Problemi del tre semplice e del tre composto

Problemi del tre semplice e del tre composto
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Problemi del tre semplice
Il problema del tre semplice si presenta quando, date due grandezze direttamente o
inversamente proporzionali, si conoscono due valori corrispondenti di esse e, noto un altro valore
di una di esse, si vuole determinare il corrispondente valore dell’altra.
Il problema del tre semplice si dice diretto se le grandezze in esame sono tra loro direttamente
proporzionali, inverso se sono inversamente proporzionali.
Esempio 1
In 20 ore una macchina produce 300 kg di un certo prodotto. Quanti kg di quel prodotto si
ottengono in 25 ore?
Le due serie di numeri sono direttamente proporzionali in quanto se le ore di lavoro della
macchina si raddoppiano anche il prodotto si raddoppia, per cui il apporto tra due valori
corrispondenti rimane costante.
Formiamo uno specchietto con due colonne
𝑜𝑟𝑒
20
25
𝑘𝑔
300
𝑥
Impostiamo e risolviamo la proporzione
20: 25 = 300: 𝑥 → 𝑥 =
300 ∙ 25
→ 𝑥 = 375 𝑘𝑔
20
Esempio 2
Per eseguire un lavoro, 10 operai lavorano 30 giorni. Per quanti giorni debbono lavorare 6 operai
per eseguire lo stesso lavoro?
Se il numero degli operai raddoppiasse il lavoro verrebbe eseguito in metà numero di giorni, cioè
le due grandezze sono inversamente proporzionali.
Formiamo lo specchietto con due colonne
𝑔𝑖𝑜𝑟𝑛𝑖
30
𝑥
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑖
10
6
Impostiamo e risolviamo la proporzione
30: 𝑥 = 6: 10 → 𝑥 =
PROF. GIUSEPPE FRASSANITO
30 ∙ 10
= 50 𝑔𝑖𝑜𝑟𝑛𝑖
6
1
Esempio 3
Una ruota dentata ha 32 denti e compie 1000 giri al minuto. Se un altro ingranaggio, che 64
denti, ruota ingranato in quello, quanti giri compie al minuto?
E’ chiaro che meno denti ha la ruota più giri fa al minuto. Quindi si tratta di due grandezze
inversamente proporzionali.
Formiamo lo specchietto con due colonne
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖
32
64
𝑔𝑖𝑟𝑖
1000
𝑥
Impostiamo e risolviamo la proporzione
32: 64 = 𝑥: 1000 → 𝑥 =
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32 ∙ 1000
= 500 𝑔𝑖𝑟𝑖 𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
64
Problemi del tre composto
Il problema del tre composto si presenta quando è data una grandezza direttamente o
inversamente proporzionale a due o più altre grandezze. Un esempio chiarirà come si risolvono
tali problemi.
Esempio
Per costruire 900 m di strada, 16 operai, lavorando 9 ore al giorno, impiegano 27 giorni. Quanti
giorni impiegheranno 18 operai, lavorando 8 ore al giorno, per costruire 1200 m di strada?
Costruiamo la seguente tabella
giorni
27
x
metri
900
1200
d
ore
9
8
i
operai
16
18
i
I segni (d) di proporzionalità diretta e (i) di proporzionalità inversa, nell’ultima riga della tabella
indica il tipo di proporzionalità esistente tra il numero di giorni e le altre grandezze.
Per stabilire il tipo di proporzionalità si fa in questo modo: si pensa al numero di giorni e si
considerano fisse le altre grandezze meno una. Se al variare del numero dei giorni, l’altra
grandezza cresce o diminuisce, si deduce che l’altra grandezza è diretta o inversa.
PROF. GIUSEPPE FRASSANITO
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Cioè:
a) Riteniamo fisse le ore lavorative e il numero di operai. Aumentando il numero dei giorni,
aumenta anche il numero dei metri di strada costruita. Quindi tra giorni e metri c’è una
proporzionalità diretta.
b) Riteniamo fissi i metri di strada e il numero di operai. Aumentando il numero dei giorni,
diminuisce il numero delle ore lavorative. Quindi tra giorni e ore lavorative c’è
proporzionalità inversa.
c) Riteniamo fissi i metri di strada e il numero di ore lavorative. Aumentando il numero dei
giorni, il numero di operai diminuisce. Quindi tra giorni e operai c’è proporzionalità inversa.
Stabilito questo si può applicare la seguente regola generale:
Il valore incognito si ottiene moltiplicando il valore noto della grandezza incognita per i rapporti
dei valori delle altre grandezze. Rapporti inversi se si ha proporzionalità diretta e rapporti
diretti se si ha proporzionalità inversa.
Nel nostro caso abbiamo
𝑥 = 27 ∙
1200 9 16
∙ ∙
= 36 𝑔𝑖𝑜𝑟𝑛𝑖
900 8 18
Bibliografia:
C. Bettella A. Marri: Corso di matematica vol 1- Paccagnella editore S.p.a. - Bologna
PROF. GIUSEPPE FRASSANITO
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