Funzione Cobb

La tecnologia di produzione
La teoria dell’impresa si occupa delle scelte (produttive, di
prezzo, strategiche) che l’impresa può fare all’interno di
determinati vincoli
I vincoli posso essere rappresentati per esempio dalle condizioni
della domanda, dalle scelte dei concorrenti, o dalle condizioni
della tecnologia
La teoria della produzione si occupa dello studio dei vincoli
tecnologici, cioè dal fatto che per ottenere determinate quantità
prodotte (output) l’impresa può usare solo alcune combinazioni
di fattori produttivi (input) e solo alcuni metodi produttivi per
trasformare tali fattori nelle quantità di beni desiderate
La tecnologia di produzione
La tecnologia è il modo di trasformare gli input (i fattori
produttivi) in output (le quantità prodotte)
I fattori produttivi: es, terra, materie prime, denaro, energia, …
Lavoro (L), Capitale (K)
Date le quantità di output che l’impresa vuole produrre, solo
alcune combinazioni di input permetteranno di ottenere tali
quantità, e saranno quindi tecnicamente realizzabili
L’insieme di tutte le combinazioni di input e output tecnicamente
realizzabili è l’insieme di produzione
Il massimo livello di output prodotto utilizzando un determinato
livello di input coincide con la frontiera dell’insieme di
produzione
La tecnologia di produzione
y=
output
Frontiera di produzione rappresentata
dalla funzione di produzione: y=f(x)
•B
A
•
Insieme di produzione
x = input
Abbiamo un solo input (x)
La tecnologia di produzione
Consideriamo invece di avere due input, K e L
L’insieme di tutte le combinazioni possibili di K e L sufficienti a
produrre una determinata quantità di output è detto isoquanto
Su ciascun isoquanto le diverse combinazioni di K e L permettono
di ottenere la stessa quantità di output
Diversi isoquanti corrispondono a diversi livelli di produzione
70
60
60-70
50
50-60
40-50
40
30-40
20-30
30
10-20
100
91
82
73
64
55
46
37
28
20
10
97
93
89
85
81
10
77
73
69
65
61
57
19
53
49
45
37
41
33
1
5
9
13
17
21
25
29
0
1
0-10
97
85
73
61
49
37
25
1
9
17
25
33
41
49
57
65
73
81
89
97
13
1
8000-10000
6000-8000
4000-6000
2000-4000
0-2000
La tecnologia di produzione
K
K’
•
•
K’’
L’
L’’
L
La tecnologia di produzione
K
K’ •
L’
•
•
L’’
L’’’
L
Ad isoquanti superiori corrispondono livelli produttivi superiori
Teoria: Cobb-Douglas (1928), AER
 Funzione di produzione:
Y = A L K
 variabili: Y = produzione, L = lavoro, K = capitale
 Funzione omogenea di grado +, cioè moltiplicando
ciascun fattore per una costante h, la produzione
risulta moltiplicata per h+.
 Quindi…..
+ =1 rendimenti di scala costanti
+ >1 rendimenti di scala crescenti
+ <1 rendimenti di scala decrescenti
Infatti
Se ciscun input aumenta con di una percentuale pari a rx 100,
cioè:
L’=L(1+r/100) e K’=K(1+r/100)
avremo:
 


Y '  AL  Lr  K  Kr   Y 1  r


 Quindi…..
+ =1 rendimenti di scala costanti
+ >1 rendimenti di scala crescenti
+ <1 rendimenti di scala decrescenti
Teoria: Cobb-Douglas (1928), AER

Produttività marginale dei fattori:
α β
Y
αAL
K
Y
α 1 β
 αAL K 
α
L
L
L
α β
Y
αAL
K
Y
α β -1
 AL K 

K
K
K
Ricordando che l’elasticità di una funzione è
x

y
Y L
YL
EL 
α
α
L Y
LY
Y K
YK
EK 


K Y
KY
E  f ' ( x)
 e  misurano l’elasticità della
produzione al Lavoro e al
Capitale, cioè di quanto aumenta
loutput per un incremento (%)
unitario di input
 Se  +  =1
Y  AL 1K β
dividendo
Y
K
 A 
L
L
per
L:

La produttività del lavoro è determinata dalla intensità di
capitale
 Produttività marginale del lavoro (MPL):
α β
Y
αAL
K
Y
α 1 β
 αAL K 
α
L
L
L
 Se <1, MPL è minore della produttività media. La MPL
decresce con L (K si satura).
produzione, Y
 = 0,7
 = 0,4
lav oro, L
 Nella: Y = A L K
 una riduzione di A (TFP) equivale ad uno shock negativo
di produttività (di offerta):
produzione, Y
Prima dello shock
dopo lo shock
Il parametro A governa gli slittamenti
della funzione
lav oro, L
Se  +  =1 cioè la funzione è omogenea di grado 1, per il teorema di
Eulero si ha:
Y L
Y
Y
K
L
K
Cioè il prodotto può essere considerato come la somma di due termini:
quota di prodotto che “compete” al Lavoro e quella che compete al
Capitale
Ma in regine di concorrenza perfetta le produttività marginali dei
fattori eguagliano il prezzo dei fattori e quindi le quote (assolute)
saranno:
Y
QL  L
 LPL  (1   )Y
L
Y
QK  K
 KPK   Y
K
E quelle relative (divise per Y) saranno (1-) e  rispettivamente.
Cioè a rendimenti di scala costanti e in libera concorrenza,
esisterebbe una sorta di “spartizione naturale” del nuovo valore
Stima dei parametri  e 
 Funzione di produzione:
Y = A L K
 Trasformazione logaritmica:
log(Y) = log(A) +  log(L) +  log(K)
y = a +  l +  k
dove lettere minuscole indicano le corrispondenti
trasformazioni logaritmiche
 A seconda del tipo di dati disponibili per y, l, k, ottengo
diverse misure (informazioni):
cross-section: yi ; li ; ki (i = 1, 2, 3, …, N)
time series:
yt ; lt ; kt (t = 1, 2, 3, …, T)
panel data:
yit ; lit ; kit
Modello per dati cross-section
 yi = ai +  li +  ki
dove: ai = a + i ; i ~ iid(0,2)
a, ,  e 2 sono parametri (è possibile una
generalizzazione se i 2)
 Ipotesi: i casi individuali (nel complesso) forniscono
informazioni su una struttura unificante che ha
parametri costanti.
 L’unica fonte di informazione è la variabilità fra
individui. Gli i sono shock idiosincratici di offerta.
Verifica della presenza di economie di scala:
 Si Stima un modello vincolato (R) con +=1 e uno non
vincolato (U),
 si confrontano con un test F i Residual Sum of Square
(RSS) divisi per gli opportuni gradi di libertà:
m= vincoli, n= osservazioni, k=parametri
H0 :    1
H1 :     1
Fn  k
RSS R  RSS U / m

RSS U / n  k
Modello per dati panel
 yit = ait +  lit +  kit
dove: ait = ai + t + it ; it ~ iid(0,2)
,  e 2 sono parametri (è possibile una generalizzazione
se i 2 o it 2 )
 Nei panel la dimensione temporale T spesso è molto
inferiore a quella individuale N.
 L’informazione da modellare: variabilità fra individui
(between) e variabilità nel tempo per lo stesso individuo
(within). Gli shock di offerta it hanno dimensione i e t.
ait = ai + t + it
 Problema: come modellare la TFP?
 Diverse definizioni di effetto individuale ai e temporale
t implicano diversi modelli.
Caso 1: effetto temporale (sistemico) t = 0
 Effetti individuali ai fissi (N stime):
ˆa i


T
t 1
T
y it

ˆ
α
T
l
t 1 it
T

ˆ
β
T
t 1
k it
T
 Il modello panel con effetti fissi stima la TFP
(idiosincratica) per ogni individuo.
 Effetti individuali ai random:
 ai = a + i ;
i ~ iid(0,2)
 Nel modello panel con effetti random la
TFP è resa idiosincratica dalla presenza
della variabile casuale i (e se 2 = 0?)
 Se supposta stocastica, la componente
idiosincratica non può essere correlata con
lavoro e capitale perché:
 yit = a +  lit +  kit + (it+i)
disturbo stocastico composito
Caso 2: effetto temporale (sistemico) t  0
 L’effetto sistemico (macroeconomico) t colpisce tutti gli
individui allo stesso modo.
 Il panel con effetti fissi temporali e individuali stima
le componenti idiosincratiche e quelle sistemiche della
TFP:
ˆλ
t


N
i 1
N
y it

ˆ
α
N
l
i 1 it
N

ˆ
β
N
i 1
k it
N
 L’effetto sistemico misura la TFP comune a tutti gli
individui (una stima ad hoc per ognuno degli anni; pochi
perchè T basso).
Riepilogo: modellazione della produzione
TFP modellata
esplicitamente
yit =
shock di
offerta
ai + t +
a + i
TFP
sistemica
TFP
idiosincratica
fissa
N-1
parametri
Ho: tutti = 0
it +
causalità
strutturale
 lit +  kit
it ~ iid(0,2)
T-1
parametri
random
i ~ iid(0, 2)
H o:   2 = 0
Ho: tutti = 0
Modello pooled
i2 ; it2
Stimatori
sandwich
Altre forme:
C-D con “effetto di trend” (progresso tecnico neutrale)
Y = A L K et
Con  = elasticità della produzione rispetto al tempo
Principali critiche:
Ipotesi di concorrenza perfetta:; se fosse vera tutte le imprese
avrebbero le stesse quote di K e L (a meno di deviazioni random)
e quindi avremmo informazioni solo su un punto e non su un
isoquanto
Distribuzione del reddito in base alla elasticità di sostituzione, ma ciò
implica +=1 cioè nessuna economia di scala
Circolarità nella misura di K che implica il ricorso ai prezzi dei beni
capitali che a loro volta dipendono dal saggio di produttività di K
CIONONOSTANTE,
Molto utilizzata, buoni risultati, analisi descrittive
Non tanto coefficienti tecnici, quanto indicatori statistici
Altre funzioni:
C-D impone elasticità di sostituzione = 1
(es: incremento di prezzo relativo di K pari all’1%, determina una
diminuzione della quota K/L –intensità di capitale- pari all’1%)
Y
Y w
 
L
L p
 w
Y 
 log    log(  )  log  
L
 p
Se OLS, dovrei trovare un coefficiente=1 per il salario reale , così non è
empiricamente. La CES si ottiene risolvendo l’equazione:
CES: elasticità costante ma diversa da 1  Costant Elasticity of
Substitution (CES)
 w
Y 
log    log( a)  b log  
L
 p

 Y  A K


1
  
 (1   ) L
ρ è un parametro collegato all'elasticità di sostituzione (σ): ρ = (1-σ)/σ;

determina la distribuzione del reddito tra i fattori per un dato ρ.
E’ possibile una generalizzazione con elasticità variabile:
 w
Y 
log    log( a)  b log  
L
 p

 Y  m K



  
 (1   ) L
Produttività marginale:
1 
1 
Y 1    Y 
PL 
   
L m  L 
Y
 Y 
PK 
  
K m  K 
E il saggio marginale di sostituzione:
1 
Y Y 1    K 
R
:

 
L K
 L
E l’elasticità di sostituzione:
1 
log R  log 
 

K
  (1   ) 

L
 log( K L)
1


 log( R)
1 
L’interesse della CES deriva dal fatto che la elasticità di sostituzione è
un parametro esplicito
Ad esempio è possibile modellare produzioni in settori che hanno,
come è verosimile, elasticità di sotituzione diverse
Per quanto concerne l’elasticità la CES è una generalizzazione della
C-D
Una ulteriore generalizzazione sono le funzioni VES (Variable
substitution elasticity): la più nota è la funzione trans-log
(trascendentale-logaritmica)
In sostanza è una approssimazione di Taylor:
log Y   a0  a1 log K   a2 log L   a11 log K   a12 log K  log L   a22 log L 
2
se
1
a22  a11   a12
2
 CES
2