Lezione del 11 novembre sulla risonanza magnetica

Risonanza Magnetica Nucleare e
Risonanza Magnetica di Spin
Il momento angolare e lo spin
Similitudine con un corpo in rotazione
Ruota di biciletta sospesa ad un filo:
• Tende a disporsi parallela al suolo
• Se la facciamo ruotare in tale condizione,
non notiamo nulla di particolare (l’asse di
rotazione coincide con la direzione di
attrazione gravitazionale)
• Se però la facciamo ruotare in un qualsiasi angolo, la
conservazione del momento angolare impone una forza ed un
momento che porta la ruota ad avere un moto di precessione,
in pratica una ulteriore rotazione intorno all’asse
Immagine da http://demoweb.physics.ucla.edu/content/10-gyroscopes-and-tops
Il momento angolare e lo spin
Osservazioni
• Il periodo della precessione
non dipende dall’angolo, ma
il moto è ben più evidente
con un angolo di 90°
• Per mantenere questo stato
di precessione possiamo
fornire una spinta di tanto
in tanto: la spinta è tanto
più efficiente se la diamo in
modo sincrono con la
rotazione: risonanza
Immagine da http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rotv2.html
Spin di un nucleo
• È una carica che ruota: ha un momento
magnetico
• Se ci sono due cariche i momenti sono opposti
e si compensano: la risonanza magnetica
avviene solo per isotopi con numero dispari di
nuceloni (protoni/neutroni)
Consideriamo il caso in cui c’è un momento nucleare netto (es Idrogeno)
Applichiamo un campo magnetico esterno così che i momenti
tendano ad allinearsi
Bo=2.35T
Spin di un nucleo
In presenza di un campo magnetico, l’energia potenziale dei due
possibili spin (alto e basso) è diversa, proporzionale allo spin ed
al campo magnetico: g è il rapporto giromagnetico
1
 gB0 
2
1
 gB0 
2
La distanza tra i due livelli energetici è gB0 
Si noti che
Bo=2.35T
E      gB0
Pulsazione di Larmor
Rapporto giromagnetico
È il rapporto tra il momento magnetico ed il momento angolare
• Per un corpo carico che ruota (classico: anello carico):
Momento magnetico
  IA 
corrente
q
qv
q
q
 r 2 
 r 2 
 mvr 
L
T
2r
2m
2m
area
area
g 

L

q
2m
Momento angolare
• Se si mette in un campo magnetico, l’energia potenziale è
 
h
E p     B  gBL  gB
2
• Nota: se per calcolare g usassimo direttamente
carica e massa
del nucleo (o dell’elettrone nel caso di elettrone isolato), q
g 
g
dovremmo correggerlo con un fattore g
2m
Spin di un nucleo
Mentre allo zero assoluto, tutti i nuclei starebbero allo stato
energetico più basso, ad una certa temperatura alcuni saranno
anche nello stato più alto
Bo=2.35T
Il rapporto tra i nuclei nello stato alto e quelli nello stato basso è
determinato dal fattore di Boltzmann
Per avere grosse differenze di
popolazione: o abbassare la
temperatura o aumentare B
gB0 

N dw
 e k BT
N up
Energia campo
magnetico
Energia termica
Se abbiamo un eccesso di spin, il suo effetto magnetico diviene
«visibile» (altrimenti gli effetti si cancellano)
Pulsazione di Larmor
Corrisponde alla frequenza di precessione
  gB0
Applichiamo un campo variabile orizzontale
alla frequenza di Larmor: questo porterà il
nucleo a precedere sul piano orizzontale
per un po’
Bo=2.35T
Momento di torsione
Free induction decay
Smettiamo di applicare il momento di torsione
Usiamo la bobina di prima per rilevare le oscillazioni (legge di
Faraday) indotte dal dipolo magnetico mentre, precedendo, si
riallinea
Bo=2.35T
Immagine da http://oftankonyv.reak.bme.hu/tiki-index.php?page=Free+Induction+Decay
Free induction decay
Animation by Steren Giannini, Pannini on Wikipedia.
Free induction decay
Nell’animazione precedente abbiamo visto due effetti:
• Nel primo caso e la tendenza a riallinearsi dei momenti a Bo
(«longitudinal magnetic relaxation» o spin-lattice, perché
l’energia per tornare a posto è la vibrazione termica [nei
solidi, del cristallo]): in un tempo T1 i nuclei tornano
all’equilibrio termico
• Nel secondo caso («transverse o spin-spin relaxation) la
tendenza di due nuclei con precessione lievemente diversa a
cancellarsi vicendevolmente man mano: i nuclei perdono
l’allineamento e iniziano a comportarsi come se non
precedessero: il tempo T2 (o T2* vediamo tra poco la
differenza)
Note
• Il campo Bo determina la frequenza di risonanza (quindi la
velocità di precessione)
• Determina anche l’intensità del segnale che rileveremo,
visto che determina quanti spin saranno «spaiati»
• Il solenoide aggiuntivo viene usato per applicare una
torsione e spostare l’asse di rotazione temporaneamente
(quindi fuori dall’equilibrio termico) nel piano orizzontale, in
cui farà un vistoso moto di precessione
• Lo stesso solenoide viene usato per registrare il segnale
indotto (Faraday) dal moto di precessione mentre i nuclei
tornano all’equilibrio termico.
Omogeneità di Bo
• Il segnale di free induction decay può essere trasformato nel
dominio di Fourier
• Area in FFT dipende da
quanti nuclei abbiamo
• Meno Bo è omogeneo e più largo e basso sarà il segnale trasformato
Considerate un Bo perfettamente omogeneo: tutti gli atomi del campione
avranno esattamente la stessa precessione, in modo sincrono, ed i loro
contributi si sommeranno. Se Bo non è omogeneo, atomi vicini precederanno a
velocità lievemente diverse e ad un certo punto si troveranno ad avere
momenti magnetici in opposizione e la magnetizzazione totale tende ad
annullarsi
Omogeneità di Bo
• Vedremo che la larghezza della riga è legata alla risoluzione
in un sistema di imaging; quindi si utilizzano spesso
solenoidi aggiuntivi che compensano le piccole
disomogeneità (eventualmente indotte dall’ambiente
circostante): SHIM COIL
• Sempre per compensare la disomogenità si usa un trucco: lo
«Spin Echo»
Spin Echo
• Abbiamo visto che ruotare a 90° l’asse, porta alla migliore
(più visibile) precessione
• Come abbiamo fatto questa rotazione? Abbiamo applicato un
campo magnetico orizzontale alla frequenza di Larmor che
produce un momento di torsione
• Ma è importante applicare tale momento per un tempo
preciso!
RF
t
Spin Echo
• Con un impulso doppio, produrremmo una rotazione di 180°:
a questo punto gli spin che prima si stavano allontanando,
sembreranno riavvicinarsi
• Quando tenderanno a
riallinearsi dando origine
di nuovo ad una
magnetizzazione netta,
ricompare il segnale
«eco»
"GWM HahnEchoDecay" by Gavin W Morley - Own
work. Licensed under CC BY-SA 3.0 via Commons https://commons.wikimedia.org/wiki/File:GWM_Hah
nEchoDecay.gif#/media/File:GWM_HahnEchoDecay.
gif
Spin Echo
• I nuovi impulsi però via via decresceranno per via del
rilassamento trasverso (spin-spin): il tempo di decrescita è il
T2; in pratica alcuni processi impediscono la rifocalizzazione
perfetta; il tempo del singolo impulso (influenzato dalla
disomogenità di campo) è il T2
Come misurare T1?
• Si può ripetere l’esperimento con impulsi di polarizzazione di
diversa durata e grafichiamo l’area della trasformata di
Fourier della free induction decay (che ci dice la
magnetizzazione residua che rimane nel materiale)
• Otterremo un esponenziale crescente, che raggiunge un
palteau
• T1 e T2 ci dicono
molto di che
molecole stiamo
analizzando
Glenn Facey, http://u-of-o-nmr-facility.blogspot.it/2007/10/t1-measurements-and-estimation.html
Valori tipici per tessuti di T1 e T2 (wikipedia)
At a main field of 1.5 T
Tissue type
Approximate T1 value in ms
Approximate T2 value in ms
Adipose tissues
240-250
60-80
Whole blood (deoxygenated)
1350
50
Whole blood (oxygenated)
1350
200
Cerebrospinal fluid (similar to
pure water)
4200 - 4500
2100-2300
Gray matter of cerebrum
920
100
White matter of cerebrum
780
90
Liver
490
40
Kidneys
650
60-75
Muscles
860-900
50
Come fare Imaging?
• Supponiamo di aggiungere un ulteriore solenoide, il
«gradient coil» che produca una variazione lineare
dell’intensità Bo lungo per esempio l’asse x
• La frequenza di risonanza varierà lungo x, quindi ci sarà una
corrispondenza FREQUENZA-SPAZIO
• L’asse delle frequenze nella nostra FFT diventa l’asse
spaziale
http://www.mdtmag.com/article/2013/10/fluxgate-current-transducers-sharpen-mri-images
Come fare Imaging?
gradiente
Immagine Paul Callaghan, magritek.com
Gli spin acquisisco diversa fase (e
freq) a seconda della posizione in z:
si forma un’elica con un certo
periodo
Come fare Imaging?
Immagine Paul Callaghan, magritek.com
Con il passare del tempo, dall’applicazione
di G, l’elica riduce il passo; k è il numero
d’onda o «frequenza spaziale»
Come fare Imaging? (1D)
S(t)=
Il segnale che acquisiamo è
S(t), quindi S(k) [k è
linearmente legato a t], una
sommatoria di tutti gli atomi,
ciascuno con la sua fase; r(z
ci dice quanti atomi ci sono in
quel z (e quindi con quella
fase; spin density)
L’immagine è r(z), ma per
definizione, quella di sopra è
l’antitrasformata di fourier
Lo spazio k si definisce anche
«spazio reciproco»
Immagine Paul Callaghan, magritek.com
Come fare Imaging? (2D)
Il discorso può essere generalizzato (ma occorre aggiungere


alcuni dettagli) k  gG
Matrice punti nello spazio k
G  B
t

  0

S (k )   r (r ) exp( jk r )dr
90°
ky
180°
rf
Gy
kx
Gx
acquisizione
S(t)
k=0
Come fare Imaging? (2D)
Nomeclatura: il gradiente che diamo inizialmente è il «phase
gradient», e quello di lettura è il «read gradient»

  

Abbiamo ottenuto S (k )   r (r ) exp( jk r )dr
Dobbiamo fare una FFT 2D (l’immagine che otteniamo è un
pattern di diffrazione)
Immagine da http://mpss.iop.org/summer_school/1999/monday/page_45152.html