto
scalare
dV  E sds  E s  
dV
ds
– Derivata direzionale di V
G.M. - Edile A 2002/03
I conduttori in un campo
elettrostatico
•
•
•
Abbiamo identificato come conduttori quei materiali
dotati di cariche in grado di muoversi all’interno del
conduttore
Quando il conduttore viene immerso in un campo
elettrostatico, si ha uno spostamento delle cariche mobili
È facile intuire





















– quando si raggiunge una condizione stazionaria
– Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo
– Se così non fosse, il campo elettrico agirebbe sulle cariche
mobili del conduttore accelerandole, contro l’ipotesi di
condizione stazionaria
– Il campo elettrico immediatamente fuori al conduttore è
perpendicolare al conduttore stesso (superficie
equipotenziale)











 

 






appena inserito

















una volta raggiunta la condizione
stazionaria
Vi  Vf 
f
 E dr
0
i
E 0 in o gni punto
del p erco rso
•
Un conduttore in condizioni
stazionarie è equipotenziale
G.M. - Edile A 2002/03
Localizzazione della carica sui
conduttori in equilibrio
•
•
Uu conduttore in equilibrio non ha accumuli di
carica al suo interno.
Dimostrazione
– Applichiamo il teorema di Gauss ad una
qualunque superficie tutta interna al conduttore
– Sappiamo che nei conduttori in equilibrio il
campo interno è nullo
– Il flusso del campo elettrico è nullo
– La carica interna alla superficie è nulla
– Questo vale per qualunque superficie all’interno
del conduttore
•
•
Conclusione
Eventuali accumuli di carica sono localizzati
sulla superficie del conduttore
La densità di carica dipende dal raggio di curvatura locale,
più piccolo è il raggio più grande è la densità effetto punta
Superficie sferica = distribuzione uniforme
















Caso del conduttore inizialmente
neutro










Caso del conduttore inizialmente
carico positivamenteG.M. - Edile A 2002/03
Campo elettrico sulla superficie di un
conduttore
•
•
Sappiamo che il campo elettrico esterno
è perpendicolare alla superficie del
conduttore stesso
Applichiamo il teorema di Gauss ad una
superficie cilindrica
– di altezza infinitesima,
– con una base tutta all’interno del
conduttore
•
Solo la base esterna contribuisce al
flusso
– Se l’area di base è piccola possiamo
supporre costante il campo elettrico
– Il flusso è EA








A
EA 
o











E
o
G.M. - Edile A 2002/03
Schermo elettrostatico
•
•
Consideriamo un conduttore con una cavità
Le due regioni delimitate dal conduttore
– La cavità
– Lo spazio all’esterno del conduttore
•
sono completamente indipendenti dal punto di
vista elettrostatico
•
– Le azioni elettriche non si trasmettono dalla
cavità allo spazio esterno del conduttore e
viceversa
•
•
•
Variando la disposizione delle cariche
all’esterno del conduttore non è rilevabile alcun
effetto all’interno della cavità
Viceversa variando la disposizione delle cariche
all’interno della cavità non è rivelabile alcun
effetto all’esterno del conduttore
VP1  VP 
2

•
•
P1
P1
La carica complessiva sulla
superficie della cavità è nulla
(teorema di Gauss)
Ma non ci possono neppure essere
accumuli di carica (circuitazione di
E)
Variando la disposizione delle cariche
esterne, le conclusioni precedenti
restano immutate
Anche se si fornisce una carica q al
conduttore cavo, questa si
distribuisce sulla superficie esterna
del conduttore (cariche dello stesso
segno tendono ad allontanarsi il più
possibile), lasciando invariate le
condizioni della cavità
E  dr
G.M. - Edile A 2002/03
Schermo elettrostatico
•
•
Supponiamo ora di localizzare una carica q
puntiforme all’interno della cavità di un
conduttore cavo globalmente neutro
Una carica uguale ma di segno opposto viene
richiamata sulla superficie interna della cavità



– Per giustificare questa affermazione basta
applicare il teorema di Gauss ad una superficie
interna la conduttore che racchiuda la cavità
•
Poiché il conduttore inizialmente era neutro,
una carica dello stesso segno di quella posta
nella cavità si affaccia sulla superficie esterna
del conduttore
– Questa carica si distribuisce sulla superficie
esterna sulla base delle altre cariche
eventualmente presenti attorno al conduttore o,
se se queste sono assenti, con una densità
inversamente proporzionale al raggio di
curvatura della superficie del conduttore
  


  

•

Spostando la carica all’interno della
cavità,
–
–
–
la distribuzione delle cariche sulla
superficie interna della cavità varia
quella sulla superficie esterna del
conduttore non cambia,
nessun effetto legato agli spostamenti di
cariche potrà essere notato all’esterno del
conduttore cavo (effetto schermo)
G.M. - Edile A 2002/03
Schermo elettrostatico con geometria
sferica
•
La figura mostra la sezione
trasversale di un guscio sferico
conduttore di raggio interno r.
Una carica puntiforme di -5.0 mC
viene posta ad una distanza di R/2
dal centro del guscio.
Se il guscio è elettricamente neutro,
quali sono le cariche indotte sulla
superficie interna ed esterna?
Queste cariche sono uniformemente
distribuite?
Qual è l’andamento del campo
elettrico all’interno e all’esterno del
guscio sferico?
G.M. - Edile A 2002/03
•
•
Lastre conduttrici cariche a) b)
Lastre conduttrici affacciate
– Avvicinando le due lastre non possiamo semplicemente applicare il principio di
sovrapposizione
– Perché avvicinando le due lastre le cariche si spostano fino a raggiungere la
configurazione della figura c
•
Effetti di bordo
– Se le lastre non sono infinite, vicino ai bordi il campo elettrico non sarà costante
come per lastre indefinite.
– Neppure le line di forza saranno delle rette parallele perpendicolare alla lastre
•
La dimensione della zona in cui si ha uno scostamento dalla situazione ideale
è dell’ordine della distanza tra le piastre
G.M. - Edile A 2002/03