Capitolo 2: DIMENSIONI DELLE GRANDEZZE FISICHE 2.1

Capitolo 2: DIMENSIONI DELLE GRANDEZZE FISICHE
2.1 Grandezze elementari e derivate
Una grandezza sica, come e stata denita nel capitolo precedente, e un'entita caratterizzata da un
numero algebrico che ne denisce il valore, da una indeterminazione o errore, e da una unita di misura. Si
dicono grandezze omogenee tutte quelle grandezze che sono confrontabili direttamente con una grandezza
scelta come unita di misura, e quindi esprimibili mediante opportuni multipli o sottomultipli della stessa.
Cos, per esempio, le seguenti misure:
- lunghezza del tavolo = 1.2 m
- larghezza della porta = 200.0 cm
- spessore del foglio = 0.1 mm
- altezza del Monte Bianco = 4.8 Km
- distanza terra - centro della galassia = 32000 anni-luce
- diametro dell'atomo d'idrogeno = 1 A
hanno tutte una caratteristica comune; le unita di misura sono unita di lunghezza e possono tutte, volendo,
essere espresse come multipli o sottomultipli di una qualunque di esse scelta a piacere. Si esprime cio dicendo
che le grandezze considerate hanno la stessa dimensione, quella della lunghezza.
Possiamo rappresentare simbolicamente l'informazione contenuta in una grandezza sica G scrivendo:
G = g fGg
(2:1:1)
intendendo in tale scrittura che fGg rappresenta l'unita di misura, mentre g e il valore della grandezza G,
cioe il numero che indica quante volte fGg e contenuta in G. Ovviamente l'unita di misura puo venir scelta in
modo del tutto arbitrario; una volta scelta, il valore di G puo venir determinato confrontando direttamente
la grandezza in questione con l'unita di misura selezionata. Per alcune grandezze siche, quali per esempio
la lunghezza, l'area, il volume, l'angolo piano, etc., questa e stata la via seguita, anche storicamente, per
introdurre le rispettive unita di misura. Con lo sviluppo della sica ed il progresso della tecnologia sono
successivamente state introdotte numerosissime altre grandezze e per ciascuna di esse si e denita (o avrebbe
potuto essere denita) una unita di misura scelta \ad hoc". Per esempio per la pressione e stata introdotta
come unita di misura l'atmosfera, per la forza elettromotrice il daniell, e cos via. Se pero si introducesse
per ogni grandezza sica una unita arbitraria (anche se per altro giusticata da valide ragioni pratiche), le
leggi della sica risulterebbero invase da moltissime e scomode costanti di proporzionalita, oltre che da una
pletora di unita di cui si farebbe fatica a ricordarsi. Inoltre per svariate grandezze siche la misura diretta,
cioe il confronto diretto con una unita di misura \ad hoc", sarebbe molto complesso oltre che arbitrario.
Si veda per esempio la velocita la cui denizione sorge in modo naturale da un confronto tra la lunghezza
percorsa ed il tempo impiegato a percorrerla. Se si riette un momento ci si rende rapidamente conto che
non sarebbe aatto banale realizzare una unita di misura di velocita. Questo stesso esempio ci mostra
che la grandezza velocita e denibile mediante altre grandezze. Ecco cos apparire il concetto di grandezza
sica derivata esprimibile mediante altre grandezze siche primitive o fondamentali, considerate piu
elementari, se non altro perche piu facilmente misurabili.
2.1
Il legame tra le grandezze siche primitive, e le altre grandezze che via via vengono introdotte in sica
puo essere di due tipi:
a) relazioni di denizione che deniscono cioe una grandezza sica derivata mediante altre grandezze
fondamentali. Per esempio le relazioni v = l=t ed a = v=t deniscono le grandezze velocita media ed
accelerazione media, tramite le grandezze primitive lunghezza e tempo.
b) relazioni che esprimono leggi siche di cui tipici esempi sono la \Legge di gravitazione universale" di
Newton,
(2:1:2)
F = G Mr2m
le leggi dell'elettromagnetismo, la denizione dell'energia propria di un fotone e cos via. Le relazioni di
questo tipo esprimono un legame tra grandezze (primitive e/o derivate) a priori non necessario. In altre
parole una relazione di questo tipo traduce l'esistenza di una legge sica naturale. La relazione tra
forza, massa e lunghezza espressa dalla legge di Newton esprime l'esistenza dell'attrazione gravitazionale
che non discende dai concetti di massa e di lunghezza. Per poter \eguagliare dimensionalmente" i due
membrie stato necessario introdurre una costante G (costante di gravitazione universale) dimensionale
e non nulla.
Alcune relazioni di denizione (equazioni base per la meccanica) sono elencate nella tabella seguente:
Grandezza
Denizione
velocita uniforme
accelerazione uniforme
forza
pressione
lavoro di una forza
quantita di moto
energia cinetica
v = l=t
a = v=t
F =ma
p = F=S
L = F l
q = mv
E = 12 m v2
Tutte le precedenti relazioni hanno lo stesso signicato delle relazioni note dalla geometria elementare quali:
S = l2 (supercie di un quadrato di lato l),
S = r2 (supercie di una circonferenza di raggio r),
V = l3 (volume di un cubo di lato l),
= k s=r (angolo piano sotteso da un arco di lunghezza s su una circonferenza di raggio r).
E da osservare che nelle formule o relazioni siche compaiono sovente numeri reali quali =3.14159..,
e=2.71828.., etc. che evidentemente non hanno nulla a che vedere con la scelta delle unita di misura delle varie
grandezze. Si parla in questo caso di numeri puri; un numero puro ha dimensioni nulle. Analogamente sono
numeri puri le funzioni analitiche tipo elevamento a potenza, logaritmo, seno, coseno, tangente, cotangente,
e cos via. Tutte queste funzioni possono essere sviluppate in serie di Taylor. La formula di Taylor:
2
3
f(x) = f(x0 ) + f 0 (x0) (x ; x0) + f 00 (x0 ) (x ;2!x0) + f 000 (x0) (x ;3!x0) (2:1:3)
permette infatti di ottenere, in modo approssimato, il valore di una funzione f(x) calcolandola in un punto x0
dove la funzione e ben conosciuta. Se, per esempio, si vuol conoscere il valore di ex , per un x sucientemente
piccolo, si puo calcolarlo in x0 = 0. Espandendo in serie si ottiene allora:
1 n
2
3
X
ex = xn! = 1 + x + x2! + x3! + :::
(2:1:4)
n=0
2.2
Tutti i termini a secondo membro devono avere le stesse dimensioni per poter essere sommati. Quindi
avranno la stessa dimensione del primo addendo che e il numero puro 1. La loro somma, cioe ex , deve essere
quindi anch'essa un numero puro.
Come ulteriore esempio si puo calcolare la espansione in serie di Taylor del sen() o del cos() attorno
a = 0 ossia
2
3
4
3
5 ; : : : (2:1:5)
sen() = sen(0) + cos(0) ; sen(0) 2! ; cos(0) 3! + sen(0) 4! + : : : = ; 6 + 120
3
4
2 4
2
; :::
(2:1:6)
cos() = cos(0) ; sen(0) ; cos(0) 2! + sen(0) 3! + cos(0) 4! + : : : = 1 ; 2 + 24
Per piccoli bastera considerare solo alcuni termini della serie.
2.2 Denizione delle unita derivate
Il numero ed il tipo delle grandezze che vengono scelte come fondamentali e largamente arbitrario. In
pratica la scelta e dettata dal criterio che le unita di misura siano realizzabili, conservabili, e riproducibili
in maniera soddisfacente. Per questo motivo si considerano in generale come fondamentali, tra le altre,
grandezze quali la lunghezza, il tempo e la massa. Denite le grandezze fondamentali e le loro unita di misura,
rimane automaticamente denito un Sistema di unita di misura; infatti le unita di misura di tutte le
altre grandezze, che verranno successivamente introdotte, potranno venir denite tramite una combinazione
delle grandezze fondamentali. Tutte queste altre grandezze, che vengono cioe denite mediante le grandezze
fondamentali, vengono designate come grandezze derivate e cos diconsi le loro rispettive unita di misura.
Consideriamo, per esempio, la grandezza sica velocita di un punto materiale che si muove di
moto rettilineo uniforme. La denizione di velocita media e nel modo piu generale possibile:
v = k tl
(2:2:1)
dove k e una costante il cui valore dipende dalla scelta delle unita di misura scelte per v, l, e t. Questa
relazione, esplicitando le unita di misura, si puo scrivere come:
(2:2:2)
v fvg = k fkg tl ffltgg
che compendia le due equazioni, quella tra le misure e quella tra le unita di misura. Se identichiamo, per
denizione, l'unita di misura di v, fvg, con flg=ftg, il che si ottiene scegliendo k=1 (numero puro), ne
segue che si puo scindere le due parti ottenendo:
v = tl fvg = fftlgg :
(2:2:3)
Si dice che le unita fvg, flg e ftg sono coerenti. E chiaramente vantaggioso eliminare una costante dalle
formule; in questo caso le equazioni tra le misura e quelle tra le unita di misura sono identiche. [1]
[1] Se nell'equazione base si ha un coeciente, per esempio il coeciente 1 nella formula che denisce
2
l'energia cinetica, si conviene di porre tale coeciente nell'equazione tra le misure.
2.3
E fondamentale avere ben chiaro che si tratta di una convenzione. L'espressione \metri al secondo"
(m/s), unita di misura coerente della velocita, e un simbolo convenzionale da trattare algebricamente, ma
nulla di piu. Questa convenzione e pero estremamente utile in quanto ci aranca dalla necessita di introdurre
una nuova unita di misura col suo nome, nonche da una eventuale costante di proporzionalita. Analoghe
convenzioni stanno alla base delle unita di misura delle altre grandezze che si introducono in sica. Per
alcune di esse, per esempio l'area, la cosa e cos radicata in noi, n dai primi anni di scuola, che quasi non
ce ne accorgiamo. Se consideriamo per esempio un quadrato di lato l, sappiamo dalla geometria elementare
che l'area S dello stesso e proporzionale al quadrato della misura del lato:
S = k l2 :
(2:2:4)
La convenzione con cui siamo tutti familiari e quella di scegliere come unita di misura l'area del quadrato il
cui lato vale 1 (in una certa unita; ad es. il metro), e chiamare tale area col nome convenzionale di \metro
quadrato" (m2 ). Con lo stesso buon diritto si potrebbe pero denire il m2 come l'area del cerchio di raggio
r unitario. Un altro esempio istruttivo viene fornito dall'angolo piano. Nella geometria elementare l'angolo
piano viene introdotto come grandezza primaria e si deduce successivamente la relazione seguente:
(2:2:5)
= rs :
Poiche s ed r hanno la dimensione di una lunghezza, e quindi le loro unita sono coerenti, si ha che la equazione
tra misure e:
= k rs
(2:2:6)
mentre la equazione tra le unita risulta:
fg = fkg ffrsgg = fkg;
(2:2:7)
cioe le dimensioni di sono le stesse di quelle di k e l'unita di angolo e quindi anche l'unita della costante
k. Si vede facilmente che la costante k e l'angolo che sottende un arco di circonferenza s di lunghezza pari
al raggio r. La scelta dell'unita di misura di (o di k) e arbitraria. Due sono le convenzioni diuse:
a) k = 1; l'unita coerente di angolo risultante e il radiante (rad);
b) k = 360=2; l'unita di angolo che ne risulta e il grado nonagesimale ( ).
Nell'uno e nell'altro caso si dovrebbe pertanto scrivere
(2:2:8)
= (1rad) rs
s
= 360
(2:2:9)
2 r :
Volendo pertanto procedere coerentemente occorrerebbe introdurre l'unita di misura di k, ossia fkg, che ha
lo stesso diritto di cittadinanza, in sica, delle unita di misura per lunghezze, tempi, masse e cos via. Poiche
pero k e una costante universale e e k hanno le stesse dimensioni si suole lasciare cadere, per convenzione,
l'1 ed il rad, scrivendo l'angolo piano semplicemente come:
(2:2:10)
= rs
2.4
lasciando sottinteso che la cosa e vera solamente per angoli misurati in radianti.
2.3 Dimensione delle grandezze siche
Abbiamo gia introdotto il concetto di dimensione osservando che piu grandezze elementari (per esempio
G1; G2; : : :; Gn) si dice che hanno la stessa dimensione se esse possono venir misurate usando opportuni
multipli o sottomultipli della stessa unita di misura. Formalmente si esprime cio indicando la dimensione
col simbolo tra parentesi quadra della grandezza in questione, per esempio, [L] per le lunghezze, [M] per le
masse e [T], per i tempi. La notazione [L], per esempio, non va confusa con la designazione della particolare
unita di misura fLg che puo essere il centimetro (cm), il metro (m), etc. a seconda del Sistema di misura
utilizzato. [L] rappresenta la classe di tutte le unita di misura delle lunghezze. Analogamente per le altre
grandezze.
Nel caso di grandezze derivate il concetto di dimensione si puo estendere in modo ovvio. Supponiamo
di avere denito un certo numero di grandezze fondamentali; siano esse: F1; F2; : : :; Fn . Nel caso della
meccanica, per esempio, sono sucienti tre sole grandezze che possono essere la lunghezza, la massa ed il
tempo. Una generica grandezza derivata, G, potra sempre venir espressa nel modo seguente:
G = k F11 F22 Fnn
(2:3:1)
avendo indicato con k una costante di proporzionalita il cui valore dipende dalla scelta delle unita di misura di
G e delle Fi mentre gli esponenti i sono numeri razionali positivi o negativi. Alcuni degli esempi precedenti
illustrano questa espressione. Anche se gli esponenti incontrati no ad ora erano sempre numeri interi, e facile
convincersi che le i possono benissimo essere dei numeri razionali. Il signicato della relazione, esplicitando
le unita di misura delle grandezze, e il seguente:
g fGg = k f11 fF1g1 f22 fF2g2 fnn fFngn
(2:3:2)
avendo indicato con g; f1 ; f2 ; : : :; fn , i valori e con fGg; fF1g; fF2g; : : :; fFng, le unita di misura utilizzate
rispettivamente per G; F1; F2; : : :; Fn.
Una denizione coerente di fGg implica k = 1, e quindi
g = f11 f22 fnn
ed anche
fGg = fF1g1 fF2g2 fFngn
(2:3:3)
(2:3:4)
denizione coerente dell'unita di misura di G tramite le unita di misura di F1; F2 ; : : :; Fn. Questa stessa
equazione puo venir interpretata altres come denizione della dimensione di G. Le usuali frasi, come
per esempio \l'accelerazione e una lunghezza divisa per un tempo al quadrato", oppure \la velocita e una
lunghezza divisa per un tempo", e cos via vanno considerate ed usate come la lettura della corrispondente
equazione dimensionale tra le unita, e non come denizione della grandezza.
Consideriamo ora alcuni semplici esempi. Supponiamo (anticipando quanto vedremo nel prossimo capitolo) di aver scelto come grandezze fondamentali la lunghezza, la massa e il tempo. La lunghezza sara
2.5
misurata con un regolo la cui unita sia, per esempio, il metro, che e la lunghezza di un certo campione
depositato in un certo luogo prestabilito. La massa sara misurata con una bilancia; l'unita scelta sia il chilogrammo che e la massa di un particolare campione conservato anch'esso in un apposito luogo. I tempi saranno
misurati invece con un orologio la cui unita sia il secondo, che e la durata degli intervalli di tempo scanditi da
un particolare orologio preso come campione. Le dimensioni di alcune delle piu comuni grandezze derivate
si possono quindi scrivere come:
supercie: S
[S] = [L]2 [M]0 [T]0
volume: V
[V ] = [L]3 [M]0 [T]0
velocita: v
[v] = [L]1 [M]0 [T ];1
accelerazione: a
[a] = [L]1 [M]0 [T];2
forza: F
[F] = [L]1 [M]1 [T];2
pressione: p
[p] = [L];1 [M]1 [T];2
energia: E
[E] = [L]2 [M]1 [T ];2
momento forza: [] = [L]2 [M]1 [T];2
densita [] = [L];3 [M]1 [T]0
Si puo osservare che le dimensioni cos denite, della supercie o del volume per esempio, sono le stesse
indipendentemente dalla gura geometrica a cui si riferiscono.
Si possono fare ora le seguenti considerazioni:
a) Le dimensioni non deniscono in modo univoco una grandezza sica. Per esempio energia e momento
di una forza sono grandezze siche dierenti ma hanno ambedue le medesime dimensioni.
b) Poiche un cambiamento di unita di misura non deve alterare la validita di una legge sica, le grandezze
siche che sono legate da una certa relazione, corrispondente alla legge sica, devono apparire nella
relazione in modo tale che i due membri della stessa abbiano le stesse dimensioni.
c) Poiche si possono sommare tra loro solamente grandezze omogenee, ne consegue che grandezze siche
diverse possono essere combinate tra loro solo mediante prodotti od elevamenti a potenza.
d) Per essere usate come argomenti di funzione le grandezze siche debbono essere combinate in modo da
formare una quantita adimensionale.
Notiamo per inciso che una grandezza adimensionale non e necessariamente quello che si chiama un
numero puro, mentre e sempre vero il contrario. Il fatto di essere adimensionale, come vedremo, per una
grandezza sica dipende dalla scelta del sistema di unita di misura (per esempio un angolo e adimensionale
se misurato in radianti e non lo e se misurato in gradi) mentre un numero puro intrinsecamente e privo di
dimensioni siche qualunque sistema di misura sia scelto. Per esempio puo essere il rapporto tra quantita
omogenee, come , rapporto tra lunghezza della circonferenza e diametro corrispondente.
2.4 Analisi dimensionale
Le considerazioni dell'Analisi Dimensionale si basano sul fatto che i due membri di un'eguaglianza
che esprime una legge sica debbano essere omogenei tra loro, debbano cioe avere le stesse dimensioni. Due
sono i campi di applicazione di cui ci occuperemo: il controllo dimensionale e la possibilita di determinare
relazioni tra grandezze siche.
2.6
Il controllo dimensionale, condizione necessaria ma non suciente, per la verica della validita di
una relazione e che i due membri siano omogenei. Sfuggono al controllo dimensionale gli errori dovuti a
errati coecienti numerici, o a confusione tra grandezze con le stesse dimensioni, o ancora alla presenza di
grandezze adimensionate. Supponiamo, per esempio, di non ricordarci bene la formula che esprime il periodo
del pendolo semplice ed essere in dubbio tra
s
(2:4:1)
T = 2 gl
r
T = 2 gl :
Calcolando le dimensioni di queste quantita, si ricordi che [g] = [L][T];2, otteniamo:
"s #
l = [L] 21 ([L] [T];2); 12 = [T]
g
(2:4:2)
(2:4:3)
r g ; 12
;2 12
;1
(2:4:4)
l = [L] ([L] [T ] ) = [T]
e quindi non puo essere la seconda espressione, mentre invece la prima ha le dimensioni corrette.
Per esemplicare la possibilita di determinare relazioni tra grandezze consideriamo nuovamente il
pendolo semplice. L'Analisi Dimensionale ci permette di determinare (a meno di una costante) la formula
del periodo. Il fenomeno (trascurando gli attriti) puo dipendere dalla lunghezza l del pendolo, dalla sua
massa m, oltre che, ovviamente, dall'accelerazione di gravita g. Potremo pertanto dire che, a meno di una
costante numerica, il periodo T e dato da:
T = l m g
(2:4:5)
dove , , , sono, per ora, delle incognite. Richiedendo che i due membri abbiano le stesse dimensioni,
imponiamo che:
[T] = [L] [M] ([L] [T ];2) = [L]+ [M] [T ];2
(2:4:6)
e quindi, uguagliando il valore dei singoli coecienti per [L]; [M]; [T], otteniamo:
+ = 0;
Ne segue che
= 21 ;
e pertanto la relazione richiesta deve essere:
= 0;
= 0;
s
T = k gl
;2 = 1:
= ; 12
(2:4:7)
(2:4:8)
(2:4:9)
ove k e una costante adimensionale dipendente dal Sistema di misura utilizzato.
Come altro esempio consideriamo la derivazione della Terza legge di Keplero. Siano dati due corpi
di masse m1 e m2 ruotanti uno intorno all'altro in orbite che, per semplicita, supporremo circolari di raggio
2.7
r. Valutiamo il periodo di rotazione . Questo puo dipendere da m1 , m2 , r e G, essendo G la costante di
gravitazione universale. La piu semplice relazione che possiamo scrivere tra queste quantita e:
= m1 m2 r G
(2:4:10)
Imponendo che ambo i membri abbiano le stesse dimensioni e ricordando che
[G] = [L]3[M];1[T];2
(2:4:11)
si ha che:
[] = [M] [M] [L] ([L]3[M];1[T];2) = [L] +3 [M]+; [T ];2
(2:4:12)
da cui segue che:
+ 3 = 0; + ; = 0; ;2 = 1
(2:4:13)
cioe:
(2:4:14)
= ; ; 12 ; = 32 ; = ; 21 :
Avendo tre equazioni con quattro incognite non si possono determinare univocamente tutti i coecienti. Per
esempio presi e si puo solo stabilire una relazione tra di essi. Possiamo percio scrivere, avendo posto
= ; ; 21 :
m s r 3
= m1 G m
(2:4:15)
2
2
Su non vi e nessuna restrizione e quindi l'espressione generale di potra venir scritta, osservando che
m1 =m2 e adimensionale, come:
m r3
1 (2:4:16)
2 = m
2 G m2
dove e una funzione, a priori qualsiasi, del rapporto adimensionale m1 =m2 . Questa relazione ci dice,
anche senza conoscere la forma della funzione, che il quadrato del periodo e proporzionale al cubo del raggio
dell'orbita. L'analisi dinamica mostra che in realta non vi e dipendenza dal rapporto delle masse e la
proporzionalita tra quadrato del periodo e cubo del semiasse maggiore si mantiene anche nel confronto dei
moti dei diversi pianeti (Terza legge di Keplero).
Vediamo quale ulteriore esempio di calcolare la velocita di propagazione delle onde trasversali in una
corda. Allorche una corda tesa viene pizzicata, lungo la corda si propaga una deformazione che viaggia con
una certa velocita v. La velocita puo dipendere dalla lunghezza l della corda, dalla sua massa m, nonche
dalla tensione della corda f. Quest'ultima grandezza ha le dimensioni di una forza. Se poniamo quindi,
indicando con k una generica costante numerica:
v = k f l m
(2:4:17)
otteniamo
[v] = [L][T];1 = ([M][L][T ];2]) [L] [M] = [L]+ [M]+ [T ];2
(2:4:18)
da cui segue che:
+ = 1; + = 0; ;2 = ;1:
(2:4:19)
cioe:
= 21 ;
= 12 ;
= ; 12 :
(2:4:20)
e pertanto l'equazione cercata risulta:
r
v = k fm l
(2:4:21)
ove k e una costante adimensionale il cui valore dipende dal Sistema in cui la misura e stata eettuata.
2.8