Esercitazioni su rappresentazione dei numeri e aritmetica dei

Esercitazioni su rappresentazione
dei numeri e aritmetica dei calcolatori
slide a cura di Salvatore Orlando & Marta Simeoni
Architettura degli Elaboratori 1
Interi unsigned in base 2
Si utilizza un alfabeto binario A = {0,1}, dove 0 corrisponde al
numero zero, e 1 corrisponde al numero uno
dn-1...d1d0
con di di ∈ {0,1}
Qual è il valore rappresentato ?
N = dn-1• 2n-1 + .... + d1• 21 + d0• 20
Quanti e quali numeri sono rappresentabili su n bit?
00….00 = 0
00….01 = 1
00….10
…
01….11
10….00
…
11….11
100….00
= 2
= 2n-1- 1
= 2n-1
Con sequenze di n bit
sono rappresentabili
2n numeri naturali
(da 0 a 2n-1)
= 2n - 1
= 2n
Architettura degli Elaboratori 2
Interi unsigned in base 2
I seguenti numeri naturali sono rappresentabili usando il numero di
bit specificato ?
Ricorda che:
2010 su 5 bit ?
6410 su 6 bit ?
50010 su 9 bit ?
102510 su 10 bit ?
SI
NO
SI
NO
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
....
Architettura degli Elaboratori 3
Conversione binario-decimale
Esercizio: 11101012 = ???10
1·26 + 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 =
64 + 32 + 16 + 0
+ 4
+ 0
+ 1
Soluzione: 11101012 = 11710
Architettura degli Elaboratori 4
Conversione decimale-binario
Esercizio: 10010 = ???2
100 : 2 = 50
50 : 2 = 25
25 : 2 = 12
12 : 2 = 6
6:2=3
3:2=1
1:2=0
resto 0
resto 0
resto 1
resto 0
resto 0
resto 1
resto 1
Soluzione: 10010 = 11001002
Architettura degli Elaboratori 5
Conversione dec-bin: metodo più pratico
Scriviamo direttamente il numero decimale come somma di potenze
di 2. Per far questo, sottraiamo via via le potenze di 2, a partire
dalle più significative.
Ricorda che:
Esercizio:
12310 = ???2
123 - 64 = 59
59 - 32 = 27
27 - 16 = 11
11 - 8 = 3
3 - 2=1
1 - 1=0
==>
==>
==>
==>
==>
==>
26
25
24
23
21
20
Allora 12310 = 26 + 25 + 24 + 23 + 21 + 20
Soluzione: 12310 = 11110112
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
....
Architettura degli Elaboratori 6
Conversione binario-ottale e viceversa
Esercizio: 101011112 = ???8
10
101 111
Soluzione: 101011112 = 2578
2
5
7
Esercizio: 6358 = ???2
6
3
5
110 011 101
Soluzione: 6358 = 1100111018
Architettura degli Elaboratori 7
Base 16
Quali dei seguenti numeri esadecimali sono numeri sono
corretti?
BED
CAR
938
DEAD
BEBE
A129
ACI
DECADE
BAG
DAD
4H3
Architettura degli Elaboratori 8
Conversione binario-esadecimale e viceversa
Esercizio: 1011111011012 = ???16
1011
1110
1101
B
E
D
Soluzione: 1011111011012 = BED16 = 305310
Esercizio: A3C916 = ???2
A
3
C
9
1010
0011
1100
1001
Ricorda che:
110 = 116 = 00012
210 = 216 = 00102
......
910 = 916 = 10012
1010 = A16 = 10102
1110 = B16 = 10112
1210 = C16 = 11002
1310 = D16 = 11012
1410 = E16 = 11102
1510 = F16 = 11112
Soluzione: A3C916 = 10100011110010012 = 4192910
Architettura degli Elaboratori 9
Interi signed in complemento a 2
Come si riconosce un numero positivo da uno negativo?
–  Positivo ⇒ bit più significativo 0
–  Negativo ⇒ bit più significativo 1
Su n bit sono rappresentabili 2n interi unsigned (da 0 a 2n-1)
Sempre su n bit, quanti interi signed in complemento a 2 ?
0.......00
0.......01
...
01......11
10......00
...
11......11
= 0
=1
= 2n-1-1 (massimo pos.)
= -2n-1 (minimo neg.)
in totale sempre
2n numeri
= -1
Architettura degli Elaboratori 10
Interi signed in complemento a 2
Dato N>0, il numero -N si rappresenta su n bit con il numero
unsigned 2n - N
-1 ⇒ 2n - 1
- 2n-1 ⇒ 2n - 2n-1 = 2n-1
(1........1)
(10......0)
Esempio su 5 bit: rappresentare N = -15
N = 25 – 15 = 32 -15 = 17 = 10001
Data la rappresentazione di un numero negativo in complemento a
due su n bit, il valore corrispondente si determina assegnando
- peso negativo al bit di segno (-2n-1)
- peso positivo a tutti gli altri bit
Esempio su 5 bit:
10011 = -24 + 21 + 20 = -13
Architettura degli Elaboratori 11
Complemento a 2: cambio di segno
Esercizio: Rappresentare -3510 in complemento a 2 su 8 bit
001000112 = +3510
Complemento a uno
11011100 +
1 =
-----------11011101
Soluzione: -3510 = 110111012
Architettura degli Elaboratori 12
Complemento a 2: cambio di segno
Esercizio: Rappresentare -35 in complemento a 2 su 8 bit
001000112 = +3510
110111012
Inverti (complementa a 1) tutti i bit a
sinistra del bit “1” meno significativo
Architettura degli Elaboratori 13
Complemento a 2: cambio di segno
Esercizio: Quale numero decimale rappresenta il seguente numero
binario in complemento a due?
1111 1111 1111 1111 1111 1110 0000 11002
0000 0000 0000 0000 0000 0001 1111 01002 =
22 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 = 50010
Soluzione: il numero è -50010
Architettura degli Elaboratori 14
Complemento a 2: somma e sottrazione
Esercizio: eseguire 5310 - 3510 in complemento a due su 8 bit
3510 = 001000112
5310 3510 =
_______
1810
opposto: - 3510 = 110111012
5310 +
(-35)10 =
⇒
_________
1810
11111101
001101012 +
110111012 =
⇒________
(1000100102) mod 28
000100102 = 1810
Architettura degli Elaboratori 15
Complemento a 2: somma e sottrazione
Esercizio: eseguire 1510 - 3810 in complemento a due su 8 bit
3810 = 001001102
1510 3810 =
_______
-2310
opposto: - 3810 = 110110102
1510 +
(-38)10 =
⇒
_________
-2310
00011110
000011112 +
110110102 =
⇒________
(0111010012) mod 28
000101112 = 2310
Architettura degli Elaboratori 16
Complemento a due: Overflow
In quali dei seguenti casi si può ottenere overflow?
–  somma di due numeri con segno concorde?
–  somma di due numeri con segno discorde?
–  sottrazione di due numeri con segno concorde?
–  sottrazione di due numeri con segno discorde?
SI
NO
NO
SI
Architettura degli Elaboratori 17
Complemento a due: come scoprire l’overflow
Primo caso:
somma algebrica di due numeri positivi A e B. Si ha overflow se A
+B>=2n-1, ovvero se A+B non può essere rappresentata su n bit in
complemento a due.
Esempi: A=01111 B=00001 (OVERFLOW ⇒ due ultimi riporti discordi)
A=01100
B=00001 (NON OVERFLOW ⇒ due ultimi riporti
concordi)
01
01111+
00001=
10000
00
01100+
00001=
01101
Architettura degli Elaboratori 18
Complemento a due: come scoprire l’overflow
Secondo caso:
somma algebrica di due numeri negativi A e B. Si ha overflow se |A|
+|B|>2n-1, ovvero se |A|+|B| non può essere rappresentata su n bit
in complemento a due.
Esempi: A=10100 B=10101 (OVERFLOW ⇒ due ultimi riporti discordi)
A=10111 B=11101 (NON OVERFLOW ⇒ due ultimi riporti concordi) 10
10100+
10101=
01001
11
10111+
11101=
10100
Architettura degli Elaboratori 19
Esercizio
Considerate i numeri esadecimali
x1 = 7A
x4 = C1
x2 = 13
x5 = 84
x3 = FF Scrivere i cinque numeri in codice binario a 8 bit
x1 = 0111 1010 x2 = 0001 0011 x3 = 1111 1111
x4 = 1100 0001 x5 = 1000 0100
Interpretare il codice binario in complemento a due ed eseguire le
operazioni
x1- x2;
x3 + x4;
x4 + x5;
11111000
x1 01111010 +
-x2 11101101 =
_____________
(101100111) mod 28 = 01100111
x4 - x1
overflow?
Architettura degli Elaboratori 20
Esercizio (continua)
11111111
x3 11111111 +
x4 11000001 =
___________
(111000000) mod 28 = 11000000
overflow?
10000000
x4 11000001 +
x5 10000100 =
___________
(101000101) mod 28 = 01000101
overflow?
10000000
x4 11000001 +
-x1 10000110 =
___________
(101000111) mod 28 = 01000111
overflow?
Architettura degli Elaboratori 21
Esercizio - caso particolare
Si ricorda che l’opposto del numero negativo più piccolo su n bit non può
essere rappresentato in complemento a due
–  codifica non simmetrica
Supponiamo quindi:
–  di lavorare con rappresentazioni in complemento a due su 3 bit
–  di dover effettuare la sottrazione x-y
dove y=1002 è il minimo numero rappresentabile (y=-410)
Esercizio: calcolare x-y usando il solito algoritmo, dove x=0012
000
X 001 +
-Y 100
______
(0101) mod 23 = 101
Il complemento a due
non ha effetto
OVERFLOW, anche se
riporti concordi !!
Abbiamo infatti sottratto un numero negativo da un numero >= 0
⇒ il segno atteso è positivo
Architettura degli Elaboratori 22
Esercizio - caso particolare (continua)
Esercizio: calcolare x-y, dove x=1112
–  poiché x=1112 allora x = -110
–  non dovremmo avere overflow, poiché vogliamo effettuare la
somma algebrica di due numeri con segno discorde
–  il risultato da ottenere è x-y=-110- (-410) = 310
100
X 111 +
-Y 100
______
(1011) mod 23 = 011 = 310
Il complemento a due
non ha effetto
corretto
NO OVERFLOW , anche
se riporti discordi !!
Abbiamo infatti sottratto un numero negativo da un numero
negativo ⇒ in questo caso non si può verificare overflow
Architettura degli Elaboratori 23
Procedura generale per determinare
l’OVERFLOW
Alla luce dell’esempio precedente, guardare solo ai due ultimi riporti per
controllare l’OVERFLOW potrebbe quindi portare a risultati erronei
Operazione
Somma
Somma
Somma
Somma
Sottrazione
Sottrazione
Sottrazione
Sottrazione
Segno 1o
operando
Segno 2o
operando
Segno
atteso
+
+
+
+
-
+
+
-
+
qualsiasi
qualsiasi
-
+
+
qualsiasi
+
-
-
-
qualsiasi
Solo in questi
casi si può
verificare un
OVERFLOW.
Possiamo
controllarlo
confrontando
il bit di segno del
risultato con il
segno atteso.
Architettura degli Elaboratori 24
Numeri con la virgola (virgola fissa)
Data una base B, si assegnano:
n cifre per rappresentare la parte intera
m cifre per rappresentare la parte frazionaria
In base B=2, abbiamo quindi m+n bit per parte intera e frazionazia
m
n
Esempio:
dn-1...d1d0 . d-1...d-m
Qual è il numero rappresentato in base B?
N = dn-1• Bn-1 + .... + d1• B1 + d0• B0 + d-1• B-1 + ... + d-m• B-m
Architettura degli Elaboratori 25
Virgola fissa
Esercizio: 23.87510 = ???2
(usare la rappresentazione in virgola fissa con n=8, m=8)
Conversione parte intera:
Conversione parte frazionaria:
23 : 2 = 11
11 : 2 = 5
5:2 =2
2:2 =1
1:2 =0
0.875 x 2 = 1.75
0.75 x 2 = 1.50
0.50 x 2 = 1
resto 1
resto 1
resto 1
resto 0
resto 1
parte intera 1
parte intera 1
parte intera 1
Soluzione: 23.87510 = 00010111.111000002
Architettura degli Elaboratori 26
Numeri con virgola mobile
Un numero reale R può essere scritto in base B come
R = ± m • B e
m = mantissa e = esponente
B = base
Esempi con B = 10
–  R1 = 3.1569 x 103
–  R2 = - 2054.00035 x 10-6
–  R3 = - 0.1635 x 102
–  R4 = 0.0091 x 10-12
Notazione scientifica:
m=
Notazione scientifica normalizzata: m =
0 . d-1...d-k
d0 . d-1...d-k con d0 ≠ 0
Architettura degli Elaboratori 27
Numeri binari in virgola mobile
Rappresentando mantissa ed esponente in binario in notazione
scientifica normalizzata si ottengono numeri del tipo:
±1.xx…x • 2yy...y
Si osservi che:
Spostare la virgola (punto) a destra di n bit significa decrementare di n
l’esponente
es:
0.01 • 23
Infatti 1 • 2-2 • 23
= 1.0 • 21
= 1 • 21
Spostare la virgola (punto) a sinistra di n bit significa incrementare di n
l’esponente
es:
100.011 • 23
= 1.00011 • 25
Infatti (1• 22 + 1• 2-2 + 1• 2-3) • 23 = (1• 20 + 1• 2-4 + 1• 2-5) • 25
2 5 + 21 + 20
=
2 5 + 21 + 20
Architettura degli Elaboratori 28
Numeri FP
Esercizio: 1010 = ???2 FP
1010 = 10102 = 1010.02 • 20 = 1.01 • 23
Esercizio: 151.2510 = ???2 FP
15110 = 128 + 16 + 4 + 2 + 1 = 100101112
0.2510 x 2 = 0.5010 parte intera 0
0.5010 x 2 = 110
parte intera 1
0.2510 = 0.012
Quindi = 151.2510 = 10010111.012 = 1.0010111012 • 27
Architettura degli Elaboratori 29
Numeri FP
Una volta fissato il numero di bit totali per la rappresentazione dei numeri
razionali rimane da decidere:
- Quanti bit assegnare per la mantissa ?
(maggiore è il numero di bit e maggiore è l’accuratezza con cui
si riescono a rappresentare i numeri)
- Quanti bit assegnare per l’esponente ?
(aumentando i bit si aumenta l’intervallo dei numeri rappresentabili)
OVERFLOW: si ha quando l’esponente positivo è troppo grande
per poter essere rappresentato con il numero di bit
assegnato all’esponente
UNDERFLOW: si ha quando l’esponente negativo è troppo grande
(in valore assoluto) per poter essere rappresentato
con il numero di bit assegnato all’esponente
Architettura degli Elaboratori 30
Numeri FP in standard IEEE754
Standard IEEE754: Singola precisione (32 bit)
L’intervallo di valori (decimali) rappresentabili è ± ~10-44.85 -- ~1038.53
Standard IEEE754: Doppia precisione (64 bit)
L’intervallo di valori (decimali) rappresentabili è ± ~10-323.3 -- ~10308.3
Architettura degli Elaboratori 31
Standard IEEE754: Esempio
Esempio: scrivere -10. 62510 in notazione floating point, usando lo
standard IEEE754 in singola precisione
- 10.62510 = - (10 + 0.5 +0.125) = - (23 + 21 + 1/2 + 1/8) =
= - 1010. 1012 = - 1. 010101 • 23 =
= (-1)1 • (1 + 0.010101) • 23
Aggiungendo all’esponente la polarizzazione il numero diventa:
(-1)1 • (1 + 0.010101) • 2(3+127)
Architettura degli Elaboratori 32
Standard IEEE754: Esempio
Esempio: Quale numero decimale rappresenta la seguente
sequenza di bit, letta secondo lo standard IEEE754?
esponente: 100011012 = 128+8+4+1=14110
mantissa: 1+0.100112 = 1 + 0.5 + 0.0625 + 0.03125 = 1.5937510
Quindi il numero è: 1.5937510 • 2(141 - 127) = 1.5937510 • 214
oppure:
1,10011 * 214 = 110011000000000 = 16384+8192+1024+512 = 26112
Architettura degli Elaboratori 33
Somma di numeri FP
Shift
Somma
Normalizzazione
Arrotondamento
Architettura degli Elaboratori 34
Somma di numeri FP con standard IEEE754
Esercizio: Dati i due numeri esadecimali A=C3160000 e B=42F80000
1.  tradurre i numeri in binario
2.  interpretare le sequenze di bit ottenute come numeri FP espressi
secondo lo standard IEEE754 in singola precisione
3.  eseguirne poi la somma specificando tutti i passaggi
4.  rappresentare il risultato ottenuto in esadecimale
Soluzione:
1. Traduzione in binario
A = 1100 0011 0001 0110 0000 0000 0000 0000
B = 0100 0010 1111 1000 0000 0000 0000 0000
2. Interpretazione di A e B come numeri FP:
A = 1 10000110 00101100000000000000000
B = 0 10000101 11110000000000000000000
cioè:
A = (-1)1 • 1.001011 • 210000110 = (-1)1 • 1.001011 • 201111111 + 111
B = (-1)0 • 1.1111 • 210000101 = (-1)0 1.1111 201111111 + 110
Architettura degli Elaboratori 35
Somma di numeri FP con standard IEEE754
3. Somma
§  l’esponente di A è 27 mentre quello di B è 26. Allineando B si ottiene:
A = 1.001011
B = 0.111110
§  A è negativo e quindi eseguo il complemento a due aggiungendo un bit
per il segno
A = 10.110101
B = 00.111110
§  somma delle mantisse
A = 10.110101 +
B = 00.111110
--------------------C = 11.110011 è un numero negativo il cui valore assoluto è 0.001101
•  arrotondamento: non necessario
Architettura degli Elaboratori 36
Somma di numeri FP con standard IEEE754
§  normalizzazione
C = (-1)1 • 0.001101 • 210000110 = (-1)1 • 1.101 • 201111111 + 100
e quindi
C = 1 10000011 10100000000000000000000
= 1100 0001 1101 0000 0000 0000 0000 0000
4. Rappresentazione di C in esadecimale
C = C1D00000
Architettura degli Elaboratori 37