variabili direttamente proporzionali

Fisica: lezioni e
problemi
Unità A2 - La rappresentazione di
dati e fenomeni
1. Le rappresentazioni di un fenomeno
2. I grafici cartesiani
3. Le grandezze direttamente proporzionali
4. Altre relazioni matematiche
Lezione 1 - Le rappresentazioni di
un fenomeno
Un fenomeno può essere
rappresentato con:
•una tabella
•un grafico
•una formula
Lezione 1 - Le rappresentazioni di
un fenomeno
Fenomeno: un recipiente viene riempito da un rubinetto
da cui esce un flusso d’acqua costante
costante.
Lezione 1 - Le rappresentazioni di
un fenomeno
Rappresentazione del fenomeno mediante tabella: la
quantità di acqua accumulata nel recipiente dipende
dall’intervallo di tempo trascorso.
Il flusso d’acqua del rubinetto è costante
–
Ogni minuto dal rubinetto escono 2 litri d’acqua
–
Ogni minuto la quantità d’acqua nel recipiente cresce di 2 litri
Lezione 1 - Le rappresentazioni di
un fenomeno
Rappresentazione del fenomeno mediante formula:
q=2·t
t : tempo trascorso.
–
variabile indipendente; unità di misura: minuti
q : quantità d’acqua accumulata.
–
variabile dipendente; unità di misura: litri
2 : portata d’acqua del rubinetto.
–
costante; unità di misura: litri/minuto
Lezione 1 - Le rappresentazioni di
un fenomeno
Rappresentazione del fenomeno mediante grafico
Asse orizzontale (ascisse)
– variabile indipendente t
Asse verticale (ordinate)
– variabile dipendente q
A ogni punto del grafico corrisponde
una coppia di valori della tabella
Lezione 1 - Le rappresentazioni di
un fenomeno
Tabella: conoscenza del fenomeno limitata ad alcuni
intervalli di tempo.
Grafico: visione sintetica e immediata del fenomeno.
Formula: rappresentazione più astratta ma più completa
Le formule hanno validità generale;
uno stesso tipo di formula si può applicare a fenomeni
fisici molto diversi:
–
Legame matematico tra le variabili: è possibile calcolare la
quantità d’acqua accumulata in un istante qualsiasi.
(variabile dipendente) = (costante) × (variabile indipendente)
Lezione 2 - I grafici cartesiani
La rappresentazione grafica è un
potente strumento matematico per
rappresentare due grandezze
relative allo stesso fenomeno
Lezione 2 - I grafici cartesiani
I grafici cartesiani permettono di visualizzare la relazione
tra due grandezze fisiche.
Per tracciare un grafico cartesiano occorre:
-Tracciare gli assi, cioè due rette
perpendicolari, fissando il verso di
percorrenza
-Associare a ogni asse una grandezza e
un’unità di misura
-Scegliere la scala per ciascun asse
Lezione 2 - I grafici cartesiani
Ogni coppia di valori della tabella individua un punto.
Uniamo i punti con una linea per visualizzare l’andamento.
In un grafico che
rappresenta una
tabella di dati, l’unità
di misura e la scala
associate ai due
assi sono
indipendenti tra loro.
Lezione 2 - I grafici cartesiani
Grafico di una funzione espressa da una formula.
y = 2x2
-
Si costruisce una tabella di punti
-
Si rappresentano i punti nel grafico
In questo caso non si associano grandezze e
unità di misura agli assi cartesiani
Lezione 2 - I grafici cartesiani
La pendenza di una retta è il rapporto tra variazione
dell’ordinata e incremento dell’ascissa di due suoi punti.
Lezione 2 - I grafici cartesiani
Appendiamo a una molla masse
diverse, misuriamo l’allungamento ogni
volta e costruiamo tabella e grafico.
-
Per interpolazione troviamo le
coordinate di punti intermedi
-
Per estrapolazione troviamo le
coordinate di punti esterni
all’intervallo della tabella.
Il significato fisico dei valori ottenuti
deve essere verificato.
Lezione 2 - I grafici cartesiani
Il risultato della misura di una grandezza è affetto da errore.
L’incertezza di un punto del grafico è rappresentata da un rettangolo;
i lati del rettangolo sono pari agli errori assoluti sulle due variabili.
Lezione 3 - Grandezze direttamente proporzionali
Il legame più semplice fra due
grandezze variabili è quello di
diretta proporzionalità
Lezione 3 - Grandezze direttamente proporzionali
Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se
al raddoppiare di x anche y raddoppia, al triplicare di x
anche y triplica e così via.
–
Il lato e il perimetro di un quadrato sono grandezze direttamente
proporzionali
–
la massa e il volume di una sostanza sono grandezze direttamente
proporzionali.
Lezione 3 - Grandezze direttamente proporzionali
Se y e x sono variabili direttamente proporzionali, il loro
rapporto è costante:
k è la costante di proporzionalità.
-La formula rappresenta tutte le possibili coppie di valori delle variabili,
ad esclusione della coppia (0; 0)
Lezione 3 - Grandezze direttamente proporzionali
Grafico di variabili direttamente
proporzionali: punti allineati con
l’origine degli assi.
La curva corrispondente è una retta
passante per l’origine.
Lezione 4 - Altre relazioni
matematiche
In molti fenomeni, le grandezze
fisiche sono legate da relazioni
che non sono di diretta
proporzionalità
Lezione 4 - Altre relazioni
matematiche
Se y e x sono variabili correlate linearmente, la funzione
che descrive la correlazione è del tipo:
a è b rappresentano dei valori costanti
-
Se si prende un recipiente già parzialmente pieno e lo si riempie
con un rubinetto a portata costante, la quantità d’acqua q nel
recipiente e il tempo t sono grandezze correlate linearmente.
Lezione 4 - Altre relazioni
matematiche
Grafico di variabili correlate
linearmente: punti allineati tra loro ma
non con l’origine degli assi.
La curva corrispondente è una retta
non passante per l’origine.
Lezione 4 - Altre relazioni
matematiche
Se y e x sono variabili legate da proporzionalità
quadratica, vale una formula del tipo:
a rappresenta una costante
-
L’area e il raggio di un cerchio sono legate da proporzionalità
quadratica. Al raddoppiare del raggio l’area diventa 4 volte più
grande, al triplicare del raggio l’area diventa 9 volte più grande …
Lezione 4 - Altre relazioni
matematiche
Grafico di variabili legate da
proporzionalità quadratica:
una particolare curva detta
parabola.
Lezione 4 - Altre relazioni
matematiche
Se y e x sono variabili inversamente proporzionali, il loro
prodotto si mantiene costante. Vale una formula del tipo:
k rappresenta una costante
-
In una bilancia a bracci uguali, se la massa su un braccio è fissa, la
massa equilibrante e la sua distanza dal fulcro sono inversamente
proporzionali: se la massa raddoppia, la distanza dimezza, …
Lezione 4 - Altre relazioni
matematiche
Grafico che rappresenta due
variabili inversamente
proporzionali: una particolare
curva detta iperbole.
Lezione 4 - Altre relazioni
matematiche
Se y e x sono variabili legate da proporzionalità inversa
quadratica, vale una formula del tipo:
k rappresenta una costante
-
y è inversamente proporzionale al quadrato di x
-
Prismi a base quadrata di uguale volume (equivalenti) hanno lato di
base e altezza legati da proporzionalità inversa quadratica.
Lezione 4 - Altre relazioni
matematiche
Il grafico di variabili legate da
proporzionalità inversa
quadratica ha la forma
rappresentata in figura.
Unità A2 - La rappresentazione di
dati e fenomeni
Rappresentazione di fenomeni fisici
Mediante tabella
Mediante grafico
Mediante formula
Proporzionalità diretta
Correlazione lineare
Proporzionalità inversa
Proporzionalità quadratica
Proporzionalità inversa
quadratica