Note su dimensioni fisiche e sistemi di unità di misura

Note su
dimensioni fisiche
e
sistemi di unità di misura
1
Punto di vista operazionale:
La definizione di una Grandezza Fisica (GF)
GF è data soltanto
quando vengono stabiliti i procedimenti necessari per
misurare la grandezza stessa.
Questi procedimenti sono l’insieme di operazioni di laboratorio
e di calcoli matematici che conducono alla determinazione di
un numero riferito a una unità di misura.
Si parla di GF Fondamentali e GF Derivate.
Derivate
Per assegnare una misura ad una GF serve definire l’unità
di misura (u) della GF.
Una unità fondamentale ideale deve possedere almeno le
seguenti caratteristiche:
caratteristiche
a) Precisione;
Precisione
b) Accessibilità;
c) Riproducibilità;
d) Invariabilità.
2
Ad ogni GF si deve, almeno in linea di principio, poter associare
un valore numerico in modo univoco ed oggettivo,
oggettivo riproducibile
nelle stesse condizioni da parte di qualsiasi osservatore.
Il valore numerico e’ ottenuto tramite il rapporto tra la GF e
l’unita’ di misura (u) utilizzata per essa.
G.F.
Valore
Numerico
=
GF / u
u
3
Nel caso delle misure indirette di GF non si misura
specificatamente la grandezza che interessa, ma si misurano
direttamente altre GF che sono pero’ legate a quella che ci
interessa tramite una specifica relazione funzionale
(equazione, formula,...).
… la misura indiretta viene anche denominata misura
assoluta in quanto non richiede di fissare un campione
di misura della grandezza da misurare poiche’ l’unità di
misura dipende dalle unità scelte per le grandezze
misurate direttamente.
... La velocita’ di una automobile si puo’ valutare sia
direttamente tramite un “tachimetro”, sia
indirettamente misurando gli spazi percorsi ed i relativi
tempi impiegati, dai quali si risale alla velocita’ media con
una operazione matematica.
4
Per tutte le grandezze geometriche o meccaniche sarebbe
possibile scegliere arbitrariamente una corrispondente unità
di misura, senza tenere conto delle relazioni che legano le
varie grandezze tra di loro.
loro Le formule sarebbero meno
chiare dovendovi comparire anche dei fattori numerici.
Î La condizione essenziale alla quale una qualunque unità di
misura scelta deve soddisfare è quella di rimanere costante
in ogni luogo e in ogni tempo.
tempo
Î L’insieme delle unità di misura scelte forma un sistema di
unità. Tra tutti i possibili sistemi di unità di misura conviene
preferire quello che fa dipendere le unità delle varie
grandezze dal minor numero di unità arbitrarie indipendenti
possibili. Infatti, il sistema metrico decimale fa dipendere
dalla unità lineare “metro” le altre per la misura delle
superfici e dei volumi. Al contrario, il sistema di unità usato
dai Romani era basato sulle unità “piede”, “jugero”e “anfora”
per lunghezza, superficie e volume.
5
Lunghezza
1 piede = 0.2957 m
sistema di unità usato dai Romani
Superfice
1 jugero = 220 piedi x 120 piedi = 26400 piedi2 = 2308.38 m2
Î Sjugero = k x apiede x
= (1/26400) x 2
= 75.758 x 10-6
= 0.174877 m2
bpiede =
x 1 jugeri =
jugeri =
ÎSm2 = am x bm =
= 2 x 0.2957 x 1 x 0.2957 m2 =
= 0.174877 m2
b = 1 piedi
Volume
1 anfora = 1 piede3 = 0.02586 m3 = 25.86 litri
[1 m3=103 litri]
a = 2 piedi
6
Le equazioni dimensionali discendono da una notazione dovuta
a Maxwell. Esse mostrano la dipendenza di una qualunque unità
derivata dalle unità fondamentali.
Per esempio, la grandezza velocità è legata alle grandezze
lunghezza e tempo dalla relazione v = ds/dt e quindi
l’espressione della grandezza velocità [v] è funzione
omogenea di grado +1 rispetto alla grandezza lunghezza [L]
ed è funzione omogenea di grado -1 rispetto alla grandezza
tempo [T].
[T]
[v] = [L]/[T] = [L] [T]-1
Î Definendo come fondamentali le grandezze “lunghezza” e
“tempo”
tempo è possibile dedurre da esse l’unità velocità, come
quella di un mobile che percorra l’unità di lunghezza nell’unità
di tempo.
7
Dal principio di omogeneità discende che
le equazioni dimensionali permettono di verificare se una
Qualunque equazione sia fisicamente corretta.
ÎNon ha alcun significato confrontare due grandezze
che non possiedono le stesse dimensioni fisiche,
ovvero che non siano omogenee.
T = f(l,g) = ??
Î [T] = [L]a x [g]b = [L]a x [L x T-2]b = [L](a+b) x [T](-2b)
[T]
[L]
:
:
1=-2b
0=a+b
Î T = K (l/g)1/2 con k numero puro
Î b=-1/2
Î a=-b=+1/2
(… k = 2 π)
8
• Verificare la correttezza dimensionale della
seguente equazione:
1 3
2
sv = s0 at + v0 t + at
2
• Ove s, s0 sono lunghezze; v, v0 velocita`;
t tempo, a accelerazione.
Î [sv] = [L] [LT-1] = [L]2 [T]-1
Î [s0at] = [L] [LT-2] [T] = [L]2 [T]-1
Î [v2t] = [L2T-2] [T] = [L]2 [T]-1
Î [(1/2) a t3] =[L] [T]-2 [T]3 = [L] [T]
… NO !
9
Riflessioni sui cambiamenti delle unità per le
misure di grandezze derivate
(caso di misure indirette o misure assolute)
… note le leggi e le procedure di misura
CUBO:
CUBO misura relativa per il volume V e per lo spigolo L
cubo n.1
Î
V1
;
L1
cubo n.2
Î
V2
;
L2
… sperimentalmente Î ( V1 / V2 ) = ( L1 / L2 )3
… paragonando tra loro grandezze omogenee,
i rapporti saranno indipendenti dalla scelta fatta
delle unità di misura per volumi e per spigoli
Î ( V1 / (L1)3 ) = ( V2 / (L2)3 ) Î Vcubo = Kc x L3
… Kc dipenderà dalla scelta delle unità di misura 10
CUBO:
CUBO …
Î ( V1 / (L1)3 ) = ( V2 / (L2)3 ) Î Vcubo = Kc x L3
… Kc costante sperimentale per tutti i cubi
… Kc dipenderà dalla scelta arbitraria fatta per le
unità di misura di volume e di spigolo
TRADIZIONALMENTE la lunghezza viene considerata come
una delle Grandezze Fondamentali e conseguentemente la
Unità di Volume dei CUBI potrebbe essere scelta
liberamente, per consuetudine …
Kc = 1 Î Vcubo = L3
11
SFERA:
SFERA misura relativa per il volume V e per il diametro D
sfera n.1 Î
V1
;
D1
sfera n.2 Î
V2
;
D2
… sperimentalmente Î ( V1 / V2 ) = ( D1 / D2 )3
… paragonando tra loro grandezze omogenee,
i rapporti saranno indipendenti dalla scelta fatta
delle unità di misura per volumi e per diametri
Î ( V1 / (D1)3 ) = ( V2 / (D2)3 ) Î V = Ks x D3
… Ks dipenderà dalla scelta delle unità di misura
12
Alcuni dei possibili criteri di scelta per la costante Ks:
1) Stessa unità per le misure relative dei volumi
(cubo, sfera) e mantenimento della scelta Kc = 1
in modo che Vc = L3.
… dall’esperienza Ks = π / 6 in modo che:
Î Vs = Ks x D3 = (π / 6) x (2 x R)3 = (4 π / 3) x R3
2) Diverse unità per le misure relative dei volumi
(cubo, sfera) con
Kc = 1 in modo che Vc = L3
Ks = 1 in modo che Vs = D3
3) ……
13
Sistema di unità di misura:
n
n
Grandezze Fondamentali
Unità di misura per le n GF
x1 , x2 , … , xn
u1 , u2 , … , un
G = Grandezza derivata dalle n GF (legge fisica)
α1
α2
αn
[G ] = [u1 ][u2 ]...[un ]
…n=3
x1 = lunghezza, x2 = massa, x3 = tempo
u1 = m
u2 = kg
u3 = s
a = accelerazione ua = 1 m/s2
−2
[a ] = [l ][m ][t ]
1
u1 = km
u2 = kg
u3 = h
a = accelerazione ua = 1 km/h2 = 7.7 x 10-5 m/s2
0
14
Cambiamento delle Grandezze Fondamentali
tra 2 sistemi di unità di misura
1° Sistema di Unita’ di misura
n GF
1 GF
FONDAMENTALI
x1 , x2 ,......, xn
α1
α2
αn
DERIVATA , [G ] = [ x1 ][ x2 ]......[ xn ]
2° Sistema di Unita’ di misura
m GF
1 GF
FONDAMENTALI
y1 , y2 ,......, ym
DERIVATA , [G ] = [ y1β1 ][ y2β 2 ]......[ ymβ m ]
… le GF xk, fondamentali nel 1° sistema di Unità di misura,
in generale saranno GF derivate nel 2° sistema di Unità di
misura.
15
⎧[ x1 ] = [ y1 ][ y2 ]......[ym ]
⎪
βm2
β12
β22
⎪[ x2 ] = [ y1 ][ y2 ]......[ym ]
⎨
⎪...
⎪
βmn
β1n
β2n
⎩[ xn ] = [ y1 ][ y2 ]......[ym ]
β11
βm1
β21
[G] = [ x1α1 ][x2α2 ]......[xnαn ] =
(
β11
β21
βm1
)(
α1
β12
β22
βm2
) (
α2
β1n
β2n
βmn
)
= [ y1 ][ y2 ]......[ym ] [ y1 ][ y2 ]......[ym ] ... [ y1 ][ y2 ]......[ym ]
β11α1 + β12α 2 +...+ β1nα n
= [ y1
β21α1 + β22α 2 +...+ β2nα n
][ y2
βm1 α1 + βm2α 2 +...+ βmnα n
]......[ym
]
16
αn
=
Esempio: p = pressione
1° Sistema di Unitò di misura
GFF:
l;m;t
Î [p] = [F] / [S] = [m l t-2] / [l2] = [l-1 ] [m] [t-2 ]
2° Sistema di Unitò di misura
GFF:
l;f;t
Î [p] = [F] / [S] = [f] / [l2] = [l-2] [f] [t0]
[l] = [l] [f0] [t0]
[m] = [f] / [l t-2] = [l-1] [f] [t2]
[t] = [l0] [f0] [t]
Î[p] = [l-1 ] [m] [t-2 ] =
17
0
0
-1
2
0
0
1
2
2
= [([l]
[( ] [f ] [t]) ] = [l ] [f] [t0]
[( [f ] [t ]) ] [([l
[( ] [f] [t ])] [([l
SI
18
http://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_internazionale_di_unit%C3%A0_di_misura
In rosso gli unici tre stati in cui il Sistema Internazionale non è
stato adottato come principale o unico sistema di misurazione:
gli Stati Uniti d'America, la Liberia e la Birmania
19
BIPM
Bureau International des Poids et Mesures
http://www.bipm.org/
http://www.bipm.org/en/home/
NBS
NIST
National Bureau of Standards … sostituito da
National Institute of Standards and Technology
http://www.nist.gov/index.html
ISO
International Organization of Standardization
http://www.iso.org/iso/home.html
Istituto Elettrotecnico Nazionale G. Ferraris
Istituto di Metrologia G. Colonnetti
(Torino)
Ufficio Metrico Ministero Industria
Commercio e Artigianato
(Roma)
20
21
http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8.pdf
w.bipm.or
http://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf
http://www.inrim.it/
22
http://www.inrim.it/ldm/cd_ldm/allegati/SI_internazionale/tutto_Si_in_breve.pdf
23
http://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf
24
http://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf
25
Sistema di unita’ di misura internazionale
- grandezze
fondamentali
- unita’ di misura
- lunghezza
- massa
- tempo
- intensita’ di
corrente elettrica
- temperatura
- intensita’ luminosa
- quantita’ di materia
(SI)
- dimensioni
fisiche
metro (m)
kilogrammo (kg)
secondo (s)
[L]
[M]
[T]
Ampere (A)
Kelvin (K)
candela (cd)
mole (mol)
[I]
[Θ]
[J]
[N]
... Le unita’ per la misura delle grandezze derivate sono
univocamente determinate dalle relazioni algebriche che le 26
legano alle grandezze fondamentali.
Grandezze fondamentali per il S.I. [1/2]
Simbolo
nelle
formule
Simbolo
dimensionale
Unità
Simbolo
unità
definizione
Campione primario
grandezza
Campione
conservato in Italia
lunghezza
l
[ L]
metro
m
è la distanza percorsa
dalla luce nel vuoto in
un intervallo di tempo
pari a 1 / 299 792 458
secondi, pari a
1 650 763.73
lunghezze d’onda (λ
λ),
nel vuoto della
radiazione
corrispondente alla
transizione fra i livelli
2p10 e 5ds dello
atomo di cripto 86
Lampada campione
al cripto 86 e
interferometro con
incertezza 4 x 10-9
Istituto Metrologico
Gustavo Colonnetti
del CNR Torino
massa
m
[M]
kilogrammo
kg
è la massa del
prototipo n. 1
conservato al BIPM
Cilindro a sezione
quadrata di lato 39
mm di platino iridio e
bilancia di taratura
con i incertezza di
2x10-9
Ufficio Metrico
Ministero Industria
Commercio e
Artigianato Roma
Istituto Metrologico
Gustavo Colonnetti
del CNR Torino
intervallo
di tempo
Δt
[T]
secondo
s
è l’intervallo di tempo
pari a 9 192 631 770
periodi (T
T) della
radiazione
corrispondente alla
transizione tra i due
livelli iperfini dello
stato fondamentale
dell’atomo
atomo di cesio
133
Orologio atomico al
cesio con incertezza
di 10-12 / 100 s
Istituto
Elettrotecnico
Nazionale Galileo
Ferraris Torino
27
Grandezze fondamentali per il S.I. [2/2]
grandezza
Simbolo
nelle
formule
Simbolo
dimensionale
Unità
Simbolo
unità
definizione
Campione primario
Campione conservato in
Italia
intensità di
corrente
elettrica
I, i
[I]
Ampere
A
è l’intensità di
corrente elettrica che
scorre in due
conduttori rettilinei
paralleli di lunghezza
infinita posti alla
distanza di 1 m nel
vuoto, che produce
tra di essi una forza di
2 x 10-7 N/ m
Bilancia
elettromagnetica con
incertezza 4x10-6
Istituto Elettrotecnico
Nazionale Galileo
Ferraris Torino
intervallo di
temperatura
ΔT
[Θ]
Kelvin
K
è pari a 1 / 273.16
dell’intervallo di
temperatura tra lo
zero assoluto e il
punto triplo
dell’acqua
Vaso di Dewar
contenente l’acqua alla
pressione di 600 Pa
presente negli stati
liquido, vapore e solido
con incertezza 4x10-7
Istituto Metrologico
Gustavo Colonnetti del
CNR Torino
intensità
luminosa
Iν
[J]
candela
cd
è l’intensità luminosa
di una superficie pari
a
(1 / 600 000) m2 del
corpo nero alla
temperatura di
solidificazione del
platino emessa in
direzione
perpendicolare alla
pressione di
101 325 Pa
Cilindro con foro
immerso nel platino a
temperatura di
solidificazione con
incertezza 10-2
Istituto Elettrotecnico
Nazionale Galileo
Ferraris Torino
quantità di
sostanza
n
[N]
mole
mol
è la quantità di
sostanza pari al
numero di atomi
contenuti in 0,012 kg
di carbonio 12
Mole di carbonio 12 pari
a
6,022 141 99x 1023 atomi
di carbonio
28
Il Sistema Internazionale, oltre a utilizzare le sette
unità di misura fondamentali, fa uso anche di
due unità di misura supplementari.
1 radiante : angolo piano definito come
“rapporto fra la lunghezza dell’arco sotteso ed il raggio“
R
θ = l / R
l
θ
29
La misura in steradianti dell'angolo solido Ω è definita come
A / r2, dove A è l'area della porzione di superficie sferica
di raggio r vista sotto l'angolo Ω. Î L’intera sfera sottende
un angolo solido pari a 4π ≈ 12.56637 sr.
1 m2
Ω = A / r2
1m
… Il nome steradiante deriva dal greco “stereos”
stereos per solido
e dal latino “radius”
radius per raggio.
30
Velocita’ media di un corpo in movimento: v = Δs/Δt
uSI(lunghezza) = metro
uSI(tempo) = secondo
Î uSI(v)=metro/secondo
[v] = [L]/[T] = [L] [T]-1
u(lunghezza) = kilometro = 1000 x uSI(lunghezza)
u(tempo) = ora = 3600 x uSI(tempo)
Î u(v)=(kilometro/ora)=
=((1000 x metro)/(3600 x secondo))=(1/3.6) x uSI(v)
ÎuSI(v)=3.6 x u(v)
(100 km/h)/(3.6) ~ 28 m/s
(28 m/s) x 3.6 ~ 100 km/h
31
Î Definendo come fondamentali le grandezze
“lunghezza”, “tempo” e “massa”
-2
Î [F] = [M][a] = [M][L][T] -2
F=m a
U(F)SI=Newton (N)
1 N = 1 kg 1 m 1 s-2
F
L=F s cos(α)
α
s
Î [L] = [F] [s] [cos(α)] =
-2
U(L)SI=Joule
= [M][L][T] -2[L] [MLT]0 =
1 J = 1 N 1 m
= [M] [L]2[T]-2
2
-2
32
GRANDEZZA FISICA
Unità di misura nel S.I.
DIMENSIONI
33
34
CGS
35
Sistema di unita’ di misura CGS:
… Proposto su suggerimento di Lord Kelvin dall’Associazione
Britannica per il Progresso delle Scienze nel 1873 e adottato
nel 1881.
- grandezze
- unita’ di misura
- dimensioni
fondamentali
fisiche
- lunghezza
- massa
- tempo
centimetro (cm)
grammo (g)
secondo (s)
[L]
[M]
[T]
… Il CGS è incompleto, mancando sia le GF elettriche sia le GF
magnetiche. L’estensione ai fenomeni elettromagnetici e’ stata
fatta con i sistemi cgses (elettrostatico) e cgsem
(elettromagnetico).
… I sistemi CGS e SI hanno in comune le stesse grandezze
fondamentali per la meccanica: lunghezza, massa e tempo.
36
... Le unita’ cgs per la misura delle grandezze derivate sono
univocamente determinate dalle relazioni algebriche che le
legano alle grandezze fondamentali (analogamente al SI).
v = Δs/Δt
ucgs(v) = cm/s
[v] = [L] [T]-1
Î 1 cm/s = 10-2 m/s
a = Δv/Δt
ucgs(a) = 1 Gal = cm/s2
[a] = [L] [T]-2
Î 1 cm/s2 = 10-2 m/s2
F = m x a
ucgs(F) = 1 dyn = 1 g x 1 cm/s2
Î 1 dyn =
10-3
kg x
10-2
m/s2
[F] = [M] [L] [T]-2
=
10-5
N
… … …
37
...
L = F s cos(α)
2
-2
[L] = [M] [L]2 [T]-2
u(L)cgs= 1 erg = 1 dyn x 1 cm
Î 1 erg = 10-5 N x 10-2 m = 10-7 J
P = F / S
u(P)cgs= 1 baria = 1 dyn / 1 cm2
-1
-2
[P] = [M] [L]-1 [T]-2
Î 1 baria = 10-5 N / 10-4 m2 = 10-1 Pa
ρ = m / V
u(ρ)cgs= 1 g / 1 cm3
[ρ] = [M] [L]-3
Î 1 g/cm3 = 10-3 kg / 10-6 m3 = 103 kg/m3
38
ST
39
Sistema Tecnico (o degli ingegneri) di unita’ di misura:
….
- grandezze
- unita’ di misura
- dimensioni
fondamentali
fisiche
- lunghezza
- forza
- tempo
metro (m)
chilogrammo-peso (kgp)
secondo (s)
[L]
[F]
[T]
… I sistemi ST e SI hanno diverse grandezze fondamentali
per la meccanica.
Campione di massa al BIPM:
U(M)SI = 1kg
g
U(F)ST = 1kgp
40
U(F)SI / U(F)ST = ?
SI: M = 1 kg
M
F = M x g
g = 9.807 m/s2
g
Î F = 1 kg x 9.807 m/s2 = 9.807 N ≈ 10 N
ST: F = 1 kgf
U(F)SI / U(F)ST = N / kgf = 1 / 9.807 ≈ 1 / 10
U(M)SI / U(M)ST = ?
ST:
[M] = [F] / [a] = [F] [L]-1 [T]2
U(M)ST = kgf x m-1 x s2
U(M)SI / U(M)ST = kg / (kgf x m-1 x s2) =
= N / kgf = 1 / 9.807
≈ 1 / 10
41
U(Lavoro)SI / U(Lavoro)ST = ?
ST:
[Lavoro] = [F] [L]
U(Lavoro)ST = 1 kgm = kgf x m
U(Lavoro)SI / U(Lavoro)ST = J / (kgf x m) =
= (N x m) / (kgf x m) =
= N / kgf = 1 / 9.807 ≈ 1 / 10
42
Esempio di conversione di
unita’ di misura non standard
Da
a
rpm = “rivoluzioni al minuto”
frot = “frequenza di rotazione”
43
..se si fanno
pasticci
con le unità di
misura…
125 milioni di dollari
Possono finire nella…
polvere marziana!
compagnia Lockheed-Martin
44
45
46
t(°C) / 100 = (t(°F)-32) / 180
Î t(°C) = (t(°F) – 32) / 1.8
Î t(°F) = t(°C) x 1.8 + 32
t(K) = t(°C) + 273.15
t(°C) = t(K) - 273.15
47
Strumenti
di misura
tarati
48
In generale abbiamo visto vari tipi di misure:
- Misura di G.F. fondamentale “x”
Î confronto diretto con il campione della unita’ di
misura della G.F. stessa o una sua copia.
- Misura di G.F. Derivata “y”
Î misuro le G.F. fondamentali “x1”, “x2”, ...
da cui dipende la G.F. derivata “y” tramite
la legge fisica y = y(x1,x2,...) che la regola.
- Misura di G.F. tramite apparecchio tarato di misura
sia per G.F. Fondamentale che per G.F. Derivata.
Î taratura di un “meccanismo” interno.
49
Apparecchio tarato
g
Trasduttore
elettrico
Apparato
elettronico
Strumento
d’uscita
u(g)
- In generale, l’inserzione di uno strumento di misura
qualunque in un “sistema” per fare una misura, perturba
inevitabilmente il sistema stesso sotto studio.
g0 Î g ≠ g0
- Sensibilità
≠ Precisione
Δg minimo
misurabile
≈ 1 / Δu
@ g = costante Î u ± Δu
50
Sensibilità “S” della scala di uno strumento:
g
Δu
s=
Δg
u
… per esempio: 1 DIV / V … … … … 1 DIV / mV
u
u
Δu
Δu
g
Δg
Δg
g
51
Scala lineare:
u(g) = a g
Î
S = du/dg = a
… sensibilità “S” costante vs. g
0
Scala quadratica: u(g) = a g2 Î
8
S = du/dg = 2 a g
… sensibilità “S” crescente vs. g
3
0
Scala iperbolica:
u(g) = a / g Î S = du/dg = -a / g2
… sensibilità “S” decrescente vs. g
52
Incertezza di misura o incertezza sperimentale:
Possibili cause:
- Qualità dello strumento di misura
(… sensibilità, precisione)
- Natura della G.F. da misurare che può essere (anche
nella fisica classica) non ben definita
(… dimensioni di una stanza con pareti non
perfettamente a squadro)
53