Nessun titolo diapositiva

Una sferetta P viene posta in una conca semisferica di raggio R in un punto
diverso da quello più basso.
La sferetta rotola e l’angolo q indicato in figura varia con la legge:
qt 
S
cos(wt)
R
Quali sono le dimensioni di w e S? Qual è l’interpretazione geometrica di S?
R
P
q
L’argomento della funzione coseno è un angolo, cioè una grandezza
adimensionale. wt deve essere adimensionale.
[wt]= [w] [T]= [T0]
Risulta
[w] = [T-1]
L’angolo non ha dimensioni: pertanto [S] [R-1][cos]=[L0M0T0]
La funzione coseno è adimensionale, il raggio R ha le dimensioni di
lunghezza [R]=[L]. Pertanto:
[S]=[L]
S è l’arco di cerchio tra P e il punto più basso della conca.
G.M. - Edile A 2002/03
Data una colonna di liquido di densità r ed altezza h. La quantità
rgh
con g l’accelerazione di gravità,
può essere una forza?
La forza (F=ma) ha le dimensioni [F]=[M][LT-2]
Quali sono le dimensioni di
rgh?
r è una densità [r]=[ML-3]
g è un’accelerazione [g]=[LT-2]
h è un’altezza
[h]=[L]
Pertanto
[rgh ]= [ML-3] [LT-2] [L]=[ML-1T-2]
rgh non è una forza!!
Confrontando le dimensioni di rgh con quelle della forza, si vede che rgh
ha le dimensioni di una forza per una lunghezza alla meno 2 [F][L-2]
Ma anche la pressione ha le stesse dimensioni!
rgh potrebbe essere una pressione.
rgh rappresenta l’aumento di pressione in un liquido con la profondità.
G.M. - Edile A 2002/03
Il campione del kilogrammo ha la forma di un cilindro di altezza pari al
diametro. Si dimostri che a parità di volume e di forma, queste
dimensioni forniscono la minima area; ciò consente di minimizzare gli
effetti della contaminazione superficiale.
Vcilindro  Abaseh  r2 h
h
r
Scilindro  2Abase  Slaterale  2r  2rh  2r
 2r h
h
r

2
2
2V 2V
1  r
1
1 1 

Scilin dro 

 2V   2V
 1  2V   1



h
r
h r
r h 
r
3
r
r
V
2
2
3
Vcilindro  r h  r    r 





  1


3
3
Scilin dro  2V
  1  2V



1


 V 3 
V
G.M. - Edile A 2002/03
Il campione del kilogrammo ha la forma di un cilindro di altezza pari al
diametro. Si dimostri che a parità di volume e di forma, queste
dimensioni forniscono la minima area; ciò consente di minimizzare gli
effetti della contaminazione superficiale.
Applica
zione
Vcilindro  Abaseh  r2 h
h
r
Scilindro  2Abase  Slaterale  2r  2rh  2r
 2r h
h
r

2
2
2V 2V
1  r
1
1 1 

Scilin dro 

 2V   2V
 1  2V   1



h
r
h r
r h 
r
3
r
r
V
2
2
3
Vcilindro  r h  r    r 





  1


3
3
Scilin dro  2V
  1  2V



1


 V 3 
V
G.M. - Edile A 2002/03
Abbiamo espresso la superficie del cilindro in funzione del
suo volume e del rapporto  tra il raggio e l’altezza

  1


3
Scilin dro  2V
  1
3

 V  
r

h
Applica
zione
cont.
Poiché il volume del cilindro deve rimanere costante, deve
contenere sempre la stessa massa, possiamo limitarci a
studiare la dipendenza da .
-1
1
f()  3   1   3    1

La superficie sarà minima quando f() sarà minima.
Abbiamo visto che nei punti di massimo o di minimo
relativo derivata si annulla.
Cerchiamo  in cui
df()
d
0
G.M. - Edile A 2002/03
Calcoliamoci la derivata:
Applica
zione
cont.
1
df() d 


3

   1 

d
d 
-1
3
- 1 d  1
d

  1   3

d
d

-4
- 13  3
 1
-1
 3

-1
- 13  3
-
-4
1
3

3
-1
 3


-1
 3 23
- 13  -1

Imponendo che la derivata sia nulla:
-1
df()
0   3
d
Da cui
2-
-1

0
2
3

- 13  -1  0
 
-1
2

2
3

- 13  -1  0
r 1
  
h 2
G.M. - Edile A 2002/03
Applica
zione
cont.
Scilindro  2V3
f   
  1



1



V 3 
 1




1

3 

valore di  al minimo  0.5
r
 0.5  h  2r  d
h
G.M. - Edile A 2002/03
Errori di misura
cifre significative
• Ogni misura è affetta da
errori
Distribuzione delle frequenze, media = 12.5
.2
– Errori casuali
– Errori sistematici
• L = 3,6 + 0,1 m
valore
errore scritto
esplicitamente
• Oppure L = 3,6 m
.1
5
6.5
8
9.5 11 12.5 14 15.5 17 18.5 20
2 cifre
significative
L’errore (implicito) è
sull’ultima cifra (0,1 m)
G.M. - Edile A 2002/03
Errori di misura
cifre significative
• L = 3,6 + 0,1 m
errore assoluto
errore assoluto
 a 0.1
r 


 0.0278  2.7%
valore misurato
L 3.6
errore relativo
• Cifre significative
scrivere il numero nella forma
0.XXX  10y
1.XXX  10 y
Contare il numero di cifre diverse da zero dopo la virgola
Il numero di cifre significative è legato all’errore
G.M. - Edile A 2002/03
Grandezze derivate: propagazione degli
errori
• Se la grandezza derivata si ottiene come somma o
differenza di altre grandezza
– L’errore non può essere più piccolo del più grande degli errori
assoluti
• Se la grandezza derivata si ottiene attraverso operazioni di
prodotto o divisione di altre grandezze
– L’errore relativo non deve essere più piccolo del più grande degli
errori relativi.
G.M. - Edile A 2002/03
Sistema di riferimento su una retta
• Per definire un asse di riferimento occorre:
– fissare l’origine
– fissare il verso positivo
• La posizione (coordinata) x del punto P sarà
• La distanza di P dall’origine O se P viene dopo O percorrendo
l’asse nel verso fissato ()
• Meno la distanza di P’ dall’origine O se P’ viene prima di O
percorrendo l’asse nel verso fissato (x=-dP’O)
x = -dP’O
x = +dPO
P’
P
d P' O
d PO
G.M. - Edile A 2002/03
Sistema di riferimento nel piano
• Occorrono due assi cartesiani
(ortogonali) (stessa origine)
Asse y
– L’asse x deve ruotare di 90° in senso
antiorario per sovrapporsi all’asse y
• Il punto P nel piano sarà
individuato dalle coordinate x, y,
che sono le coordinate dei punti
proiezione di P rispettivamente
sugli assi x e y
• I punti proiezioni Px e Py si
ottengono mandando le
perpendicolari da P
rispettivamente agli assi x
(verde) ed y (violetta).
O
Asse x
Asse y
y
Py
P
Px
O
x
Asse x
G.M. - Edile A 2002/03
Rappresentazione polare
Asse y
• La posizione di P nel piano può essere
specificata in coordinate polari (r,q)
• r è la distanza di P dall’origine del sistema di
riferimento.
P
r
q
O
Asse x
•
Asse y
P
r
y
q
O
• r è un numero reale positivo
x
x  r cos q
y  r sinq
Asse x
q è l’angolo formato dal segmento OP con un
asse arbitrariamente fissato nel piano
• Nella figura è stato scelto l’asse x come asse di
riferimento.
• L’angolo q è positivo se l’asse di riferimento x
deve ruotare in verso antiorario per sovrapporsi al
segmento OP.
y
q  arc tan g
se x  0
2
2
x
r  x y
y
q  arc tan g   se x  0
x
G.M. - Edile A 2002/03
Sistema di riferimento nello spazio
• Nello spazio occorrono tre assi orientati, x,y,z, ortogonali tra di loro.
•
Si usano terne destrorse, cioè con l'asse x disposto secondo il pollice, l'asse y
secondo l'indice, e quello z secondo il medio della mano destra.
• Si manda da P la parallela all'asse z fino ad
incontrare il piano xy: si determina così il
punto Pxy proiezione di P sul piano xy.
• Si congiunge con un segmento l'origine O
con il punto Pxy. Il segmento OPxy è
perpendicolare all’asse z.
• La proiezione di P sull'asse z, Pz, si
determina mandando da P un segmento
parallelo al segmento OPxy.
• La proiezione Px di P sull'asse x si
determina mandando da Pxy la parallela
all'asse y fino ad intersecare l'asse x
• La proiezione Py di P sull'asse y
si determina mandando da Pxy la
parallela all'asse x fino ad
Asse x
intersecare l'asse y.
Asse z
Pz
z
P (x,y,z)
P
O
x
Px
y
Py
Asse y
Pxy
G.M. - Edile A 2002/03
Grandezze scalari e vettoriali
•
•
•
•
•
Massa
Tempo
Temperatura
Pressione
Posizione lungo un asse
(linea)
• Volume
• Lavoro
• Energia
•
•
•
•
•
•
•
•
Posizione nel piano
Posizione nello spazio
Velocità
Accelerazione
Forza
Quantità di moto
Impulso
Momento della quantità
di moto
G.M. - Edile A 2002/03
I vettori
• Quando si ha a che fare con un problema in fisica conviene
sempre fare un disegno, uno schizzo.
• Un vettore si rappresenta con una freccia per indicare la
direzione ed il verso del vettore. La lunghezza della freccia
rappresenta invece il modulo del vettore.
• Vettori paralleli (stesso
verso e stessa
direzione) e con lo
stesso modulo sono
uguali.
G.M. - Edile A 2002/03
Somma di due vettori
• Regola del
parallelogramma
y
• Si riporta il primo
vettore, a partire dalla
fine del primo vettore
si riporta il secondo.
• Il vettore somma si
ottiene congiungendo
il punto iniziale del
primo vettore con
quello finale del
secondo vettore
x
La somma è commutativa, posso
invertire il ruolo del primo vettore con
il secondo
G.M. - Edile A 2002/03
Vettori componenti di un vettore
• Qualunque vettore A può y
essere pensato come
somma di due vettori Ax
e Ay, il primo parallelo
all’asse x, il secondo
all’asse y
Ay
• Ax e Ay sono i vettori
componenti di A.
x
N.B. Nello spazio i vettori
componenti sono tre: Ax,
Ay e Az
G.M. - Edile A 2002/03
Componenti cartesiane
• Ax = + (più) il modulo del
vettore componete Ax se Ax è
concorde con l’asse x
• Ax = - (meno) il modulo di Ax se
il verso di Ax è opposto all’asse
x
• Analogo discorso per Ay .
y
Ax  Acos F
Ay  Asen F
– Dove A= modulo di A
– F angolo tra A e l’asse x
x
A  A  Ax2  Ay2
Ay
F  tan
Ax
-1
G.M. - Edile A 2002/03
Somma di vettori usando le componenti
A  Bx  A x  Bx
A  By  A y  By
Ax
Bx
G.M. - Edile A 2002/03
Sottrazione di un vettore
A - B  A  -B
y
A - Bx  Ax - Bx
A - By  Ay - By
x
G.M. - Edile A 2002/03
Versori
A
• Sono vettori di modulo unitario
• I versori non hanno dimensioni
– Se uA è il versore del vettore A, allora
uA
A=AuA
• I versori degli assi x,y,e z si chiamano rispettivamente: i, j
(e k), oppure ux, uy e uz .
– Nel caso
– Ax=Axi
– Ay=Ayj
y
• A = Ax+ Ay= Axi+ Ayj
A
j
i
Ay
Ax
x
G.M. - Edile A 2002/03
Significato di una relazione vettoriale
 F  ma
 F    F
 F    F
x
x
ma x  ma x
x
y
ma y  ma y
Due vettori sono uguali se sono uguali le componenti
F
F
x
 ma x
y
 max
Un’equazione vettoriale
corrisponde a due (nel piano),
tre (nello spazio) equazioni
scalari
G.M. - Edile A 2002/03
Un’automobile viaggia verso est per 50 km, poi verso nord per 30 km e
infine in direzione di 30° a est rispetto al nord per 25 km.
Si disegni il diagramma dei vettori e si determini lo spostamento totale
dell’auto dal punto di partenza.
Applic
azione
G.M. - Edile A 2002/03
La lancetta dei minuti di un orologio a parete misura 10 cm dall’asse alla
punta. Qual è il vettore spostamento della punta
dal quarto d’ora alla mezz’ora
durante la mezz’ora successiva
durante l’ora successiva
Applic
azione
G.M. - Edile A 2002/03
Il vettore B sommato al vettore A da per risultato 6.0i+1.0j. Se si sottrae
B da A il risultato è -4.0i+7.0j. Quant’è il modulo il modulo di A.
Applic
azione
G.M. - Edile A 2002/03
Sono date le componenti di 4 vettori a,b,c,d. Determinare per ciascuno
di essi l’angolo formato con l’asse delle x:
1)
ax=3
ay=3
2)
bx=-3 by=-3
3)
cx=-3 cy=3
4)
dx=3
dy=-3
Applic
azione
G.M. - Edile A 2002/03