Matematica 5S - Lorenzo Pantieri

istituto professionale “versari-macrelli”, cesena
lorenzo pantieri
matematica per le quinte
corso serale
Dipartimento di Matematica
Anno scolastico 2015-2016
Questo
lavoro
spiega il programma di matematica agli alunni dell’Istituto professionale “Versari-Macrelli” di Cesena.
Ringrazio innanzitutto il Dirigente scolastico ing. Mauro Tosi per aver
sostenuto questo progetto. Ringrazio
inoltre i miei colleghi del dipartimento di matematica Silvia Bagnoli, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Giulia Degli Angeli, Orlando Fiumana, Maria Chiara Garaffoni,
Emanuela Montanari, Monica Morelli, Enrico Petroncini, Manuela Pompili ed Elisabetta Turci per l’aiuto fornito nella redazione di questo lavoro, la pazienza e la precisione nei suggerimenti, la competenza e la disponibilità. Un “grazie” altrettanto speciale va ai miei studenti, per i consigli durante la stesura di un’opera che senza il loro
contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale: questo libro è più loro che mio.
Se avete idee su argomenti da aggiungere, togliere o modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore, sia di battitura che di sostanza (ed
è probabile che ce ne siano parecchi, soprattutto del primo tipo, ma anche del
secondo), mi fareste un favore comunicandomelo, così che io possa apportare
le opportune correzioni in versioni successive. Mi interessano specialmente i commenti degli studenti su quali parti di questo lavoro risultino
di facile comprensione e quali invece si potrebbero spiegare meglio. In particolare, se vi sembra di notare un errore matematico è anche nel vostro interesse discuterne con me per
chiarire se si tratta di un’incomprensione vostra o
di uno sbaglio mio. È con questo spirito che
ho scritto questo lavoro: spero che
possiate studiare la matematica con il mio stesso piacere.
♥
Lorenzo Pantieri
Matematica per l’Istituto professionale “Versari-Macrelli”
c 2015
Copyright + [email protected]
Il frontespizio riproduce la xilografia Altro Mondo II di Maurits Cornelis Escher
e l’incisione Tassellazione del piano con uccelli, dello stesso autore.
INDICE
1
2
3
4
statistica
1
1.1 Fasi di un’indagine statistica
1
1.1.1 Definizione del fenomeno
1
1.1.2 Individuazione della popolazione
1.1.3 Rilevamento dei dati
2
1.1.4 Elaborazione e rappresentazione
1.2 Tabelle di frequenza
4
1.2.1 Frequenze assolute
4
1.2.2 Frequenze relative
5
1.2.3 Frequenze percentuali
5
1.2.4 Raggruppamento per classi
5
1.3 Rappresentazioni grafiche
7
1.4 Indici statistici
8
1.4.1 Moda
8
1.4.2 Media
8
1.4.3 Mediana
9
1.5 Esercizi
12
matematica per l’economia
2.1 Problemi di scelta
19
2.2 Problemi di costi e ricavo
2.3 Esercizi
32
2
3
19
22
disequazioni
41
3.1 Intervalli sulla retta reale
41
3.2 Diseguaglianze e disequazioni
3.3 Principi di equivalenza
44
3.4 Disequazioni lineari
45
3.5 Disequazioni di secondo grado
3.6 Disequazioni fratte
60
3.7 Esercizi
66
43
50
funzioni
85
4.1 Relazioni e funzioni
85
4.2 Definizione di funzione
87
4.3 Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche
4.4 Rappresentazione cartesiana
93
4.5 Esercizi
94
90
indice
iv
5
6
introduzione all’analisi
5.1 Classificazione
97
5.2 Dominio
98
5.3 Intersezioni con gli assi
5.4 Segno
105
5.5 Simmetrie
112
5.6 Esercizi
114
97
101
limiti
121
6.1 Concetto di limite
121
6.2 Calcolo dei limiti
125
6.2.1 Limiti di alcune funzioni elementari
126
6.2.2 Algebra dei limiti
126
6.2.3 Forme di indecisione di funzioni algebriche
6.3 Continuità
135
6.4 Asintoti
139
6.5 Grafico probabile di una funzione
143
6.6 Esercizi
148
131
1
S TAT I S T I C A
La statistica è una scienza nata per analizzare e descrivere fenomeni d’importanza sociale che riguardano uno Stato. Oggi viene applicata in tutti quei campi
dove intervengono fenomeni collettivi, la cui mancanza di ripetitività ne rende
impossibile lo studio attraverso la sperimentazione.
Sono fenomeni collettivi quei fatti che abbracciano un gran numero di fenomeni
individuali fra loro simili. Per esempio, il fatto che Luciana è alta 165 cm è un
fenomeno individuale, mentre l’altezza dei coetanei di Luciana è un fenomeno
collettivo. Il fatto che io vengo a scuola in auto è fenomeno individuale, mentre
il mezzo impiegato da tutti i docenti e alunni della mia scuola è un fenomeno
collettivo.
L’aumento della popolazione di uno Stato o la diminuzione dei posti di lavoro
in un certo settore sono fenomeni collettivi, e lo studio di un fenomeno collettivo
avviene attraverso la statistica che raccoglie e analizza le informazioni riguardanti
il fenomeno considerato e permette di fare previsioni sul suo andamento.
1.1
fasi di un’indagine statistica
Per compiere un’indagine statistica si segue uno schema che, in linea di massima,
è costituito da quattro fasi essenziali:
1. si definisce il fenomeno su cui si vuole indagare
2. si individua la popolazione interessata
3. si raccolgono i dati
4. si elaborano, rappresentano e interpretano i dati raccolti
1.1.1 Definizione del fenomeno
Il primo passo di un’indagine statistica è definire il fenomeno su cui vogliamo
indagare. Se per esempio vogliamo esaminare il fenomeno “distribuzione demografica in una città”, è opportuno precisare se vogliamo un esame che riguardi:
• il numero degli abitanti
• la distribuzione secondo il reddito
• il numero di maschi e femmine
• la distribuzione secondo l’impiego
2
statistica
1.1.2 Individuazione della popolazione
Definito il fenomeno, va chiarita la collettività a cui il fenomeno si riferisce e
sulla quale verrà quindi svolta l’indagine. In termini statistici tale collettività si
chiama popolazione statistica o, semplicemente, popolazione; ogni singolo elemento
della popolazione si chiama unità statistica. Costituiscono una popolazione, per
esempio:
• gli alunni di una scuola
• gli impiegati di un’azienda
• i docenti di una scuola
• i residenti nel Comune di Cesena
Variabili statistiche
Se consideriamo una popolazione statistica, per esempio gli alunni di una scuola,
ogni unità statistica (ogni alunno) differisce da un’altra unità per una o più caratteristiche: l’età, il sesso, l’altezza, la media dei voti, il mezzo di trasporto usato per
recarsi a scuola, il Comune di residenza, il numero dei fratelli, la professione dei
genitori.
Queste caratteristiche prendono il nome di variabili statistiche (o caratteri statistici)
ed è rispetto a una o più di queste variabili che si effettua l’indagine statistica. Le
variabili statistiche possono essere:
• variabili quantitative, se espresse da un numero
• variabili qualitative, se non possono essere espresse da un numero
Sono variabili quantitative, per esempio:
• l’altezza
• l’età
• il peso
• la media dei voti
mentre sono variabili qualitative:
• il sesso
• il Comune di residenza
• il mezzo di trasporto
• la professione dei genitori
Un’indagine statistica consiste nell’analizzare come una popolazione statistica si
distribuisce rispetto a una certa variabile statistica.
1.1.3 Rilevamento dei dati
Il fenomeno, la popolazione e le variabili statistiche su cui vogliamo indagare ci
suggeriranno come meglio procedere nella fase di rilevamento dei dati.
1.1 fasi di un’indagine statistica
Tabella 1: Altezze di alcuni alunni di quinta del “Versari-Macrelli’: dati grezzi
Nome
Maria
Giulio
Mario
Ernesto
Giorgio
Elena
Vittorio
Marco
Eleonora
Fabio
Altezza
(cm)
165
168
174
177
166
168
174
168
165
165
Nome
Ettore
Massimo
Cristian
Rossana
Elisabetta
Roberto
Walter
Nicoletta
Sara
Nicola
Altezza
(cm)
174
177
165
166
158
165
166
186
165
168
Il rilevamento dei dati può essere diretto (o completo) se viene eseguito direttamente su tutte le unità statistiche della popolazione interessata al fenomeno. Ciò è
possibile quando la popolazione è formata da un numero non eccessivo di unità e
ogni unità statistica può quindi essere contattata e intervistata.
Spesso, però, la popolazione è talmente vasta da non permettere il rilevamento diretto. Si deve quindi scegliere all’interno della popolazione un opportuno
campione rappresentativo su cui si eseguirà l’indagine. In questo caso si parla di
rilevamento indiretto (o per campione), perché viene eseguito solo su una parte della
popolazione.
Scelto il metodo per il rilevamento dei dati, diretto o per campionamento, si passa alla raccolta delle informazioni che può avvenire tramite interviste, questionari,
consultazione di archivi o pubblicazioni specializzate.
1.1.4 Elaborazione e rappresentazione
Questa fase, nel suo complesso, abbraccia diversi momenti:
• si esegue lo spoglio delle informazioni per ricavare i dati statistici
• si trascrivono i dati in una tabella
• dall’esame di questa tabella si arriva all’elaborazione vera e propria dei dati
• si rappresentano i risultati dell’indagine mediante opportuni grafici
3
4
statistica
1.2
tabelle di frequenza
Esercizio 1. Supponiamo di aver indagato sul fenomeno “altezza degli alunni di quinta dell’Istituto Versari-Macrelli” e di avere raccolto informazioni
relative a 20 alunni (tabella 1). Elaboriamo, interpretiamo e rappresentiamo
i dati raccolti.
In questo caso la popolazione statistica è rappresentata dalle classi quinte del
“Versari-Macrelli”; le unità statistiche sono gli alunni di quinta; la variabile statistica che si vuole studiare è l’altezza, che è un numero intero e quindi è una variabile
quantitativa.
1.2.1 Frequenze assolute
Eseguiamo lo spoglio delle informazioni.
valori in ordine crescente (tabella 2).
Innanzitutto conviene riscrivere i
Tabella 2: Altezze di alcuni alunni di quinta del “Versari-Macrelli’: valori in ordine
crescente
158
168
165
168
165
168
165
168
165
174
165
174
165
174
166
177
166
177
166
186
Dopo di che si realizza una tabella dove nella prima colonna scriveremo tutte
le altezze registrate e nella seconda colonna il numero degli alunni che hanno
quell’altezza (tabella 3).
Tabella 3: Altezze degli alunni di quinta: frequenze assolute
Altezza (cm)
Numero di alunni
158
1
165
6
166
3
168
4
174
3
177
2
186
1
Totale
20
La tabella 3 può già fornirci un’immagine del fenomeno. I numeri riportati
nella seconda riga (numero degli alunni) rappresentano la frequenza assoluta di
ciascun valore (altezza), ovvero il numero di volte con cui quel valore si presenta
nell’indagine.
1.2 tabelle di frequenza
Tabella 4: Altezze degli alunni di quinta: frequenze assolute, relative e percentuali
Altezza
(cm)
Frequenza
assoluta
Frequenza
relativa
Frequenza
percentuale
158
165
166
168
174
177
186
Totale
1
6
3
4
3
2
1
20
1/20 = 0,05
6/20 = 0,30
3/20 = 0,15
4/20 = 0,20
3/20 = 0,15
2/20 = 0,10
1/20 = 0,05
1
5
30
15
20
15
10
5
100
1.2.2 Frequenze relative
Può essere utile indicare per ciascun valore il rapporto tra la sua frequenza
assoluta e il totale dei dati esaminati; in questo caso si parla di frequenza relativa
di un valore. Per ottenere la frequenza relativa di un valore si applica la seguente
formula:
frequenza assoluta
frequenza relativa =
totale dei dati
Applicando la formula precedente alla tabella 3 delle altezze dei 20 alunni
otteniamo la tabella 4.
1.2.3 Frequenze percentuali
La frequenza percentuale di un valore è la sua frequenza relativa moltiplicata
per 100. Per ottenere la frequenza percentuale di un valore si applica la seguente
formula:
frequenza assoluta
frequenza percentuale =
· 100
totale dei dati
1.2.4 Raggruppamento per classi
Esercizio 2. Supponiamo di eseguire un’indagine sul fenomeno “peso dei
ragazzi iscritti a una scuola di calcio” e di raccogliere i valori relativi a 60
ragazzi nella tabella 5a. Elaboriamo, interpretiamo e rappresentiamo i dati
raccolti.
5
6
statistica
Tabella 5: Peso in kg di alcuni ragazzi iscritti a una scuola di calcio
(a) Valori grezzi
50
61
72
65
80
72
60
76
57
78
69
64
65
58
62
66
81
73
70
77
68
61
59
68
66
62
85
71
68
82
57
79
65
54
81
63
71
70
85
70
61
69
67
55
73
54
65
69
67
78
58
68
60
82
75
74
73
74
80
85
59
65
68
72
78
85
60
65
68
72
78
85
(b) Valori in ordine crescente
50
60
65
69
73
79
54
61
65
69
73
80
54
61
66
69
73
80
55
61
66
70
74
81
57
62
67
70
74
81
57
62
67
70
75
82
58
63
68
71
76
82
58
64
68
71
77
85
L’elaborazione di questi valori non è semplice, in quanto si tratta di numeri completamente diversi tra loro. Calcolare le frequenze, assolute o relative, risulterebbe
non solo laborioso, ma sopratutto poco significativo.
In casi del genere si procede raggruppando i valori e realizzando tabelle suddivise per classi. Innanzitutto riscriviamo i valori in ordine crescente (tabella 5b).
Consideriamo l’intervallo numerico tra il valore più piccolo e quello più grande,
ovvero 50 kg ÷ 85 kg; esso rappresenta il campo di variazione della variabile statistica considerata. Consideriamo gli estremi del campo di variazione ed eseguiamo la
loro differenza, che vale 35 kg (85 kg − 50 kg = 35 kg). Questa differenza è detta ampiezza del campo di variazione, ed è l’ampiezza del raggruppamento di tutti i valori.
Suddividiamo l’ampiezza in opportuni intervalli uguali, ciascuno di ampiezza
5 kg, definendo le classi di peso riportate nella tabella 6.
Tabella 6: Classi di peso (in kg) dei ragazzi
Classe
Intervallo
1
50 ÷ 54
2
55 ÷ 59
3
60 ÷ 64
4
65 ÷ 69
5
70 ÷ 74
6
75 ÷ 79
7
80 ÷ 84
8
85 ÷ 89
In queste otto classi sistemiamo la nostra popolazione: basterà considerare i
ragazzi appartenenti a ogni classe per avere la frequenza della classe, ovvero la
distribuzione di frequenza del raggruppamento dei valori (tabella 7).
1.3 rappresentazioni grafiche
Tabella 7: Peso in kg dei ragazzi iscritti a una scuola di calcio, suddivisi per classe
1.3
Classi
di peso (kg)
Frequenza
assoluta
Frequenza
relativa
Frequenza
percentuale
50 ÷ 54
55 ÷ 59
60 ÷ 64
65 ÷ 69
70 ÷ 74
75 ÷ 79
80 ÷ 84
85 ÷ 89
Totale
3
6
9
15
12
6
6
3
60
0,05
0,10
0,15
0,25
0,20
0,10
0,10
0,05
1
5
10
15
25
20
10
10
5
100
rappresentazioni grafiche
I dati raccolti nelle tabelle precedenti si possono rappresentare graficamente. I
grafici più usati sono gli istogrammi e i diagrammi a torta. La scelta del grafico
dipende dal tipo di tabelle che abbiamo creato.
Esistono vari software che, partendo dalla serie dei dati raccolti, realizzano automaticamente il grafico desiderato. I più usati sono i programmi per l’elaborazione
dei cosiddetti “fogli elettronici” (tra cui il popolare Microsoft Excel).
Se si ha una tabella delle frequenze assolute (come la tabella 3), il grafico più
opportuno è l’istogramma, serie di barre verticali la cui altezza è proporzionale
al valore della frequenza. La figura 1a, per esempio, rappresenta i valori della
tabella 3, relativi all’esercizio 1 delle altezze dei 20 alunni di quinta.
Se si ha una tabella delle frequenze relative o percentuali (come la tabella 4), il
grafico più opportuno è il diagramma a torta, che dà un immediato messaggio visivo
di come sono distribuiti i valori statistici. La figura 1b, per esempio, rappresenta i
valori della tabella 4, relativi al caso dell’esercizio 1 delle altezze dei 20 alunni di
quinta.
Una tabella per classi differisce da una tabella semplice solo per il fatto che si ha
a che fare non con singoli valori ma con intervalli di valori. Una tabella per classi
come la 7, per esempio, relativa all’esercizio 2 dei pesi dei 60 ragazzi iscritti alla
scuola di calcio, può quindi essere rappresentata da un istogramma (figura 2a) o
da un diagramma a torta (figura 2b).
7
statistica
1.4
indici statistici
Gli indici statistici sono i risultati di funzioni matematiche che vengono utilizzati per effettuare una sintesi dei dati. Gli indici usati più spesso sono gli indici
di posizione, che danno un’idea approssimata dell’ordine di grandezza dei valori
esistenti. I principali indici di posizione sono la moda, la media e la mediana.
1.4.1 Moda
Si chiama moda di un’indagine statistica il valore che ha la frequenza maggiore.
In una distribuzione può esserci un solo valore che ha la frequenza maggiore,
oppure due valori o più: in tal caso si parla di distribuzione unimodale, bimodale,
trimodale, e così via.
Per esempio, la moda dei valori 4, 4, 8, 9 e 10 è 4.
Nel caso dell’esercizio 1 la frequenza maggiore è 6, e corrisponde al numero di
alunni alti 165 cm. Quindi la moda è 165 cm.
1.4.2 Media
La media aritmetica (o semplicemente media) è la somma di tutti i valori, ciascuno
sommato tante volte quante figura nei dati, divisa per il numero dei dati. Per
esempio, la media dei valori 4, 4, 8, 9 e 10 è:
media =
35
4 + 4 + 8 + 9 + 10
=
=7
5
5
165
6
6
Numero di alunni
8
166
4
4
3
30%
15%
158
5%
3
5%
2
2
1
168
0
158 165 166 168 174 177 186
Altezza in cm
(a) Istogramma
186
20%
1
10%
15%
177
174
(b) Diagramma a torta (altezza in cm)
Figura 1: Rappresentazioni grafiche del fenomeno “altezza degli alunni di quinta”
1.4 indici statistici
15
Numero di alunni
15
12
10
60 ÷ 64
9
6
6
6
55 ÷ 59
15%
65 ÷ 69
10%
5
3
3
25%
0
5
55 4
÷
5
60 9
÷
6
65 4
÷
6
70 9
÷
7
75 4
÷
7
80 9
÷
8
85 4
÷
89
10%
50
÷
Peso in kg
(a) Istogramma
85 ÷ 89
10%
20%
70 ÷ 74
50 ÷ 54
5%
5%
80 ÷ 84
75 ÷ 79
(b) Diagramma a torta (peso in kg)
Figura 2: Rappresentazioni del fenomeno “peso dei ragazzi iscritti a una scuola di calcio”
In presenza di una tabella delle frequenze assolute (come la 3 dell’esercizio 1),
la media si calcola più agevolmente sommando il prodotto di ciascun valore per la
propria frequenza assoluta e dividendo il risultato per il numero dei dati.
media =
158 · 1 + 165 · 6 + 166 · 3 + 168 · 4 + 174 · 3 + 177 · 2 + 186 · 1
cm = 169 cm
20
1.4.3 Mediana
Si dice mediana di un insieme di valori statistici numerici disposti in ordine crescente, ciascuno preso tante volte quante figura nei dati, il valore che occupa il posto
centrale se i dati sono in numero dispari, oppure la media aritmetica dei due valori
centrali se i dati sono in numero pari.
Per esempio, la mediana dei cinque valori 4, 4, 8, 9 e 10 è 8 (il termine centrale è
il terzo, che ha due valori a sinistra e due valori a destra).
Per calcolare in maniera semplice qual è o quali sono i termini centrali, basta
dividere per 2 il numero totale dei dati. Nell’esercizio 1 abbiamo una serie di venti
valori. Poiché venti è un numero pari, la mediana è la media aritmetica dei due
valori centrali. Poiché 20 diviso 2 fa 10, i termini centrali sono il decimo (che ha
nove valori che lo precedono) e l’undicesimo (che ha nove valori che lo seguono).
Questi valori sono uguali rispettivamente a 166 cm e 168 cm (tabella 8). Quindi la
mediana è (166 + 168)/2 cm= 167 cm.
9
statistica
5
6
Numero di alunni
10
4
4
18.75%
25%
3
4
3
6.25%
2
2
2
12.5%
1
1
12.5%
7
10
6.25%
18.75%
0
4
5
6
7
Voto
8
9
10
8
9
(a)
(b)
Figura 3: Rappresentazioni del fenomeno “voto di matematica degli alunni di prima”
Esercizio 3. Supponiamo di aver svolto un’indagine statistica sul voto finale di matematica degli alunni iscritti al primo anno dell’istituto “VersariMacrelli” e di aver raccolto informazioni relative a 16 alunni (tabella 9). Calcola le frequenze relative e percentuali, rappresenta i dati graficamente e
calcola gli indici di posizione.
In questo caso la popolazione statistica è rappresentata dalle prime dell’istituto
“Versari-Macrelli”; le unità statistiche sono gli alunni iscritti al primo anno; la
variabile statistica che si vuole studiare è il voto finale di matematica, che è un
numero intero (compreso tra 1 e 10) e quindi è una variabile quantitativa.
Eseguiamo lo spoglio delle informazioni realizzando la tabella delle frequenza
assolute (dove nella prima colonna scriveremo tutti voti registrati e nella seconda
colonna il numero degli alunni che hanno riportato quel voto), delle frequenze
relative (rapporto tra la frequenza assoluta di un voto e il totale dei voti registrati)
e percentuali (tabella 10).
La figura 3 mostra l’istogramma dei valori e il diagramma a torta.
Determiniamo gli indici di posizione.
• La frequenza maggiore è 4, e corrisponde al numero di alunni che hanno
Tabella 8: I valori centrali sono 166 e 168
158
168
165
168
165
168
165
168
165
174
165
174
165
174
166
177
166
177
166
186
1.4 indici statistici
Tabella 9: Voti finali di matematica di alcuni alunni di prima del “Versari-Macrelli”
Nome
Voto
Marco
Anna
Luigi
Lucia
Francesco
Elena
Carlo
Giulia
Nome
Voto
Angela
Pietro
Giorgia
Michela
Sergio
Roberta
Aldo
Giovanna
6
8
5
9
10
6
9
6
7
4
10
6
5
5
9
7
riportato un voto finale pari a 6: quindi la moda è 6.
• La media è:
media =
4 · 1 + 5 · 3 + 6 · 4 + 7 · 2 + 8 · 1 + 9 · 3 + 10 · 2
=7
16
• Per calcolare la mediana conviene riscrivere i valori in ordine crescente (tabella 11).
Tabella 11: Voti in ordine crescente
4
7
5
7
5
8
5
9
6
9
6
9
6
10
6
10
Poiché i valori sono sedici, che è un numero pari, la mediana è la media
aritmetica dei due valori centrali, che sono l’ottavo (che ha sette valori che
Tabella 10: Frequenze assolute, relative e percentuali
Voto
Frequenza
assoluta
Frequenza
relativa
Frequenza
percentuale
4
5
6
7
8
9
10
Totale
1
3
4
2
1
3
2
16
0,0625
0,1875
0,2500
0,1250
0,0625
0,1875
0,1250
1
6,25
18,75
25,00
12,50
6,25
18,75
12,50
100
11
12
statistica
lo precedono) e il nono (che ha sette valori che lo seguono); questi valori
sono uguali rispettivamente a 6 e a 7. Quindi la mediana è (6 + 7)/2 =
6,5.
1.5
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
1
Da un’indagine sulla distribuzione delle altezze in un gruppo di studenti sono stati
rilevati i seguenti valori grezzi (espressi in cm):
175
164
174
190
168
174
175
175
169
185
177
176
173
188
183
188
160
164
174
171
165
175
166
172
170
160
181
181
172
177
173
185
177
176
166
184
172
184
172
183
170
180
174
175
173
176
165
173
182
168
180
181
Raggruppa i valori in classi di ampiezza 5 cm e costruisci la distribuzione di frequenza.
Calcola poi frequenza relativa e percentuale.
2
Data la seguente distribuzione dei risultati dei test d’ingresso di matematica in una
scuola media, sapendo che l’indagine è stata svolta su 200 alunni, determina frequenze
assolute e relative.
Voto
Frequenza percentuale
Frequenza assoluta
Frequenza relativa
3
5%
4
10%
5
25%
6
40%
7
15%
8
3%
9
2%
3
Rappresenta attraverso un diagramma a torta la seguente tabella statistica, che
indica le ore di studio giornaliere di uno studente.
Giorno
Ore di studio
lunedì
2
martedì
6
mercoledì
5
giovedì
2
venerdì
3
sabato
4
domenica
0
4
Rappresenta con un istogramma i dati riportati nella seguente tabella relativi alla
vendita di automobili da un concessionario nell’anno 2014.
Marca automobile
Renault
Fiat
Ford
Toyota
Alfa Romeo
Auto vendute
50
270
120
40
30
1.5 esercizi
Uno studente universitario di Fisica ha superato 28 esami con queste valutazioni:
5
18
28
25
24
26
22
23
25
30
24
21
27
24
24
20
21
29
23
28
28
24
18
21
25
23
26
28
23
Organizza i valori in una tabella e rappresentali tramite un istogramma.
6
Un insegnante di Fisica, per mostrare che le misure di uno stesso oggetto sono
soggette ad errori che dipendono dall’osservatore, ha fatto misurare la lunghezza di una
cattedra con un metro a ciascun alunno della propria classe. I risultati sono stati i seguenti:
Lunghezza (cm)
Frequenza
100,8
1
100,9
7
101,0
6
101,1
3
101,2
3
Qual è la lunghezza media della cattedra?
[101,0 cm]
7
Sono dati i seguenti punteggi a un test sostenuto da un gruppo di otto studenti: 20,
[20; 15; 16]
24, 20, 15, 8, 5, 11, 17. Calcola la moda, la media e la mediana.
8
In un gruppo di studenti universitari la valutazione dell’esame di biologia risulta
così distribuita: 29, 24, 28, 18, 23, 19, 20, 24, 30, 20, 21, 30, 22, 30, 23, 24, 27, 29, 29, 30.
a. Organizza i dati in una tabella e calcola la frequenza assoluta, relativa e percentuale
b. Rappresenta i dati in un grafico a piacere
c. Calcola moda, media e mediana
[30; 25; 24]
9
È stata effettuata un’indagine statistica riguardo al numero di libri letti nella scorsa
estate. I dati sono raccolti nella seguente tabella:
Numero di libri letti
Numero di persone
0
6
1
5
2
1
3
4
4
1
5
2
6
0
7
1
a. Organizza i dati in una tabella e calcola la frequenza assoluta, relativa e percentuale
b. Rappresenta i dati in un grafico scelto a piacere
c. Calcola moda, media e mediana
10
[0; 2; 1]
Indica la risposta corretta.
a. Se compi un’indagine sul peso degli allievi della tua scuola, la popolazione è costituita?
A
dagli allievi della scuola
C
dal peso di ciascun allievo
B
dai pesi degli allievi della scuola
D
da ciascun allievo della scuola
13
14
statistica
b. La frequenza percentuale si ottiene:
A
dividendo la frequenza assoluta per la somma delle frequenze assolute
B
moltiplicando la frequenza assoluta per 100
C
moltiplicando la frequenza relativa per 100
D
dividendo la frequenza relativa per 100
c. La mediana:
A
è la somma dei valori delle singole osservazioni diviso per il loro numero
B
è il valore centrale di un insieme di valori ordinati (se i dati sono dispari)
C
è il valore che si presenta con la massima frequenza in un insieme di valori
D
indica la percentuale di valori al di sopra o al di sotto della media
d. Sia data la seguente distribuzione di valori: 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7. Allora, la moda,
la media e la mediana valgono rispettivamente:
A
la moda è 4, la media è 5, la mediana è 6
B
la moda è 6, la media è 4, la mediana è 5
C
la moda è 6, la media è 5, la mediana è 4
D
la moda è 4, la media è 5, la mediana è 5
e. Nella tua classe la moda dell’altezza è 165 cm. Questo significa che:
A
non ci sono alunni più bassi di 165 cm
B
165 cm è l’altezza più comune
C
165 cm occupa il posto centrale delle altezze degli alunni in ordine crescente
D
in media gli alunni sono alti 165 cm
f. Nella tua classe la media dell’altezza è 165 cm. Questo significa che:
A
non ci sono alunni più bassi di 165 cm
B
165 cm è l’altezza più comune
C
165 cm occupa il posto centrale delle altezze degli alunni in ordine crescente
D
la somma delle altezze degli alunni diviso per il numero degli alunni è 165 cm
g. Nella tua classe la mediana dell’altezza è 165 cm. Questo significa che:
1.5 esercizi
A
non ci sono alunni più bassi di 165 cm
B
165 cm è l’altezza più comune
C
165 cm occupa il posto centrale delle altezze degli alunni in ordine crescente
D
in media gli alunni sono alti 165 cm
[Una risposta A, due B, due C e due D]
11
Sono state misurate le pulsazioni al minuto di 20 persone ottenendo i seguenti dati:
66 67 67 68 68 68 69 69 69 70 70 71 72 72 72 72 74 77 79 80.
a. Organizza i dati in una tabella e calcola la frequenza assoluta, relativa e percentuale
b. Rappresenta graficamente i dati
c. Calcola moda, media e mediana
[72; 71; 70]
12
Stabilisci se le seguenti proposizioni sono corrette: se lo sono giustificale, altrimenti
mostra che sono false attraverso un controesempio.
a. Se due sequenze di numeri hanno la
stessa media, allora hanno anche la
stessa mediana.
V F
b. Se due sequenze di numeri hanno la
stessa mediana, allora hanno anche la
stessa media.
V F
c. Esistono sequenze di numeri per cui
la moda, la media e la mediana
coincidono.
V
F
d. La moda di una sequenza di numeri interi è sempre un numero
V
intero.
F
e. La mediana di una sequenza di numeri interi è sempre un numero
V
intero.
F
[2 affermazioni vere e 3 false]
13
Venti ragazzi sono stati sottoposti a una verifica; i dati seguenti indicano il numero
di errori commessi da ciascuno di loro: 3, 0, 0, 5, 1, 6, 8, 3, 9, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 5, 7, 9, 9.
a. Organizza i dati in una tabella comprensiva di percentuale di frequenze
b. Rappresenta graficamente i dati
c. Calcola moda, media e mediana
d. Quanti alunni, in percentuale, hanno fatto meno di 5 errori?
[2; 4; 3]
[60%]
14
I dati riportati in tabella si riferiscono al numero di giorni di assenza degli alunni
di una classe.
15
16
statistica
Alunno
n. giorni
Alunno
n. giorni
Alunno
n. giorni
Alunno
n. giorni
Mauro
Antonio
Paola
Luisa
Carla
3
6
2
1
0
Romeo
Anna
Luca
Amedeo
Marco
8
3
6
3
1
Bruna
Pietro
Nicola
Aldo
Luigi
7
9
1
5
2
Silvia
Alessio
Patrizia
Franca
Chiara
0
2
6
9
6
a. Organizza i dati in una tabella comprensiva delle frequenze percentuali
b. Rappresenta i dati con un istogramma
c. Calcola moda, media e mediana
[6; 4; 3]
d. Quanti alunni, in percentuale, hanno fatto meno assenze rispetto alla media? [55%]
15
Quattro amici sostengono l’Esame di Stato conseguendo punteggi la cui media aritmetica è 77,5/100. Se tre di essi hanno conseguito un punteggio, in centesimi, rispettiva[84]
mente di 70, 76 e 80, quale punteggio ha conseguito il quarto studente?
16
La media aritmetica di 11 numeri è 4850. Se ciascuno degli undici numeri viene
[4840]
diminuito di 10, quanto diventa la loro media aritmetica?
17
I 25 alunni della terza C, dopo aver raccolto i voti conseguiti nella verifica scritta di
matematica, hanno costruito il seguente grafico:
5
4
28%
12%
3
4%
4%
32%
8
12%
6
9
8%
7
Quanti ragazzi hanno conseguito come voto 7?
18
[3]
Indica la risposta corretta.
a. Lo sfruttamento medio della capacità ricettiva di un albergo è uguale all’88% durante i tre mesi estivi e al 44% durante i rimanenti mesi dell’anno. Qual è lo
sfruttamento medio relativo all’intero anno?
A
46%
B
50%
C
55%
D
66%
b. Antonio, Carlo, Giovanni, Filippo e Matteo fanno una gara di tiro a segno. Antonio e Filippo totalizzano ciascuno 16 punti, Carlo totalizza 18 punti, Giovanni ne
totalizza 14 e Matteo 10. Qual è il punteggio medio realizzato dai cinque amici?
1.5 esercizi
A
B
11,6
C
14,8
D
15
15,2%
c. La media degli studenti promossi da una scuola, nei quattro anni 2010-2013, è stata
di 325 studenti l’anno, mentre nei cinque anni 2010-2014 la media è stata superiore del 20% rispetto al precedente intervallo temporale. Quanti studenti sono stati
promossi dalla scuola nel 2014?
A
B
390
C
455
D
600
650
d. Stabilisci quale delle seguenti affermazioni è vera.
A
La mediana di un insieme di dati può essere uguale alla media.
B
La media di un insieme di dati non può mai essere uguale a zero.
C
La moda di un insieme di dati non può mai essere uguale alla mediana.
D
La media di un insieme di dati non può mai essere uguale alla moda.
e. Mario, Luigi e Giacomo pesano complessivamente 210 kg. Sapendo che Mario e
Luigi pesano rispettivamente 3 kg in meno e 4 kg in più della media aritmetica fra i
pesi di tutti e tre, quanto pesa Giacomo?
A
B
68 kg
C
69 kg
D
70 kg
71 kg
f. Le temperature massime giornaliere registrate a Cesena in una settimana sono le
seguenti:
Giorno
Temperatura
lunedì
29 ◦ C
martedì
30 ◦ C
mercoledì
32 ◦ C
giovedì
31 ◦ C
venerdì
28 ◦ C
sabato
30 ◦ C
domenica
30 ◦ C
Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
A
La temperatura media è quella registrata martedì.
B
La temperatura modale è quella registrata mercoledì.
C
La temperatura mediana è quella registrata sabato.
D
La temperatura mediana è uguale alla temperatura modale.
g. Un impiegato ha percepito per i primi 3 mesi dell’anno uno stipendio mensile
di 1000 e. Nei 9 mesi successivi lo stipendio mensile è aumentato di 400 e. Qual è
lo stipendio medio nell’anno di quell’impiegato?
A
1250 e
B
1300 e
C
1350 e
D
1400 e
h. La media dei voti ottenuti in un compito in classe è stata 6 e la mediana 5,5. Il
professore decide di alzare tutti i voti di mezzo punto. Allora:
17
18
statistica
A
la media resta invariata e la mediana aumenta di 0,5
B
la media aumenta di 0,5 e la mediana resta invariata
C
sia la media che la mediana restano invariate
D
sia la media che la mediana aumentano di 0,5
i. La mamma di Andrea ha firmato sul libretto scolastico i seguenti voti di matematica: 7, 5, 6, 4. Andrea rientra con un quinto voto dell’ultimo compito in classe e dice
alla mamma: «Ho ottenuto la media aritmetica del 6». Quale voto ha preso Andrea?
A
6
B
C
7
8
D
9
j. Uno studio statistico sulle altezze, misurate in metri, dei componenti di una classe
di 20 studenti ha condotto ai seguenti risultati.
Moda
1,87 m
Media
1,76 m
Mediana
1,74 m
In base a queste informazioni, quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?
A
Nessuno studente della classe è alto 1,90 m
B
La somma delle altezze degli studenti della classe è 35,2 m
C
Gli studenti della classe che hanno altezza inferiore a 1,74 m sono 9
D
Almeno uno studente della classe ha altezza uguale a 1,76 m
[Due risposte A, tre B, due C e tre D]
2
M A T E M A T I C A P E R L’ E C O N O M I A
Questo capitolo presenta due applicazioni della matematica in ambito economico: la risoluzione dei problemi di scelta e dei problemi di costi e ricavo.
2.1
problemi di scelta
Si dicono problemi di scelta i problemi in cui viene chiesto di operare, fra varie
alternative, la scelta più conveniente (secondo un determinato criterio, per esempio
quello di massimizzare un profitto o minimizzare una spesa).
Esercizio 4. A un promotore di polizze assicurative vengono proposti due
tipi di stipendio:
• contratto A: 1000 euro al mese più 50 euro per ogni polizza stipulata
• contratto B: 500 euro al mese più 100 euro per ogni polizza stipulata
Determina il contratto più conveniente.
Soluzione. È chiaro che non potrà esserci una scelta più conveniente “in assoluto”:
la maggiore o minore convenienza di un contratto dipendono infatti dal numero
di polizze stipulate dall’assicuratore. Ci proponiamo perciò di determinare qual è
la scelta più conveniente a seconda del numero di polizze stipulate.
Costruiamo il modello matematico del problema. Indichiamo con x il numero
(intero > 0) di polizze stipulate in un mese e con y il corrispondente stipendio in
euro:
• lo stipendio relativo al contratto A è espresso dalla funzione y = 50x + 1000
• lo stipendio relativo al contratto B è espresso dalla funzione y = 100x + 500
Tracciando i grafici delle due funzioni e confrontandoli, potremo stabilire qual è la
scelta più conveniente.
Poiché le due funzioni sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Per comodità
tracciamo queste due rette come se x fosse una variabile reale (anche se i punti delle
rette che rappresentano il problema sono in realtà solo quelli a coordinate intere,
dato che il dominio di x è costituito dall’insieme degli interi > 0). La figura 4a
20
matematica per l’economia
y
y
B: y = 100x + 500
A: y = 7x + 15
Q R
85
P
C: y = 85
A: y = 50x + 1000
1500
B: y = 5x + 25
P
50
1000
500
x
x
10
5
(a) Un problema di “massimo stipendio”
10 12
(b) Un problema di “minimo costo”
Figura 4: Problemi di scelta
riporta le rette grafico delle due funzioni, in un opportuno sistema di riferimento
cartesiano.
Per risolvere il problema determiniamo le coordinate del punto d’intersezione P
delle rette che abbiamo tracciato in figura. A tal fine risolviamo il seguente sistema:
y = 100x + 500
y = 50x + 1000
da cui
100x + 500 = 50x + 1000
y = 50x + 1000
=⇒
50x = 500
y = 50x + 1000
=⇒
x = 10
y = 1500
Quindi il punto di intersezione è P(10, 1500).
La linea di “massimo stipendio” è evidenziata in figura con maggiore spessore:
essa è costituita per x < 10 dalla retta corrispondente al contratto A e per x > 10
dalla retta corrispondente al contratto B. In conclusione:
• per un numero di polizze inferiore a 10 conviene il contratto A
• per un numero di polizze superiore a 10 conviene il contratto B
• per esattamente 10 polizze è indifferente il contratto A o B
2.1 problemi di scelta
Esercizio 5. Paolo vuole frequentare una palestra per un mese e deve
scegliere tra le seguenti tre proposte:
• palestra A: costo fisso d’iscrizione di 15 euro, più 7 euro per ogni
ingresso
• palestra B: costo fisso d’iscrizione di 25 euro, più 5 euro per ogni
ingresso
• palestra C: abbonamento mensile di 85 euro, senza limiti di ingresso
Qual è la scelta più conveniente per Paolo?
Soluzione. Indichiamo con x il numero di ingressi alla palestra che Paolo intende
effettuare in un mese e con y la corrispondente spesa in euro: x potrà variare
nell’insieme dei numeri interi compresi tra 0 e 30. Abbiamo che:
• la spesa per frequentare la palestra A è espressa dalla funzione y = 7x + 15
• la spesa per frequentare la palestra B è espressa dalla funzione y = 5x + 25
• la spesa per frequentare la palestra C è espressa dalla funzione y = 85
Tracciando i grafici delle tre funzioni e confrontandoli, potremo stabilire qual è la
scelta più conveniente.
Poiché le tre funzioni sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Come al solito,
per comodità tracciamo queste tre rette come se x fosse una variabile reale (anche
se i punti delle rette che rappresentano il problema sono in realtà solo quelli a
coordinate intere, perché il dominio di x è costituito dai numeri interi compresi
tra 0 e 30). La figura 4b riporta le rette grafico delle tre funzioni, in un opportuno
sistema di riferimento cartesiano.
Determiniamo le coordinate di P (punto di intersezione tra le rette A e B), Q
(intersezione tra A e C) e R (intersezione tra B e C), risolvendo i sistemi:
y = 7x + 15
7x + 15 = 5x + 25
x=5
•
=⇒
=⇒
y = 5x + 25
y = 5x + 25
y = 50
y = 7x + 15
7x + 15 = 85
x = 10
•
=⇒
=⇒
y = 85
y = 85
y = 85
y = 5x + 25
5x + 25 = 85
x = 12
•
=⇒
=⇒
y = 85
y = 85
y = 85
Quindi i punti di intersezione sono P(5, 50), Q(10, 85) e R(12, 85).
La linea di “minimo costo” è quella evidenziata nella figura 4b con maggiore
spessore: essa è costituita per x < 5 dalla retta corrispondente alla palestra A,
21
22
matematica per l’economia
per 5 < x < 12 dalla retta corrispondente alla palestra B e per x > 12 dalla retta
corrispondente alla palestra C. In conclusione:
• per un numero di ingressi inferiore a 5 conviene scegliere la palestra A
• per un numero di ingressi compreso tra 5 e 12 conviene scegliere la palestra B
• per un numero di ingressi superiore a 12 conviene scegliere la palestra C
• per esattamente 5 ingressi è indifferente scegliere la palestra A o la B
• per esattamente 12 ingressi è indifferente scegliere la palestra B o la C
2.2
problemi di costi e ricavo
Nei problemi di ottimizzazione bisogna trovare la soluzione ottimale in base a un
dato criterio (massimizzare un profitto o minimizzare un costo, per esempio),
determinando il massimo o il minimo di una opportuna funzione.
Il costo di ogni bene prodotto o acquistato dipende dalla combinazione di molti
fattori: il costo delle materie prime, della manodopera, dei macchinari, eccetera. I
costi si dividono in due categorie.
Definizione 1. I costi fissi (CF ) non variano al variare della quantità prodotta
o acquistata; i costi variabili (CV ), invece, variano al variare della quantità
prodotta o acquistata.
Esempi di costi fissi sono le spese per l’affitto dei locali, lo stipendio dei dipendenti e le spese di assicurazione. Esempi di costi variabili sono le spese per l’acquisto delle materie prime, per la manutenzione degli impianti e per il consumo
energetico.
Definizione 2. Il costo totale (CT ) è la somma dei costi fissi e dei costi
variabili:
CT = CF + CV
Definizione 3. Il ricavo (R) è il denaro che si trae dalla vendita di un
prodotto. È dato dalla formula
R = p·x
dove p è il prezzo di vendita di un singolo oggetto e x il numero di oggetti
venduti.
2.2 problemi di costi e ricavo
Definizione 4. Il profitto (o guadagno) è l’utile realizzato dall’azienda. È dato
dalla formula
P = R − CT
e quindi si calcola sottraendo il costo totale dal ricavo.
Si può rappresentare graficamente l’andamento del profitto in funzione della quantità di beni venduti (grafico del profitto), oppure si possono rappresentare
in uno stesso piano cartesiano l’andamento dei costi e del ricavo (diagramma di
redditività). In questi grafici si possono individuare alcuni elementi essenziali:
• la zona di perdita, in cui il ricavo è minore del costo totale
• la zona di utile, in cui il ricavo è maggiore del costo totale
• il punto di pareggio (Break Even Point, in inglese, spesso denotato con BEP),
che divide la zona di perdita dalla zona di utile, e che corrisponde al valore
della quantità di beni venduti per cui ricavo e costo totale si equivalgono
Esercizio 6. Un commerciante acquista olio d’oliva al costo di 7 euro al litro
e lo rivende a 12 euro al litro. Per il trasporto sostiene costi fissi giornalieri
di 60 euro. Descrivi l’andamento del profitto giornaliero in funzione dei litri
d’olio venduti.
Soluzione.
• Indichiamo con x i litri d’olio venduti in un giorno. Non ci sono vincoli tecnici: il commerciante può vendere tutto l’olio che i suoi clienti gli chiedono.
L’unico vincolo cui è soggetto x è il “vincolo di segno”:
x>0
• I costi fissi (indipendenti dal numero di litri venduti) sono di 60 euro al
giorno:
CF = 60
• I costi variabili sono di 7 euro al litro per il numero x di litri venduti:
CV = 7x
• Il costo totale è la somma dei costi fissi e dei costi variabili:
CT = 7x + 60
23
24
matematica per l’economia
y
y
P
R
Zona di utile
Zona di utile
CT
BEP
x
12
144 Zona di perdita
BEP
CV
60
CF
Zona di perdita
x
−60
12
(a) Grafico del profitto
(b) Diagramma di redditività
Figura 5: Un problema di ottimizzazione senza vincoli tecnici
• Il ricavo è di 12 euro al litro per il numero x di litri venduti:
R = 12x
• Il profitto è dato dal ricavo meno il costo totale:
P = R − CT = 12x − (7x + 60) = 5x − 60
Poiché tutte le funzioni in gioco sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Per
tracciare il grafico della funzione profitto determiniamo le coordinate del punto
d’intersezione del grafico con l’asse x, risolvendo il sistema:
y = 5x − 60
y=0
=⇒
5x − 60 = 0
y=0
=⇒
5x = 60
y=0
=⇒
x = 12
y=0
Quindi il punto di intersezione è (12, 0).
La figura 5a rappresenta il grafico della funzione profitto:
• se vende meno di 12 litri d’olio, cioè se 0 6 x < 12, il commerciante è in
perdita in quanto per tali valori la funzione profitto è negativa
• x = 12 è il punto di pareggio
• per tutti i valori superiori a 12 il commerciante ha un profitto positivo: quanto più grande è x > 12, tanto più grande è il profitto
In alternativa, il problema si può risolvere costruendo il diagramma di redditività. La figura 5b rappresenta le rette grafico delle funzioni CF , CV , CT ed R. Per
determinare il punto di pareggio troviamo il punto di intersezione tra la funzione
2.2 problemi di costi e ricavo
40
y
P
240
R
Zona di utile
Zona di utile
40
200
BEP
12
y
x
20
144
BEP
Zona di perdita
CT
CV
60
CF
Zona di perdita
x
−60
12
(a) Grafico del profitto
20
(b) Diagramma di redditività
Figura 6: Un problema di ottimizzazione con un vincolo tecnico
che rappresenta il costo totale e la funzione che rappresenta il ricavo, risolvendo il
sistema:
y = 7x + 60
12x = 7x + 60
5x = 60
x = 12
=⇒
=⇒
=⇒
y = 12x
y = 12x
y = 12x
y = 144
Il punto di pareggio si ha dunque per x = 12. Quindi:
• se 0 6 x < 12 il commerciante è in perdita
• se x = 12 il commerciante non ha né profitto né perdita
• se x > 12 il commerciante ha un profitto positivo
Le conclusioni coincidono con quelle trovate in precedenza.
Esercizio 7. Consideriamo il problema precedente, aggiungendo la condizione che il commerciante può trasportare al massimo 20 litri d’olio al giorno. Quanti litri d’olio deve vendere per avere il massimo profitto? Qual è il
massimo profitto? A quanti litri venduti si ha il punto di pareggio?
Soluzione. L’unica differenza rispetto all’esercizio precedente è la presenza del vincolo tecnico x 6 20. Determiniamo il punto di intersezione del grafico della
funzione profitto con la retta x = 20.
y = 5x − 60
y = 5 · 20 − 60
y = 40
=⇒
=⇒
x = 20
x = 20
x = 20
Quindi il punto di intersezione è (20, 40).
La figura 6a rappresenta il grafico della funzione profitto. Abbiamo che:
25
26
matematica per l’economia
• se vende meno di 12 litri d’olio, cioè se 0 6 x < 12, il commerciante è in
perdita
• per x = 12 il commerciante non ha né utile né perdita (break even point)
• per tutti i valori superiori a 12 fino al massimo trasportabile 20, cioè per 12 <
x 6 20, il commerciante ha un profitto positivo
• il profitto è crescente e raggiunge il massimo, pari a 40 euro, in corrispondenza della quantità d’olio massima trasportabile, cioè per x = 20
In alternativa, il problema si può risolvere costruendo il diagramma di redditività. La figura 6b rappresenta le rette grafico delle funzioni CF , CV , CT ed R. Il
massimo profitto si ha quando la differenza tra ricavo e costo è massima, ovvero
per x = 20, per cui
R(20) − P(20) = 12 · 20 − (7 · 20 + 60) = 240 − 200 = 40
e l’analisi economica coincide con quella fatta in precedenza.
Esercizio 8. Un lattaio acquista il latte sfuso a 0,6 euro al litro e lo rivende
a 1,4 euro al litro. Ogni giorno spende 10 euro di trasporto e il recipiente in
cui tiene il latte ha capienza massima di 30 litri. I litri invenduti non rappresentano un costo perché il lattaio può renderli al suo fornitore. Quanti litri
di latte deve vendere per avere il massimo guadagno? Qual è il massimo
guadagno? A quanti litri venduti si ha il punto di pareggio?
Soluzione.
• Indichiamo con x i litri venduti in un giorno. Acquistando e vendendo il
latte sfuso, x può non essere intero. Oltre al vincolo di segno x > 0 c’è il
vincolo tecnico dovuto alla capienza del recipiente, pari a 30 litri. Quindi:
0 6 x 6 30
• I costi fissi (indipendenti dal numero di litri venduti) sono di 10 euro al
giorno:
CF = 10
• I costi variabili sono di 0,6 euro al litro per il numero x di litri venduti:
CV = 0,6x
• Il costo totale è la somma dei costi fissi e dei costi variabili:
CT = 0,6x + 10
2.2 problemi di costi e ricavo
14
y
P
y
42
R
Zona di utile
14
Zona di utile
28
BEP
x
12,5
30
17,5
Zona di perdita
BEP
CV
10
−10
CT
CF
x
Zona di perdita
12,5
(a) Grafico del profitto
30
(b) Diagramma di redditività
Figura 7: Un altro problema di ottimizzazione con vincolo tecnico
• Il ricavo è di 1,4 euro al litro per il numero x di litri venduti:
R = 1,4x
• Il profitto è dato dal ricavo meno il costo totale:
P = R − CT = 1,4x − (0,6x + 10) = 0,8x − 10
Poiché tutte le funzioni in gioco sono lineari, i loro grafici sono delle rette. Per
tracciare il grafico della funzione profitto determiniamo le coordinate del punto
d’intersezione del grafico con l’asse x. A tal fine risolviamo il seguente sistema:
y = 0,8x − 10
0,8x − 10 = 0
0,8x = 10
x = 12,5
=⇒
=⇒
=⇒
y=0
y=0
y=0
y=0
Quindi il punto di intersezione è (12,5, 0). Determiniamo inoltre il punto di intersezione del grafico con la retta x = 30.
y = 0,8x − 10
y = 0,8 · 30 − 10
y = 14
=⇒
=⇒
x = 30
x = 30
x = 30
Quindi il punto di intersezione è (30, 14).
La figura 7a descrive il grafico della funzione profitto. Possiamo dire che il
lattaio:
• è in perdita se vende meno di 12,5 litri
• è in pareggio se vende esattamente 12,5 litri (break even point)
• realizza un guadagno se vende più di 12,5 litri
27
28
matematica per l’economia
• realizza il massimo guadagno (14 euro) se vende tutti e 30 i litri di latte
In alternativa, il problema si può risolvere costruendo il diagramma di redditività. La figura 7b rappresenta le rette grafico delle funzioni CF , CV , CT ed R.
Per trovare il break even point troviamo il punto di intersezione tra la funzione che
rappresenta il costo totale e la funzione che rappresenta il ricavo, risolvendo il
sistema:
x = 12,5
0,8x = 10
1,4x = 0,6x + 10
y = 0,6x + 10
=⇒
=⇒
=⇒
y = 17,5
y = 1,4x
y = 1,4x
y = 1,4x
Il break even point si ha dunque per x = 12,5. Il massimo profitto si ha quando la
differenza tra ricavo e costo è massima, ovvero per x = 30, per cui
R(30) − P(30) = 1,4 · 30 − (0,6 · 30 + 10) = 42 − 28 = 14
e l’analisi economica coincide con quella fatta in precedenza.
Esercizio 9. Un’azienda agricola produce vino di pregio. Il costo di produzione mensile comporta costi fissi di 5000 euro, più 40 euro per ogni
bottiglia di vino prodotto. L’azienda sostiene inoltre delle spese di vendita
pari in euro al 10% del quadrato del numero di bottiglie vendute. Ogni bottiglia viene venduta a 100 euro. Descrivi l’andamento del profitto mensile
in funzione delle bottiglie vendute.
Soluzione. Indichiamo con x il numero di bottiglie di vino vendute in un mese.
L’unico vincolo cui è soggetto x è il “vincolo di segno” (in alte parole, non ci sono
vincoli tecnici):
x>0
La situazione è allora la seguente.
• I costi fissi (indipendenti dal numero di bottiglie vendute) sono di 5000 euro
al mese:
CF = 5000
• Le spese di vendita sono in euro pari al 10% del quadrato del numero di
bottiglie vendute:
10 2
x = 0,1x2
100
• I costi variabili sono di 40 euro per ogni bottiglia venduta più le spese di
vendita:
CV = 40x + 0,1x2
2.2 problemi di costi e ricavo
4000
y
Zona di utile
BEP
100
BEP
300
x
500
Zona di perdita
−5000
(a)
4000
3000
y
Zona di utile
BEP
BEP
100
300 400 500
x
Zona di perdita
−5000
(b)
4000
3000
y
Zona di utile
BEP
BEP
100 200 300
500
x
Zona di perdita
−5000
(c)
Figura 8: Un problema di ottimizzazione di secondo grado
29
30
matematica per l’economia
• Il costo totale è la somma dei costi fissi e del costi variabili:
CT = CF + CV = 5000 + 40x + 0,1x2
• Il ricavo è di 100 euro per il numero x di bottiglie vendute:
R = 100x
• Il profitto è dato dal ricavo meno il costo totale:
P = R − CT = 100x − (5000 + 40x + 0,1x2 ) = −0,1x2 + 60x − 5000
Quest’ultima è la funzione da massimizzare. Dal punto di vista della geometria
analitica il grafico della funzione è una parabola; inoltre, essendo il coefficiente
di x2 negativo, questa parabola ha la concavità rivolta verso il basso. Tracciamo il
grafico della parabola.
• Troviamo il punto di intersezione della parabola con l’asse y risolvendo il
sistema fra l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse y, ovvero x = 0:
y = −5000
y = −0,1x2 + 60x − 5000
=⇒
x=0
x=0
Quindi la parabola interseca l’asse y nel punto (0, −5000).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x risolvendo il sistema fra l’equazione
della parabola e l’equazione dell’asse x, ovvero y = 0:
y = −0,1x2 + 60x − 5000
y=0
da cui
−0,1x2 + 60x − 5000 = 0 =⇒ x2 − 600x + 50 000 = 0 =⇒ (x − 100)(x − 500) = 0
ovvero
x = 100
∨
x = 500
Quindi la parabola interseca l’asse x nei punti (100, 0) e (500, 0), ciascuno dei
quali è un punto di pareggio.
• L’ascissa del vertice V è la media delle ascisse delle intersezioni con l’asse x:
xV =
100 + 500
= 300
2
Sostituiamo il valore trovato nell’equazione della parabola:
yV = −0,1(300)2 + 60 · 300 − 5000 = −9000 + 18 000 − 5000 = 4000
Quindi:
V = (300, 4000)
2.2 problemi di costi e ricavo
La figura 8a rappresenta la situazione. La funzione cresce fra 0 e 300; a 300
raggiunge il valore massimo (che corrisponde al massimo profitto per l’azienda) e
poi decresce. Possiamo quindi concludere che l’azienda:
• se non vende alcuna bottiglia di vino, è in perdita di 5000 euro
• se vende meno di 100 bottiglie, è in perdita
• se vende 100 bottiglie, è in pareggio
• se vende un numero di bottiglie compreso tra 100 e 500, guadagna; in particolare, ha il massimo profitto vendendo 300 bottiglie, guadagnando 4000 euro
• se vende 500 bottiglie, è in pareggio
• se vende più di 500 bottiglie è in perdita
In questo caso alla ditta non conviene produrre più di 300 bottiglie.
Esercizio 10. Consideriamo il problema precedente, aggiungendo la
condizione che l’azienda non può produrre più di 400 bottiglie al mese.
Soluzione. L’unica differenza rispetto all’esercizio precedente è la presenza del vincolo tecnico x 6 400. La figura 8b evidenzia questo vincolo. Rispetto al caso
precedente, la situazione non cambia di molto. Infatti l’azienda:
• se non vende alcuna bottiglia di vino, è in perdita di 5000 euro
• se vende meno di 100 bottiglie, è in perdita
• se vende 100 bottiglie, è in pareggio
• se vende un numero di bottiglie compreso tra 100 e 400, guadagna; in particolare, realizza il massimo profitto vendendo 300 bottiglie, guadagnando 4000 euro
• se vende 400 bottiglie (massimo valore di produzione), guadagna 3000 euro
(valore ottenuto sostituendo 400 alla x nell’equazione della parabola)
L’analisi si ferma a 400 litri per la presenza del vincolo di produzione. Questo vincolo non provoca però cambiamenti significativi perché, come abbiamo già
osservato, alla ditta non conviene produrre più di 300 bottiglie di vino al mese.
31
32
matematica per l’economia
Esercizio 11. Consideriamo ancora il problema 9 dell’azienda vinicola, aggiungendo la condizione che l’azienda non può produrre più di 200 bottiglie
al mese.
Soluzione. La figura 8c mostra il nuovo vincolo tecnico x 6 200. In questo caso
l’azienda:
• se non vende alcuna bottiglia di vino, è in perdita di 5000 euro
• se vende meno di 100 bottiglie, è in perdita
• se vende 100 bottiglie, è in pareggio
• se vende un numero di bottiglie compreso tra 100 e 200, guadagna; in particolare, realizza il massimo profitto vendendo 200 bottiglie, guadagnando 3000 euro (valore ottenuto sostituendo 200 alla x nell’equazione della
parabola)
Questa volta il vincolo tecnico cambia notevolmente l’analisi economica: infatti,
non potendo raggiungere la produzione ideale di 300 bottiglie al mese, il massimo
profitto si ottiene producendo il maggior numero di bottiglie consentite.
2.3
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Problemi di scelta
1
Per il noleggio di un’auto due diverse ditte offrono le seguenti condizioni:
• la ditta A applica 20 euro di costo fisso più 50 euro per ogni giorno di noleggio
• la ditta B non applica alcun costo fisso e richiede 60 euro per ogni giorno di noleggio
Stabilisci, in dipendenza del numero di giorni per cui si vuole noleggiare l’auto, qual è la
scelta più conveniente.
[Per un solo giorno di noleggio conviene la ditta B, per più di due giorni conviene la
ditta A, per due giorni è indifferente]
2.3 esercizi
2
Per produrre un certo prodotto un’azienda può usare due macchinari diversi, che
chiamiamo A e B. Il macchinario A richiede 20 minuti di preparazione e produce tre oggetti al minuto; il macchinario B richiede 10 minuti di preparazione e produce due oggetti al
minuto. Determina, in dipendenza del numero di oggetti che si vogliono produrre, quale
macchinario consente di impiegare meno tempo.
[Volendo produrre meno di 60 oggetti è più conveniente scegliere B; per più di 60 oggetti
è più conveniente A; per 60 oggetti è indifferente]
3
Una fabbrica deve scegliere se produrre:
• un tessuto A che richiede costi fissi giornalieri di 1000 euro e fornisce un ricavo di
10 euro per metro di tessuto
• oppure un tessuto B che richiede costi fissi giornalieri di 2000 euro e fornisce un
ricavo di 15 euro per metro di tessuto
Determina, al variare dei metri di tessuto che la fabbrica intende produrre giornalmente,
la produzione più conveniente.
[Volendo produrre meno di 200 metri di tessuto al giorno conviene produrre il tessuto del
tipo A; volendo produrre più di 200 metri di tessuto conviene produrre il tessuto B; per
200 metri la scelta è indifferente]
4
Per il trasporto di una certa merce due ditte applicano le seguenti condizioni:
• la ditta A applica una spesa fissa di 100 euro più 10 euro per ogni quintale di merce
trasportata
• la ditta B non applica nessuna spesa fissa e chiede 12 euro per ogni quintale di merce
trasportata
Stabilisci, in dipendenza del numero di quintali di merce che si vogliono trasportare, la
scelta più conveniente.
[Fino a 50 quintali conviene la ditta B; per più di 50 quintali conviene la ditta A; per
50 quintali è indifferente]
5
Una banca propone tre diverse forme di investimento:
• un rendimento annuo netto del 4% diminuito di 100 euro per le spese di gestione
• un rendimento annuo netto del 5% diminuito di 200 euro per le spese di gestione
• un rendimento annuo netto del 6% diminuito di 300 euro per le spese di gestione
Determina, in dipendenza del capitale investito, qual è la forma di investimento più
conveniente.
[Per capitali fino a 10 000 euro conviene il primo investimento; per capitali oltre i 10 000 euro il terzo, per un capitale di 10 000 euro è indifferente scegliere la prima, la seconda o la
terza forma di investimento]
6
Tre differenti aziende telefoniche applicano le seguenti tariffe:
33
34
matematica per l’economia
• l’azienda A applica un costo fisso di 25 centesimi per ogni telefonata più 25 centesimi
per ogni minuto di conversazione;
• l’azienda B applica un costo fisso di 40 centesimi per ogni telefonata più 20 centesimi
per ogni minuto di conversazione;
• l’azienda C applica la tariffa di 30 centesimi per minuto di conversazione, senza
costi fissi.
Stabilisci, in dipendenza della durata di una telefonata, quale scelta è la più conveniente.
[Fino a 4 minuti di conversazione è più conveniente C; oltre i 4 minuti conviene B; per 4
minuti è indifferente B o C]
Un ricco signore vuole ormeggiare durante la stagione estiva il suo panfilo per
7
un certo periodo di tempo in un porticciolo gestito da un club nautico. Ha le seguenti
possibilità:
• prendere in affitto il posto barca per l’intera stagione estiva (dal primo giugno al
30 settembre), pagando 3600 euro
• pagare la tariffa di ormeggio di 200 euro al giorno
• iscriversi al club, pagando una quota di iscrizione di 800 euro, quindi pagare la
tariffa di ormeggio agevolata, di 40 euro al giorno
Stabilisci qual è la scelta più conveniente, in relazione al numero dei giorni di ormeggio.
[Per meno di 5 giorni conviene pagare la tariffa di ormeggio; per ormeggio tra i 5 e i 70 giorni conviene iscriversi al club; per più di 70 giorni di ormeggio conviene affittare per l’intera
stagione; per 5 giorni è indifferente pagare la tariffa di ormeggio o iscriversi al club; per
70 giorni è indifferente iscriversi al club o affittare per l’intera stagione]
8
A un rappresentante di televisori vengono proposte tre diverse forme di retribuzio-
ne:
• la prima prevede 600 euro al mese, più 40 euro per ogni televisore venduto
• la seconda prevede 400 euro al mese, più 80 euro per ogni televisore venduto
• la terza non prevede nessuno stipendio fisso, ma 100 euro per ogni televisore venduto
Stabilisci qual è la forma di retribuzione più conveniente, in relazione al numero di televisori venduti in un mese.
[Per meno di 5 televisori venduti in un mese conviene la prima forma di retribuzione; per
vendite tra i 5 e i 20 televisori conviene la seconda; per vendite superiori ai 20 televisori la
terza; per 5 televisori è indifferente la prima o la seconda; per 20 televisori è indifferente
la seconda o la terza]
9
Per fabbricare dei bulloni un’azienda può usare tre macchinari diversi, che chiamiamo A, B e C:
2.3 esercizi
• il macchinario A richiede 10 minuti di preparazione e produce 4 bulloni al minuto
• il macchinario B richiede 15 minuti di preparazione e produce 6 bulloni al minuto
• il macchinario C richiede 30 minuti di preparazione e produce 10 bulloni al minuto
Determina, in dipendenza del numero di bulloni che si vogliono produrre, quale macchinario consente di impiegare il minimo tempo complessivo (intendendo come tempo
complessivo la somma del tempo di preparazione e di quello di produzione).
[Per meno di 60 bulloni conviene A, per una produzione tra i 60 e i 225 bulloni conviene B;
per più di 225 bulloni conviene C, per 60 bulloni è indifferente A o B; per 225 bulloni è
indifferente B o C]
10
A un assicuratore vengono offerte tre diverse forme di contratto:
• 1000 euro al mese più 100 euro per ogni polizza stipulata in quel mese
• 1200 euro al mese più 75 euro per ogni polizza stipulata in quel mese
• 1500 euro, indipendentemente dal numero di polizze stipulate
Stabilisci, in dipendenza del numero di polizze che l’assicuratore stipula in un mese, il
contratto più conveniente.
[Per meno di 4 polizze conviene C, per 4 polizze è indifferente B o C, per 5, 6 o 7 polizze
conviene B, per 8 polizze è indifferente A o B, per più di 8 polizze conviene A]
Problemi di costi e ricavo
11
Una fabbrica che produce e vende magliette a 10 e l’una sostiene costi fissi mensili
di 9000 e e costi variabili pari a 4 e per ogni maglietta prodotta. Determina il punto di
pareggio e la zona di utile.
[Il punto di pareggio si ha per 1500 magliette vendute. La zona di utile è x > 1500, dove x
è il numero di magliette vendute.]
12
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica
possa produrre al massimo 4000 magliette al mese. Determina la produzione che permette
il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 4000 magliette vendute ed è 15 000 e. La zona di utile
è 1500 < x 6 4000, dove x è il numero di magliette vendute.]
13
Una fabbrica che produce e vende televisori a 1000 e l’uno sostiene costi fissi mensili di 200 000 e e costi variabili pari a 500 e per ogni televisore venduto. Determina il
punto di pareggio e la zona di utile.
[Il punto di pareggio si ha per 400 televisori venduti. La zona di utile è x > 400, dove x è
il numero di televisori venduti.]
35
36
matematica per l’economia
14
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica
possa produrre al massimo 1000 televisori al mese. Determina la produzione che permette
il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 1000 televisori venduti ed è 300 000 e. La zona di utile
è 400 < x 6 1000, dove x è il numero di televisori venduti.]
15
Una fabbrica che produce e vende caramelle a 1 e al pacchetto sostiene costi fissi
mensili di 6000 e e costi variabili pari a 0,70 e per ogni pacchetto venduto. Determina il
punto di pareggio e la zona di utile.
[Il punto di pareggio si ha per 20 000 pacchetti di caramelle venduti. La zona di utile
è x > 20 000, dove x è il numero di pacchetti di caramelle venduti.]
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica
16
possa produrre al massimo 50 000 pacchetti di caramelle al mese. Determina la produzione
che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 50 000 pacchetti di caramelle venduti ed è 9 000 e. La zona
di utile è 20 000 < x 6 50 000, dove x è il numero di pacchetti di caramelle venduti.]
17
Una segheria che produce e vende truciolato a 100 e al quintale sostiene costi fissi
mensili di 2750 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 40 e per ogni
quintale prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 10% del quadrato del numero
di quintali venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo
valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 300 quintali venduti ed è 6250 e. La zona di utile è 50 < x <
550, dove x è il numero dei quintali venduti.]
18
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la segheria
possa produrre al massimo 400 quintali al mese. Determina la produzione che permette il
massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 300 quintali venduti ed è 6250 e. La zona di utile è 50 < x 6
400.]
19
Consideriamo l’esercizio 17, aggiungendo la condizione che la segheria possa produrre al massimo 200 quintali al mese. Determina la produzione che permette il massimo
profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 200 quintali venduti ed è 5250 e. La zona di utile è 50 < x 6
200.]
20
Una fabbrica che produce e vende borse a 120 e l’una sostiene costi fissi mensili
di 7000 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 40 e per ogni borsa prodotta
e costi di vendita mensili pari, in euro, al 10% del quadrato del numero di borse vendute.
Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di
utile.
[Il massimo profitto si ha per 400 borse vendute ed è 9000 e. La zona di utile è 100 < x <
700, dove x è il numero di borse vendute.]
2.3 esercizi
21
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica
possa produrre al massimo 500 borse al mese. Determina la produzione che permette il
massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 400 borse vendute ed è 9000 e. La zona di utile è 100 < x 6
500, dove x è il numero di borse vendute.]
Consideriamo l’esercizio 20, aggiungendo la condizione che la fabbrica possa pro22
durre al massimo 200 borse al mese. Determina la produzione che permette il massimo
profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 200 borse vendute ed è 5000 e. La zona di utile è 100 < x 6
200, dove x è il numero di borse vendute.]
23
Una fabbrica che produce e vende scarpe a 100 e al paio sostiene costi fissi mensili
di 60 000 e e costi variabili pari a 50 e per ogni paio di scarpe venduto. La fabbrica
può produrre al massimo 4000 paia di scarpe al mese. Determina il punto di pareggio, la
produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il punto di pareggio si ha per 1200 paia di scarpe vendute. Il massimo profitto si ha
per 4000 paia di scarpe vendute ed è 140 000 e. La zona di utile è 1200 < x 6 4000, dove x
è il numero di paia di scarpe vendute.]
24
Una fabbrica che produce e vende jeans a 80 e al paio sostiene costi fissi mensili di 30 000 e e costi variabili pari a 30 e per ogni paio di jeans venduto. La fabbrica
può produrre al massimo 2000 paia di jeans al mese. Determina il punto di pareggio, la
produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il punto di pareggio si ha per 600 paia di jeans venduti. Il massimo profitto si ha
per 2000 paia di jeans venduti ed è 70 000 e. La zona di utile è 600 < x 6 2000, dove x è il
numero di paia di jeans venduti.]
25
Una fabbrica che produce e vende orologi a 200 e l’uno sostiene costi fissi mensili
di 20 000 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 80 e per ogni orologio
prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 10% del quadrato del numero di orologi
venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la
zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 600 orologi venduti ed è 16 000 e. La zona di utile è 200 <
x < 1000, dove x è il numero di orologi venduti.]
26
Una fabbrica che produce e vende telefoni cellulari a 400 e l’uno sostiene costi fissi
mensili di 75 000 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 200 e per ogni
cellulare prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 10% del quadrato del numero
di cellulari venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo
valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 1000 cellulari venduti ed è 25 000 e. La zona di utile è 500 <
x < 1500, dove x è il numero di cellulari venduti.]
37
38
matematica per l’economia
27
Una fabbrica che produce e vende caschi da moto a 300 e l’uno sostiene costi fissi
mensili di 32 000 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 100 e per ogni
casco prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 20% del quadrato del numero
di caschi venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo
valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 500 caschi venduti ed è 18 000 e. La zona di utile è 200 <
x < 800, dove x è il numero di caschi venduti.]
28
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la fabbrica
possa produrre al massimo 600 caschi al mese. Determina la produzione che permette il
massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 500 caschi venduti ed è 18 000 e. La zona di utile è 200 <
x 6 600, dove x è il numero di caschi venduti.]
29
Una fabbrica che produce e vende contenitori speciali a 200 e l’uno sostiene costi
fissi mensili di 10 000 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 80 e per
ogni contenitore prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, al 20% del quadrato del
numero di contenitori venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto,
il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 300 contenitori venduti ed è 8000 e. La zona di utile è 100 <
x < 500, dove x è il numero di contenitori venduti.]
30
Una fabbrica che produce e vende camicie a 90 e l’una sostiene costi fissi mensili
di 2625 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 30 e per ogni camicia
prodotta e costi di vendita mensili pari, in euro, al 15% del quadrato del numero di camicie
vendute. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la
zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 200 camicie vendute ed è 3375 e. La zona di utile è 50 < x <
350, dove x è il numero di camicie vendute.]
31
Una fabbrica che produce e vende zaini a 60 e l’uno sostiene costi fissi mensili
di 30 000 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 20 e per ogni zaino
prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, all’1% del quadrato del numero di zaini
venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il relativo valore e la
zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 2000 zaini venduti ed è 10 000 e. La zona di utile è 1000 <
x < 3000, dove x è il numero di zaini venduti.]
32
Una distilleria che produce e vende liquore a 40 e al litro sostiene costi fissi mensili
di 11 500 e e costi variabili ripartiti in costi di produzione pari a 12 e per ogni litro di
liquore prodotto e costi di vendita mensili pari, in euro, all’1% del quadrato del numero
di litri di liquore venduti. Determina la produzione che permette il massimo profitto, il
relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 1400 litri di liquore venduti ed è 8100 e. La zona di utile
è 500 < x < 2300, dove x è il numero di litri di liquore venduti.]
2.3 esercizi
33
Consideriamo l’esercizio precedente, aggiungendo la condizione che la distilleria
possa produrre al massimo 1000 litri di liquore al mese. Determina la produzione che
permette il massimo profitto, il relativo valore e la zona di utile.
[Il massimo profitto si ha per 1000 litri di liquore venduti ed è 6500 e. La zona di utile
è 500 < x 6 1000, dove x è il numero di litri di liquore venduti.]
34
Alcune famiglie affittano una residenza estiva da 65 posti per risparmiare sulla
vacanza. Pagano 90 e a testa per una settimana, più 2 e a testa per ogni posto che rimane
vuoto. Quanti posti devono rimanere vuoti perché il proprietario della residenza ottenga
il massimo ricavo?
Soluzione. Se x è il numero di posti occupati (e quindi 65 − x è il numero di posti vuoti)
e y il ricavo del proprietario, si ha che
y = 90x + 2x(65 − x) = 90x + 130x − 2x2 = −2x2 + 220x
Il valore di x che rende massimo il ricavo del proprietario è l’ascissa del vertice V della
parabola definita dall’equazione precedente:
xV =
0 + 110
= 55
2
Quindi i posti che devono rimanere vuoti sono 65 − 55 = 10.
39
3
3.1
DISEQUAZIONI
intervalli sulla retta reale
Definizione 5. Dati due numeri reali a e b, con a < b, si chiamano intervalli
i seguenti sottoinsiemi di R:
• (a, b) = { a < x < b } intervallo aperto e limitato (a e b sono esclusi)
• [a, b] = { a 6 x 6 b } intervallo chiuso e limitato (a e b sono inclusi)
• [a, b) = { a 6 x < b } intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra, e
limitato (a è incluso, b è escluso)
• (a, b] = { a < x 6 b } intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra, e
limitato (a è escluso, b è incluso)
• (a, +∞) = { x > a } intervallo aperto e superiormente illimitato (a è
escluso)
• [a, +∞) = { x > a } intervallo chiuso e superiormente illimitato (a è
incluso)
• (−∞, a) = { x < a } intervallo aperto e inferiormente illimitato (a è
escluso)
• (−∞, a] = { x 6 a } intervallo chiuso e inferiormente illimitato (a è
escluso)
I numeri a e b si chiamano estremi dell’intervallo.
Ciascuno degli intervalli così definiti si può rappresentare sulla retta reale: gli
intervalli limitati corrispondono a segmenti e quelli illimitati a semirette. Vediamo
qualche esempio.
Esercizio 12. Rappresenta graficamente l’intervallo (−∞, 3) = { x < 3 }.
Soluzione. Segniamo sulla retta reale il punto 3. L’intervallo è rappresentato da
tutti i punti della semiretta che precedono il numero 3, escluso 3.
42
disequazioni
3
x
Abbiamo disegnato con una linea più spessa la semiretta dei punti che appartengono all’intervallo. Per mettere in evidenza che 3 non appartiene alla semiretta
abbiamo messo un pallino vuoto sul punto.
Esercizio 13. Rappresenta graficamente l’intervallo [−5, +∞) = { x > −5 }.
Soluzione. Segniamo sulla retta reale il punto −5; l’intervallo è rappresentato dalla
semiretta di tutti i punti che seguono −5, incluso lo stesso −5.
−5
x
Abbiamo disegnato con una linea più spessa la semiretta dei punti che appartengono all’intervallo. Per indicare che il punto −5 appartiene all’intervallo abbiamo
messo un pallino pieno sul punto.
Esercizio 14. Rappresenta graficamente l’intervallo (−2, 6) = { −2 < x < 6 }.
Soluzione. Segniamo sulla retta reale i punti −2 e 6. L’intervallo è rappresentato
dal segmento che ha per estremi questi due punti.
−2
6
x
Abbiamo come al solito disegnato il segmento con una linea più spessa. Poiché
i due estremi del segmento sono esclusi, su ciascuno di essi abbiamo messo un
pallino vuoto.
Esercizio 15. Rappresenta graficamente l’intervallo (−2, 6] = { −2 < x 6 6 }.
Soluzione. Rispetto al caso precedente, il segmento che rappresenta l’intervallo è
“chiuso a destra”, ovvero il punto 6 è incluso nell’intervallo, mentre il punto −2 è
escluso.
−2
6
x
La figura precedente rappresenta l’intervallo.
3.2 diseguaglianze e disequazioni
Esercizio 16. Rappresenta graficamente l’intervallo [2, 6] = { −2 6 x 6 6 }.
Soluzione. Il segmento che rappresenta l’intervallo contiene tutti e due i suoi estremi.
−2
6
x
La figura precedente rappresenta l’intervallo.
3.2
diseguaglianze e disequazioni
Consideriamo le seguenti proposizioni:
• «1 è minore di 2»
• «3 è un numero negativo»
• «il quadrato di un numero reale è maggiore o uguale a zero»
• «togliendo 2 da un numero, si ottiene un numero positivo»
Esse si possono tradurre in linguaggio matematico usando i simboli > (maggiore), < (minore), > (maggiore o uguale) e 6 (minore o uguale). Precisamente:
• 1<2
• 3<0
• x2 > 0
• x−2 > 0
Le formule che contengono solo numeri (come le prime due) si dicono diseguaglianze; quelle che contengono numeri e variabili (come le ultime due) si dicono
disequazioni.
Definizione 6. Chiamiamo disuguaglianza una formula contenente solo numeri e uno dei simboli < (minore), > (maggiore), 6 (minore o uguale), >
(maggiore o uguale).
Definizione 7. Chiamiamo disequazione una formula contenente numeri, variabili e uno dei simboli < (minore), > (maggiore), 6 (minore o uguale), >
(maggiore o uguale).
Una diseguaglianza è o vera o falsa: per esempio, la disuguaglianza 1 < 2 è vera,
mentre 3 < 0 è falsa. Una disequazione, invece, in generale è vera per certi valori
sostituiti alla variabile e falsa per altri. Per esempio, la disequazione x − 2 > 0 è
vera se x = 3, ma è falsa se x = 1.
43
44
disequazioni
Definizione 8. L’insieme dei valori che sostituiti all’incognita trasformano
la disequazione in una disuguaglianza vera è l’insieme soluzione della disequazione (lo indicheremo con S). Risolvere una disequazione significa trovarne
l’insieme soluzione.
Definizione 9. Chiamiamo incognite le variabili che compaiono nella disequazione, e chiamiamo primo membro e secondo membro le due espressioni che compaiono rispettivamente a sinistra e a destra del simbolo di
disuguaglianza.
3.3
principi di equivalenza
Vediamo come risolvere una disequazione, ovvero come trovarne l’insieme soluzione. Premettiamo la seguente definizione:
Definizione 10. Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso
insieme soluzione.
Principio 1 (Primo principio di equivalenza). Sommando o sottraendo a
ciascuno dei due membri di una disequazione uno stesso numero, si ottiene
una disequazione equivalente a quella data.
Questo principio ci permette in pratica di “spostare” un addendo da un membro all’altro della disequazione cambiandogli segno, o di eliminare da entrambi i
membri gli addendi uguali.
Principio 2 (Secondo principio di equivalenza). Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membri di una disequazione per uno stesso numero
positivo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Principio 3 (Terzo principio di equivalenza). Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo,
si ottiene una disequazione equivalente alla data ma con il verso cambiato.
Nei paragrafi successivi vedremo come risolvere una disequazione applicando i
tre principi delle disequazioni.
3.4 disequazioni lineari
3.4
disequazioni lineari
Definizione 11. Una disequazione si dice intera se, eventualmente dopo aver
applicato i principi di equivalenza, è riconducibile a una delle seguenti forme
normali:
P(x) > 0
P(x) > 0
P(x) 6 0
P(x) < 0
dove P(x) è un polinomio. Si dice grado della disequazione il grado di P(x).
Una disequazione di primo grado si dice lineare.
Per esempio:
• 2x − 4 > 0 è una disequazione lineare
• x2 − 4x + 3 > 0 è una disequazione di secondo grado
• x3 + x2 + x + 1 < 0 è una disequazione di terzo grado
In questo paragrafo studieremo le disequazioni lineari, i cui coefficienti sono
numeri razionali. Per risolvere una disequazione di questo tipo si procede come
segue:
• si portano tutti i termini con l’incognita al primo membro e tutti i termini
noti al secondo membro
• si sommano i monomi simili
• si dividono entrambi i membri per il coefficiente dell’incognita (cambiando il
verso della disequazione se tale coefficiente è negativo)
• si semplificano le frazioni e si scrive l’insieme soluzione
Esercizio 17. Risolvi la disequazione 5x − 2 > 3x + 4.
Soluzione.
• Portiamo a sinistra i termini con l’incognita e a destra i termini noti, cambiando il segno quando passiamo da un membro all’altro:
5x − 3x > 2 + 4
• Sommiamo i monomi simili:
2x > 6
45
46
disequazioni
• Dividiamo entrambi i membri per il coefficiente della x, applicando il secondo principio delle disequazioni. È fondamentale osservare che tale coefficiente è 2, che è un numero positivo: quindi il verso della disequazione non
cambia.
6
2x
>
=⇒
x>3
2
2
• Quindi l’insieme soluzione è l’intervallo:
3
x
S = { x > 3 } = (3, +∞)
Esercizio 18. Risolvi la disequazione 3x + 1 > 5x + 5.
Soluzione.
• Portiamo a sinistra i termini con l’incognita e a destra i termini noti, cambiando il segno quando passiamo da un membro all’altro:
3x − 5x > 5 − 1
=⇒
−2x > 4
• Il coefficiente dell’incognita è negativo. Dividiamo entrambi i membri per −2
e cambiamo il verso della disequazione, applicando il terzo principio delle
disequazioni:
−2x
4
<
=⇒
x < −2
−2
−2
• L’insieme soluzione è l’intervallo:
−2
x
S = { x < −2 } = (−∞, −2)
Esercizio 19. Risolvi la disequazione 4(2x − 1) + 4 > −2(−3x − 6).
Soluzione. Svolgiamo i calcoli:
8x − 4 + 4 > 6x + 12
=⇒
8x − 6x > 12
=⇒
2x > 12
L’insieme soluzione è l’intervallo:
6
x
S = { x > 6 } = [6, +∞)
=⇒
x>6
3.4 disequazioni lineari
Esercizio 20. Risolvi la disequazione
(x − 1)2
(x + 1)2 2 + 3x
−
>
.
4
2
4
Soluzione.
• Sommiamo le frazioni algebriche:
(x + 1)2 − 2(2 + 3x)
(x − 1)2
>
4
4
Moltiplichiamo entrambi i membri per 4, che è un numero positivo:
(x − 1)2
(x + 1)2 − 2(2 + 3x)
>
4
4
=⇒
(x + 1)2 − 2(2 + 3x) > (x − 1)2
• Svolgiamo i calcoli:
x2 + 2x + 1 − 4 − 6x > x2 − 2x + 1
=⇒
2x + 2x − 6x > 4
=⇒
−2x > 4
• Il coefficiente dell’incognita è negativo. Dividiamo entrambi i membri per −2
cambiando il verso della disequazione:
−2
4
x6
−2
−2
=⇒
x 6 −2
• Quindi:
−2
x
S = { x 6 −2 } = (−∞, −2]
Esercizio 21. Risolvi la disequazione
1
1
(x + 5) − x > (3 − x).
2
2
Soluzione.
• Sommiamo le frazioni algebriche:
3−x
x + 5 − 2x
>
2
2
Moltiplichiamo entrambi i membri per 2, che è un numero positivo:
x + 5 − 2x
3−x
>
2
2
=⇒
x + 5 − 2x > 3 − x
=⇒
0 > −2
47
48
disequazioni
• Come si vede, l’incognita x è scomparsa. Abbiamo ricondotto la disequazione
a una disuguaglianza vera. Quindi la disequazione è indeterminata, ovvero è
verificata qualunque sia il valore dell’incognita x:
x
S=R
Esercizio 22. Risolvi la disequazione (x + 2)2 − 4(x + 1) < x2 − 1.
Soluzione. Svolgiamo i calcoli:
x2 + 4x + 4 − 4x − 4 < x2 − 1
=⇒
0 < −1
che è una disuguagolianza falsa. Dunque la disequazione è impossibile, ovvero non
ha soluzioni:
x
S=∅
Esercizio 23. Risolvi la disequazione (x − 1)2 + 5x < x2 − 2.
Soluzione. Svolgiamo i calcoli:
x2 − 2x + 1 + 5x < x2 − 2
=⇒
−2x + 5x < −2 − 1
=⇒
3x < −3
=⇒
x < −1
Quindi:
−1
x
S = { x < −1 } = (−∞, −1)
Esercizio 24. Risolvi la disequazione
2x − 3
x+3
> 1−
.
2
10
Soluzione. Il mcm dei denominatori è 10. Quindi:
5(2x − 3)
10 − (x + 3)
>
10
10
Moltiplichiamo entrambi i membri per 10, che è un numero positivo:
5(2x − 3) > 10 − (x + 3)
Quindi:
=⇒
10x − 15 > 10 − x − 3
=⇒
11x > 22
=⇒
x>2
3.4 disequazioni lineari
2
x
S = { x > 2 } = [2, +∞)
Esercizio 25. Risolvi la disequazione 6x + 1 > 34x − 27.
Soluzione. Portiamo a sinistra i termini con l’incognita e a destra i termini noti:
6x − 34x > −27 − 1
=⇒
−28x > −28
=⇒
x<1
Quindi:
1
x
S = { x < 1 } = (−∞, 1)
Osserviamo che nell’esercizio precedente avremmo potuto ricavare, portando
le x a destra e i termini noti a sinistra:
=⇒
1 + 27 > 34x − 6x
28 > 28x
Leggendo la relazione da destra a sinistra:
28x < 28
=⇒
x<1
che coincide con il risultato precedente. In generale, si può isolare l’incognita in
modo che il suo coefficiente risulti positivo, portandola nel membro più opportuno.
1
1
1
x+3
1
x−
−
x−
<
.
Esercizio 26. Risolvi la disequazione
2
3
3
2
6
Soluzione. Svolgiamo i calcoli:
1
1 1
1
x+3
x− − x+ <
2
6 3
6
6
Il mcm dei denominatori è 6. Quindi:
3x − 1 − 2x + 1
x+3
<
6
6
=⇒
3x − 1 − 2x + 1 < x + 3
=⇒
0<3
La disequazione si riduce dunque alla disuguaglianza 0 < 3, che è vera. Quindi la disequazione è indeterminata, ovvero è verificata qualunque sia il valore
dell’incognita x:
49
50
disequazioni
x
S=R
Se nella disequazione precedente ci fosse stato > al posto di <, avremmo ottenuto la disuguaglianza 0 > 3, che è falsa. Dunque la disequazione non avrebbe avuto
soluzioni, ossia S = ∅.
Esercizio 27. Risolvi
1
1
1
1
1
1
x+
+
x+
+ .
x−
−x > x−
4
4
16
5
2
10
Soluzione. Svolgiamo i calcoli:
x2 −
1
1
1
1
1
1
+
− x > x2 + x − x −
+
16 16
2
5
10 10
=⇒
−x >
1
1
x− x
2
5
Il mcm dei denominatori è 10:
−10x
5x − 2x
>
10
10
=⇒
=⇒
−10x > 5x − 2x
−13x > 0
=⇒
x60
Quindi:
0
x
S = { x 6 0 } = (−∞, 0]
3.5
disequazioni di secondo grado
Definizione 12. Una disequazione di secondo grado è detta in forma normale
se si presenta in una delle seguenti forme:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c 6 0
ax2 + bx + c < 0
dove a, b e c sono numeri reali, con a 6= 0.
È sempre possibile portare una disequazione di secondo grado in forma normale,
trasportando tutti i termini al primo membro e sommando i monomi simili.
3.5 disequazioni di secondo grado
Esercizio 28. Porta la disequazione −x2 − 2x > −2x2 + 2x − 3 in forma
normale.
Soluzione. Trasportiamo a sinistra tutti i termini e sommiamo i monomi simili:
2x2 − x2 − 2x − 2x + 3 > 0
=⇒
x2 − 4x + 3 > 0
Definizione 13. Data una disequazione di secondo grado, si chiama
equazione associata l’equazione che si ottiene sostituendo il simbolo di
disuguaglianza con l’uguale.
Esercizio 29. Risolvi l’equazione associata alla disequazione x2 − 4x + 3 > 0.
Soluzione. Per scrivere l’equazione associata basta sostituire l’uguale al simbolo di
maggiore:
x2 − 4x + 3 = 0
=⇒
(x − 1)(x − 3) = 0
da cui
x=1
∨
x=3
Definizione 14. Data una disequazione di secondo grado in forma normale,
si chiama parabola associata la parabola che si ottiene ponendo y uguale al
primo membro della disequazione.
Esercizio 30. Traccia la parabola associata alla disequazione x2 − 4x + 3 > 0.
Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Basta allora porre y uguale al
primo membro della disequazione:
y = x2 − 4x + 3
Poiché il coefficiente di x2 è 1, che è positivo, la parabola volge la concavità verso l’alto. Inoltre la parabola interseca l’asse x nei punti che corrispondono alle soluzioni
dell’equazione associata
x2 − 4x + 3 = 0
che abbiamo trovato nell’esercizio precedente, ovvero 1 e 3.
51
52
disequazioni
1
3
x
La figura precedente rappresenta la parabola in questione.
Esercizio 31. Disegna la parabola associata alla disequazione −x2 + 9 > 0.
Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Basta allora porre y uguale al
primo membro della disequazione.
y = −x2 + 9
Poiché il coefficiente di x2 è −1, che è negativo, la parabola volge la concavità
verso il basso. Inoltre la parabola interseca l’asse x nei punti che corrispondono alle
soluzioni dell’equazione associata:
−x2 + 9 = 0
=⇒
−3
x2 = 9
=⇒
x = ±3
3
x
La figura precedente rappresenta la parabola in questione.
Per risolvere una disequazione di secondo grado si procede come segue:
• si porta la disequazione in forma normale
• si risolve l’equazione associata
• si disegna la parabola associata
• si individua l’insieme soluzione sul grafico in base al verso della disequazione: il primo membro della disequazione ha segno positivo quando la parabola “sta sopra” l’asse x, negativo quando “sta sotto” l’asse x, e si annulla
quando interseca l’asse x
3.5 disequazioni di secondo grado
Esercizio 32. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 3 > 0.
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• L’equazione associata ha per soluzioni 1 e 3 (vedi l’esercizio 29).
• La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è secante l’asse x (cioè
lo tocca in due punti distinti: vedi l’esercizio 30).
1
x
3
• Individuiamo l’insieme soluzione sul grafico in base al verso della disequazione. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo,
ovvero quando la parabola sta sopra l’asse x o lo interseca.
1
x
3
Abbiamo disegnato con una linea più spessa i punti che costituiscono l’insieme soluzione, evidenziando con un pallino pieno gli estremi dell’intervallo 1
e 3 per indicare che essi appartengono all’insieme soluzione.
• In conclusione, l’insieme soluzione è:
S = { x 6 1 ∨ x > 3 } = (−∞, 1] ∪ [3, ∞)
Esercizio 33. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 3 > 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dell’esercizio precedente. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo, ovvero quando la parabola
sta sopra l’asse x.
1
3
x
53
54
disequazioni
Abbiamo evidenziato con un pallino vuoto gli estremi dell’intervallo 1 e 3 per
indicare che essi non appartengono all’insieme soluzione, che é:
S = { x < 1 ∨ x > 3 } = (−∞, 1) ∪ (3, ∞)
Esercizio 34. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 3 6 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo o nullo, ovvero quando la
parabola sta sotto l’asse x o lo interseca.
1
3
x
Quindi:
S = { 1 6 x 6 3 } = [1, 3]
Esercizio 35. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 3 < 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dei tre esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo, ovvero quando la parabola
sta sotto l’asse x.
1
3
x
Quindi:
S = { 1 < x < 3 } = (1, 3)
Esercizio 36. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 4 > 0.
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• Risolviamo l’equazione associata:
x2 − 4x + 4 = 0
=⇒
(x − 2)2 = 0
=⇒
x−2 = 0
=⇒
x=2
3.5 disequazioni di secondo grado
• La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è tangente all’asse x
(cioè lo tocca in un solo punto).
x
2
• La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo,
ovvero quando la parabola sta sopra l’asse x (cosa che avviene per ogni x
diverso da 2) o lo interseca (cosa che avviene per x = 2).
x
2
La disequazione è sempre verificata:
S=R
Esercizio 37. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 4 > 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dell’esercizio precedente. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo, ovvero quando la parabola
sta sopra l’asse x (cosa che avviene per ogni x diverso da 2).
2
x
Quindi la disequazione è verificata per ogni x diverso da 2:
S = R\{2}
55
56
disequazioni
Esercizio 38. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 4 6 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo, ovvero quando la parabola sta sotto l’asse x (cosa che non avviene mai) o lo interseca (cosa che avviene
per x = 2).
2
x
Quindi:
S = {2}
Esercizio 39. Risolvi la disequazione x2 − 4x + 4 < 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dei tre esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo o nullo, ovvero quando la
parabola sta sotto l’asse x (cosa che non avviene mai).
2
x
La disequazione è impossibile:
S=∅
Esercizio 40. Risolvi la disequazione x2 + x + 1 > 0.
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• L’equazione associata
x2 + x + 1 = 0
è impossibile, perché ∆ = 12 − 4 · 1 · 1 = −3 < 0.
3.5 disequazioni di secondo grado
• La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è esterna all’asse x
(cioè non lo interseca mai).
x
• La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l’asse x (cosa che
avviene sempre) o lo interseca.
x
• Quindi la disequazione è sempre verificata:
S=R
Esercizio 41. Risolvi la disequazione x2 + x + 1 > 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dell’esercizio precedente. La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo, ovvero quando la
parabola sta sopra l’asse x (cosa che avviene sempre).
x
Come nell’esercizio precedente, la disequazione è sempre verificata:
S=R
57
58
disequazioni
Esercizio 42. Risolvi la disequazione x2 + x + 1 6 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dei due esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo o nullo, ovvero quando la
parabola sta sotto l’asse x o lo interseca (cosa che non avviene mai).
x
La disequazione è impossibile:
S=∅
Esercizio 43. Risolvi la disequazione x2 + x + 1 6 0.
Soluzione. La parabola associata è la stessa dei tre esercizi precedenti. La disequazione è verificata quando il primo membro è negativo, ovvero quando la parabola
sta sotto l’asse x (cosa che non avviene mai).
x
Come nell’esercizio precedente, la disequazione è impossibile:
S=∅
La figura 9 rappresenta tutti i casi possibili di una disequazione di secondo
grado con a > 0.
Esercizio 44. Risolvi la disequazione 4 − x2 > 0.
3.5 disequazioni di secondo grado
ax2 + bx + c > 0
∆>0
x1
ax2 + bx + c 6 0
∆>0
ax2 + bx + c > 0
∆>0
x2 x
x1
x2 x
x1
ax2 + bx + c < 0
∆>0
x2 x
x1
x2 x
(a) L’equazione associa- (b) L’equazione associa- (c) L’equazione associa- (d) L’equazione associata ha due soluzioni
ta ha due soluzioni
ta ha due soluzioni
ta ha due soluzioni
distinte x1 e x2 , e la
distinte x1 e x2 , e la
distinte x1 e x2 , e la
distinte x1 e x2 , e la
disequazione è veridisequazione è veridisequazione è veridisequazione è verificata se x 6 x1
ficata se x < x1
ficata se x1 6 x 6
ficata se x1 < x <
x2
x2
oppure x > x2
oppure x > x2
ax2 + bx + c > 0
∆=0
x1
ax2 + bx + c 6 0
∆=0
ax2 + bx + c > 0
∆=0
x
x1
x
x1
ax2 + bx + c < 0
∆=0
x
x1
x
(e) L’equazione associa- (f) L’equazione associa- (g) L’equazione associa- (h) L’equazione associata ha una sola soluta ha una sola soluta ha una sola sota ha una sola soluzione x1 , e la disezione x1 , e la diseluzione x1 , e la dizione x1 , e la disequazione è sempre
quazione è verificata
sequazione è verifiquazione non è mai
verificata
per ogni x 6= x1
cata solo se x =
verificata
x1
ax2 + bx + c > 0
∆<0
ax2 + bx + c 6 0
∆<0
ax2 + bx + c > 0
∆<0
x
x
ax2 + bx + c < 0
∆<0
x
x
(i) L’equazione associa- (j) L’equazione associa- (k) L’equazione associa- (l) L’equazione associata non ha soluzioni
ta non ha soluzioni
ta non ha soluziota non ha soluzioni e
e la disequazione è
e la disequazione è
ni e la disequazione
la disequazione non
sempre verificata
sempre verificata
non è mai verificata
è mai verificata
Figura 9: Tutti i casi possibili di una disequazione di secondo grado con a > 0
59
60
disequazioni
Soluzione. La disequazione è già in forma normale. Risolviamo l’equazione associata:
4 − x2 = 0
=⇒
x2 = 4
=⇒
x = ±2
La parabola associata volge la concavità verso il basso ed è secante l’asse x.
−2
2
x
La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l’asse x o lo interseca.
−2
2
x
Quindi:
S = { −2 6 x 6 2 } = [−2, 2]
In alternativa, per risolvere la disequazione dell’esercizio precedente si possono
moltiplicare per −1 entrambi i membri, cambiando il verso della disequazione, che
diventa:
x2 − 4 6 0
La parabola associata volge la concavità verso l’alto e la disequazione è verificata
quando la parabola sta sotto l’asse x o lo interseca.
−2
2
x
L’insieme soluzione coincide con quello trovato in precedenza.
3.6
disequazioni fratte
Definizione 15. Una disequazione si dice fratta (o frazionaria) se, eventual-
3.6 disequazioni fratte
mente dopo aver applicato i principi di equivalenza, è riconducibile a una
delle seguenti forme normali:
N(x)
>0
D(x)
N(x)
>0
D(x)
N(x)
60
D(x)
N(x)
<0
D(x)
dove N(x) e D(x) sono polinomi nella variabile x.
Per risolvere una disequazione fratta si procede come segue:
• si porta la disequazione in forma normale
• si studia il segno del numeratore e del denominatore della frazione al primo
membro, ponendo ciascuno di essi maggiore o uguale a zero
• si costruisce la tabella dei segni, segnando con un pallino pieno gli zeri del
numeratore, del denominatore e della frazione, e con un pallino vuoto i punti
in cui la frazione non esiste (che corrispondono agli zeri del denominatore)
• si individuano gli intervalli in cui la frazione assume il segno richiesto
Esercizio 45. Risolvi la disequazione
x−3
6 0.
x−1
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
– Numeratore:
=⇒
x−3 > 0
x>3
3
x
– Denominatore:
=⇒
x−1 > 0
x > 1.
1
x
• Costruiamo la tabella dei segni.
61
62
disequazioni
1
3
x
N
D
−
−
−
+
+
+
F
+
−
+
In cima alla tabella c’è la retta reale con i numeri in gioco (1 e 3) in ordine
crescente. Le righe indicano gli intervalli in cui il numeratore N, il denominatore D e la frazione F sono positivi (+) o negativi (−). Abbiamo inoltre
segnato con un pallino pieno gli zeri del numeratore e del denominatore: gli
zeri del numeratore corrispondono a punti in cui la frazione F si annulla
(indicati anch’essi con un pallino pieno), mentre gli zeri del denominatore
corrispondono a punti in cui la frazione non esiste (indicati con un pallino
vuoto).
• La disequazione è verificata quando la frazione F è negativa (−) o nulla
(pallino pieno). Quindi:
1
3
x
N
D
−
−
−
+
+
+
F
S
+
−
+
Abbiamo disegnato l’insieme soluzione con una linea spessa. Per indicare
che 1 non è soluzione mentre 3 lo è, li abbiamo evidenziati con un pallino
vuoto e un pallino pieno, rispettivamente.
• L’insieme soluzione è dunque:
S = { 1 < x 6 3 } = (1, 3]
Esercizio 46. Risolvi la disequazione
x−3
> 0.
x−1
Soluzione. La tabella dei segni è la stessa dell’esercizio precedente. la disequazione
è verificata quando la frazione è positiva (+).
3.6 disequazioni fratte
1
3
x
N
D
−
−
−
+
+
+
F
S
+
−
+
Per indicare che 1 e 3 non appartengono all’insieme soluzione li abbiamo evidenziati con un pallino vuoto. Quindi:
S = { x < 1 ∨ x > 3 } = (−∞, 1) ∪ (3, +∞)
Esercizio 47. Risolvi la disequazione
3x − 6
< 0.
4−x
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
– Numeratore:
=⇒
3x − 6 > 0
x>2
2
x
– Denominatore:
=⇒
4−x > 0
x64
4
x
• Costruiamo la tabella dei segni.
2
4
x
N
D
−
+
+
+
+
−
F
S
−
+
−
• La disequazione è verificata quando la frazione è negativa (−). Quindi:
S = { x < 2 ∨ x > 4 } = (−∞, 2) ∪ (4, +∞)
63
64
disequazioni
Esercizio 48. Risolvi la disequazione
x2
x2 − 4
6 0.
− 7x + 10
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
– Numeratore:
x2 − 4 > 0
Risolviamo l’equazione associata:
x2 − 4 = 0
x2 = 4
=⇒
=⇒
x = ±2
La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è secante l’asse x.
La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l’asse x o lo
interseca.
−2
2
x
– Denominatore:
x2 − 7x + 10 > 0
Risolviamo l’equazione associata:
x2 − 7x + 10 = 0
=⇒
(x − 2)(x − 5) = 0
da cui
x=2
∨
x=5
La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è secante l’asse x.
La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l’asse x o lo
interseca.
2
• Costruiamo la tabella dei segni.
5
x
3.6 disequazioni fratte
−2
2
5
x
N
D
+
+
−
+
+
−
+
+
F
S
+
−
−
+
Per x = 2 il numeratore e il denominatore sono entrambi nulli (li abbiamo
contrassegnati entrambi con un pallino pieno), e dunque la frazione non
esiste (pallino vuoto).
• La disequazione è verificata quando la frazione è negativa (−) o nulla (pallino
pieno). Quindi:
S = { −2 6 x < 5, x 6= 2 } = [−2, 5) \ { 2 }
Esercizio 49. Risolvi la disequazione
x2 − 4x + 4
> 0.
x2 + x − 6
Soluzione.
• La disequazione è già in forma normale.
• Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
– Numeratore:
x2 − 4x + 4 > 0
Risolviamo l’equazione associata:
x2 − 4x + 4 = 0
=⇒
(x − 2)2 = 0
=⇒
x−2 = 0
=⇒
x=2
La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è secante l’asse x.
La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l’asse x (cosa
che avviene per ogni x 6= 2) o lo interseca (cosa che avviene per x = 2).
2
x
65
66
disequazioni
– Denominatore:
x2 + x − 6 > 0
Risolviamo l’equazione associata:
x2 + x − 6 = 0
=⇒
(x + 3)(x − 2) = 0
da cui
x = −3
∨
x=2
La parabola associata volge la concavità verso l’alto ed è secante l’asse x.
La disequazione è verificata quando il primo membro è positivo o nullo,
ovvero quando la parabola sta sopra l’asse x o lo interseca.
−3
2
x
• Costruiamo la tabella dei segni.
−3
2
x
N
D
+
+
+
−
+
+
F
S
+
−
+
Per x = 2 il numeratore e il denominatore sono entrambi nulli (li abbiamo
contrassegnati entrambi con un pallino pieno), e dunque la frazione non
esiste (pallino vuoto).
• La disequazione è verificata quando la frazione è positiva (+) o nulla (pallino
pieno). Quindi l’insieme soluzione è:
S = { x < −3 ∨ x > 2 } = (−∞, −3) ∪ (2, +∞)
3.7
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
3.7 esercizi
Determina la scrittura corretta per ciascuno seguenti grafici.
1
a.
−3
x
A
x < −3
B
C
x > −3
x 6 −3
D
x > −3
D
x62
D
−2 < x < 2
D
3<x65
D
0 < x < −1
D
0<x60
D
2>1
b.
2
x
A
x<2
B
C
x>2
x>2
c.
−2
2
x
A
x < +2
B
C
x > −2
−2 6 x 6 2
d.
3
5
x
A
x65 ∨ x>3
B
C
3>x>5
36x<5
e.
−1
0
x
A
R \ { −1, 0 }
B
C
−1 > x > 0
−1 6 x 6 0
f.
0
x
A
x>0
B
C
x > −∞
x60
g.
1
2
x
A
x>1 ∨ x<2
B
C
16x<2
x61 ∧ x>2
[Due risposte A, una B, due C e due D]
Risolvi le seguenti disequazioni lineari.
2
x−2 > 0
[x > 2]
3
x+5 > 0
[x > −5]
67
68
disequazioni
4
x−4 > 0
[x > 4]
5
x−5 > 0
[x > 5]
6
x+3 6 0
[x 6 −3]
7
−1 6 x
[x > −1]
[x < 3]
8
3>x
9
3−x > x
[x < 3/2]
10
2x > 3
[x > 3/2]
11
3x 6 4
[x 6 4/3]
12
5x > −4
13
−x + 3 > 0
[x < 3]
14
−x − 3 6 0
[x > −3]
15
3 + 2x > 3x + 2
[x 6 1]
16
5x − 4 > 6x − 4
[x 6 0]
17
−3x + 2 > −x − 8
[x 6 5]
18
4x + 4 > 2(2x + 8)
[impossibile]
19
4x + 4 > 2(2x + 1)
[∀x ∈ R]
20
4x + 4 > 2(2x + 2)
[∀x ∈ R]
21
4x + 4 < 2(2x + 3)
[∀x ∈ R]
22
4x + 4 > 2(2x + 2)
[impossibile]
23
4x + 4 < 2(2x + 2)
24
−3x − 8 > 2
[impossibile]
10
x6−
3
25
−3x > 0
26
−3x 6 0
−3x + 5 > 0
−3x − 8 > 0
29
4
4x + 4 > 3 x +
3
30
4
− x>1
3
31
32
[x > −4/5]
[x < 0]
27
28
[x > 0]
5
x6
3
4
− x>0
3
2
4
− x>
3
3
33
1
2
− x6
3
9
34
2
− x69
3
35
x+5
1
>−
2
5
36
x+
37
38
39
1
x+3
<
−1
2
3
47
48
2x2
−4 > 0
− 18 6 0
[x 6 −2 ∨ x > 2]
[−3 6 x 6 3]
8
3
[x > 0]
x6−
3
4
[x 6 0]
1
x6−
2
1
x>−
6
27
x>−
2
27
x>−
5
3
x<−
4
x+5
x−1
+3+2
6 x + 4 [∀x ∈ R]
3
3
13
(x + 3)2 > (x − 2)(x + 2) x > −
6
3
1
2
1
3
x+ < 5 x−
x>
2
4
3
2
2
40
1 − (2x − 4)2 > −x(4x + 1) + 2 [x > 1]
41
(x + 1)2 > (x − 1)2
42
43
[x > 0]
3
1
(x + 1) − (1 − x) < x + 2 [x < 1]
2
3
3x − 1
2x + 3
[x > −3]
− 5 < 2x +
5
3
Risolvi le seguenti disequazioni di secondo grado.
2
49
x2 + 4 > 0
44
3x2 − 2x > 0
x<0 ∨ x>
3
50
x2 + 9 6 0
1
45
5x2 + x 6 0
− 6x60
1 − x2 < 0
51
5
x2 − 3x − 4 > 0
52
1
2
x − 3x > 0
0<x<
46
3
53
x2 − 3x − 4 < 0
x2
x6−
54
x2 − 2x + 1 > 0
55
4x2
− 4x + 1 > 0
[∀x ∈ R]
[impossibile]
[x < −1 ∨ x > 1]
[x < −1 ∨ x > 4]
[1 < x < 4]
[x 6= 1]
[∀x ∈ R]
3.7 esercizi
56
x2 + 2x + 1 < 0
57
4x2 + 4x + 1 6 0
58
2x2 − 3x + 4 > 0
59
x2 − x + 1 < 0
60
(x + 2)(3 − x) 6 0
61
x(x − 2) > 0
[impossibile]
1
−
2
[∀x ∈ R]
[impossibile]
[x 6 −2 ∨ x > 3]
[x < 0 ∨ x > 2]
62
2
2
(3x + 2)(2 − 3x) < 0 x < − ∨ x >
3
3
63
x2 − 16 6 0
64
4x2
− 2x < 0
[−4 6 x 6 4]
1
0<x<
2
69
65
x2 + 17x + 16 6 0
66
x2 + 2x + 1 < 0
67
x2
+ 6x + 9 > 0
[∀x ∈ R]
68
x2
− 5x + 6 < 0
[2 < x < 3]
69
x2
+ 3x − 4 6 0
[−4 6 x 6 1]
70
x2
+4 > 3
71
x2
+ 3 < −1
[−16 6 x 6 −1]
[impossibile]
[∀x ∈ R]
[impossibile]
72
(3x + 4)2
73
3x2
74
16x2 + 24x + 9 < 0
[impossibile]
75
3x2 − 6x + 3 < 0
[impossibile]
88
1
3
6
2−x
x−4
89
2
2 − 6x
< 2
4x − 16
x − 8x + 16
<
(x + 12)2
[−4 < x < 4]
[x < −5 ∨ x > 0]
+ 15x > 0
Risolvi le seguenti disequazioni fratte.
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
1
2x + 1
<0
− <x<0
x
2
3
[x > 2]
<0
4 − 2x
x−4
[x < 2 ∨ x > 4]
<0
2−x
x2 − 5x + 4
< 0 [1 < x < 2 ∨ x > 4]
2−x
3x − 1
1
>0
x6 ∨ x>3
x−3
3
4x2 − 1
1
1
60 x6− ∨ 6x<1
x−1
2
2
x2 − 4x + 4
>0
x2 + x − 6
x−2
>0
3x − 9
x+2
<2
x−1
4 − 3x
> −3
6 − 5x
x+8
>0
x−2
3x + 4
>2
x2 + 1
90
91
2<x6
2
2x − 2
[−3 < x < 2]
6
x−2
(x − 2)(x + 3)
4 − 3x
3x + 1
1
<
x< ∨ x>2
x−2
x−2
2
92
x−4
5x − 4
>
3x − 12
4−x
93
2−x
5x − 1
6
5x − 15
2x − 6
94
x
2
1
>
−
2x + 2 4x − 4
1 − x2
[x < 1 ∨ x > 4]
6
11
x< ∨x>
5
9
95
2x2
>1
2x2 − x
96
x2 − 5x + 6
61
x2 − 7x + 12
[x 6 −8 ∨ x > 2]
1
− 6x62
2
97
[x < −3 ∨ x > 2]
[x < 2 ∨ x > 3]
Risolvi le seguenti disequazioni fratte.
3 x−1
x+1
99
−
6
x 2−x
x−2
98
7
∨ x>4
2
8
x<
13
x
>0
3x − 1
x
>2
x−1
[x 6 2 ∨ x > 4]
1
x6 ∨ x>3
3
[x < −1]
1
x>
2
[x < 4, x 6= 3]
1
x60 ∨ x>
3
[1 < x < 2]
[x < 0 ∨ 2 < x 6 6]
70
disequazioni
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
x2 − 4
<0
− 7x + 10
2
2x − 5
>0
−
x − 3 x2 − 9
3x + 12
>0
(x − 4)(6 − 3x)
2
1
3
−
>
x+2 x+1
2x + 2
3
2x2
x+1
6 2
−
2x − 1
x
2x − x
x2
2x
x+2
3
+
>
2x − 1 2x + 1
2
x
4
1
+
60
+
− 1 2x + 1 1 − 2x
4x2
x2 − 7x + 6
60
2x − 3x2
1 1
1
+ >
x 2
x−1
3−x
x−1
2
>
+
x−2
x + 3 x2 + x − 6
110
x
4−x
2x + 1
−
> 2
x+1 x+2
x + 3x + 2
111
x+1 2
x+1
− >
x
x
x−1
112
5
5x + 4
> 2
2x + 6
x + 6x + 9
113
1
x
6 2
x
x − 2x + 1
114
5
x
+
61
4 − x2 x + 2
115
116
117
4
2
+
6 0
x+4 x−3
7
6
−
>0
x+3 x+9
x−3
3x − 3
−1 <
6 − 3x
x2 − 4x + 4
(x + 3)(2x − 1)
<0
x−2
Risolvi le seguenti disequazioni.
118
119
120
x(x + 1)
x − 5 10x − 5
>
+
4
12
6
2(x − 1)(2x + 1)
+ 5 6 x(x + 1)
10
[−2 < x < 5, x 6= 2]
[x < −3 ∨ x > 3]
[x 6 −4 ∨ 2 < x < 4]
[x 6 −6 ∨ −2 < x < −1]
1
1
x<0 ∨ 6x<
4
2
1
1
1
− <x<
∨x>
2
10
2
1
1
3
x 6 −1 ∨ − < x < ∨ x >
2
2
2
2
x<0 ∨ <x61 ∨ x>6
3
[x < −1 ∨ 0 < x < 1 ∨ x > 2]
5
−3 < x 6 −1 ∨ 2 < x 6
2
5
x < −2 ∨ x >
2
1
x<0 ∨ <x<1
3
7
x 6 , x 6= −3
5
1
x < 0 ∨ x > , x 6= 1
2
1
−2 < x 6 − ∨ x > 2
2
2
x < −4 ∨ 6 x < 3
3
[−45 6 x < −9 ∨ x > −3]
5
x < , x 6= 2
2
1
x < −3 ∨ < x < 2
2
[x 6 1 ∨ x > 5]
[x 6 −4 ∨ x > 2]
3.7 esercizi
121
122
(x + 2)2 (x − 2)(x + 2)
4x + 4
−
>
4
6
3
(2x + 1)2 − 8x < 24 + (x − 2)2
[x 6= 2]
[−3 < x < 3]
1
1
x 6 −1 ∨ − 6 x 6
2
2
123
4x3 + 4x2 6 1 + x
124
x3 + 3x2 − x − 3 < 0
125
x3
126
2x3 + 3x2 − 5x < 0
127
6x3 − x2 − 2x > 0
128
x3 − 2x2 − 15x > 0
[−3 6 x 6 0 ∨ x > 5]
129
x3
− 2x2
−x+2 > 0
[−1 6 x 6 1 ∨ x > 2]
130
x4
+ 4x3
+ 3x2
131
x4
− 10x2
132
x3
+ 3x2
133
x3 − 6x2 + 10 > −3x
[−1 < x < 2 ∨ x > 5]
134
x3 − 2x2 − x + 2 6 0
[x 6 −1 ∨ 1 6 x 6 2]
135
Vero o falso?
+ x2
[x < −3 ∨ −1 < x < 1]
[−3 6 x 6 −1 ∨ x > 3]
5
x<− ∨ 0<x<1
2
1
2
− 6x60 ∨ x>
2
3
− 9x − 9 > 0
[x < −3 ∨ x > −1, x 6= 0]
>0
+9 6 0
[−3 6 x 6 −1 ∨ 1 6 x 6 3]
+ 2x < 0
[x < −2 ∨ −1 < x < 0]
a. La disequazione (x − 1)2 > (x + 1)2 è
di primo grado.
b. La disequazione x(x − 1)
equivale a x − 1 > 2.
V
F
>
2x
V
F
c. L’insieme soluzione di una disequazione di secondo grado varia a seconda del segno del discriminante
dell’equazione associata.
V
F
possibile, anche la disequazione è
impossibile.
F
e. L’insieme soluzione di una disequazione di secondo grado ax2 + bx +
c > 0, con ∆ > 0, è costituito dagli intervalli esterni alle soluzioni x1 e x2
dell’equazione associata, qualsiasi sia
il segno del coefficiente a.
d. Se l’equazione associata a una disequazione di secondo grado è im136
V
V
F
[2 affermazioni vere e 3 false]
Indica la risposta corretta.
a. Se risolvendo una disequazione l’incognita viene eliminata, allora la disequazione:
A
può essere impossibile
C
non si può risolvere
B
è sempre verificata
D
è indeterminata
b. Data la disequazione −2x − 1 > 2, moltiplicando i due membri per −1 si ottiene:
71
72
disequazioni
A
2x − 1 6 −2
B
2x − 1 > −2
C
2x + 1 > 2
D
2x + 1 6 −2
C
x6
1
3
D
x6−
1
3
x>
3
4
D
x>−
1
3
C
x6
3
4
D
x>
C
x > −2
D
x<4
D
{x > 1}
D
{x > 1}
D
{x = 0}
c. La disequazione 3x 6 −1 è verificata per:
A
x63
B
x 6 −3
4
d. La disequazione − x > 1 è verificata per:
3
7
3
B x6−
C
A x>
3
4
4
e. La disequazione − x > 0 è verificata per:
3
A
x60
B
x>0
3
4
f. La disequazione 3 − x > 1 è verificata per:
A
x<2
B
x < −2
g. L’insieme soluzione della disequazione 0 · x > 1 è:
A
R
B
∅
C
{x > 0}
h. L’insieme soluzione della disequazione 5 + x > 4 + x è:
A
R
B
∅
C
{x > 0}
i. L’insieme soluzione della disequazione 4x + 4 > 2(2x + 2) è:
A
R
B
∅
C
{x > 0}
4
j. L’insieme soluzione della disequazione 4x + 4 > 3 x +
è:
3
A
R
B
∅
C
{x > 0}
D
x>
16
3
[Quattro risposte A, tre B, una C e due D]
137
Indica la risposta corretta.
a. L’insieme soluzione della disequazione (x − 2)2 + x + 2 6 (x − 1)(x + 1) è:
7
B {x > 1}
C {x > 2}
D ∅
A
x>
3
3.7 esercizi
b. Se a e b sono due numeri positivi tali che a > b, allora:
A
B
−a > −b
−b < a
C
−a > b
D
1
1
>
a
b
c. Date le due disequazioni
4 − x < 3 − 2x
x − 4 > 2x − 3
allora:
A
hanno le stesse soluzioni
B
le soluzioni della prima sono opposte a quelle della seconda
C
non c’è alcun legame tra le soluzioni delle due disequazioni
D
le soluzioni della prima hanno il verso contrario rispetto a quelle della seconda
d. Se a e b sono due numeri negativi tali che a > b, allora:
A
B
−a < −b
−a > −b
C
−a < b
D
1
1
>
a
b
e. Quale tra le seguenti disequazioni rappresenta il problema «trova i numeri tali che
il loro doppio sia minore del loro triplo diminuito di 1»?
A
B
2x < 3x − 1
2x > 3x − 1
C
3x > 2x − 1
D
3x < 2x − 1
C
x>0
D
x<1
f. La disequazione (x − 1)x > 0 è verificata per:
A
x<0 ∨ x>1
g. La disequazione
B
0<x<1
x+1
> 0 è verificata per:
x−2
A
−1 < x < 2
C
−1 < x 6 2
B
x 6 −1 ∨ x > 2
D
−2 < x 6 1
h. La disequazione
x+1
< 1 è verificata per:
x+2
A
x<1 ∨ x>2
C
x > −2
B
−2 < x < 1
D
x>1
i. Il sistema
x−1 > 0
è verificato per:
x+2 < 0
73
74
disequazioni
A
−2 < x < 1
C
−1 < x < 2
B
16x<2
D
mai verificato

 (x + 1)(x + 2) > 0
è verificato per:
j. Il sistema
 x−1 6 0
x−2
A
x < −2 ∨ x > 1
C
−1 < x < 1
B
1<x<2
D
−1 < x < 2
[Cinque risposte A, tre B, una C e una D]
138
Indica la risposta corretta.
a. Le lettere a e b rappresentano due numeri reali. Si sa che a < b. Allora, necessariamente:
A
b−a < 0
B
a/b < 0
C
b−a > 0
D
a−b > 0
b. Si sa che 2x < 11. Allora, necessariamente:
11
2
A
x<5
C
x<
B
x > −9
D
nessuna delle precedenti
c. Si sa che −2x < 11. Allora, necessariamente:
11
2
A
x<9
C
x<
B
x > −9
D
nessuna delle precedenti
d. Una sola delle disequazioni seguenti (in cui x ∈ R) è impossibile. Quale?
A
x2 < x
B
2x − 4 6 0
C
x < x+1
D
x > x+1
e. Uno solo dei seguenti numeri è una soluzione della disequazione 5(x − 1) < 4x + 3.
Quale?
A
7
B
8
C
9
D
10
f. L’insieme soluzione della disequazione x4 > −3, disegnato sulla retta reale, è:
3.7 esercizi
A
un punto
C
un intervallo illimitato
B
un intervallo limitato
D
tutta la retta
g. L’insieme soluzione della disequazione x + 2x + 3x 6 4x + 5x è:
A
vuoto
C
un intervallo limitato
B
formato da un solo elemento
D
un intervallo illimitato
h. L’insieme soluzione della disequazione x + 2x + 3x > 4x + 5x è:
A
vuoto
C
un intervallo limitato
B
formato da un solo elemento
D
un intervallo illimitato
i. La disequazione x − 2(1 − x) < 2x è verificata per:
A
x=2
B
x<2
C
x=0
D
x>0
{3}
D
{5}

 x−1 < 5
x−1 > 5 è
j. L’insieme soluzione del sistema

x−3 < 0
A
∅
B
{1}
C
[Due risposte A, una B, due C e cinque D]
139
Indica la risposta corretta.
a. La disequazione x3 − x2 + 4x < 0 è verificata per:
A
x>0
B
x<0
C
−
1
3
6x<
2
2
D
x>4
D
1
> −1
x
b. Se −1 < x < 0, allora quale delle seguenti affermazioni è falsa?
A
1
>1
x2
B
x2 − 1 < 0
C
1−x
<0
x
c. Il trinomio 2x2 − 5x − 8
A
non è mai negativo
C
non è mai positivo
B
è negativo in un intervallo limitato
D
nessuna delle risposte precedenti
d. Il trinomio 2x2 − 5x + 8
75
76
disequazioni
A
non è mai negativo
C
non è mai positivo
B
è negativo in un intervallo limitato
D
nessuna delle risposte precedenti
e. { 3 < x < 7 } è l’insieme soluzione della disequazione:
A
x2 − 10x + 21 < 0
C
x2 − 10x + 21 > 0
B
x2 + 10x + 21 < 0
D
x2 + 10x + 21 > 0
f. Una disequazione di secondo grado in cui il trinomio ha discriminante positivo:
A
ha una sola soluzione
C
ha infinite soluzioni
B
ha esattamente due soluzioni
D
è impossibile o indeterminata
g. Una disequazione di secondo grado in cui il trinomio ha discriminante negativo:
A
ha una sola soluzione
C
ha infinite soluzioni
B
ha esattamente due soluzioni
D
è impossibile o indeterminata
h. L’insieme soluzione del sistema
4x2 − 3x − 1 > 0
, rappresentato sulla retta reale,
x2 − 2x < 0
è:
A
vuoto
C
un intervallo limitato
B
un punto
D
un intervallo illimitato
i. L’insieme soluzione della disequazione x4 < −3, rappresentato sulla retta reale, è:
A
vuoto
C
un intervallo limitato
B
un punto
D
un intervallo illimitato
j. L’insieme soluzione della disequazione x4 > −3, rappresentato sulla retta reale, è:
A
vuoto
C
un intervallo limitato
B
un punto
D
un intervallo illimitato
[Tre risposte A, due B, due C e tre D]
140
Indica la risposta corretta.
a. L’insieme soluzione della disequazione (x2 + 1)(x2 − 1) < 0 è:
3.7 esercizi
A
{x > 1}
B
{ −1 < x < 1 }
C
{ x < −1 }
D
{ x < −1 ∨ x > 1 }
b. Si considerino le due disequazioni x > 1 e x2 > 1. Allora:
A
sono equivalenti
B
l’elevamento al quadrato ha fatto perdere soluzioni
C
l’elevamento al quadrato ha introdotto soluzioni estranee
D
la seconda disequazione è sempre verificata
c. Si considerino le due disequazioni x2 +
1
1
> e x2 > 0. Allora:
x
x
A
gli insiemi soluzioni delle due disequazioni sono disgiunti
B
la prima disequazione è verificata per ogni x ∈ R
C
sono equivalenti
D
ogni soluzione della prima disequazione è anche soluzione della seconda
√
√
d. L’insieme soluzione della disequazione ( 2 − 3)x < 0 è:
A
R
B
{x > 0}
C
{x > 0}
D
{x < 0}
e. Si considerino le due disequazioni x3 − x2 > 0 e x − 1 > 0. Allora:
A
sono equivalenti
B
ogni soluzione della prima disequazione è anche soluzione della seconda
C
ogni soluzione della seconda disequazione è anche soluzione della prima
D
gli insiemi soluzione delle due disequazioni sono disgiunti
f. L’insieme soluzione della disequazione x2 > 0 è:
A
R\{0}
B
{x > 0}
C
{x > 0}
D
R
D
R
g. L’insieme soluzione della disequazione x2 > 0 è:
A
{x > 0}
B
{x > 0}
C
R\{0}
[Una risposta A, una B, tre C e due D]
141
Vero o falso?
77
78
disequazioni
a. Aggiungendo un numero negativo a
entrambi i membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza
di verso opposto.
V
F
b. Moltiplicando entrambi i membri
di una disuguaglianza per uno
stesso numero si ottiene sempre
una disuguaglianza dello stesso verso.
V
F
c. Dividendo entrambi i membri di una
disuguaglianza per un numero positivo si ottiene una disuguaglianza dello
stesso verso.
V
F
e. In generale, le disequazioni lineari hanno come soluzione un unico
valore.
V F
f. In generale, l’insieme soluzione di
una disequazione lineare è costituito
da un numero finito di valori. V
g. Due disequazioni si dicono equivalenti
se hanno le stesse soluzioni. V
stessi.
142
V
F
F
h. Se si moltiplicano entrambi i membri di una disequazione per uno
stesso numero diverso da zero, si
ottiene una disequazione a essa
equivalente.
V
F
i. Due disequazioni equivalenti hanno
lo stesso verso.
d. La disuguaglianza fra i reciproci di
due numeri negativi ha verso contrario rispetto a quello fra i numeri
F
V
F
j. Tutte le disequazioni impossibili sono
fra loro equivalenti.
V
F
[4 affermazioni vere e 6 false]
Vero o falso?
a. Se una disequazione ha come risultato 2 > 0, allora x = 0 è una soluzione
della disequazione.
V F
b. Una disequazione che non è verificata per alcun valore di x è detta
impossibile.
V
F
c. La disequazione x < x è impossibile.
V
F
d. La disequazione x > x è indeterminata.
V
F
e. La disequazione 3x > −3 ha come
soluzione x < −1.
V
F
f. Una disequazione si dice fratta se contiene l’incognita sia al numeratore che
al denominatore.
V
F
g. Studiare il segno di una frazione algebrica vuol dire cercare per quali valori dell’incognita la frazione è positiva,
negativa o nulla.
V
F
h. Nelle disequazioni fratte, l’insieme soluzione può anche essere un
intervallo limitato.
V
F
i. In un sistema di due disequazioni è possibile che queste abbiano
soluzioni e che il sistema non ne
abbia.
V F
j. Le soluzioni di un sistema di disequazioni devono soddisfare ogni disequazione che lo compone.
V
F
k. Se una delle disequazioni di un sistema è indeterminata, allora il sistema
è indeterminato.
V F
l. Se una delle disequazioni di un sistema è impossibile, allora il sistema è
impossibile.
V
F
[9 affermazioni vere e 3 false]
3.7 esercizi
143
Indica la risposta corretta.
a. Considera le due disuguaglianze:
−5 < −3
−4 < 7
Quale, delle seguenti affermazioni, è falsa?
A
sono entrambe disuguaglianze vere
B
hanno entrambe lo stesso verso
C Sommando 4 a entrambi i membri delle disuguaglianze, i loro versi restano
inalterati
D Moltiplicando per −5 entrambi i membri delle disuguaglianze, la prima cambia
verso mentre nella seconda il verso resta lo stesso
b. Sono date le due disequazioni:
3(x − 3) > 7x + 5
3(x − 3) > 7
Fra le seguenti, qual è l’unica affermazione vera?
A
x = 0 è soluzione della prima disequazione
B
x = 5 è soluzione della seconda disequazione
C
x = 4 non è soluzione né della prima né della seconda disequazione
D
le due disequazioni sono equivalenti perché hanno il primo membro uguale
c. Sono date le due disequazioni:
1
x−3 < 0
2
1
1
x−3 < x−2
2
3
Fra le seguenti, qual è l’unica affermazione falsa?
A
Sono tutte determinate
B
x = 0 è soluzione di entrambe le disequazioni
C
Se un valore di x soddisfa la prima disequazione, allora soddisfa la seconda
D
Se un valore di x soddisfa la seconda disequazione, allora non soddisfa la prima
d. Se fra tre numeri reali a, b e c, vale la relazione 0 < a < b < c, quale delle seguenti
affermazioni è sicuramente falsa?
A
1/c < 1/a
B
c−b > 0
C
a2 < b 2
D
e. Le seguenti disequazioni sono tutte equivalenti, tranne una. Quale?
a − 2b > 0
79
80
disequazioni
A
2x > 4
B
x>2
C
D
x+2 > 0
−2x < −4
f. Quale, fra le seguenti disequazioni, ha come insieme soluzione [2/3, +∞)?
A
2 − 3x > 0
B
2 6 3x
C
D
3 − 2x < 0
3 6 2x
g. Quale, fra le seguenti disequazioni, non ha come insieme soluzione [−1/2, +∞)?
A
−2x < 1
B
x > −1/2
C
x > −(x + 1)
D
2x < −1
C
x>1
D
x>0
h. La disequazione −1/x > 0 è verificata per:
A
x<0
B
x < −1
i. La disequazione (x − 1)/x 6 0 è verificata per:
A
x61
C
x<0 ∨ x>1
B
x < 0 ∨ x > −1
D
0<x61
j. Solo una, delle seguenti disequazioni, è equivalente alla disequazione −6x + 2 6
2x − 4. Quale?
A
4x > −1
B
4x > −3
C
D
4x 6 −1
−4x 6 −3
[Una risposta A, una B, due C e sei D]
144
Indica la risposta corretta.
a. È dato il seguente problema: «Un rettangolo, con un lato di 10 cm, ha il perimetro
non inferiore a 30 cm. Quali valori può assumere l’altro lato?» Quale, fra le seguenti
disequazioni, ne è la traduzione algebrica?
A
2(10 + x) = 30
B
2(10 + x) 6 30
C
2(10 + x) < 30
b. Fra le seguenti, qual è la frase che traduce la disequazione
D
2(10 + x) > 30
1
1
x − 3 6 3x − ?
2
2
A La metà di un numero sommata a 3 C La differenza tra la metà di un nunon è superiore alla differenza tra il tri- mero e 3 non è superiore alla differenza
plo del numero stesso e 1/2. Trova il nu- tra il triplo del numero stesso e 1/2. Tromero.
va il numero.
B La metà di un numero sommata a 3 D Togliendo 3 alla metà di un numero
è inferiore al triplo del numero stesso me- si ottiene un numero non superiore al trino 1/2. Trova il numero.
plo della differenza tra il numero stesso
e 1/2.
3.7 esercizi
2x − 4 > 0
, uno dei seguenti valori non appartiene all’insieme
−x + 4 > 0
delle sue soluzioni. Quale?
c. Dato il sistema
A
B
1
d. Il sistema
A
2
C
3
D
4
C
36x<5
D
3<x65
C
1
1
x− > 0
2
5
D
4 + 2x
60
−1
x2 − 25 6 0
è verificato per:
x2 + 3x > 18
x>3
B
x65
e. Quale delle seguenti disequazioni è fratta?
A
3−x
60
3+5
B
3−x
>0
3+x
f. Quale delle seguenti è una disequazione di secondo grado nell’incognita x?
A
x − (x − 2) > 0
B
x
>0
x+2
C
x + (x + 2) > 0
D
x(x + 2) 6 0
D
infinite
D
1 − x2 < 0
g. Quante soluzioni ha la disequazione x2 − 4x + 4 6 0?
A
nessuna
B
una
C
due
h. La disequazione 1 − 4x2 6 0 è verificata per:
A
B
1
1
∨x>
2
2
1
1
− 6x6
2
2
x6−
C
−2 6 x 6 2
D
x 6 −2 ∨ x > 2
i. Il valore −1 appartiene all’insieme soluzione della disequazione:
A
−1 − x2 > 0
B
1 + x2 6 0
C
1 − x2 > 0
j. Il valore 3 appartiene all’insieme soluzione del sistema di disequazioni:
2
2
2
2
x +4 > 0
x −4 > 0
x <0
x −1 > 0
A
B
C
D
x2 + 16 6 0
x2 − 16 6 0
x2 − 3 > 0
x2 + 3 6 0
[Due risposte A, tre B, due C e tre D]
Indica la risposta corretta.
2
x − 5x + 6 6 0
a. Il sistema di disequazioni
è verificato per:
x2 − 4 6 0
145
81
82
disequazioni
A
x=2
C
−3 6 x < 2
B
−3 6 x 6 2
D
x = ±2 ∨ x = 3
b. La disequazione fratta
A
1
> 0 è verificata per:
x−3
B
x 6= 3
C
x>3
c. Quante sono le soluzioni della disequazione
A
B
nessuna
D
16x<3
D
infinite
D
x < 0 ∨ x >
3x2 + 1
6 0?
x2
C
una
x>1
1
6 2 è verificata per:
x
1
B x6
C
2
due
d. La disequazione fratta
A
x>0
0<x6
1
2
e. Quale dei seguenti numeri è soluzione della disequazione
A
B
0
C
1
f. Il segno della frazione algebrica
1
2
x2 − 4
> 0?
x2
2
D
3
1−x
dipende:
1 + x2
A
solo dal segno del numeratore
C
solo dal segno del denominatore
B
dal segno di x2
D
non si può sapere senza risolverla
g. la frazione algebrica
x−5
è:
5−x
A
sempre positiva
B
sempre non negativa
C
sempre positiva tranne che per x = 5, dove non è definita
D
sempre negativa tranne che per x = 5, dove non è definita
h. Considerata la funzione f(x) = 2x2 + 3, quale delle seguenti proposizioni è corretta?
A
f(x) > 0 ∀x ∈ R
C
B
f(x) > 0 ∀x > 0
D
3
2
3
f(x) > 0 ∀x < −
2
f(x) > 0 ∀x > −
i. Considerata la funzione f(x) = 1 − 4x2 , quale delle seguenti proposizioni è corretta?
3.7 esercizi
A
f(x) > 0
B
f(x) > 0
1
4
1
∀x >
4
∀x 6
C
f(x) > 0
D
f(x) > 0
1
1
∨x
2
2
1
1
∀x tale che − 6 x 6
2
2
∀x 6 −
j. La funzione f(x) = 5 − x2 cambia segno in corrispondenza di x uguale a:
A
0
B
±5
C
√
± 5
D
√
±1/ 5
k. L’insieme soluzione della disequazione (x − 1)(x − 2)(x − 3) > 0 è:
A
∅
C
{ −1, 2, −3 }
B
{ 1, −2, 3 }
D
nessuno dei precedenti
l. L’insieme soluzione della disequazione
A
B
∅
√
√ − 26x6 2
x2 + 4
6 0 è:
−2 − x2
C
{ −2 6 x 6 2 }
D
R
[Quattro risposte A, una B, una C e sei D]
83
4
FUNZIONI
Questo capitolo introduce il concetto di funzione, che è uno dei più importanti
di tutta la matematica e che ha numerose applicazioni in tutte le scienze.
4.1
relazioni e funzioni
Primo esempio
Consideriamo l’insieme A degli studenti dell’Istituto professionale “Versari-Macrelli”.
Ogni studente è iscritto a una e una sola classe. Se B è l’insieme delle classi del
“Versari-Macrelli”, a ogni elemento x di A è quindi associato uno e un solo elemento y di B. Può capitare che due studenti facciano parte della stessa classe, ma non
esistono studenti iscritti a più classi contemporaneamente o non iscritti ad alcuna
classe, né esistono classi senza studenti.
Il diagramma a frecce riportato nella figura seguente, dove per semplicità abbiamo
rappresentato un numero limitato di studenti e di classi, mostra la relazione «lo
studente x è iscritto alla classe y» con x ∈ A e y ∈ B.
A
B
Francesca
Riccardo
Gianna
Greta
Michela
5E
5C
In una relazione di questo tipo, a ogni elemento di A, nessuno escluso, è associato
uno e un solo elemento di B. Non è richiesto il viceversa: più elementi di A possono
corrispondere allo stesso elemento di B.
Secondo esempio
Consideriamo l’insieme A degli studenti di una classe che devono svolgere una
verifica di matematica. Ogni studente che affronta la verifica consegue un voto,
86
funzioni
espresso in numeri interi da 1 a 10. Se B è l’insieme dei numeri interi compresi
tra 1 e 10, a ogni elemento x di A è quindi associato uno e un solo elemento y di B.
Può capitare che due studenti conseguano lo stesso voto (7, per esempio) o che
nessuno studente consegua un certo voto (10, per esempio).
Il diagramma a frecce riportato nella figura seguente, dove per semplicità abbiamo rappresentato un numero limitato di studenti e di voti, mostra la relazione «lo
studente x ha conseguito il voto y» con x ∈ A e y ∈ B.
A
Giulia
Marco
B
6
7
Sofia
Virginia
10
8
In una relazione di questo tipo, come nell’esempio precedente, a ogni elemento
di A, nessuno escluso, è associato uno e un solo elemento di B. Non è richiesto il
viceversa: più elementi di A possono corrispondere allo stesso elemento di B.
Terzo esempio
Consideriamo l’insieme A dei Paesi dell’Unione Europea e l’insieme B delle
capitali dei Paesi dell’Unione Europea.
In questo caso, allora, a ogni elemento dell’insieme A è associato uno e un solo
elemento dell’insieme B e viceversa; la figura seguente mostra la relazione «la città x
è capitale del Paese y».
A
B
Roma
Italia
Parigi
Francia
Londra
Regno Unito
Berlino
Germania
Quarto esempio
Consideriamo l’insieme A dei professori dell’Istituto professionale “Versari-Macrelli”
e l’insieme B costituito dalle materie che vengono insegnate nell’Istituto.
Può capitare che un professore insegni più materie (Italiano e Storia, per esempio).
4.2 definizione di funzione
Il diagramma a frecce riportato nella figura seguente, dove per semplicità abbiamo rappresentato un numero limitato di professori e di materie, mostra la
relazione «il prof. x insegna la materia y», con x ∈ A e y ∈ B.
A
Pantieri
Giunti
B
Matematica
Italiano
Storia
Sassi
Economia
In una relazione di questo tipo, può accadere che a un elemento di A siano
associati più elementi di B.
Quinto esempio
Consideriamo l’insieme A delle regioni italiane e l’insieme B costituito dai mari
italiani. Può capitare che una regione sia bagnata da più mari (la Puglia, per
esempio, è bagnata sia dal Mar Adriatico che dal Mar Ionio), oppure che una
regione non sia bagnata da alcun mare (l’Umbria, per esempio).
La figura seguente, dove per semplicità abbiamo rappresentato un numero limitato di regioni, mostra la relazione «la regione x è bagnata dal Mar y», con x ∈ A
e y ∈ B.
A
Liguria
Umbria
Puglia
B
Ligure
Ionio
Adriatico
Toscana
Tirreno
In una relazione di questo tipo, può accadere che a un elemento di A siano
associati più elementi di B, o che a un elemento di A non sia associato alcun
elemento di B.
4.2
definizione di funzione
Le relazioni come quelle dei primi tre esempi del paragrafo precedente sono le
più significative in matematica. Per descriverle in modo dettagliato possiamo dire
che:
87
88
funzioni
A
B
A
(a)
A
B
(b)
B
A
(c)
B
(d)
Figura 10: Funzioni
• da ogni elemento di A esce una sola freccia che va verso un elemento di B;
in altre parole non ci sono elementi di A da cui escono più frecce;
• da ogni elemento di A, nessuno escluso, esce una freccia; in altre parole non
esistono elementi di A da cui non esca alcuna freccia;
• sugli elementi di B possono arrivare una o più frecce, e possono anche esserci
elementi di B a cui non arriva alcuna freccia.
Definizione 16. Si definisce funzione f di dominio A e codominio B una relazione che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Si
scrive f : A → B. Il dominio A si indica anche con dom f.
Una funzione si può esprimere mediante una proposizione che specifica in che
modo gli elementi del primo insieme, che vengono di solito indicati con x, sono
legati a quelli del secondo, che vengono di solito indicati con y.
Se A e B sono insiemi numerici, spesso la funzione che associa gli x ∈ A agli y ∈
B si può esprimere mediante un’espressione di tipo matematico. Per esempio:
• per indicare che l’elemento y è l’elemento x aumentato di 1 si scrive y = x + 1
• per indicare che l’elemento y è il quadrato dell’elemento x si scrive y = x2
4.2 definizione di funzione
A
B
A
(a)
B
(b)
Figura 11: Relazioni che non sono funzioni
Più in generale si scrive:
y = f(x)
e si legge «y è funzione di x», dove f(x) è un’espressione matematica nella variabile x, che esprime il legame tra x e y.
Definizione 17. Poiché la funzione f esprime in che modo y dipende da x,
si dice che x è la variabile indipendente della funzione, mentre y è la variabile
dipendente.
Definizione 18. L’elemento y ∈ B che è associato a un elemento x ∈ A è
detto immagine di x.
Per esempio, nella funzione y = x2 , dove supponiamo che x sia un numero
intero:
• 9 è l’immagine di 3, e si scrive f(3) = 9
• 25 è l’immagine di 5, e si scrive f(5) = 25
Esercizio 50. Le relazioni indicate nella figure 10 e 11 sono funzioni o no?
Soluzione.
• I casi rappresentati nella figura 10 rappresentano delle funzioni perché da
ogni elemento di A esce una e una sola freccia verso un elemento di B.
• Il caso rappresentato nella figura 11a non rappresenta una funzione perché
c’è un elemento di A da cui non esce alcuna freccia.
• Il caso 11b non rappresenta una funzione perché c’è un elemento di A da cui
escono più frecce.
89
90
funzioni
4.3
funzioni iniettive, suriettive, biunivoche
Definizione 19. Una funzione f : A → B si dice iniettiva se a elementi diversi
di A corrispondono sempre elementi diversi di B.
Definizione 20. Una funzione f : A → B si dice suriettiva quando ogni
elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.
Definizione 21. Una funzione si dice biunivoca se è iniettiva e suriettiva.
Con riferimento ai diagrammi a frecce:
• una funzione è iniettiva se non ci sono elementi di B a cui arrivano più frecce
• una funzione è suriettiva se non ci sono elementi di B a cui non arriva alcuna
freccia
• una funzione è biunivoca se non ci sono elementi di B a cui arrivano più
frecce o a cui non arriva alcuna freccia
Esercizio 51. Stabilisci se le relazioni indicate nella figura 12 sono iniettive,
suriettive, biunivoche.
Soluzione.
• La funzione rappresentata nella figura 12a è iniettiva (non ci sono elementi
di B a cui arrivano più frecce) ma non suriettiva (c’è un elemento di B a cui
non arriva alcuna freccia);
• La funzione rappresentata nella figura 12b è suriettiva (non ci sono elementi
di B a cui non arriva alcuna freccia) ma non iniettiva (c’è un elemento di B a
cui arriva più di una freccia);
• La funzione rappresentata nella figura 12c non è né iniettiva né suriettiva;
• La funzione rappresentata nella figura 12d è biunivoca.
4.3 funzioni iniettive, suriettive, biunivoche
A
B
(a) Una funzione iniettiva ma non suriettiva
A
B
(c) Una funzione né iniettiva né suriettiva
A
B
(b) Una funzione suriettiva ma non iniettiva
A
B
(d) Una funzione biunivoca
Figura 12: Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche
Esercizio 52. Siano A = { bambini }, B = { donne } e f : A → B la funzione «x
è figlio naturale di y». Stabilisci se f è iniettiva e suriettiva.
Soluzione. È una funzione perché ogni bambino ha una e una sola madre naturale.
Poiché bambini diversi si possono associare alla stessa madre, la funzione non
è iniettiva. Poiché non tutte le donne sono madri, la funzione non è neanche
suriettiva. La figura 13a dà un’idea del tipo di funzione.
Esercizio 53. Siano A = { bambini }, B = { madri } e f : A → B la funzione «x
è figlio naturale di y». Stabilisci se f è iniettiva e suriettiva.
Soluzione. Ogni madre, per definizione, lo è di qualche bambino: dunque la funzione è suriettiva. Più bambini si possono associare alla stessa madre: dunque la
funzione non è iniettiva. La figura 13b dà un’idea del tipo di funzione.
91
92
funzioni
A
B
A
(a) La funzione f : { bambini } → { donne }
«x è figlio naturale di y» non è né iniettiva
né suriettiva
B
(b) La funzione f : { bambini } → { madri } «x
è figlio naturale di y» è suriettiva ma non
iniettiva
Figura 13: Due funzioni
Esercizio 54. Sia A = B l’insieme dei numeri interi. Rappresenta la funzione
f : A → B «y è l’intero successivo di x» con un diagramma a frecce.
Soluzione. La relazione «y è l’intero successivo di x» è una funzione perché ogni numero intero, nessuno escluso, ha uno e un solo intero successivo. Questa funzione
si può rappresentare con la scrittura y = x + 1 e si ha per esempio che
f(−3) = −2
f(−2) = −1
f(−1) = 0
f(0) = 1
f(2) = 3
f(3) = 4
La figura 14a mostra il diagramma a frecce della funzione, dove abbiamo rappresentato un numero limitato di elementi. Evidentemente, è una funzione biunivoca.
A
A
B
−3
−2
−1
−1
−2
−1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
B
1
1
2
0
0
3
−2
4
2
−3
9
3
(a) La funzione y = x + 1
Figura 14: Due funzioni
(b) La funzione y = x2
4.4 rappresentazione cartesiana
4
x
y
3
2
1
x
−3 −2 −1
−1
1
2
3
y = x+1
−3
−2
−1
0
1
2
3
−2
−1
0
1
2
3
4
−2
(a) Grafico
(b) Alcuni valori
Figura 15: La funzione y = x + 1
Esercizio 55. Sia A l’insieme dei numeri interi e B l’insieme dei numeri
interi positivi o nulli. Rappresenta la funzione f : A → B «y è il quadrato di
x» con un diagramma a frecce.
Soluzione. La relazione «y è il quadrato di x» è una funzione perché ogni numero
intero, nessuno escluso, ha per quadrato uno e un solo numero positivo o nullo.
Questa funzione si può rappresentare con la scrittura y = x2 e si ha per esempio
che
f(3) = f(−3) = 9
f(2) = f(−2) = 4
f(1) = f(−1) = 1
f(0) = 0
La figura 14b mostra il diagramma a frecce della funzione, dove abbiamo rappresentato un numero limitato di elementi. È una funzione né iniettiva né suriettiva.
4.4
rappresentazione cartesiana
Una funzione si può rappresentare, oltre che con un diagramma a frecce come
abbiamo fatto finora, anche con un diagramma cartesiano.
Definizione 22. Si chiama grafico o diagramma cartesiano di una funzione
f : A → B l’insieme delle coppie (x, y) formate da un elemento x ∈ A e dal
suo corrispondente y ∈ B, con y = f(x), rappresentate nel piano cartesiano.
93
94
funzioni
y
9
8
7
x
6
5
4
3
2
1
x
−3 −2 −1
1
(a) Grafico
2
y = x2
−3
−2
−1
0
1
2
3
9
4
1
1
2
4
9
3
(b) Alcuni valori
Figura 16: La funzione y = x2
Esercizio 56. Sia A = B l’insieme dei numeri interi. Rappresenta la funzione
f : A → B «y è l’intero successivo di x» sul piano cartesiano.
Soluzione. La figura 15 mostra il grafico della funzione, dove abbiamo rappresentato un numero limitato di elementi.
Esercizio 57. Sia A l’insieme dei numeri interi e B l’insieme degli interi
positivi o nulli. Rappresenta la funzione f : A → B «y è il quadrato di x» sul
piano cartesiano.
Soluzione. La figura 16 mostra il grafico della funzione sul piano cartesiano.
4.5
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
1
È vero che la relazione f che associa a ogni regione italiana il suo capoluogo è una
funzione? Qual è il suo dominio? Quanto vale f(Emilia-Romagna)?
4.5 esercizi
2
Dati gli insiemi A = { scuola, alunno, professore, voto } e B l’insieme dei numeri naturali, la relazione che associa a ogni elemento di A il numero di lettere da cui è composta
la parola è una funzione? Se sì, è iniettiva?
Si è ammessi a una facoltà universitaria se nel test d’ingresso si è avuto un punteg3
gio compreso tra 60 e 100. La relazione che associa ad ogni studente che ha superato il test
il punteggio ottenuto è una funzione? Se sì, di che tipo?
La funzione che associa a ciascuna persona il suo codice fiscale è iniettiva? Perché?
4
5
La funzione che associa a ciascuna automobile il proprio numero di targa è iniettiva?
Perché?
Quali tra le seguenti relazioni sono funzioni?
6
Dominio
Codominio
Relazione
libri
canzoni
portoni di una via
computer
autori
cantanti
numeri
sistemi operativi
a ogni libro associa l’autore
a ogni canzone associa il cantante
a ogni portone associa il numero civico
a ogni computer associa il s.o. installato
7
Sia Z l’insieme dei numeri interi. La funzione f : Z → Z che associa a ogni intero il
suo opposto è iniettiva? È suriettiva?
8
Sia Z l’insieme dei numeri interi. La funzione f : Z → Z che associa a ogni intero il
suo valore assoluto è iniettiva? È suriettiva? È biunivoca?
9
La funzione f : Z → Z,
y = x − 2, è iniettiva? È suriettiva? È biunivoca?
10
La relazione f : Q → Q,
y=
11
La funzione f : Q \ { 0 } → Q,
12
Consideriamo la funzione f che associa ad ogni numero razionale il suo triplo.
1
è una funzione?
x
y=
1
, è iniettiva? È suriettiva? È biunivoca?
x
a. Qual è l’immagine di 0?
b. Quale elemento del dominio ha per immagine 5?
c. È vero che ogni numero positivo ha l’immagine positiva?
d. È vero che −1 è immagine di −3?
e. La funzione è iniettiva?
f. La funzione è biunivoca?
Fai il diagramma a frecce della funzione.
13
Per ciascuna delle seguenti funzioni stabilisci se la funzione è iniettiva, suriettiva,
biunivoca.
95
96
funzioni
a. f : Z → Z,
y = 2x
c. f : N → N,
b. f : Z → Z,
y = x2
d. f : Q → Q,
14
Data la funzione f : Z → Z,
y = x2
y = 2x
y = 4 − x, rispondi alle seguenti domande.
a. Qual è l’immagine di 0?
b. Per quale x si ha f(x) = 0?
c. Quale elemento del dominio ha per immagine 5?
d. È vero che ogni numero positivo ha l’immagine positiva?
e. È vero che −1 è immagine di 3? Perché?
5
I N T R O D U Z I O N E A L L’A N A L I S I
Definizione 23. Si chiama funzione reale di variabile reale una funzione f : A →
B in cui A e B sono sottoinsiemi dell’insieme R.
Da qui in avanti ci occuperemo solo di funzioni reali di variabile reale: quindi
d’ora di poi intenderemo con “funzione” sempre una funzione reale di variabile
reale.
Durante il corso di matematica hai già incontrato alcune funzioni:
• le funzioni lineari y = mx + q;
• le funzioni quadratiche y = ax2 + bx + c;
• le funzioni potenza y = xn , con n intero > 1;
5.1
classificazione
Le funzioni si possono classificare in base al tipo di operazioni che compaiono
nell’espressione f(x).
Definizione 24. Una funzione si dice algebrica se contiene soltanto (un numero finito di) operazioni di somma, sottrazione, prodotto, divisione ed
estrazione di radice.
Per esempio, sono funzioni algebriche:
• y = x2 − 4x + 3
• y=
2x − 4
x−1
• y=
√
4 − x2
Definizione 25. Tra le funzioni algebriche y = f(x) si distinguono:
• le funzioni intere (o polinomiali), in cui f(x) è un polinomio
• le funzioni fratte, in cui f(x) è il quoziente di due polinomi
98
introduzione all’analisi
• le funzioni irrazionali, in cui la x compare sotto il segno di radice
Per esempio:
• y = x2 − 4x + 3 è una funzione intera
• y=
2x − 4
è una funzione fratta
x−1
• y=
√
4 − x2 è una funzione irrazionale
5.2
dominio
Quando si assegna l’equazione che definisce una funzione reale di variabile reale
senza specificarne il dominio, si sottintende che esso sia quello “naturale”.
Definizione 26. Il dominio naturale (o insieme di definizione) di una funzione y = f(x) è l’insieme costituito dai valori reali di x per cui tutte le
operazioni che compaiono nell’espressione f(x) hanno significato.
Per determinare il dominio basta allora tener presenti le seguenti indicazioni:
• le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre definite, mentre l’operazione di divisione è definita purché il divisore sia diverso
da zero;
• una radice di indice pari è definita solo se il radicando è positivo o nullo,
mentre una radice di indice dispari è definita purché esista il radicando;
Esercizio 58. Determina il dominio delle funzioni:
• y = 4x − 2
• y = x2 − 4x + 3
Soluzione. Si tratta di due funzioni intere, quindi il loro dominio è R (figure 17a
e 17b).
5.2 dominio
y
y
x
x
(b) y = x2 − 4x + 3
(a) y = 2x − 4
y
y
x
x
1
1
(c) y =
2x − 4
x−1
(d) y =
y
x2
x−1
y
x
−1
(e) y =
1
x2 − 4
x2 − 1
x
−1
(f) y =
Figura 17: Dominio di alcune funzioni
1
x
x2 − 1
99
100
introduzione all’analisi
Esercizio 59. Determina il dominio della funzione y =
2x − 4
.
x−1
Soluzione. Si tratta di una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia
diverso da zero:
x − 1 6= 0
=⇒
x 6= 1
Il dominio della funzione è perciò
dom f = R \ { 1 }
Vedi la figura 17c.
Esercizio 60. Determina il dominio della funzione y =
x2
.
x−1
Soluzione. Si tratta di una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia
diverso da zero:
x − 1 6= 0
=⇒
x 6= 1
Il dominio della funzione è perciò
dom f = R \ { 1 }
Vedi la figura 17d.
Esercizio 61. Determina il dominio delle funzioni y =
x2 − 4
x
ey= 2
.
2
x −1
x −1
Soluzione. Si tratta di due funzioni fratte, definite purché il loro denominatore sia
diverso da zero:
x2 − 1 6= 0
da cui
x 6= −1 ∧ x 6= 1
Il dominio delle due funzioni è perciò
dom f = R \ { −1, 1 }
Vedi le figure 17e e 17f.
5.3 intersezioni con gli assi
5.3
intersezioni con gli assi
Dopo aver determinato il dominio di una funzione y = f(x), la “seconda fase”
di uno studio elementare della funzione consiste nel determinare i suoi eventuali
punti di intersezione con gli assi cartesiani.
• Le ascisse degli eventuali punti di intersezione con l’asse x si ottengono risolvendo l’equazione f(x) = 0; le soluzioni di questa equazione si dicono zeri
della funzione.
• L’ordinata dell’eventuale punto di intersezione con l’asse y si ottiene semplicemente calcolando f(0), ovvero ponendo x = 0 nell’espressione che definisce
la funzione.
Esercizio 62. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y = 2x − 4.
Soluzione.
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
2x − 4 = 0
=⇒
2x = 4
=⇒
x=2
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse x nel punto (2, 0).
• Troviamo le intersezioni con l’asse y:
f(0) = 2 · 0 − 4 = −4
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, −4).
Vedi la figura 18a. Per mettere in evidenza che i punti trovati appartengono al
grafico della funzione li abbiamo evidenziati con un pallino pieno.
Esercizio 63. Trova le intersezioni con gli assi della funzione y = x2 − 4x + 3.
Soluzione.
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x2 − 4x + 3 = 0
=⇒
(x − 1)(x − 3) = 0
da cui
x=1
∨
x=3
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse x nei punti (1, 0) e (3, 0).
101
102
introduzione all’analisi
• Troviamo le intersezioni con l’asse y:
f(0) = 02 − 4 · 0 + 3 = 3
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 3).
Vedi la figura 18b.
Esercizio 64. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y =
2x − 4
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 59).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
2x − 4
=0
x−1
da cui, eliminando il denominatore,
2x − 4 = 0
=⇒
2x = 4
=⇒
x=2
valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Ciò significa che il grafico della funzione interseca l’asse x nel punto (2, 0).
• Troviamo le intersezioni con l’asse y.
f(0) =
2·0−4
=4
0−1
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 4).
Vedi la figura 18c.
Esercizio 65. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y =
x2
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 60).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x2
=0
x−1
da cui, eliminando il denominatore,
x2 = 0
=⇒
x=0
valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Quindi il
grafico della funzione interseca l’asse x nel punto (0, 0).
5.3 intersezioni con gli assi
y
y
x
3
2
x
−4
1
3
(b) y = x2 − 4x + 3
(a) y = 2x − 4
y
y
4
x
x
1
(c) y =
1
2
2x − 4
x−1
(d) y =
y
x2
x−1
y
4
x
−2
−1
(e) y =
1
x2 − 4
x2 − 1
2
x
−1
(f) y =
1
x
x2 − 1
Figura 18: Intersezioni con gli assi di alcune funzioni
103
104
introduzione all’analisi
• Troviamo le intersezioni con l’asse y.
02
=0
0−1
f(0) =
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 0).
Vedi la figura 18d.
Esercizio 66. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y =
x2 − 4
.
x2 − 1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { −1, 1 } (vedi l’esercizio 61).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x2 − 4
=0
x2 − 1
da cui, eliminando il denominatore,
x2 − 4 = 0
=⇒
x2 = 4
=⇒
√
x = ± 4 = ±2
valori entrambi accettabili in quanto appartengono al dominio della funzione.
L’equazione ha dunque due soluzioni:
∨
x = −2
x=2
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse x nei punti:
(−2, 0)
(2, 0)
• Troviamo le intersezioni con l’asse y.
f(0) =
02 − 4
=4
02 − 1
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 4).
Vedi la figura 18e.
5.4 segno
Esercizio 67. Determina le intersezioni con gli assi della funzione y =
x
.
2
x −1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { −1, 1 } (vedi l’esercizio 61).
• Troviamo le intersezioni con l’asse x:
x
=0
2
x −1
da cui, eliminando il denominatore,
x=0
valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Quindi il
grafico della funzione interseca l’asse x nel punto (0, 0).
• Troviamo le intersezioni con l’asse y.
f(0) =
02
0
=0
−1
Quindi il grafico della funzione interseca l’asse y nel punto (0, 0).
Vedi la figura 18f.
5.4
segno
Lo studio del segno di una funzione consiste nello stabilire per quali valori di x
risulta f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0. Si conviene di risolvere la disequazione
f(x) > 0, che individua gli intervalli dove la funzione è positiva o nulla, ossia dove
il suo grafico “sta sopra” l’asse x o lo interseca; la funzione sarà negativa ovunque
essa non è positiva o nulla, nell’ambito del suo dominio.
Esercizio 68. Studia il segno della funzione y = 2x − 4.
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 58) e il suo grafico interseca gli assi nei punti (2, 0) e (0, −4) (vedi l’esercizio 62). Per studiare il segno della
funzione risolviamo la disequazione:
2x − 4 > 0
=⇒
2x > 4
=⇒
x>2
2
x
Quindi la funzione:
105
106
introduzione all’analisi
• è positiva se x > 2;
• è nulla se x = 2;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 19a. Il grafico della funzione appartiene alla regione di piano
cartesiano non esclusa dal tratteggio.
Esercizio 69. Studia il segno della funzione y = x2 − 4x + 3.
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 58) e il suo grafico interseca gli assi nei punti (1, 0), (3, 0) e (0, 3) (vedi l’esercizio 63). Per studiare il segno
della funzione risolviamo la disequazione:
x2 − 4x + 3 > 0
Le soluzioni dell’equazione associata
x2 − 4x + 3 = 0
sono x = 1 e x = 3 (vedi l’esercizio 63). Disegniamo la parabola associata.
1
3
x
Quindi la funzione:
• è positiva se x < 1 ∨ x > 3
• è nulla se x = 1 ∨ x = 3
• è negativa altrimenti
Vedi la figura 19b.
Esercizio 70. Studia il segno della funzione y =
2x − 4
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 59) e il suo grafico
interseca gli assi cartesiani nei punti (2, 0) e (0, 4) (vedi l’esercizio 64). Per studiare
il segno della funzione risolviamo la disequazione:
2x − 4
>0
x−1
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
5.4 segno
y
y
x
3
2
x
−4
1
3
(b) y = x2 − 4x + 3
(a) y = 2x − 4
y
y
4
x
x
1
(c) y =
1
2
2x − 4
x−1
(d) y =
y
x2
x−1
y
4
x
−2
−1
(e) y =
1
x2 − 4
x2 − 1
2
x
−1
(f) y =
Figura 19: Segno di alcune funzioni
1
x
x2 − 1
107
108
introduzione all’analisi
• Numeratore:
=⇒
2x − 4 > 0
2x > 4
=⇒
x>2
2
x
• Denominatore:
D>0
=⇒
x−1 > 0
=⇒
x>1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
1
2
x
N
D
−
−
−
+
+
+
f
+
−
+
Quindi la funzione:
• è positiva se x < 1 ∨ x > 2;
• non è definita se x = 1;
• è nulla se x = 2;
• è negativa altrimenti.
Vedi la figura 19c.
Esercizio 71. Studia il segno della funzione y =
x2
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 60) e il suo grafico
interseca gli assi nel punto (0, 0) (vedi l’esercizio 65). Per studiare il segno della
funzione risolviamo la disequazione:
x2
>0
x−1
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
• Numeratore:
x2 > 0
L’unica soluzione dell’equazione associata x2 = 0 è x = 0.
5.4 segno
x
0
• Denominatore:
=⇒
x−1 > 0
x>1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
0
1
x
N
D
+
−
+
−
+
+
f
−
−
+
Quindi la funzione:
• è positiva se x > 1
• non è definita se x = 1
• è nulla se x = 0
• è negativa altrimenti
Vedi la figura 19d.
Esercizio 72. Studia il segno della funzione y =
x2 − 4
.
x2 − 1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { −1, 1 } (vedi l’esercizio 61) e il suo grafico interseca gli assi nei punti (−2, 0), (2, 0) e (0, 4) (vedi l’esercizio 66). Per studiare
il segno della funzione risolviamo la disequazione:
x2 − 4
>0
x2 − 1
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
• Numeratore:
x2 − 4 > 0
109
110
introduzione all’analisi
Risolviamo l’equazione associata:
x2 − 4 = 0
x2 = 4
=⇒
=⇒
x = ±2
Disegniamo la parabola associata.
−2
2
x
• Denominatore:
x2 − 1 > 0
Risolviamo l’equazione associata:
x2 − 1 = 0
x2 = 1
=⇒
=⇒
x = ±1
Disegniamo la parabola associata.
−1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
−2
−1
1
2
x
N
D
+
+
−
+
−
−
−
+
+
+
f
+
−
+
−
+
Quindi la funzione:
• è positiva se x < −2 ∨ −1 < x < 1 ∨ x > 2
• è nulla se x = −2 ∨ x = 2
• non è definita se x = −1 ∨ x = 1
• è negativa altrimenti
Vedi la figura 19e.
5.4 segno
Esercizio 73. Studia il segno della funzione y =
x2
x
.
−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { −1, 1 } (vedi l’esercizio 61) e il suo grafico interseca gli assi nel punto (0, 0) (vedi l’esercizio 67). Per studiare il segno della
funzione risolviamo la disequazione:
x2
x
>0
−1
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.
• Numeratore:
x>0
0
x
• Denominatore:
x2 − 1 > 0
Risolviamo l’equazione associata:
x2 = 1
x = ±1
=⇒
Disegniamo la parabola associata.
−1
1
x
Costruiamo la tabella dei segni della funzione.
−1
0
1
x
N
D
−
+
−
−
+
−
+
+
f
−
+
−
+
Quindi la funzione:
• è positiva se −1 < x < 0 ∨ x > 1;
• non è definita se x = −1 ∨ x = 1;
• è nulla se x = −1 ∨ x = 0 ∨ x = 1;
• è negativa altrimenti.
111
112
introduzione all’analisi
Vedi la figura 19f.
5.5
simmetrie
Il grafico di una funzione può presentare alcune particolari simmetrie: queste
caratteristiche vengono formalizzate dalle definizioni di funzioni pari e dispari.
Definizione 27. Una funzione si dice pari se f(−x) = f(x) per ogni x
appartenente al dominio della funzione. Una funzione si dice dispari se
f(−x) = −f(x) per ogni x appartenente al dominio della funzione.
Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse y, mentre il grafico
di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine: vedi la figura 20.
Esercizio 74. Stabilisci se la funzione y = 2x − 4 è pari o dispari.
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) = 2(−x) − 4 = −2x − 4
Poiché quest’ultima espressione non coincide né con f(x) né con −f(x), la funzione
assegnata non è né pari né dispari. Ciò si intuisce osservando la figura 19a e troverà
conferma quando avremo completato lo studio della funzione (vedi la figura 34a).
y
P0
y
P
x
(a) Una funzione pari
P
x
P0
(b) Una funzione dispari
Figura 20: Funzioni pari e dispari
5.5 simmetrie
Esercizio 75. Stabilisci se la funzione y = x2 − 4x + 3 è pari o dispari.
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) = (−x)2 − 4(−x) + 3 = x2 + 4x + 3.
Poiché quest’ultima espressione non coincide né con f(x) né con −f(x), la funzione
assegnata non è né pari né dispari. Vedi le figure 19b e 34b.
Esercizio 76. Stabilisci se la funzione y =
2x − 4
è pari o dispari.
x−1
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) =
−2x − 4
2x + 4
2(−x) − 4
=
=
−x − 1
−x − 1
x+1
Poiché quest’ultima espressione non coincide né con f(x) né con −f(x), la funzione
assegnata non è né pari né dispari. Vedi le figure 19c e 34c.
Esercizio 77. Stabilisci se la funzione y =
x2
è pari o dispari.
x−1
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) =
x2
x2
(−x)2
=
=−
−x − 1
−x − 1
x+1
Perciò la funzione non è né pari né dispari. Vedi le figure 19d e 34d.
Esercizio 78. Stabilisci se la funzione y =
x2 − 4
è pari o dispari.
x2 − 1
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) =
(−x)2 − 4
x2 − 4
= 2
= f(x)
2
(−x) − 1
x −1
Concludiamo che la funzione assegnata è pari. Vedi le figure 19e e 34e.
113
114
introduzione all’analisi
Esercizio 79. Stabilisci se la funzione y =
x2
x
è pari o dispari.
−1
Soluzione. Sostituiamo −x al posto di x in f(x):
f(−x) =
−x
x
−x
= 2
=− 2
= −f(x)
2
(−x) − 1
x −1
x −1
Concludiamo che la funzione assegnata è dispari. Vedi le figure 19f e 34f.
5.6
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Determina il dominio delle seguenti funzioni algebriche:
1
5
x2 + 1
1
y= 2
R\ ±
[R \ { −7, 1 }]
11
y= 2
2
4x − 25
x + 6x − 7
√
x+2
1
[0 6 x 6 10]
12
y = 10x − x2
[R \ { −3, 2, 3 }]
y= 2
+
2
x − 9 3x − 6
√
1
1
1
[R \ { −1, 0 }]
13
y= 2
+ 3x
[R \ { 0 }]
y= 2
+ 3
3
3x
+
3x
x +1 x
√
1
[−5 6 x 6 5]
4
y = 25 − x2
[R \ { 0 }]
14
y= 3
2 + 2x
x
+
x
1
5
5
y= 2
R\
x
2
4x − 20x + 25
[R \ { −2, 0 }]
15
y= 2
√
3x + 6x
[R]
6
y = 3x2 − 6x + 3
s
√
√
x2 − 4
7
y = 5 − x + 2x + 4 [−2 6 x 6 5]
[−3 < x 6 −2 ∨ x > 2]
16
y=
r
x+3
x+2
√
√
[x < −5 ∨ x > −2]
8
y=
x+5
[2 6 x 6 5]
17
y = 5−x+ x−2
√
5x − x2
4
[0 6 x 6 5 ∧ x 6= 3]
y=
9
18
log(3x
+
4)
x
>
−
x−3
3
1
1
10
y= √
x<− ∨ x>1
2
[x < 2 ∨ x > 3]
19
ln(x − 5x + 6)
2
2x2 − x − 1
20
Determina il dominio della funzione rappresentata nella figura 21a (il tratteggio
indica che il grafico prosegue indefinitamente).
Soluzione. Il dominio è l’insieme dei valori assunti dalle ascisse dei punti che appartengono al grafico della funzione. Per individuare il dominio per via geometrica possiamo
5.6 esercizi
y
y
x
x
2
(a)
(b)
Figura 21: Lettura di un dominio sul grafico
y
y
x
x
(b)
(a)
y
x
(c)
y
x
(d)
y
y
x
(e)
x
(f)
Figura 22: Lettura di domini sul grafico
immaginare di proiettare tutti i punti del grafico sull’asse x (figura 21b). Così facendo
otteniamo la semiretta costituita dai punti dell’asse x di ascissa minore o uguale a 2, compresa l’origine della semiretta che ha coordinate (2, 0). Perciò il dominio della funzione è
l’insieme
dom f = { x 6 2 } = (−∞, 2]
115
116
introduzione all’analisi
21
Determina il dominio delle funzioni rappresentate nella figura 22 osservando il loro
grafico.
Determina il dominio, eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani e il segno
delle seguenti funzioni:


dom f = R
5
3
 intersezioni con gli assi: (0, 0), (±1, 0) 
22
y = x −x
è positiva per −1 < x < 0 ∨ x > 1


dom f = R
 intersezioni con gli assi: (−11, 0), (0, 0), (1, 0) 
y = x3 + 10x2 − 11x
23
è positiva per −11 < x < 0 ∨ x > 1


dom f = R
 intersezioni con gli assi: (±1, 0), (±2, 0), (0, 4) 
24
y = x4 − 5x2 + 4
è positiva per x < −2 ∨ −1 < x < 1 ∨ x > 2


dom f = R \ { −5, 1 }
x

 intersezioni con gli assi: (0, 0)
25
y= 2
x + 4x − 5
è positiva per −5 < x < 0 ∨ x > 1


dom f = R \ { ±2 }


x2 − 2x − 3
 intersezioni con gli assi: (−1, 0), (3, 0), 0, 3 
26
y=

4 
x2 − 4
è positiva per x < −2 ∨ −1 < x < 2 ∨ x > 3


dom f = R \ { 2 }


x2 + 2x − 3
 intersezioni con gli assi: (−3, 0), (1, 0), 0, 3 
y=
27

x−2
2 
è positiva per −3 < x < 1 ∨ x > 2


dom f = { x 6= 0 }
x+1
 intersezioni con gli assi: (−1, 0) 
28
y= 3
x
positiva per x < −1 ∨ x > 0


√
dom f = { x 6 −1 ∨ 1 6 x < 2 ∨ x > 2 }
x · x2 − 1
 intersezioni con gli assi: (±1, 0)

29
y=
x−2
positiva per x < −1 ∨ x > 2


r
dom f = { 0 6 x < 4 }
x
 passa per l’origine

30
y=
4−x
è positiva per 0 < x < 4
31
Stabilisci se le seguenti funzioni sono pari, dispari o né pari né dispari:
a. y =
x
x2 + 1
b. y = x8 − x5
c. y =
x2 + 4
x2 + 1
d. y = x8 − x6
e. y =
2x
x4 − 1
f. y = x5 − x3
g. y =
1
x2 − x
h. y = x4 − 2x2
[Tre funzioni pari, tre dispari, due né pari né dispari]
32
Stabilisci se le funzioni aventi i grafici riportati nella figura 23 sono pari o dispari.
5.6 esercizi
y
y
x
y
x
(a)
x
(b)
y
(c)
y
x
y
x
(d)
x
(e)
(f)
Figura 23: Funzioni pari e dispari
33
In riferimento al grafico della funzione f rappresentato nella figura 24, rispondi alle
seguenti domande.
34
• Qual è il dominio di f?
• In quali punti f interseca gli assi?
• Quanto vale f(−4)? E f(4)?
• f(2) è positivo o negativo? E f(−2)?
• Per quali valori f si annulla?
• La funzione è pari? È dispari?
Indica la risposta corretta.
a. La funzione y =
x+2
è definita:
x−2
y
x
Figura 24: Una funzione
117
118
introduzione all’analisi
A
∀x ∈ R
C
per nessun valore reale di x
B
∀x ∈ R, x 6= 2
D
per ogni valore di x, tranne x = −2
b. Data la funzione y = x4 + x2 + 1 si può affermare che:
A
la variabile indipendente è y
C
y = (x2 + 1)2
B
la funzione è intera di sesto grado
D
la funzione è sempre definita
c. La funzione y =
x2 − 1
è definita:
x2 + 1
A
per tutti i valori di x diversi da ±1
C
∀x ∈ R, x 6= 0
B
∀x ∈ R
D
solo per x > −1
d. Quale delle seguenti rappresenta una funzione f tale che f(−2) = 3 e f(3) = −2?
A
B
y = −x + 1
e. La funzione y =
y = x+5
C
y = x−5
D
y = −2x − 1
x+2
è definita per:
log(x − 1)
A
1<x62
C
x > 1 con x 6= 2
B
x > 1 con x 6= 2
D
x>1
√
x
√
f. Data la funzione f(x) =
il suo dominio è:
1−x
A
06x61
C
06x<1
B
x60 ∨ x>1
D
x>0
g. Data la funzione f(x + 1) =
A
0
h. Il dominio di f(x) =
A
x>2
i. Data la funzione y =
A
B
2 · f(x) + 2
e f(1) = 2 quanto vale f(2)?
2
1
C
2
D
3
x > 2 e x 6= 3
D
x>3
ln(ex − 1)
1
√
+ √
è:
3
x−2
x−3
B
x<0 ∨ x>2
C
2x
si può affermare che:
x2 + 1
per x = −1 non è definita
B
per x = 0 non è definita
5.6 esercizi
C
D
per x = 5 è definita
è definita solo per x = ±1
j. Indica fra le seguenti l’affermazione errata:
A
la funzione y = log(x2 + 1) è definita ∀x ∈ R
B
la funzione y = x2 − 3 è definita ovunque
C
la funzione y =
D
x
non è definita per x = 8
x−7
√
la funzione y = 4 − x2 non è definita per x = 3
[Una risposta A, tre B, quattro C e due D]
Indica la risposta corretta.
√
a. Data la funzione y = x2 + 2x − 15 indica quale affermazione è vera:
35
A
è definita per x 6 −5 ∨ x > 3
C
è definita solo per x > 3
B
è definita per −5 6 x 6 3
D
nessuna delle precedenti
b. Data la funzione y = log(x2 + x − 12) indica l’affermazione falsa:
A
per x = 4 non è definita
C
per x = 3 non è definita
B
per x = −4 non è definita
D
per x = −5 è definita
c. Data la funzione y = log
5x
indica quale affermazione è vera:
x2 + 1
A
il suo dominio è x > 0
C
il suo dominio è R
B
il suo dominio è x 6 0
D
per x = 0 vale y = 0
d. La funzione f(x) = 2 − ln x è positiva nell’intervallo
A
(0, e2 )
B
e. Data la funzione f(x) =
(−∞, 2)
C
(0, +∞)
D
(e2 , +∞)
x2 − 4x + 3
, il suo dominio è:
x3
A
R\{0}
C
{x < 1 ∨ x > 3}
B
R
D
R\{1}
f. Per trovare il dominio di quale tra le seguenti funzioni si risolve la disequazione A(x) > 0?
119
120
introduzione all’analisi
A
1
y= p
A(x)
B
p
3
A(x)
p
C
y = ln A(x)
D
y=
C
R \ { ±1 }
D
(−∞, 3]
A(x)
√
g. Il dominio della funzione y = x 9 − x2 è:
A
B
(−3, 3)
[−3, 3]
1
è:
h. Il dominio della funzione y = √
2
x + 5x
A
R
C
x>0
B
x < −5 ∨ x > 0
D
x65 ∨ x>0
i. La funzione f(x) =
A
x+3
interseca l’asse delle ascisse nel punto:
x2 + 4
(0, −3)
B
(2, 0)
C
(−3, 0)
D
(3, 0)
x−4
j. Il dominio della funzione y = √
è:
x2 − 5x + 6
A
R
C
R \ { 2, 3 }
B
{x < 2 ∨ x > 3}
D
{2 < x < 3}
[Cinque risposte A, tre B, una C e una D]
6
LIMITI
Questo capitolo introduce un concetto fondamentale dell’analisi matematica,
quello di limite. Cominceremo ad analizzare questa nozione attraverso alcuni
esempi, in cui ci familiarizzeremo con l’idea di limite a livello intuitivo.
6.1
concetto di limite
Esempi introduttivi
Limite finito quando x tende a un valore finito
Data la funzione
x2 − 9
x−3
studiamo il suo comportamento quando x assume valori sempre più prossimi a 3.
y=
analisi numerica Osserviamo che la funzione non è definita per x = 3, tuttavia possiamo calcolare i valori di y per valori di x “vicini” a 3. Attribuendo per
esempio a x i valori indicati in tabella, con l’aiuto di una calcolatrice otteniamo i
valori approssimati di y riportati.
x
y
2,9
5,9
2,99
5,99
2,999
5,999
3
non definita
3,001
6,001
3,01
6,01
3,1
6,1
6
Vediamo che quando la variabile x assume valori sempre più prossimi a 3, i corrispondenti valori di y si avvicinano sempre più a 6. Per esprimere questo comportamento della funzione in prossimità del valore x = 3 (si dice anche «in un intorno
di 3») scriviamo
lim f(x) = 6
x→3
che si legge «il limite di f(x) per x che tende a 3 è 6».
interpretazione grafica Si può avere conferma di questo comportamento
della funzione per x vicino a 3 anche tracciando il suo grafico, perché
f(x) =
x2 − 9
(x − 3)(x + 3)
=
= x+3
x−3
x−3
per x 6= 3
122
limiti
y
y
6
lim f(x) = 1
lim f(x) = 6
1
x→3
x→+∞
x
−1
x
3
(a) Limite finito quando x
tende a un valore finito
(b) Limite finito quando x tende a
infinito
y
lim f(x) = +∞
y
lim f(x) = +∞
x→+∞
x→0
x
x
(c) Limite infinito quando x tende a
un valore finito
(d) Limite infinito quando x tende a
infinito
Figura 25: Esempi di limiti
Il grafico della funzione è una retta, privata del punto di ascissa 3 (figura 25a).
Limite finito quando x tende a infinito
Data la funzione
x−1
x+1
studiamo il suo comportamento quando x assume valori positivi via via sempre
più grandi.
y=
analisi numerica Attribuendo a x i valori indicati nella tabella seguente, con
l’aiuto di una calcolatrice otteniamo i valori approssimati di y riportati.
x
y
100
0,980
200
0,990
300
0,993
400
0,995
500
0,996
1000
0,998
10 000
0,999
1
6.1 concetto di limite
Vediamo così che quando la variabile x assume valori positivi sempre più grandi
(si dice «tendenti a più infinito»), i corrispondenti valori di y si avvicinano sempre
più a 1. Per esprimere questo comportamento della funzione scriviamo
lim f(x) = 1
x→+∞
che si legge «il limite della funzione f(x) per x che tende a più infinito è 1».
x−1
presenta
x+1
la retta y = 1 come asintoto orizzontale (vedi la figura 25b e il paragrafo 6.4).
interpretazione grafica
Il grafico della funzione y = f(x) =
Limite infinito quando x tende a un valore finito
Data la funzione
1
x2
studiamo il suo comportamento quando x assume valori sempre più prossimi a 0.
y = f(x) =
analisi numerica La funzione non è definita per x = 0, tuttavia possiamo
calcolare i valori di y quando x “si avvicina” a 0. Attribuendo per esempio a x i
valori indicati nella tabella seguente, otteniamo i valori approssimati di y riportati.
x
y
−0,1
100
−0,01
10 000
−0,001
1 000 000
0
non definita
0,001
1 000 000
0,01
10 000
0,1
100
i valori di y
diventano sempre più grandi
Vediamo così che quando x assume valori sempre più vicini a 0, i corrispondenti valori di y diventano sempre più grandi, ovvero «tendono a più infinito».
Scriveremo
lim f(x) = +∞
x→0
che si legge «il limite di f(x) per x che tende a 0 è più infinito».
interpretazione grafica
Il grafico della funzione y = f(x) =
l’asse y come asintoto verticale (vedi la figura 25c e il paragrafo 6.4).
1
presenta
x2
Limite infinito quando x tende a infinito
Data la funzione
y = f(x) = 2x
studiamo il suo comportamento quando x assume valori positivi via via sempre
più grandi.
123
124
limiti
y
lim f(x) = 1
x→0+
1
x
lim f(x) = −1
−1
x→0−
Figura 26: Limite destro e limite sinistro
analisi numerica Attribuendo per esempio a x i valori indicati nella tabella
seguente, otteniamo i valori approssimati di y riportati.
x
y
10
1024
15
32 768
20
1 048 576
25
33 554 432
i valori di y diventano (rapidamente) sempre più grandi
Vediamo così che quando la variabile x assume valori positivi via via più grandi
(«tendenti a più infinito»), anche i corrispondenti valori di y diventano sempre più
grandi (ovvero tendono anch’essi a più infinito). Scriveremo allora
lim f(x) = +∞
x→+∞
che si legge «il limite di f(x) per x che tende a più infinito è più infinito».
interpretazione grafica La funzione esaminata è una funzione esponenziale
che, com’è noto, al crescere di x assume valori che tendono “rapidamente” a +∞
(figura 25d).
Limite destro e limite sinistro
Per poter dire che il limite di una funzione per x → a, con a ∈ R, è l, è necessario
controllare che f(x) tenda a l sia quando x si avvicina ad a per valori maggiori di a
(ossia “da destra” rispetto ad a) sia quando x si avvicina ad a per valori minori
di a (ossia “da sinistra” rispetto ad a).
a
avvicinamento
da sinistra
avvicinamento
da destra
x
6.2 calcolo dei limiti
In alcuni casi può accadere che il comportamento della funzione a destra di a
sia diverso dal comportamento a sinistra di a. Per indagare queste situazioni si
parla di limite destro e di limite sinistro e si scrive:
•
•
lim f(x) per indicare il limite destro
x→a+
lim f(x) per indicare il limite sinistro
x→a−
Per esempio, consideriamo la seguente funzione (chiamata anche segno di x):
1
se x > 0
f(x) =
−1 se x < 0
La funzione non è definita per x = 0. La figura 26 mostra il grafico della funzione:
• per x > 0 abbiamo che f(x) = 1, quindi lim f(x) = 1
x→0+
• per x < 0 abbiamo che f(x) = −1, quindi lim f(x) = −1
x→0−
Si noti che non esiste invece il limite dalla funzione per x → 0, perché i due limiti
destro e sinistro sono diversi tra loro.
Come si può intuire da quest’ultimo esempio, il limite di una funzione per x → a,
con a ∈ R, esiste se e solo se i due limiti, destro e sinistro, esistono e sono uguali.
Definizione di limite
Dagli esempi precedenti dovrebbe emergere in modo sufficientemente chiaro il
concetto di limite, di cui diamo la seguente definizione intuitiva.
Definizione 28. Data una funzione f(x), supponiamo che a e l rappresentino due numeri reali, oppure +∞ o −∞. Diremo che il limite della
funzione f(x) per x che tende ad a è l, e scriveremo
lim f(x) = l
x→a
se la funzione f(x) assume valori vicini quanto si vuole a l tutte le volte che
i valori di x sono sufficientemente vicini ad a (con eventuale esclusione del
punto x = a, dove la funzione può non essere definita).
6.2
calcolo dei limiti
Nel paragrafo precedente abbiamo introdotto e definito il concetto di limite. Il
problema che ci poniamo adesso è invece quello del calcolo dei limiti.
125
126
limiti
6.2.1 Limiti di alcune funzioni elementari
In base alla definizione di limite, è possibile dimostrare che valgono i limiti
riassunti nella tabella 12.
Tabella 12: Limiti di alcune funzioni elementari (a rappresenta un numero reale)
lim xn = an per ogni n intero
√
√
lim x = a
x→a
√
√
lim 3 x = 3 a
x→a
x→a
lim 2x = 2a
x→a
lim log x = log a
x→a
Risultati analoghi valgono per le radici di indice (intero positivo) qualsiasi, e per
le funzioni esponenziali e le funzioni logaritmiche di base qualsiasi (purché > 0
e 6= 1).
Nel caso delle funzioni elementari il calcolo del limite per x → a, con a ∈ R
appartenente al dominio della funzione, si riduce quindi a effettuare una semplice
sostituzione. Per esempio:
lim x2 = 32 = 9
x→3
Le figure 27 e 28 mostrano i limiti di alcune importanti funzioni elementari agli
estremi del loro dominio. Per esempio:
lim x3 = −∞
e
lim x4 = +∞
e
x→−∞
x→−∞
lim x3 = +∞
x→+∞
lim x4 = +∞
x→+∞
6.2.2 Algebra dei limiti
Ci chiediamo ora: a partire dai limiti mostrati nella tabella 12, è possibile determinare i limiti di funzioni più complicate, costruite a partire dalle funzioni
elementari mediante operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione? Per esempio, sappiamo che lim x3 = 8 e che lim x2 = 4; possiamo dire
x→2
x→2
che lim (x3 + x2 ) = 12 è la loro somma?
x→2
In altre parole, vogliamo studiare il comportamento dell’operazione di limite
rispetto alle operazioni tra funzioni. Cominciamo dal caso più semplice, in cui i
limiti delle funzioni in gioco sono finiti.
6.2 calcolo dei limiti
y = c, c ∈ R
y=x
y
y
x
x
(a) lim c = c
lim c = c
x→−∞
(b) lim x = −∞
x→+∞
lim x = +∞
x→−∞
x→+∞
y = xn , n naturale dispari > 3
y = xn , n naturale pari
y
y
x
x
(c) lim xn = +∞
x→−∞
lim xn = +∞
x→+∞
(d) lim xn = −∞
x→−∞
lim xn = +∞
x→+∞
Figura 27: Limiti della funzione costante e delle funzioni potenza agli estremi del dominio
Regole di calcolo nel caso in cui i due limiti sono finiti
Se due funzioni f e g hanno limiti finiti per x → a, l’operazione di limite si
comporta “bene” rispetto alle ordinarie operazioni, come espresso dalla seguente
proposizione.
Proposizione 1. Supponiamo che le due funzioni f e g siano entrambe
definite in un intorno di a (numero reale o ±∞), eccetto al più a, e che
sia
lim f(x) = l1 e lim g(x) = l2
x→a
x→a
dove l1 , l2 sono numeri reali. Allora risulta:
127
128
limiti
y=
√
x
y=
√
3
x
y
y
x
x
(a) lim
x→0+
√
x=0
lim
x→+∞
√
x = +∞
(b) lim
x→−∞
√
3
x = −∞
y
y
1
x→−∞
√
3
x = +∞
y = (1/2)x
y = 2x
(c) lim 2x = 0
lim
x→+∞
1
x
x
x
1
= +∞
x→−∞ 2
lim 2x = +∞
x
1
=0
x→+∞ 2
(d) lim
x→+∞
lim
y = log 1 x
y = log2 x
2
y
y
x
1
x
1
(e) lim log2 x = −∞
x→0+
lim log2 x = +∞
x→+∞
(f) lim log 1 x = +∞
x→0+
2
lim log 1 x = −∞
x→+∞
2
Figura 28: Limiti di alcune funzioni elementari agli estremi del dominio
6.2 calcolo dei limiti
f(x)
l
= 1 , se l2 6= 0
g(x)
l2
• lim c · f(x) = c · l1 , per ogni c ∈ R
• lim [f(x) ± g(x)] = l1 ± l2
• lim
x→a
x→a
• lim [f(x) · g(x)] = l1 · l2
x→a
x→a
Esercizio 80. Calcola il limite lim (x3 + x2 ).
x→2
Soluzione.
lim (x3 + x2 ) = lim x3 + lim x2 = 8 + 4 = 12
x→2
x→2
x→2
Esercizio 81. Calcola il limite lim 2x.
x→3
Soluzione.
lim 2x = 2 · lim x = 2 · 3 = 6
x→3
x→3
Regole di calcolo nel caso in cui uno dei due limiti è infinito
Vediamo ora che cosa accade nei casi esclusi dalla proposizione precedente, ossia
quando almeno uno dei due limiti l1 o l2 è infinito oppure in un quoziente il cui
denominatore tende a 0. A proposito di questi casi, si possono dimostrare i risultati
seguenti (dove a rappresenta un numero reale o ±∞).
Tabella 13: Regole per la somma
Se lim f(x) è
e lim g(x)
allora lim [f(x) + g(x)] è
l∈R
l∈R
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
x→a
x→a
x→a
Tabella 14: Regole per il prodotto
Se lim f(x) è
e lim g(x)
allora lim [f(x) · g(x)] è
l ∈ R con l 6= 0
±∞
±∞
±∞
±∞ secondo la regola dei segni
±∞ secondo la regola dei segni
x→a
x→a
x→a
129
130
limiti
Tabella 15: Regole per il quoziente
f(x)
è
g(x)
Se lim f(x) è
e lim g(x)
allora lim
l∈R
l ∈ R con l 6= 0
±∞
±∞
0
l∈R
0
±∞ secondo la regola dei segni
±∞ secondo la regola dei segni
x→a
x→a
x→a
È importante fare alcune osservazioni.
• Le tabelle non danno informazioni nel caso in cui il limite si presenti in una
delle seguenti forme, dette forme di indecisione (o forme indeterminate):
+∞ − ∞
0·∞
∞/∞
0/0
dove il simbolo 0 · ∞ è un modo abbreviato per indicare le forme di indecisione del tipo 0 · +∞, 0 · −∞, +∞ · 0, −∞ · 0 e analogamente il simbolo ∞/∞
è un modo abbreviato per indicare le forme +∞/ + ∞, +∞/ − ∞, −∞/ + ∞,
−∞/ − ∞. Ciò non significa che in questi casi il limite sia indeterminato o
non si possa calcolare, ma solo che non esiste alcun modo di stabilirne a priori il valore: occorre analizzare la situazione caso per caso. Vedremo i metodi
più comuni per risolvere le forme di indecisione nel prossimo paragrafo.
• I risultati espressi nella tabelle 13, 14 e 15 si possono riassumere nelle “uguaglianze” della tabella 16. Esse possono interpretarsi come regole di calcolo
algebrico per svolgere operazioni che coinvolgono i simboli di ±∞ e prendono quindi il nome di aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito (“parziale” perché le regole di calcolo così definite soddisfano solo parzialmente le
ordinarie proprietà delle operazioni aritmetiche).
Tabella 16: Aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito
+∞ + ∞ = +∞
−∞ − ∞ = −∞
(±∞) · (±∞) = (±∞)
l ± ∞ = ±∞
l · ∞ = ±∞
l
= ±∞
0
l
=0
±∞
±∞
= ±∞
l
per ogni l ∈ R
per ogni l ∈ R, con l 6= 0
per ogni l ∈ R, con l 6= 0
per ogni l ∈ R
per ogni l ∈ R
6.2 calcolo dei limiti
y
lim f(x) = 0−
x
x→−∞
lim f(x) = 0+
x→+∞
Figura 29: lim f(x) = 0+
x→+∞
• In tutte le scritture della tabella 16 il segno dell’infinito va determinato in
base all’ordinaria regola dei segni, tenendo conto che in questo contesto si
attribuisce un segno anche a 0: lo 0 viene considerato positivo, e indicato
con 0+ , se una funzione tende a 0 per eccesso, cioè assumendo valori positivi, mentre viene considerato negativo, e indicato con 0− , se una funzione
tende a 0 per difetto, cioè assumendo valori negativi (figura 29). Avremo, per
esempio:
2
+∞
−∞
= +∞
= −∞
= +∞
0+
0−
0−
Esercizio 82. Calcola lim
x→+∞
Soluzione.
1
.
x5
1
1
=
=0
5
x→+∞ x
+∞
lim
Esercizio 83. Calcola lim x +
x→1+
1
.
x−1
Soluzione. Tenendo conto che quando x → 1+ si ha che x − 1 → 0+ si ha:
1
1
lim x +
= 1 + + = 1 + ∞ = +∞
+
x−1
0
x→1
6.2.3 Forme di indecisione di funzioni algebriche
Questo paragrafo presenta le più comuni forme di indecisione che si presentano
quando si lavora con funzioni algebriche intere e fratte.
131
132
limiti
Limiti di di funzioni intere
Le funzioni intere sono definite in tutto R, quindi si può incorrere in forme
di indecisione solo nel calcolo dei limiti per x → ±∞. In questo caso, ci si può
imbattere in una forma di indecisione del tipo +∞ − ∞. Per esempio, ciò accade
se si vuole calcolare:
lim (x3 − x2 + x + 1)
x→±∞
La risoluzione di queste forme di indecisione si basa sul seguente ragionamento.
Raccogliendo x3 si ha che:
1
1
1
3
lim x 1 − + 2 + 3
x→±∞
x x
x
Tutti i termini dopo 1 dentro le parentesi tonde tendono a 0 per x → ±∞, quindi
il fattore tra parentesi tende a 1. Ne segue che
lim (x3 − x2 + x + 1) = lim x3 = ±∞
x→±∞
x→±∞
Questo ragionamento può ripetersi similmente per qualsiasi polinomio; possiamo quindi concludere che: per calcolare il limite di un polinomio per x → ±∞ basta
calcolare il limite del suo termine di grado massimo.
Esercizio 84. Calcola lim (x2 − 4x).
x→+∞
Soluzione.
lim (x2 − 4x) = lim x2 = +∞
x→+∞
x→+∞
Esercizio 85. Calcola lim (x2 − 2x3 + x + 1).
x→+∞
Soluzione.
lim (x2 − 2x3 + x + 1) = lim −2x3 = −∞
x→+∞
x→+∞
Esercizio 86. Calcola lim (x4 − 2x2 + x).
x→−∞
Soluzione.
lim (x4 − 2x2 + x) = lim x4 = +∞
x→−∞
x→−∞
6.2 calcolo dei limiti
Funzioni fratte
Consideriamo ora una funzione fratta, cioè una funzione del tipo
P(x)
Q(x)
f(x) =
dove P(x) e Q(x) sono polinomi.
Le funzioni fratte hanno come dominio l’insieme R privato degli eventuali valori
di x che annullano il denominatore.
Nel calcolo dei limiti di queste funzioni si può incorrere in due tipi di forme
di indecisione: ∞/∞ nel calcolo dei limiti per x → ±∞ oppure 0/0 nel calcolo
dei limiti per x → a, dove a ∈ R è un punto in cui la funzione non è definita.
Analizziamo separatamente i due casi.
forme di indecisione del tipo ∞/∞
lim
x→+∞
Per esempio, consideriamo il limite
x 3 + 5x 2 + 6x − 1
x 2 + 7x + 1
Sia il numeratore che il denominatore tendono a +∞ per x → +∞, quindi il limite
si presenta nella forma di indecisione +∞/ + ∞. La risoluzione della forma di indecisione si basa sul seguente ragionamento. Raccogliamo anzitutto al numeratore
e al denominatore i termini di grado massimo:
lim
x→+∞
x 3 + 5x 2 + 6x − 1
=
x 2 + 7x + 1
x3
lim
x→+∞
5
6
1
1+ + 2 − 3
x
x
x
7
1
x2 1 + + 2
x
x
Tutti gli addendi dopo 1, sia all’interno delle parentesi al numeratore che all’interno delle parentesi al denominatore, tendono a 0 per x → +∞, quindi i due fattori
tra parentesi tonde tendono entrambi a 1. Ne segue che:
lim
x→+∞
x 3 + 5x 2 + 6x − 1
=
x 2 + 7x + 1
lim
x→+∞
x3
=
x2
lim x = +∞
x→+∞
Un ragionamento simile può ripetersi nel caso di tutti i limiti di funzioni fratte che
si presentano nella forma ∞/∞. Possiamo quindi concludere che per calcolare il
limite del rapporto tra due polinomi per x → ±∞ basta calcolare il limite del rapporto dei
loro termini di grado massimo.
133
134
limiti
Esercizio 87. Calcola lim
x→+∞
2x 3 − 1
.
x2 + 1
Soluzione.
lim
x→+∞
2x 3 − 1
=
x2 + 1
Esercizio 88. Calcola lim
x→+∞
lim
x→+∞
2x 3
=
x2
lim 2x = +∞
x→+∞
x4 − 1
.
x8 + 1
Soluzione.
lim
x→+∞
x4 − 1
=
x8 + 1
Esercizio 89. Calcola lim
x→+∞
lim
x→+∞
x4
=
x8
lim
x→+∞
1
=0
x4
x4 − 1
.
1 − 2x 4
Soluzione.
lim
x→+∞
x4 − 1
=
1 − 2x 4
lim
x→+∞
x4
1
=−
2
−2x 4
I tre esempi precedenti mostrano i tre diversi casi che possono presentarsi nel
P (x)
calcolo del limite lim
, dove P (x) e Q(x) sono polinomi di gradi rispettix→±∞ Q(x)
vamente n ed m:
• se n > m (vedi l’esempio 87), allora
• se n < m (vedi l’esempio 88), allora
lim
P (x)
= ±∞
Q(x)
lim
P (x)
=0
Q(x)
x→±∞
x→±∞
• se n = m (vedi l’esempio 89), allora
P(x)
= rapporto tra il coefficiente di x n e il coefficiente di x m
x→±∞ Q(x)
lim
6.3 continuità
forme di indecisione del tipo 0/0 Se il limite del rapporto di due polinomi P (x) e Q(x) si presenta nella forma indeterminata 0/0 per x → a ∈ R, deve
essere P (a) = Q(a) = 0, quindi i due polinomi P (x) e Q(x) devono essere divisibili per (x − a). L’indeterminazione si rimuove scomponendo P (x) e Q(x) in
fattori e semplificando la frazione P (x)/Q(x). Il limite della funzione ottenuta
dopo la semplificazione del fattore (x − a) coincide con quello della funzione originaria: infatti le due funzioni sono uguali se x 6 = a e, ai fini del calcolo del limite,
è ininfluente il valore della funzione in a.
Esercizio 90. Calcola lim
x→1
x 2 + 3x − 4
.
x2 − 1
Soluzione. Osserviamo che
lim (x 2 + 3x − 4) = 0
x→1
e
lim (x 2 − 1) = 0
x→1
0
. Per risolvere la forma di indecisio0
ne scomponiamo il numeratore e il denominatore e semplifichiamo il fattore in
comune:
quindi il limite si presenta nella forma
lim
x→1
6.3
x 2 + 3x − 4
x+4
5
(x − 1)(x + 4)
= lim
=
= lim
2
x→1 x + 1
x→1 (x − 1)(x + 1)
x2 − 1
continuità
Intuitivamente, una funzione è continua se per tracciare il suo grafico ”non si
stacca mai la penna dal foglio”. Il concetto di limite permette di definire questa
nozione in modo preciso.
Continuità in un punto
Definizione 29. Sia f una funzione definita in un intorno di a ∈ R. Se
lim f(x) = f(a), la funzione f si dice continua in a.
x→a
È importante fare alcune osservazioni.
• Mentre l’operazione di limite per x → a ∈ R riguarda il comportamento di
una funzione in un intorno di a, disinteressandosi di ciò che accade nel punto a, la definizione di continuità richiede invece l’analisi del comportamento
della funzione sia in un intorno di a sia nel punto a, e impone che i due
comportamenti non siano difformi.
135
136
limiti
y
y
f(b)
f(b)
f(a)
f(a)
x
x
a b
ab
(a) La funzione f(x) è continua in a:
spostandoci di poco da a, per esempio in b, il valore f(b) si discosta di
poco da f(a)
(b) La funzione f(x) non è continua
in a: spostandoci di poco da a,
per esempio in b, il valore f(b)
si discosta in modo significativo
da f(a)
Figura 30: Funzioni continue e discontinue
• Intuitivamente, la condizione lim f(x) = f(a) si può interpretare dicendo
x→a
che «se x è vicino ad a, allora f(x) è vicino a f(a)» (figura 30a). Osserva che
questa condizione non è verificata se f non è continua in a (figura 30b)
Funzioni continue
Definizione 30. Se una funzione f di dominio D è continua in tutti i punti
di un insieme A ⊆ D, diremo che f è continua in A. Se f è continua in tutti i
punti del suo dominio, diremo semplicemente che f è una funzione continua.
Per esempio:
• le funzioni potenza y = xn con n ∈ N sono continue in R
1
è continua in R \ { 0 }
x
• la funzione esponenziale y = 2x è continua in R
• la funzione y =
• la funzione logaritmica y = log x è continua in (0, +∞)
Punti di discontinuità e loro classificazione
Sia f una funzione definita in un intorno di a ∈ R. La condizione di continuità
della funzione in a equivale alla seguente:
lim f(x) = lim f(x) = f(a)
x→a+
x→a−
6.3 continuità
y
y
y
6
1
x
x
−1
x
3
(a) Discontinuità di tipo salto
(o di prima specie)
(b) Discontinuità di seconda
specie
(c) Discontinuità eliminabile (o di terza specie)
Figura 31: Punti di discontinuità
quindi richiede che siano verificate tre condizioni:
1. i due limiti lim f(x) e lim f(x) devono esistere finiti
x→a+
x→a−
2. devono essere uguali tra loro
3. devono essere uguali a f(a)
Se almeno una di queste tre condizioni non è soddisfatta, diremo che a è un
punto di discontinuità della funzione. Si possono allora avere tre tipi diversi di
punti di discontinuità, a seconda di quale di queste tre condizioni viene a cadere.
Analizziamo singolarmente ciascuno di questi casi.
Punti di salto (o discontinuità di prima specie)
Il primo tipo di discontinuità che analizziamo è relativo al caso in cui cade la
condizione 2, cioè se i limiti lim f(x) e lim f(x) esistono finiti ma sono diversi
x→a+
x→a−
tra loro.
Definizione 31. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f
è un punto di salto (o di discontinuità di prima specie) se i limiti di f per x → a+
e x → a− esistono finiti, ma sono diversi tra loro. In tal caso il valore
assoluto della differenza lim f(x) − lim f(x) si dice salto di f in x = a.
x→a+
x→a−
Esercizio 91. Studia i punti di discontinuità della funzione
1
se x > 0
f(x) =
−1 se x < 0
137
138
limiti
Soluzione. La funzione è definita e continua in R \ { 0 } (figura 31a). È immediato
verificare che
lim f(x) = −1
lim f(x) = 1 e
x→0−
x→0+
Perciò i limiti dalla destra e dalla sinistra di f per x → 0 esistono e sono finiti ma
sono diversi tra loro. La funzione presenta in x = 0 un punto di salto; precisamente,
il salto vale 2.
Discontinuità di seconda specie
Un altro tipo di discontinuità si presenta se cade la condizione 1, cioè quello in
cui almeno uno dei due limiti lim f(x) e lim f(x) non esiste o è infinito.
x→a+
x→a−
Definizione 32. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f
è di seconda specie se almeno uno dei due limiti lim f(x) e lim f(x) non
x→a+
x→a−
esiste o è infinito.
Esercizio 92. Studia i punti di discontinuità della funzione
1
.
x
Soluzione. La funzione è definita e continua in R \ { 0 } (figura 31c). Osserviamo
che i limiti della funzione per x → 0+ e x → 0− sono infiniti; precisamente
lim f(x) = +∞
x→0+
e
lim f(x) = −∞
x→0−
quindi x = 0 è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione. Osserva
che la retta x = 0 (cioè l’asse y) è un asintoto verticale per la funzione.
Discontinuità eliminabili (o discontinuità di terza specie)
L’ultimo caso che ci resta da esaminare è quello in cui si verificano le condizioni 1
e 2, ma cade la 3, cioè quando esiste finito il limite lim f(x), ma questo non è uguale
x→a
a f(a).
Definizione 33. Diremo che un punto di discontinuità a per una funzione f
è eliminabile in ciascuno di questi due casi:
• se esiste finito lim f(x) ma f non è definita in a
x→a
• se esiste finito lim f(x) ma il valore del limite è diverso da f(a)
x→a
6.4 asintoti
y
y
x
y
l
y = mx + q
a
x
x
(a) Grafico di una funzione
che ha la retta x = a
come asintoto verticale
(b) Grafico di una funzione
che ha la retta y = l come
asintoto orizzontale
(c) Grafico di una funzione
che ha la retta y = mx +
q come asintoto obliquo
Figura 32: Asintoti
Esercizio 93. Studia i punti di discontinuità della funzione
x + 3 se x 6= 3
f(x) =
0
se x = 3.
Soluzione. La funzione è definita in tutto R ed è continua per x 6= 3 (figura 31c).
Analizziamo il comportamento della funzione in un intorno di 3:
lim f(x) = 6
x→3
Quindi il limite della funzione per x → 3 esiste ma è diverso da f(3) = 0.
Osserva che non è difficile modificare la
nel punto 3 in modo da ottenere una nuova
mente, la funzione
x+3
g(x) =
6
definizione della funzione precedente
funzione continua anche in 3; precisase x 6= 3
se x = 3
(che coincide con f eccetto che per x = 3) è continua in 3 perché lim g(x) = g(3).
x→3
6.4
asintoti
Consideriamo i grafici di funzione rappresentati nella figura 32: ciascuno di essi,
per opportuni valori di x, “si avvicina sempre di più” alle rette tratteggiate.
139
140
limiti
Definizione 34. Una retta è un asintoto per il grafico di una funzione se tale
grafico “si avvicina sempre di più” alla retta per certi valori di x. In particolare, parleremo di asintoto verticale quando la retta è parallela all’asse delle
ordinate (figura 32a), di asintoto orizzontale quando la retta è parallela all’asse
delle ascisse (figura 32b) e di asintoto obliquo negli altri casi (figura 32c).
In pratica, per cercare gli eventuali asintoti del grafico di una funzione bisogna
analizzarne il comportamento agli estremi del dominio: al finito per gli asintoti
verticali e all’infinito per gli altri.
Asintoti verticali
Proposizione 2. Una retta di equazione x = a, con a ∈ R, è un asintoto
verticale per una funzione se almeno uno dei limiti della funzione per x →
a+ o per x → a− è +∞ o −∞.
Esercizio 94. Trova gli asintoti verticali della funzione y =
2x − 4
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 59). Per ricercare gli
eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della funzione agli estremi
finiti degli intervalli che costituiscono il dominio.
lim
x→1+
2x − 4
−2
= + = −∞
x−1
0
e
lim
x→1−
2x − 4
−2
= − = +∞
x−1
0
quindi x = 1 è un asintoto verticale (figura 33c).
Asintoti orizzontali
Proposizione 3. Una retta di equazione y = l, con l ∈ R, è un asintoto orizzontale per una funzione se il limite della funzione per x → +∞ o
per x → −∞ è l.
6.4 asintoti
Esercizio 95. Trova gli asintoti orizzontali della funzione y =
2x − 4
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 59). Per ricercare
eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della funzione per x →
±∞.
2x
2x − 4
= lim
=2
lim
x→±∞ x
x→±∞ x − 1
quindi y = 2 è un asintoto orizzontale (figura 33c).
Asintoti obliqui
Proposizione 4. La retta di equazione y = mx + q è un asintoto obliquo per
la funzione y = f(x) se e solo se:
•
•
f(x)
=m
x→±∞ x
lim
lim [f(x) − mx] = q
x→±∞
dove m, q ∈ R, con m 6= 0.
In pratica, la proposizione precedente si usa così:
• se il dominio della funzione è illimitato superiormente, si verifica la presenza
di un eventuale asintoto orizzontale per x → +∞: in caso positivo, è esclusa
la presenza di un asintoto obliquo per x → +∞
f(x)
: se questo limite non esiste finito, è
x→+∞ x
esclusa la presenza di un asintoto obliquo per x → +∞
• in caso negativo, si calcola il lim
• altrimenti si assegna a m il suo valore e si calcola il
lim [f(x) − mx]: se
x→+∞
questo limite non esiste finito, è esclusa la presenza di un asintoto obliquo
per x → +∞
• altrimenti si assegna a q il suo valore e la retta di equazione y = mx + q è
un asintoto obliquo per il grafico della funzione
• se il dominio della funzione è illimitato inferiormente, si segue la stessa
procedura per x → −∞
141
142
limiti
Esercizio 96. Trova gli asintoti obliqui della funzione y =
x2
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 60), quindi, essendo
inferiormente e superiormente illimitato, ha senso indagare sul comportamento
della funzione sia per x → −∞ sia per x → +∞. Abbiamo che:
x2
x2
= lim
= lim x = ±∞
x→±∞ x − 1
x→±∞ x
x→±∞
lim
quindi non ci sono asintoti orizzontali; potrebbero allora esistere asintoti obliqui.
Abbiamo:
f(x)
x2
x
x
= lim
= lim
= lim
=1
x→±∞ x
x→±∞ x(x − 1)
x→±∞ x − 1
x→±∞ x
lim
=⇒
m=1
Poiché tale limite è finito, ha senso continuare:
lim [f(x) − mx] = lim [f(x) − 1 · x]
x→±∞
2
x
= lim
−x
x→±∞ x − 1
x→±∞
x2 − x(x − 1)
x→±∞
x−1
2
x − x2 + x
= lim
x→±∞
x−1
x
= lim
x→±∞ x − 1
x
= lim
=1
=⇒
x→±∞ x
= lim
q=1
Quindi c’è un asintoto obliquo di equazione y = x + 1 (figure 33d e ??).
In generale, si può provare che:
• le funzioni intere, ovvero le funzioni di equazione y = P(x), dove P(x) è un
polinomio, hanno asintoto obliquo se e solo se il grado di P(x) è 1 (ovvero se
e solo se il grafico della funzione è una retta);
• le funzioni fratte, ovvero le funzioni di equazione P(x)/Q(x), dove P(x)
e Q(x) sono due polinomi, hanno asintoto obliquo se e solo se il grado di P(x)
supera di 1 quello di Q(x).
6.5 grafico probabile di una funzione
6.5
grafico probabile di una funzione
Alla luce delle nuove conoscenze che abbiamo acquisito circa gli asintoti, riprendiamo il problema di tracciare il grafico di una funzione. Data una funzione, fino
a questo punto eravamo in grado (almeno nei casi più semplici) di:
1. determinarne il dominio
2. riconoscerne eventuali simmetrie (rispetto all’asse y o all’origine)
3. determinare gli eventuali punti di intersezione del suo grafico con gli assi
4. studiarne il segno
Ora possiamo arricchire la nostra analisi con un quinto punto:
5. calcolare i limiti agli estremi degli intervalli dove la funzione è definita
Tutto ciò consente di studiare eventuali punti di discontinuità della funzione e
di scoprire l’esistenza di eventuali asintoti verticali e orizzontali; se non esistono
asintoti orizzontali, siamo inoltre in grado di ricercare eventuali asintoti obliqui.
L’insieme delle informazioni ricavate nei cinque punti indicati consente in molti
casi di tracciare il grafico di una funzione con buona approssimazione, come mostriamo nei prossimi esempi. Parleremo di grafico probabile perché alcuni elementi
rimangono ancora incerti (per esempio la determinazione degli eventuali punti di
minimo o di massimo).
Esercizio 97. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della
funzione y = 2x − 4.
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 58). La figura 19a riporta
le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 62 e 68).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della
funzione per x → ±∞.
lim 2x − 4 = lim 2x = ±∞
x→±∞
x→±∞
Poiché tali limiti sono infiniti, concludiamo che non ci sono asintoti orizzontali.
143
144
limiti
• Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo:
lim
x→±∞
2x − 4
2x
f(x)
= lim
= lim
=2
x→±∞
x→±∞ x
x
x
=⇒
m=2
Poiché tali limiti sono finiti, ha senso continuare:
lim [f(x) − mx] = lim [f(x) − 2 · x]
x→±∞
x→±∞
= lim (2x − 4 − 2x)
x→±∞
= lim −4
x→±∞
= −4
=⇒
q = −4
Concludiamo che l’asintoto obliquo esiste e ha equazione y = 2x − 4. Osserviamo che, in questo caso, l’asintoto obliquo coincide con la funzione
stessa.
La figura 33a mostra le nuove informazioni raccolte.
Esercizio 98. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della
funzione y = x2 − 4x + 3.
Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l’esercizio 58). La figura 19b riporta
le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 63 e 69).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Poiché la funzione è intera non ci sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della
funzione per x → ±∞.
lim x2 − 4x + 3 = lim x2 = +∞
x→±∞
x→±∞
Poiché tali limiti sono infiniti, concludiamo che non ci sono asintoti orizzontali.
• Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui. Abbiamo:
f(x)
x2 − 4x + 3
x2
= lim
= lim
= lim x = ±∞
x→±∞ x
x→±∞
x→±∞ x
x→±∞
x
lim
Poiché tali limiti sono infiniti, non ci sono asintoti obliqui.
La figura 33b mostra le nuove informazioni raccolte.
6.5 grafico probabile di una funzione
y
y
x
3
2
x
−4
1
3
(b) y = x2 − 4x + 3
(a) y = 2x − 4
y
y
4
y = x+1
4
2
x
x
1
(c) y =
1
2
2x − 4
x−1
(d) y =
2
x2
x−1
y
y
4
1
−2
−1
(e) y =
x
x
1
x2 − 4
x2 − 1
2
−1
(f) y =
Figura 33: Limiti di alcune funzioni
1
x
x2 − 1
145
146
limiti
Esercizio 99. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della
2x − 1
.
funzione y =
x−1
Soluzione.
• La retta x = 0 è un asintoto verticale (vedi l’esercizio 94) e la retta y = 0 è un
asintoto orizzontale (vedi l’esercizio 95).
• Poiché la funzione ha un asintoto orizzontale per x → ±∞, non ci sono
asintoti obliqui.
La figura 33c mostra le nuove informazioni raccolte.
Esercizio 100. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della
x2
funzione y =
.
x−1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l’esercizio 60). La figura 19d
riporta le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 65 e 71).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della
funzione agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In
questo caso, quindi, dobbiamo calcolare i limiti per x → 1.
lim
x→1+
1
x2
= + = +∞ e
x−1
0
lim
x→1−
x2
1
= − = −∞
x−1
0
quindi x = 1 è un asintoto verticale.
• La funzione non ha asintoti orizzontali, mentre ha un asintoto obliquo di
equazione y = x + 1 (vedi l’esercizio 96).
La figura 33d mostra le nuove informazioni raccolte.
6.5 grafico probabile di una funzione
Esercizio 101. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della
x2 − 4
.
funzione y = 2
x −1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { ±1 } (vedi l’esercizio 61). La figura 19e
riporta le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 66 e 72).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
• Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della
funzione agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In
questo caso, quindi, dobbiamo calcolare i limiti per x → 1 e per x → −1.
lim
x→1+
e
lim
x→−1+
x2 − 4
−3
= + = −∞ e
2
0
x −1
x2 − 4
−3
= − = +∞ e
2
0
x −1
lim
x→1−
lim
x2 − 4
−3
= − = +∞
2
0
x −1
x→−1−
x2 − 4
−3
= + = −∞
2
0
x −1
quindi x = 1 e x = −1 sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della
funzione per x → ±∞.
x2 − 4
x2
=
lim
=1
x→±∞ x2 − 1
x→±∞ x2
lim
quindi y = 1 è un asintoto orizzontale.
• Poiché la funzione ha un asintoto orizzontale per x → ±∞, non ci sono
asintoti obliqui.
La figura 33e mostra le nuove informazioni raccolte.
Esercizio 102. Trova gli asintoti e traccia il grafico probabile della
x
funzione y = 2
.
x −1
Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { ±1 } (vedi l’esercizio 61). La figura 19f
riporta le informazioni fin qui trovate (vedi gli esercizi 67 e 73).
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e determiniamo gli eventuali asintoti.
147
148
limiti
• Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i limiti della
funzione agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In
questo caso, quindi, dobbiamo calcolare i limiti per x → 1 e per x → −1.
lim
x→1+
1
x
= + = +∞ e
0
x2 − 1
e
lim
x→−1+
x2
lim
x→1−
x
−1
= − = +∞ e
0
−1
x
1
= − = −∞
0
x2 − 1
lim
x→−1−
x2
x
−1
= + = −∞
0
−1
quindi x = 1 e x = −1 sono asintoti verticali.
• Per ricercare eventuali asintoti orizzontali dobbiamo calcolare i limiti della
funzione per x → ±∞.
x
lim 2
=0
x→±∞ x − 1
quindi y = 0 è un asintoto orizzontale.
• Poiché la funzione ha un asintoto orizzontale per x → ±∞, non ci sono
asintoti obliqui.
La figura 33f mostra le nuove informazioni raccolte.
6.6
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Deduci dal grafico 35a il valore dei seguenti limiti:
1
a.
b.
lim f(x)
c. lim f(x)
lim f(x)
d.
x→−∞
x→−3
x→0
lim f(x)
x→1−
e.
lim f(x)
x→1+
f. lim f(x)
x→2
g. lim f(x)
x→3
h.
lim f(x)
x→+∞
Deduci dal grafico 35b il valore dei seguenti limiti:
2
a.
b.
lim f(x)
c.
lim
d. lim f(x)
x→−∞
x→−3−
f(x)
lim
x→−3+
x→0
f(x)
e.
f.
lim f(x)
x→3−
lim f(x)
x→3+
g.
lim f(x)
x→+∞
6.6 esercizi
y
y
x
3
2
x
−4
−1
1
2
3
min
(b) y = x2 − 4x + 3
(a) y = 2x − 4
y
y
4
min
y = x+1
4
2
max
x
1
(c) y =
x
1
2
2x − 4
x−1
(d) y =
2
x2
x−1
y
y
4
min
1
−2
−1
(e) y =
x
x
1
x2 − 4
x2 − 1
2
−1
(f) y =
Figura 34: Grafici di alcune funzioni
1
x
x2 − 1
149
150
limiti
y
y
y
x
x
(a)
x
(b)
y
(c)
y
y
x
x
(d)
(e)
x
(f)
Figura 35: Approccio grafico al concetto di limite
Deduci dal grafico 35c il valore dei seguenti limiti:
3
a.
b.
lim f(x)
c.
lim f(x)
d. lim f(x)
x→−∞
x→−3
lim f(x)
x→−2
x→0
e.
f.
lim f(x)
g. lim f(x)
lim f(x)
h.
x→2−
x→2+
x→5
lim f(x)
x→+∞
Deduci dal grafico 35d il valore dei seguenti limiti:
4
a.
lim f(x)
x→−∞
b. lim f(x)
x→0
c. lim f(x)
x→4
d.
lim f(x)
x→+∞
Deduci dal grafico 35e il valore dei seguenti limiti:
5
a.
lim f(x)
x→−∞
b. lim f(x)
x→0
c. lim f(x)
x→2
d.
lim f(x)
x→+∞
Deduci dal grafico 35f il valore dei seguenti limiti:
6
a.
lim f(x)
x→−∞
b. lim f(x)
x→0
c. lim f(x)
x→2
d.
lim f(x)
x→+∞
6.6 esercizi
Indica la risposta corretta.
7
a. Quanto vale lim x3 ?
A 0
x→2
A 2
B 8
C −∞
D +∞
A 0
C −∞
D +∞
c. Quanto vale lim x3 ?
x→−∞
A 0
B 1
C −∞
C −∞
C −∞
x
1
= −∞
x→−∞ 4
c.
√
lim
x = +∞
d.
−x
e.
lim
x→+∞
D +∞
A 0
?
C −∞
D +∞
B 1
5
C −∞
D +∞
B 2
C −∞
D +∞
[Due risposte A, due B, due C e sei D]
V
F
V
F
f.
g.
h.
V
F
V
lim x10 = 0−
V
F
lim x−10 = +∞
V
F
lim x10 = +∞
V
F
lim x10 = +∞
V
F
V
F
x→0−
x→0+
x→−∞
x→+∞
F
2
√
lim
x non ha senso
x→−∞
A 0
i.
lim log 1 x = +∞
x→+∞
B 1
x→25
Vero o falso?
x
1
=0
a. lim
x→+∞ 4
b.
D +∞
l. Quanto vale lim log5 x?
C −∞
x→+∞
8
A 0
D +∞
x→+∞
g. Quanto vale lim 10
C −∞
x→0+
f. Quanto vale lim 10 ?
B 1
B 1
k. Quanto vale lim log 1 x?
x
A 0
A 0
D +∞
x→−∞
B 1
D +∞
x→0+
e. Quanto vale lim x4 ?
A 0
C −∞
j. Quanto vale lim log5 x?
x→+∞
B 1
B 1
x
1
i. Quanto vale lim
?
x→−∞ 2
D +∞
d. Quanto vale lim x4 ?
A 0
D +∞
x
1
?
x→+∞ 2
x→+∞
B 1
C −∞
h. Quanto vale lim
b. Quanto vale lim x3 ?
A 0
B 1
j. lim log x = 0
x→1
V
F
[7 uguaglianze vere e 3 false]
Calcola i seguenti limiti che non presentano forme di indecisione.
5
1
2
[+∞]
lim 2
9
lim x +
11
x→0 x
x→−∞
x
1
1
2
3
12
lim
3
+
−
[+∞]
10
lim (x + x )
x→−∞
x x2
x→+∞
[+∞]
[3]
151
152
limiti
13
14
5
−
x→5 x − 5
2x2 − 1
lim 3
x→1 x + 1
lim
[−∞]
1
2
15
16
lim
x→+∞
1
1
+
x x2 + 2
[0]
2x
x→−∞ x
lim
[0]
Calcola i limiti delle seguenti funzioni polinomiali.
17
18
lim (x2 − 48x − 100)
[+∞]
19
lim (x3 − 5x − 1)
[−∞]
20
x→+∞
x→−∞
lim (x4 − 5x2 − 1)
[+∞]
lim (x2 − 5x3 − 1)
[−∞]
x→+∞
x→+∞
Calcola i seguenti limiti che si presentano sotto forme di indecisione ∞/∞.
21
22
23
24
25
26
27
28
x2 − 1
x→+∞ x + 1
2x2 − 1
lim
x→+∞ x2 + x
1 − x2
lim
x→−∞ 2x + 1
1 − x3
lim
x→+∞ 2x4 + 1
1 − x2
lim
x→+∞
x
2
x −x+1
lim
x→+∞ x2 − 3x + 2
x2 + 6x + 5
lim
x→−∞
x+4
10x4 − x3 + 1
lim
x→+∞ 5x4 − x − 1
lim
[+∞]
[2]
29
x4 + 6x + 5
x→+∞
x2 + 4
[+∞]
30
6x2 − x + 1
lim
x→−∞ 4x2 − x − 1
3
2
31
x2 − 16
x→+∞ 5x3 + 1
32
x3 + 6x + 5
x→−∞
x+4
[+∞]
33
x2 + 6x + 5
x→−∞
x5 + 4
[0]
34
1 − 10x2
x→+∞ 4x2 − 1
35
(x + 1)2
x→+∞ x + 4
[+∞]
[0]
[−∞]
[1]
[−∞]
[2]
lim
lim
lim
[0]
lim
lim
lim
−
5
2
[+∞]
Calcola i seguenti limiti che si presentano sotto forme di indecisione 0/0.
42
x2 − 4
x→2 x2 − 3x + 2
[−8]
43
x2 − x − 2
lim
x→−1 x2 − 1
2x2 + 4x
x→−2 x2 + 4x + 4
[∞]
44
x2 − x − 6
x→3 x2 − 2x − 3
39
9 − x2
x→−3 x2 + 3x
[−2]
45
x3 − 25x
x→5 x − 5
40
lim
x2 − 16
x→4 x2 − 8x + 16
[∞]
46
lim
x2 − 4x + 4
x→2 x2 + 4x − 12
[0]
41
x2 − 81
x→9 x − 9
[18]
47
x7 − x6
x→1 x5 − x4
[1]
36
x2 − 25
x→5 x2 − 5x
37
4x − x3
lim
x→2 x − 2
38
lim
lim
lim
lim
[2]
lim
lim
lim
lim
[4]
3
2
5
4
[50]
6.6 esercizi
48
49
50
51
56
x4 − 16
x→2 x2 − 2x
3x2 + 2x3 + x4
lim
x→0 4x2 − x4 − x6
[16]
3
4
52
x3 + 10x5
x→0 4x + x2 + 5x3
x3 − 1
lim 4
x→1 x − 1
[0]
3
4
54
3x2 + x − 2
x→−1 2x2 + x − 1
55
x2 − 5x + 6
x→2 x2 − 3x + 2
lim
lim
53
x2 − 1
lim
[2]
2
3
5
3
x→−1 2x2 + 3x + 1
x2 − 1
lim
x→1
2x2 − x − 1
lim
lim
[−1]
Indica la risposta corretta.
x2 − 3x + 3
?
x→0 x2 − 2x + 1
a. Quanto vale lim
A 1
B 3
C +∞
x→+∞
A 1
B 3
x→+∞ x2
D −∞
x2
b. Quanto vale lim
− 3x + 3
?
x2 − 2x + 1
C +∞
3
d. Quanto vale lim
D −∞
2
A 0
B 1
A 0
D −∞
A 0
x2
+1
?
x+6
D −∞
C +∞
C +∞
B 1
C +∞
D −∞
i. Quanto vale lim 6x ?
x→+∞
A 0
D −∞
x2 + 1
?
x→+∞ x + 6
B 1
C +∞
h. Quanto vale lim 6x ?
B 1
j. Quanto vale lim
e. Quanto vale lim
A 0
B 1
x→0
C +∞
x→−∞
B 10
x→−∞
x→+∞
B 1
A 1
g. Quanto vale lim 6x ?
c. Quanto vale lim (−3x + 5x − 1)?
A 0
x2 − 25
?
+ x − 30
10
11
C
D
11
10
f. Quanto vale lim
C +∞
x→+∞
A 0
D −∞
B 1
D −∞
x+6
?
x2 + 1
C +∞
D −∞
[Quattro risposte A, due B, due C e due D]
Calcola i seguenti limiti.
57
58
59
60
61
lim
x→1+
1
1−x
x2 − 6x + 9
x→3 2x2 − 6x
lim
x2 − 1
x→+∞ 3x2
1
1
lim
− 2
x→+∞ x
x
x
1
lim
x→+∞ 5
lim
[−∞]
62
x
1
x→−∞ 5
[0]
63
x2 + x + 1
x→0 x2 + 2x + 3
1
3
64
lim
lim
lim
x→+∞
x+1
x2 + 6
[0]
65
2x − 6
lim
x→3 x2 + 3x − 18
[0]
66
3x5 + x2
x→+∞ x3 + 1
lim
[+∞]
1
3
[0]
2
9
[+∞]
153
154
limiti
67
68
69
72
x2 − 1
2
x→1 x + 3x − 4
2
5
lim
lim (2x2 − x − 1)
[+∞]
6
7
x→+∞
lim
x→3
x2
−9
x2 + x − 12
70
x − x2
2
x→+∞ 2x + x + 1
71
3x4 + 1
x→−∞ x3 − 1
lim
−
lim
1
2
[−∞]
Vero o falso?
a. Se una funzione ha una discontinuità
nel punto x = 0, allora lim f(x) è
x→0−
diverso da lim f(x).
x→0+
V
F
x→0−
1, si può affermare che per x = 0
la funzione f presenta un punto di
discontinuità eliminabile.
b. Una funzione che ha una discontinuità nel punto x = a può sempre essere ridefinita in x = a, in modo da
renderla continua in x = a. V F
c. Se la retta di equazione x = a è
un asintoto per la funzione f, allora il punto a è un punto di discontinuità di seconda specie per la
funzione.
d. Sapendo che f(0) = 0 e lim f(x) =
V
F
V
F
e. Sapendo che lim f(x) = −1 e che
x→0−
lim f(x) = 1, si può affermare che
x→0+
per x = 0 la funzione f presenta un
punto di salto.
V
F
[2 affermazioni vere e 3 false]