Fisica in laboratorio

Vincenzo Canale
Massimo Della Pietra
Fisica in laboratorio
Meccanica e Termodinamica
Copyright © MMVIII
ARACNE editrice S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Raffaele Garofalo, 133 A/B
00173 Roma
(06) 93781065
ISBN
978–88–548–1669-5
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: maggio 2006
II edizione: marzo 2008
Indice
Prefazioni alla prima e seconda edizione
1 Le grandezze fisiche e loro misura
1.1 Le grandezze e le leggi fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Dimensioni delle grandezze e unità di misura . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Concetto di dimensioni fisiche e di unità di misura . . . . .
1.2.2 Il Sistema Internazionale ed altri sistemi di unità di misura
1.3 La misura delle grandezze fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 L’operazione di misura con lo strumento . . . . . . . . . . .
1.3.2 Concetto di incertezza nelle misure . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Caratteristiche degli strumenti di misura . . . . . . . . . . .
1.4 Rappresentazione delle grandezze fisiche . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Valori numerici e cifre significative . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Gli istogrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 I grafici di grandezze fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Elementi di analisi dei dati
2.1 La nozione di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Le definizioni di probabilià . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 La probabilità condizionata e il teorema di Bayes .
2.1.3 Le distribuzioni di probabilità . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Distribuzioni di probabilità congiunte e covarianza
2.2 Inferenza statistica e stima della grandezze . . . . . . . .
2.2.1 Stime del valore aspettato e della varianza . . . . .
2.2.2 Intervallo di confidenza . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Incertezze massime . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Incertezze sistematiche . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Combinazione delle misure: la media pesata . . . .
2.3 Misure indirette e propagazione delle incertezze . . . . . .
2.4 Analisi statistica di una legge fisica . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Stima dei parametri di una legge fisica . . . . . . .
2.4.2 Verifica delle ipotesi della legge. Test del χ 2 . . . .
3 Il moto dei gravi
3.1 La forza peso . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Moto di caduta libera di un grave . . . .
3.3 Caduta in presenza di una resistenza del
3.4 Moto di un proiettile . . . . . . . . . . .
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mezzo
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4
Indice
Il moto dei corpi rigidi
4.1 Cinematica e dinamica dei sistemi rigidi . . . . . . . . . .
4.2 Rotazioni intorno ad un asse fisso . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Il moto di rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Rotolamento per effetto di forze o momenti esterni
4.3.2 Misure di rotolamento lungo un piano inclinato . .
4.4 Rotazione intorno ad un punto fisso . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Equazioni di Eulero e moto libero . . . . . . . . .
4.4.2 Moto di Lagrange ed approssimazione giroscopica .
5 Il moto pendolare
5.1 Il pendolo semplice . .
5.2 Il pendolo composto .
5.3 Il pendolo di Foucault
5.4 Il pendolo balistico . .
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6 Le oscillazioni armoniche
6.1 Le forze elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 L’oscillatore armonico unidimensionale . . . . .
6.2.1 Oscillazioni libere in assenza di attrito .
6.2.2 Oscillazioni smorzate con attrito viscoso
6.2.3 Caso generale delle piccole oscillazioni .
6.3 Gli oscillatori armonici accoppiati . . . . . . . .
6.3.1 Sistema di due oscillatori identitici . . .
6.3.2 Realizzazione di un sistema di oscillatori
6.3.3 Caso generale di due oscillatori diversi .
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7 Le oscillazioni forzate
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7.1 L’oscillatore armonico forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2 Oscillazioni forzate di oscillatori accoppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8 Le onde in mezzi continui
8.1 Propagazione di un onda in un mezzo continuo . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Onde longitudinali lungo una molla . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Caratteristiche della propagazione delle onde . . . . . . . . . .
8.1.3 Studio delle onde longitudinali sulla molla . . . . . . . . . . .
8.2 Le onde stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 I modi normali di vibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Misura dei modi normali trasversali e longitudinali della molla
8.2.3 Analisi completa del moto del corpo attaccato alla molla . . . .
8.3 Dispersione, impulsi e velocità di gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Meccanica dei fluidi
9.1 Grandezze caratteristiche dei fluidi . . . .
9.2 La statica dei fluidi . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Principi dell’idrostatica . . . . . .
9.2.2 Verifiche sperimentali della legge di
9.3 La dinamica dei fluidi . . . . . . . . . . .
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Archimede
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Indice
9.3.1
9.3.2
9.3.3
9.3.4
7
Descrizione cinematica del moto dei fluidi . . . . . .
Il fluido perfetto: equazioni di Eulero e di Bernoulli
Il moto dei fluidi reali. La viscosità . . . . . . . . . .
Il moto di un corpo in un fluido . . . . . . . . . . . .
10 Temperatura e Diffusione termica
10.1 La temperatura e la sua misura . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Le proprietà termometriche ed i termometri . . .
10.1.2 Misura della costante di tempo di un termometro
10.2 La diffusione termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 L’equazione per la diffusione termica . . . . . . .
10.2.2 La diffusione termica in regime stazionario . . .
10.2.3 Diffusione termica in regime periodico . . . . . .
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11 Calore e Lavoro
11.1 Misure di quantità di calore . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 La definizione calorimetrica della quantità di calore
11.1.2 Il calorimetro delle mescolanze . . . . . . . . . . .
11.1.3 Misura del calore specifico di un corpo solido . . .
11.1.4 Misura del calore latente di fusione del ghiaccio . .
11.2 Lavoro, calore e conservazione dell’energia . . . . . . . . .
11.2.1 Equivalenza di lavoro e calore . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Misura dell’equivalente meccanico della caloria . .
11.2.3 Misura dell’equivalente elettrico della caloria . . .
12 I gas
12.1 Il gas ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 L’equazione di stato ed il termometro a gas . .
12.1.2 Energia e trasformazioni del gas ideale . . . . .
12.2 Verifiche sperimentali delle leggi dei gas . . . . . . . .
12.2.1 Studio di trasformazioni nel piano di Clapeyron
12.2.2 Studio di una trasformazione isocora . . . . . .
12.3 I gas reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Transizioni di fase di una sostanza pura . . . .
12.3.2 Gas di Van der Waals . . . . . . . . . . . . . .
13 Le macchine termiche
13.1 I cicli termodinamici . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Il rendimento delle macchine termiche
13.1.2 Macchine termiche e secondo principio
13.1.3 Esempi di cicli termodinamici . . . . .
13.2 Studio di una macchina termica reale . . . .
13.2.1 Il ciclo di Stirling . . . . . . . . . . . .
13.2.2 Una macchina di Stirling ad aria . . .
13.2.3 Stima del rendimento del motore . . .
13.2.4 Curve di potenza del motore . . . . .
13.2.5 La macchina frigorifera . . . . . . . .
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8
Indice
Bibliografia
247
A Richiami di meccanica classica
A.1 La Dinamica del punto materiale . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 La Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2 I Principi della dinamica del punto materiale . . . .
A.1.3 Quantità di moto, momento angolare ed energia . .
A.2 La Dinamica dei sistemi di punti materiali . . . . . . . . . .
A.2.1 Il teorema del moto del centro di massa . . . . . . .
A.2.2 Equazioni cardinali, leggi di conservazione ed energia
A.2.3 Il sistema di riferimento del centro di massa . . . . .
A.3 L’invarianza galileana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Il Principio di relatività galileana . . . . . . . . . . .
A.3.2 Descrizione del moto in riferimenti non inerziali . . .
A.3.3 Simmetrie e leggi di conservazione . . . . . . . . . .
B Richiami di termodinamica
B.1 Dalla dinamica alla termodinamica . . . . . . . . . . . . .
B.1.1 Sistemi termodinamici e descrizione dei loro stati .
B.1.2 Trasformazioni dei sistemi termodinamici . . . . .
B.1.3 Interazioni di un sistema termodinamico . . . . . .
B.2 Le leggi della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1 Il principio dell’equilibrio termico o principio zero
B.2.2 Il primo principio della termodinamica . . . . . . .
B.2.3 Il secondo principio della termodinamica . . . . . .
B.2.4 Il terzo principio della termodinamica . . . . . . .
B.3 Proprietà termodinamiche di alcune sostanze . . . . . . .
C Risultati matematici
C.1 Calcolo vettoriale e complesso . . . . . . . . . . . .
C.1.1 Vettori e campi vettoriali . . . . . . . . . .
C.1.2 Numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Derivazione ed Integrazione . . . . . . . . . . . . .
C.2.1 Derivate, differenziali e forme differenziali .
C.2.2 Integrali di funzioni reali . . . . . . . . . .
C.2.3 Derivazione ed integrazione di vettori . . .
C.3 Risoluzione di equazioni differenziali . . . . . . . .
C.3.1 Equazioni i differenziali lineari . . . . . . .
C.3.2 Equazioni differenziali non lineari . . . . . .
C.3.3 Equazioni differenziali alle derivate parziali
D Strumenti di laboratorio
D.1 Strumentazione per misure di tipo manuale . .
D.1.1 Misure di lunghezze . . . . . . . . . . .
D.1.2 Misure di massa . . . . . . . . . . . . .
D.1.3 Misure di tempo e frequenza . . . . . .
D.1.4 Misure elettriche con l’oscilloscopio . . .
D.2 Strumentazione per laboratorio in tempo reale
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Indice
9
D.2.1 Struttura di un sistema RTL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
D.2.2 Sensori di uso frequente nelle esperienze . . . . . . . . . . . . . . . . 301
E Risultati di probabilità e statistica
303
E.1 Definizione di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
E.2 Distribuzioni notevoli di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
E.3 Teoremi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Prefazione alla seconda edizione
Questa nuova edizione nasce dall’esigenza di mantenere aggiornato il testo che, per un libro
di laboratorio di Fisica, è particolarmente sentita, sia per la proposta di nuove esperienze di
particolare interesse didattico, sia per l’uso di nuova strumentazione. In realtà i due aspetti
sono strettamente connessi perchè, grazie allo sviluppo della strumentazione, si possono
realizzare esperienze sempre più interessanti per evidenziare i concetti base della Fisica. In
particolare sono diventati accessibili, a costi relativamente contenuti, numerosi strumenti
che permettono di effettuare misure di laboratorio in tempo reale. Questo permette di
effettuare esperienze in situazioni molto vicine a quelle della vita reale, per esempio i corpi in moto; si possono dunque verificare le leggi fisiche in situazioni sperimentali concrete
ponenendo l’accento sul confronto quantitativo fra osservazione e previsione. Inoltre l’uso
di questa strumentazione consente, generalmente, un significativo miglioramento nella precisione delle misure. Conseguentemente si osservano fenomeni che corrispondono ad effetti
generalmente trascurati nelle schematizzazioni elementari e che richiedono, per comprenderli, interessanti approfondimenti; come per esempio l’effetto della massa delle molle nello
studio dei moti armonici. Questa interconnessione fra miglioramento della sensibilità sperimentale e nuova fenomenologia è interessante perchè costituisce una caratteristica della
ricerca fondamentale, un esempio significatico in tal senso è lo studio della radiazione di
fondo cosmico. Naturalmente non abbiamo stravolto la filosofia del testo; pur utilizzando
strumentazione più avanzata, i sistemi realizzati possono essere completamente spiegabili
per gli studenti del primo anno. In alcuni casi, come per esempio per la stima del volume
dei gas, abbiamo coniugato tecnologia ed originalità.
Riguardo la bibliografia abbiamo preferito inserire i riferimenti direttamente nel corpo
del testo invece di un elenco finale scorrelato dagli argomenti; questa scelta ricalca quella
della letteratura scientifica e l’idea è quella di stimolare puntualmente la curiosità del lettore.
Le opere citate, pur riflettendo i gusti degli autori, sono varie, moderne e comprendono
testi che seguono le diverse impostazioni didattiche (italiana, anglosassone e francese) con
lo scopo di farne scoprire le differenze ed i rispettivi pregi. Naturalmente non potevano
mancare alcuni classici fondamentali che si rivelano ancora, a distanza di decenni, delle
fonti inesauribili di informazione e di approfondimento. Non abbiamo praticamente inserito
riferimenti alla rete informatica poichè, in generale, gli studenti già dominano facilmente
questa interessante fonte di informazione; quello che ci interessa suggerire è la scoperta dei
grandi testi, anche a costo di uno sforzo intellettivo supplementare!
In questa nuova edizione siamo passati alle notazioni matematiche attualmente più
diffuse in letteratura (grassetto per le grandezze vettoriali, ecc...) ed alla rappresentazione
numerica che usa la virgola per separare la parte intera da quella decimale. Per le unità
di misura seguiamo sempre il Sistema Internazionale tranne nelle rare occasioni dove esiste
una motivata esigenza didattica, come per esempio per la caloria. La parte tipografica è
stata ampiamente riveduta, correggendo i numerosi refusi della precedente edizione.
11
Prefazione alla prima edizione
Questo libro nasce dall’esperienza nei corsi di Esperimentazione Fisica I e Fisica I con
Laboratorio tenuti da uno degli autori (V.C.) nella sua attività didattica presso le Università
Tor Vergata di Roma e Federico II di Napoli. Il titolo, per certi aspetti provocatorio, indica
il desiderio di ricondurre l’insegnamento della Fisica nel suo ambito più naturale, quello del
laboratorio. Il testo verte su esperienze di meccanica e termodinamica, e dunque si adatta
ai programmi del primo anno di corso per studenti dei corsi di laurea in Fisica, Matematica
e Chimica. Per gli studenti degli ultimi due corsi di laurea alcuni argomenti si adattano
meglio ad un corso di Complementi di Fisica.
Le esperienze proposte sono concepite per un corso di laboratorio, tuttavia diverse di
esse si prestano molto bene per esperienze dimostrative in aula per evidenziare i concetti
sviluppati nei corsi fenomenologici. Fra queste sono particolarmente rappresentative quelle
sulle oscillazioni forzate, sulle onde e sulla diffusione termica completamente concepite e
realizzate da uno degli autori (V.C.). Altre esperienze nascono dal materiale didattico di
ditte specializzate, tuttavia è stato compiuto uno sforzo significativo per fornirne un’analisi
quanto piú completa del fenomeno come per esempio nel caso del pendolo di Kater o del
motore termico. Infine vi sono anche numerose esperienze molto classiche, come la caduta
libera, la termometria e calorimetria, che non possono mancare in un percorso di laboratorio
di Fisica. Ciononstante in alcuni casi si è seguito un approccio originale, come per esempio
nel piano inclinato, per evidenziare alcune tematiche squisitamente sperimentali.
Dal punto di vista strumentale abbiamo cercato per quanto possibile di usare della strumentazione relativamente avanzata evitando però di proporre degli esperimenti che, seppur
molto riusciti perchè ottimizzati dall’uso di materiale molto specializzato, risultano delle
scatola nere. Per quanto possibile abbiamo cercato di realizzare sistemi che, in linea di principio, sono completamente spiegabili per gli studenti del primo anno con il minimo bagaglio
di conoscenze in Fisica delle scuole superiori. Abbiamo introdotto l’uso dell’oscilloscopio
sin dal primo anno sia come cronometro che come analizzatore di forme d’onda riconducibili
al moto e questo per familiarizzare gli studenti con questo strumento fondamentale. Il vantaggio di molti sistemi descritti è che si possono realizzare anche con strumentazione meno
sofisticata di quella proposta senza nulla togliere al valore concettuale dell’esperimento,
per esempio i traguardi interfacciati con un computer possono essere sostituiti da normali
cronometri elettrici.
In un corso di laboratorio di Fisica non può mancare una parte dedicata all’analisi
dei dati sperimentali, questo tema è stato sviluppato principalmente da uno degli autori
(M.D.P.). Nella trattazione abbiamo scelto un approccio misto, partendo da considerazioni
intuitive si giunge ad inserire la problematica nell’ambito più rigoroso dell’analisi statisticoprobabilistica. Abbiamo preferito discutere i principi fondamentali con i diversi aspetti
concettuali, talvolta controversi, piuttosto che insistere sulle formule applicative. In particolare abbiamo scelto di presentare anche l’approccio Bayesiano per l’inferenza statistica
13
14
Prefazione
evidenziandone pregi e difetti rispetto a quello frequentista più diffuso nella letteratura didattica scientifica. L’argomento è al centro di vivaci dibattiti fra gli specialisti e ci sembrava
doveroso fornire allo studente un quadro più ampio di visione.
Il libro è corredato da alcune appendici piuttosto estese il cui scopo è quello di renderlo
praticamente autoconsistente sia dal punto di vista della fenomenologia della Fisica che da
quello degli strumenti matematici. Inoltre in diverse parti del testo si potranno trovare degli
sviluppi di natura fenomenologica su tematiche che vengono oramai raramente discusse
nei normali corsi pur avendo una grande importanza sia concettuale che applicativa. In
alcuni casi si è cercato di introdurre lo studente ad alcuni argomenti più avanzati con una
trattazione semplificata ma sostanzialmente corretta e questo nell’ottica di stimolare la
curiosità del lettore e fornirgli spunti di riflessione.
Il problema delle notazioni è sempre abbastanza complesso in un testo scientifico; per
quanto possibile abbiamo seguito la nomenclatura più diffusa nella letteratura per le diverse
grandezze fisiche. Per i simboli matematici abbiamo scelto la notazione vettoriale con la
freccia e per i prodotti scalare (·) e vettoriale (×) le notazioni oramai universalmente accettate. In numerosi casi per la derivazione rispetto al tempo abbiamo adottato la notazione
di Newton ẋ, ẍ, ecc. Per le unità di misura abbiamo seguito il Sistema Internazionale tranne
in qualche rara occasione, per esempio abbiamo usato espressamente la caloria, inizialmente,
per sottolineare i risultati sperimentali di equivalenza fra scambi energetici di calore e lavoro. Per quanto riguarda la rappresentazione numerica abbiamo adottato la notazione
del punto per separare la parte intera da quella decimale; è stata una decisione dettata
da motivi di praticità visto che tutti gli strumenti di calcolo scientifico, dalle calcolatrici
tascabili ai programmi di analisi dei dati, utilizzano questa notazione.
Un ringraziamento va agli studenti di laboratorio che sono i veri autori inconsapevoli dell’opera con la loro curiosità intellettiva, il desiderio di imparare, i loro errori ed in certi casi
anche l’interpretazione corretta di alcune situazioni controverse (la Fisica è probabilmente
una delle poche materie in cui i professori imparano dagli studenti). Un ringraziamento
anche ai colleghi per i numerosi suggerimenti e consigli, infine un ringraziamento particolare
ai tecnici dei laboratori didattici delle Università di Tor Vergata e della Federico II per la
disponibilità dimostrata in questi anni.
Capitolo 1
Le grandezze fisiche e loro misura
1.1
Le grandezze e le leggi fisiche
La Fisica è la scienza che studia e descrive i fenomeni naturali, una delle sue caratteristiche
fondamentali è rappresentata dal carattere oggettivo di questa conoscenza, ovvero indipendente dalle persone che la acquisiscono. Conseguentemente anche i metodi di indagine
devono possedere questo carattere di assoluta oggettività. Alla base di questa impostazione
vi è il postulato dell’invarianza spazio-temporale: i fenomeni naturali sono indipendenti, a
parità di condizioni, dal luogo e dal momento in cui vengono osservati.
Il modo per realizzare al meglio queste condizioni è quello di fornire, sulla base di osservazioni, una descrizione quantitativa dei fenomeni. Le osservazioni si effettuano tramite
delle misure1 che forniscono dei numeri che vengono elaborati con tecniche statisticomatematiche per rappresentare i processi fisici. Una grandezza fisica rappresenta una
quantità alla quale, tramite la misura con uno strumento, si può associare un numero
reale. L’esempio forse più familiare di grandezza fisica è quello della distanza fra due oggetti che si può misurare con un metro, almeno nelle applicazioni della vita quotidiana. Un
altro esempio molto familiare è costituito dall’intervallo di tempo trascorso fra due eventi. In questo caso lo strumento è un orologio la cui evoluzione rappresenta una notevole
dimostrazione dell’ingegno umano (dalle clessidre agli orologi atomici!).
Gli esempi citati di distanza e di intervallo di tempo sono fra i più importanti perchè
da queste grandezze se ne possono costruire molte altre come per esempio la velocità,
l’accelerazione, ecc.. Inoltre la loro interpretazione intuitiva coincide con la loro definizione
almeno nell’ambito della meccanica classica. Ogni grandezza ha le sue caratteristiche e la
sua definizione non è sempre cosı̀ immediata, esistono:
• grandezze molto intuitive, come la massa, che si riescono a misurare accuratamente
ma la cui definizione presenta non poche difficoltà concettuali che sono alla base delle
più avanzate teorie fisiche come la Relatività Generale;
• grandezze sempre molto intuitive che, anche ad un livello molto elementare di speculazione, sono difficili da definire. L’esempio più noto è forse quello della temperatura, cosı̀ familiare nell’esperienza, che per essere definita, senza riferimento al tipo di
termometro usato, richiede il secondo principio della termodinamica o la meccanica
statistica (!);
1
Assumiamo il concetto intuitivo di misura che approfondiremo nei paragrafi successivi.
15
16
Capitolo 1
• grandezze poco intuitive, spesso derivate da altre, che permettono di evidenziare
e descrivere meglio alcune caratteristiche dei fenomeni fisici. Un esempio notevole
è quello della quantità di moto (A.16) con la quale si ottiene la formulazione più
completa delle leggi della meccanica rispetto all’uso della grandezza forza, sicuramente
più intuitiva;
• grandezze apparentemente ausiliarie che, definite in alcuni fenomeni per semplificarne
la descrizione, si prestano successivamente a generalizzazioni che superano il semplice
ambito della loro definizione. Gli esempi più importanti sono quelli dell’energia e del
momento angolare che, introdotti nella meccanica, si ritrovano in tutti i campi della
Fisica fino al livello microscopico fondamentale.
Per organizzare logicamente e quantitativamente le osservazioni e le misure si ricorre
alle leggi fisiche. Una legge è una relazione che collega le grandezze fisiche coinvolte in un
particolare fenomeno. In generale essa viene rappresentata sotto forma di una relazione
matematica fra le grandezze. La metodologia di analisi della Fisica è stata tracciata da
Galileo che per primo adottò in modo sistematico il metodo sperimentale 2 . In questo approccio la validità di una legge non dipende dal suo grado di intuizione, dalla sua eleganza formale, dallo stretto rigore logico, ecc... Il criterio di giudizio finale è rappresentato
dall’accordo delle previsioni con gli esperimenti che misurano le grandezze coinvolte nel
fenomeno3 . Nella storia della Fisica, contrariamente a quanto viene talvolta sostenuto, le
grandi rivoluzioni non sono mai nate da speculazioni astratte, il vero motore del progresso
della conoscenza sono stati sempre gli esperimenti. Tutte le speculazioni, per quanto sorprendenti, sono sempre scaturite da risultati sperimentali il cui risultato ha profondamente
messo in crisi il modo di concepire i fenomeni naturali.
Una conseguenza del metodo sperimentale è l’assunto che ogni qualvolta si scrive una
legge fra grandezze fisiche ognuna di esse può, almeno in linea di principio, essere misurata
direttamente e dunque vi si può associare una quantità numerica definita. Da questa caratteristica segue che, nel cercare di formulare le leggi fisiche, si proceda per approssimazioni
successive cercando di separare i diversi contributi al fenomeno e considerando in un primo
momento soltanto quelli maggiori. Spesso il problema viene affrontato schematizzandolo e
realizzandolo in forma semplificata per capirne gli aspetti più significativi. A volte questa
operazione richiede un certo grado di astrazione e si finiscono per studiare fenomeni fisici
che non si osservano direttamente in natura. Due esempi abbastanza rappresentativi di
questo modo di procedere sono quelli dello studio della caduta libera e del piano inclinato liscio (due processi, a stretto rigore, inesistenti!). Nell’ambito della fisica microscopica
questo approccio è ancora più esaltato a causa delle enormi difficoltà matematiche nella
risoluzione delle equazioni. Scherzosamente potremo affermare che il modo di procedere
assomiglia a quello di un uomo che, avendo perso un mazzo di chiavi per strada, le cerca
sotto ad un lampione perchè lı̀ c’è la luce!
Dalle osservazioni appena enunciate dovrebbe risultare immediato che le leggi fisiche
possono non avere una validità universale; questo non significa che sono sbagliate ma che
il loro dominio di applicazione può essere limitato sia perchè il grado di approssimazione è
2
Questa è stata la vera grande rivoluzione Galileana ben oltre la nota e spesso citata a sproposito adesione
al sistema Copernicano.
3
Naturalmente questo non significa che nella fasi di elaborazione e ricerca delle leggi non si possa fare
ricorso ad alcuni dei criteri citati. Il famigerato senso fisico è forse un complesso, abbastanza poco definibile,
di queste attitudini mentali che finisce talvolta per rendere la Fisica una materia poco incline a rigide
schematizzazioni, come ben sanno gli studenti di Matematica abituati a ben altro rigore formale!
Le grandezze fisiche e loro misura
17
insufficiente o perchè si raggiungono valori di alcune grandezze fisiche che comportano una
modifica delle leggi. Il valore numerico, o più propriamente l’ordine di grandezza 4 , di queste
quantità definisce la scala del fenomeno e conseguentemente delle leggi che lo regolano.
Ricordiamo alcuni esempi senza approfondirne la problematica visto che lo studente li
incontrerà nel prosieguo dei suoi studi:
• per la distanza quando si scende alla scala microscopica (≤10 −10 m) le leggi della
meccanica classica devono essere sostituite da quelle della meccanica quantistica;
• avvicinandosi alla velocità della della luce (c ≈ 3·10 8 m/s), i concetti di spazio e tempo
cosı̀ ben radicati nelle nostre menti devono essere radicalmente modificati secondo le
leggi della Relatività ristretta formulate da Einstein nel 1905;
• un altro esempio interessante è quello del numero di costituenti di un sistema. A causa
della struttura atomico-molecolare della materia, nei sistemi macroscopici il numero
di costituenti raggiunge facilmente il numero d’Avogadro (circa 6 · 10 23 ). Si devono
applicare le leggi della meccanica statistica che permettono di interpretare alcuni
fenomeni, come l’irreversibilità di alcuni processi, apparentemente in contraddizione
con le leggi fondamentali della meccanica.
Come risulta dagli esempi precedenti non tutte le leggi fisiche hanno lo stesso grado
di applicabilità, per alcune l’intervallo di validità è piuttosto limitato ed in genere corrispondono a fenomeni molto complessi trattati in modo semplificato (per esempio alcuni
problemi della dinamica dei fluidi la cui soluzione presenta difficoltà matematiche quasi
insormontabili). Altre leggi invece hanno una portata molto generale che si estende su numerosi ordini di grandezza delle quantità fisiche coinvolte, spesso corrispondono alle leggi
più fondamentali della Fisica. Un esempio molto noto e particolarmente importante è quello
della legge delle forze elettriche che conserva la stessa forma sia per le cariche macroscopiche
che per gli elettroni che orbitano intorno al nucleo dell’atomo!
1.2
1.2.1
Dimensioni delle grandezze e unità di misura
Concetto di dimensioni fisiche e di unità di misura
L’operazione di misura con uno strumento consiste, in linea di principio, nel confronto
diretto fra la grandezza fisica con una quantità della stessa grandezza scelta come riferimento (l’unità campione). Le grandezze misurabili direttamente possono essere scelte come
fondamentali dalle quali se ne ricavano altre, dette derivate, che sono definite e misurate
dalle relazioni di natura algebrica che le legano alle grandezze fondamentali. La definizione
delle grandezze fondamentali (Fi ) è in linea di principio arbitraria purchè si costruisca l’opportuno strumento di misura diretta. Storicamente la scelta delle grandezze fondamentali
per lo studio della meccanica è risultato quello delle grandezze più comode e intuitive: la
lunghezza l, il tempo t e la massa m.
Un concetto molto importante è quello delle dimensioni fisiche di una grandezza, esse
rappresentano il suo grado di omogeneità espresso in funzione di quello delle grandezze
fondamentali. Data una generica grandezza derivata D, per indicarne le dimensioni si usa
4
Si intende il valore approssimato alla potenza di dieci più vicina.
18
Capitolo 1
la notazione fra parentesi quadre e si scrive:
Y
Y α
Fi i ⇒ [D] ≡
[Fi ]αi
D= κ
i
(1.1)
i
dove κ è un coefficiente numerico irrilevante ai fini delle dimensioni ed i parametri α i
fissano il grado di omogeneità in funzione delle singole grandezze fondamentali. Esempi
molto semplici e familiari sono:
superficie [S] ≡ [L]2 [T ]0 [M ]0
volume
velocità
densità
[V] ≡ [L]3 [T ]0 [M ]0
[v] ≡ [L]1 [T ]−1 [M ]0
[ρ] ≡ [L]−3 [T ]0 [M ]1
ecc...
Le dimensioni di una grandezza non tengono conto di tutte le sue caratteristiche, per
esempio per conoscere il valore della superficie di una figura si deve conoscere anche il
coefficiente κ. Inoltre non tengono conto di eventuali ulteriori caratteristiche della grandezza, come per esempio la direzione ed il verso nel caso dei vettori. Tuttavia le dimensioni
rappresentano una caratteristica molto importante perchè le leggi fisiche corrispondono, in
generale, a relazioni algebriche fra le grandezze coinvolte nel fenomeno. In questo caso la
legge può valere soltanto se contiene uguaglianze fra membri che hanno le stesse dimensioni
fisiche. La verifica della correttezza dimensionale di un risultato è uno dei compiti più
importanti del fisico (e dello studente!). Questa tematica può essere estesa al metodo dell’analisi dimensionale che in alcuni casi, come per il pendolo semplice, permette di ottenere
importanti risultati semi-quantitativi senza dovere risolvere esattamente un problema. In
alcune situazioni per assicurare la congruenza dimensionale di una legge ricavata sperimentalmente è necessario introdurre alcuni coefficienti dotati delle opportune dimensioni fisiche,
ricordiamo per esempio il caso della legge di gravitazione universale (3.1) con la costante
[G] ≡ [L]3 [T ]−2 [M ]−1 .
Esistono anche delle grandezze con dimensioni nulle dette adimensionali o numeri puri.
L’esempio più noto a livello elementare è forse quello dell’angolo definito dal rapporto
fra l’arco della circonferenza ed il raggio. Queste grandezze non alterano la correttezza
dimensionale delle leggi, inoltre sono molto importanti perchè quando le grandezze fisiche
di una legge intervengono come argomenti di funzioni matematiche elementari del tipo
sin, cos, exp, ... esse devono comparire in combinazioni X adimensionali. Dallo sviluppo in
serie di potenze delle funzioni (vedi Appendice C) l’argomento deve essere adimensionale
affinché la somma risulti omogenea, e.g. cos X = 1 − 2!1 X 2 + 4!1 X 4 + ....
Come precedentemente accennato la scelta delle grandezze fondamentali non è univoca
e può dipendere dal particolare tipo di problema ed anche il loro numero può variare 5 . Il
passaggio da un insieme all’altro avviene applicando in successione la (1.1) alle precedenti
grandezze fondamentali ed alla grandezza in esame come riportato in [7].
Per ottenere un valore numerico dalla misura è necessario definire, per ogni grandezza
fondamentale, l’unità campione da usare nel confronto con la grandezza da misurare. Il
campione fissa l’unità di misura per la determinata grandezza (per esempio il metro per le
5
Il numero di grandezze fondamentali può essere notevolmente ridotto ma in generale si preferisce usarne
un numero più elevato per semplificare l’interpretazione di quelle derivate.
19
Le grandezze fisiche e loro misura
lunghezze, il secondo per gli intervalli di tempo, ecc...). L’insieme delle grandezze fondamentali e delle rispettive unità campione forma un sistema di unità di misura. Le unità
campione possono essere scelte a piacere, tuttavia esse dovrebbero, per quanto possibile,
soddisfare i seguenti requisiti:
• essere definite in modo univoco, oggettivo e riproducibile in laboratori avanzati;
• essere costanti nel tempo e poco dipendenti dalle condizioni fisiche esterne.
Queste caratteristiche permettono di spiegare l’evoluzione che nel corso degli anni hanno
subito le definizioni dei diversi campioni delle grandezze fondamentali grazie allo sviluppo
delle conoscenze e della tecnologia. Un esempio significativo è quello del metro definito nel
1792 come una data frazione (1/10 000 000 ) della distanza fra il polo nord e l’equatore (!),
in un secondo momento come la lunghezza di una sbarra di platino-iridio a temperatura
di 0◦ C conservata nel Bureau des Poids et des Mesures di Parigi (BIPM), successivamente
come un multiplo della lunghezza d’onda nel vuoto della radiazione elettromagnetica di
una particolare transizione atomica ed infine come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto
in un intervallo di tempo fissato. I motivi dell’evoluzione di questa definizione dovrebbero
essere facilmente intuibili a parte l’ultimo basato sull’interpretazione della velocità della
luce come costante fondamentale della natura.
I requisiti sopracitati sono fondamentali in ambito scientifico ma non vi è dubbio che la
scelta di una particolare unità di misura sia legato al suo grado di praticità nell’uso. Questo
in genere corrisponde ad avere unità dell’ordine di grandezza della scala delle quantità
coinvolte per evitare di dovere usare sempre multipli o sotto multipli (vedi la tabella 1.1).
fattore
prefisso
simbolo
fattore
prefisso
simbolo
101
deca
da
10−1
deci
d
102
etto
h
10−2
centi
c
103
chilo
k
10−3
milli
m
106
mega
M
10−6
micro
µ
109
giga
G
10−9
nano
n
pico
p
femto
f
1012
tera
T
10−12
1015
peta
P
10−15
Tabella 1.1: Prefissi dei multipli e sottomultipli di uso frequente.
La scelta del sistema di unità di misura può cambiare, e ne riporteremo alcuni esempi
nel prossimo paragrafo, l’aspetto concettualmente più rilevante è che le grandezze fisiche
possiedono delle dimensioni e quando se ne riporta un valore numerico, affinché questo non
sia privo di significato, si devono necessariamente specificare le unità di misura usate.
1.2.2
Il Sistema Internazionale ed altri sistemi di unità di misura
La 14a Conferenza di Pesi e Misure del 1971 ha raccomandato l’uso del cosiddetto Sistema
Internazionale (S.I.) in ambito scientifico e cercheremo di seguire questa raccomandazione
nel testo per quanto possibile. In questo sistema le grandezze fondamentali sono sette: il
20
Capitolo 1
tempo, la lunghezza, la massa, la temperatura termodinamica, la corrente elettrica, l’intensità luminosa e la quantità di materia. Le corrispondenti definizioni delle unità di misura
sono:
• il secondo (s): è la durata di 9 192 631 770 periodi della radiazione elettromagnetica corrispondente alla transizione tra i due livelli iperfini dello stato fondamentale
dell’isotopo 133 dell’atomo di cesio;
• il metro (m): è la lunghezza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo
pari (1/299 792 458) s. Questa definizione, adottata nel 1983, evidenzia il ruolo
della velocità della luce come costante fondamentale e che vale c = 299 279 458 m/s
(esattamente);
• il chilogrammo (kg): è la massa del prototipo internazionale realizzato in una lega di
platino e iridio, conservato presso il BIPM. Su scala microscopica è stato scelto un
altro campione l’unità di massa atomica (u) legato alla massa dell’isotopo del carbonio
12 C a cui viene assegnato il valore convenzionale di 12 u. Il fattore di conversione con
il chilogrammo vale circa 1 u ≈ 1, 66 · 10 −27 kg;
• il grado Kelvin (K): è la frazione 1/273, 16 della temperatura termodinamica del punto
triplo dell’acqua;
• l’ampere (A): è l’intensità di una corrente elettrica costante che, percorrendo due
conduttori rettilinei, paralleli, infiniti, di diametro infinitesimo e posti alla distanza
di un metro fra loro nel vuoto, provoca fra di essi una forza per unità di lunghezza di
2 · 10−7 N/m (!);
• la candela (cd): è l’intensità luminosa emessa da un corpo nero di superficie (1/600000)m 2 ,
nella direzione perpendicolare ed alla pressione di 101325 Pa;
• la mole (mol): è la quantità di materia di un sistema che contiene tante entità
elementari quanti sono gli atomi di una massa m = 0, 012 kg del carbonio 12 C.
Le altre grandezze fisiche possono essere tutte derivate, per quelle più significative e di uso
più frequente sono state adottate apposite sigle come riportato nella tabella 1.2.
Malgrado questo sforzo di razionalizzazione 6 avvenuta con il S.I. restano in uso numerosi
altri sistemi di unità di misura e questo per motivi legati alla consuetudine, alla praticità
ed anche a ragioni di ordine storico e geografico come succede per le unità in uso nei paesi
anglosassoni ancora molto diffuse. Si potrebbe pensare che queste esigenze siano molto
sentite in ambienti prevalentemente applicativi 7 , ma non solo, visto che anche nei campi
più avanzati della ricerca si scelgono sistemi di unità particolari più adatti alla descrizione
dei fenomeni. Per esempio nella Fisica subnucleare si usa un sistema, detto naturale, in cui
la velocità della luce è c = 1 e la costante ridotta di Planck h̄ = 1. L’uso di alcune unità di
misura è cosı̀ diffuso che si continuano ad usare anche in ambiente scientifico, alcuni esempi
sono riportati nella tabella 1.3.
Un problema che si incontra spesso è quello della conversione del valore di una grandezza
da un sistema di unità all’altro. Questa operazione è concettualmente molto semplice e
6
Dal punto di vista storico, il primo significativo tentativo di razionalizzare in questo campo fu animato dallo spirito cartesiano della Rivoluzione Francese. Seppur lodevole nell’intenzione il tentativo fallı̀ a
dimostrazione che le imposizioni dall’alto non funzionano quasi mai!
7
Per esempio i falegnami parlano in centimetri mentre i meccanici in millimetri e gli idraulici in pollici!
Le grandezze fisiche e loro misura
grandezza
dimensioni
nome
unità di misura
angolo piano
adimensionale
radiante
frequenza
[T ]−1
rad ≡ m/m
hertz
forza
[M ]1 [L]1 [T ]−2
newton
energia
[M ]1 [L]2 [T ]−2
joule
potenza
[M ]1 [L]2 [T ]−3
watt
pressione
[M ]1 [L]−1 [T ]−2
pascal
carica
[I]1 [T ]1
Pa ≡ kg m−1 s−2
coulomb
potenziale
[M ]1 [L]2 [T ]−3 [I]−1
C≡As
volt
resistenza
[M ]1 [L]2 [T ]−3 [I]−2
ohm
capacità
[M ]−1 [L]−2 [T ]4 [I]2
farad
induttanza
[M ]1 [L]2 [T ]−2 [I]−2
henry
induzione magn.
[M ]1 [T ]−2 [I]−1
tesla
flusso magn.
[M ]1 [L]2 [T ]−2 [I]−2
weber
21
Hz ≡ s−1
N ≡ kg m s−2
J ≡ kg m2 s−2
W ≡ kg m2 s−3
V ≡ kg m2 s−3 A−1
Ω ≡ kg m2 s−3 A−2
F ≡ kg−1 m−2 s4 A2
H ≡ kg m2 s−2 A−2
T ≡ kg s−2 A−1
Wb ≡ kg m2 s−2 A−1
Tabella 1.2: Grandezze derivate di uso frequente nel S.I.
tuttavia rappresenta spesso una fonte di errore nelle applicazioni numeriche 8 . Conviene
utilizzare gli opportuni fattori di conversione o di ragguaglio fra le diverse unità in modo
esplicito (a costo di apparire un pò meno brillanti!), per esempio:
1 m3 ≡ (102 cm)3 ≡ 106 cm3
10−3 km
(1/3600)h
3
1kg/m3 ≡ 10106 cmg 3
1 m/s ≡
≡ 3.6 km/h
≡ 10−3 g/cm3
L’operazione può diventare abbastanza complicata quando le unità usate non hanno
multipli o sottomultipli decimali come avviene per esempio nel caso degli angoli misurati
in gradi o per alcune grandezze del sistema anglosassone.
1.3
1.3.1
La misura delle grandezze fisiche
L’operazione di misura con lo strumento
In questo paragrafo desideriamo approfondire il concetto di misura di una grandezza fisica.
Questa operazione si effettua con uno strumento, un dispositivo che permette di confrontare
la grandezza da misurare con la corrispondente unità di misura. L’apparecchio fornisce una
risposta numerica che rappresenta il valore della grandezza nelle unità usate dallo strumento
e si assume che su questi risultati si possano effettuare le operazioni matematiche elementari
(confronto, somma, moltiplicazione, ecc..). Quando lo strumento fornisce il valore della
grandezza si parla di misure dirette, se la grandezza si ricava da successive manipolazioni
8
In alcuni campi rappresenta di gran lunga la principale causa di errore come per esempio negli esercizi
di idrostatica in cui intervengono le densità e le pressioni.