La necessità di trasmettere potenza tra organi in moto rotatorio è un
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La necessità di trasmettere potenza tra organi in moto rotatorio è un
La necessità di trasmettere potenza tra organi in moto rotatorio è un problema frequentissimo e di grande importanza nell’ingegneria. Gli assi di rotazione tra i quali deve essere trasmesso il moto possono essere paralleli In questo motoriduttore gli assi sono paralleli. 1 La necessità di trasmettere potenza tra organi in moto rotatorio è un problema frequentissimo e di grande importanza nell’ingegneria. Gli assi di rotazione tra i quali deve essere trasmesso il moto possono essere paralleli , incidenti La necessità di trasmettere potenza tra organi in moto rotatorio è un problema frequentissimo e di grande importanza nell’ingegneria. Gli assi di rotazione tra i quali deve essere trasmesso il moto possono essere paralleli , incidenti o sghembi. Ruote elicoidali ad assi sghembi 2 La necessità di trasmettere potenza tra organi in moto rotatorio è un problema frequentissimo e di grande importanza nell’ingegneria. Gli assi di rotazione tra i quali deve essere trasmesso il moto possono essere paralleli , incidenti o sghembi. Vite senza fine e ruota elicoidale La necessità di trasmettere potenza tra organi in moto rotatorio è un problema frequentissimo e di grande importanza nell’ingegneria. Gli assi di rotazione tra i quali deve essere trasmesso il moto possono essere paralleli , incidenti o sghembi. Coppia conica Nelle coppie coniche gli assi delle due ruote sono incidenti. Quando ciò non accade e gli assi sono sghembi la coppia si dice “ipoide” Coppia ipoide 3 Coppia ipoide. La trasmissione di potenza tra alberi con ruote di frizione non è utilizzata perché richiederebbe enormi forze di contatto a fronte di modeste coppie trasmesse M Ft r N f r Ipotizzando un coefficiente di attrito di 0,15 (acciaio su acciaio), la componente tangenziale, utile alla trasmissione della coppia, è circa un settimo di quella radiale. Angolo d’attrito f = coefficiente di attrito r Forze di contatto Ft Forze tangenziali 4 Conviene pertanto utilizzare dei profili coniugati che possano trasmettere coppia attraverso forze normali alle superfici in contatto e non tangenziali Ft è la componente “utile” della forza agente sulla superficie in contatto M Ft r F cos r La coppia trasmessa vale: r F Ft ω1 ω2 α Per valori di α non elevati la componente “utile” Ft è di poco inferiore alla forza F che sollecita la superficie in contatto. La trasmissione per ingranaggi consente di trasferire elevate potenze con alto rendimento ed ampia gamma di velocità, con costruzioni compatte ed affidabili. Per un angolo caratteristico di 20°, la componente tangenziale è circa il triplo di quella radiale. M Ft r F cos r F Ft α = angolo caratteristico r Il movimento può essere trasferito tra assi paralleli, concorrenti o sghembi, con rapporto di trasmissione fisso o variabile in modo discontino o, anche, in modo ciclico. 5 Le ruote dentate cilindriche possono essere anche non circolari per realizzare un rapporto di trasmissione variabile in modo ciclico Negli ingranaggi la trasmissione del moto avviene tra due profili coniugati che si scambiano forze normali, a meno di piccole componenti di attrito. Profilo cicloidale: ottenuto facendo rotolare una circonferenza sul cerchio base. La sezione del dente è ottenuta con due archi di profili cicloidali raccordati in testa da un arco di cerchio 6 Negli ingranaggi la trasmissione del moto avviene tra due profili coniugati che si scambiano forze normali, a meno di piccole componenti di attrito. Profilo cicloidale: ottenuto facendo rotolare una circonferenza sul cerchio base. Una classica applicazione dei profili cicloidali sono i compressori volumetrici Root Negli ingranaggi la trasmissione del moto avviene tra due profili coniugati che si scambiano forze normali, a meno di piccole componenti di attrito. Profilo ad evolvente: ottenuto facendo rotolare una retta sul cerchio base. 7 Negli ingranaggi la trasmissione del moto avviene tra due profili coniugati che si scambiano forze normali, a meno di piccole componenti di attrito. Profilo ad evolvente: ottenuto facendo rotolare una retta sul cerchio base. Negli ingranaggi la trasmissione del moto avviene tra due profili coniugati che si scambiano forze normali, a meno di piccole componenti di attrito. Circonferenze base 20 ° Profilo ad evolvente: ottenuto facendo rotolare una retta sul cerchio base. 8 Negli ingranaggi la trasmissione del moto avviene tra due profili coniugati che si scambiano forze normali, a meno di piccole componenti di attrito. r1 A M Circonferenze di troncatura rapportoMN di è LaIldistanza trasmissione usualmente indicata con il vale simbolo λ 20 ° r1 2 r2 1 N B r2 rb Negli ingranaggi la trasmissione del moto avviene tra due profili coniugati che si scambiano forze normali, a meno di piccole componenti di attrito. A M Circonferenze di troncatura La distanza MN è usualmente indicata con il simbolo λ 20 ° N B r rb 9 Negli ingranaggi la trasmissione del moto avviene tra due profili coniugati che si scambiano forze normali, a meno di piccole componenti di attrito. A M Circonferenze Per ottenere le di troncatura dentature interne si utilizzano ancora gli stessi profili coniugati ma il materiale occupa la zona che nel caso precedente costituiva il vano tra i denti 20 ° N B r rb Nomenclatura z = numero di denti d =diametro primitivo Passo p distanza tra due profili omologhi misurata lungo la circonferenza primitiva Modulo m = p/π m Addendum Dedendum ha= m hf= 1.25 m m = d/z Vano tra i denti p 2 r z Proporzionamento modulare Passo primitivo Superficie di testa Spessore del dente Larghezza del dente Fianco di testa Cilindro di testa Fianco di piede Superficie di fondo Addendum Dedendum Cerchio Primitivo Cilindro di piede Cerchio Base Passo base 10 Nomenclatura z = numero di denti d =diametro primitivo Passo p distanza tra due profili omologhi misurata lungo la circonferenza primitiva Modulo m = p/π m Passo base pb 2 r z m = d/z distanza tra due profili omologhi misurata sul piano base ovvero lungo la retta d’azione rb r cos p pb 2 rb z pb p cos Nomenclatura z = numero di denti Modulo m d =diametro primitivo m = p/π m = d/z Proporzionamento modulare Addendum ha= m hf = 1.25 m Altezza del dente h = 2.25 m Raggio di troncatura esterna ra = r + ha Raggio di troncatura interna rf = r – hf z z2 Interasse di funzionamento i 1 2m 2 r1 Rapporto di trasmissione 1 r2 Dedendum Passo p 2 r Passo base pb z 2 rb z rb r cos r raggio primitivo pb p cos θ angolo di pressione Grado di ricoprimento (detto anche rapporto di condotta) pb pb N M λ Perché ci sia continuità del moto deve essere: λ ≥ 1 11 Nomenclatura z = numero di denti Modulo m d =diametro primitivo m = p/π m = d/z Proporzionamento modulare Addendum ha= m hf = 1.25 m Altezza del dente h = 2.25 m Raggio di troncatura esterna ra = r + ha Raggio di troncatura interna rf = r – hf z z2 Interasse di funzionamento i 1 2m 2 r1 Rapporto di trasmissione 1 r2 Dedendum Passo p 2 r z Passo base pb 2 rb z rb r cos r raggio primitivo pb p cos θ angolo di pressione Grado di ricoprimento (detto anche rapporto di condotta) Condizione di non interferenza z1 2 pb sen 2 2 1 1 sen 2 2 Nella condizione di ingranamento con la dentiera: z1 r2 =∞ 2 17 sen 2 τ = r1 /r2 =0 per si ha: θ = 20° I vantaggi dei profili ad evolvente sono molti, a cominciare dal modo in cui possono essere costruiti. Il modo apparentemente più semplice di realizzare una ruota dentata è quello di asportare il materiale per creare il cavo tra i denti partendo da un tondo il cui diametro sia quello di troncatura esterna della dentatura. In questo modo però è necessario avere un utensile conformato in modo particolare che sarà utilizzabile solo per costruire ruote con un determinato modulo e diametro. 12 Un grande vantaggio della profilatura ad evolvente di cerchio consiste nella possibilità di realizzare i denti per inviluppo, ovvero con un movimento mutuo tra utensile e ruota simile a quello di ingranamento. r = v/ω r Dentiera: ruota di raggio infinito ω v Un grande vantaggio della profilatura ad evolvente di cerchio consiste nella possibilià di realizzare i denti per inviluppo, ovvero con un movimento mutuo tra utensile e ruota simile a quello di ingranamento. Con una dentiera utensile di modulo m è possibile costruire qualsiasi ruota con tale modulo, indipendentemente dal diametro e dal numero di denti. Modulo Linea dei dati: pieni = vuoti m = p/π Passo p ha= 1.25 m hf = 1.0 m Il proporzionamento modulare dell’utensile è inverso, per quel che riguarda addendum e dedendum, rispetto alla dentatura normale. 13 Un grande vantaggio della profilatura ad evolvente di cerchio consiste nella possibilià di realizzare i denti per inviluppo, ovvero con un movimento mutuo tra utensile e ruota simile a quello di ingranamento. Con una dentiera utensile di modulo m è possibile costruire qualsiasi ruota con tale modulo, indipendentemente dal diametro e dal numero di denti. r ω ha= 1.25 m hf = 1.0 m v r = v/ω Il diametro della primitiva è stabilito dal rapporto tra la velocità di avanzamento dell’utensile e la velocità di rotazione della ruota da costruire Il rapporto tra la rotazione ω della ruota costruenda e l’avanzamento v della dentiera utensile è stabilito dalla catena cinematica della macchina dentatrice. d 2v v Imposto dalla cinematica Schema del cinematismo di una macchina dentatrice v 14 Un grande vantaggio della profilatura ad evolvente di cerchio consiste nella possibilià di realizzare i denti per inviluppo, ovvero con un movimento mutuo tra utensile e ruota simile a quello di ingranamento. Con una dentiera utensile di modulo m è possibile costruire qualsiasi ruota con tale modulo, indipendentemente dal diametro e dal numero di denti. ω r ha= 1.25 m hf = 1.0 m v Se, mantenendo costante il rapporto v/ω, la ruota costruenda viene spostata in direzione normale all’utensile, allontanandola o avvicinandola ad esso, la geometria della dentatura ne risulta alterata ma le primitiva rimane invariata. Un grande vantaggio della profilatura ad evolvente di cerchio consiste nella possibilià di realizzare i denti per inviluppo, ovvero con un movimento mutuo tra utensile e ruota simile a quello di ingranamento. Con una dentiera utensile di modulo m è possibile costruire qualsiasi ruota con tale modulo, indipendentemente dal diametro e dal numero di denti. Il diametro di troncatura esterna va adeguato alle dimensioni modificate ω s v r s = spostamento x = s/m spostamento relativo ha= 1.25 m hf = 1.0 m Se, mantenendo costante il rapporto v/ω, la ruota costruenda viene spostata in direzione normale all’utensile, allontanandola o avvicinandola ad esso, la geometria della dentatura ne risulta alterata ma le primitiva rimane invariata. 15 Un grande vantaggio della profilatura ad evolvente di cerchio consiste nella possibilià di realizzare i denti per inviluppo, ovvero con un movimento mutuo tra utensile e ruota simile a quello di ingranamento. Con una dentiera utensile di modulo m è possibile costruire qualsiasi ruota con tale modulo, indipendentemente dal diametro e dal numero di denti. Il diametro di troncatura esterna va adeguato alle dimensioni modificate ω s = spostamento x = s/m r spostamento relativo s ha= 1.25 m hf = 1.0 m v Se, mantenendo costante il rapporto v/ω, la ruota costruenda viene spostata in direzione normale all’utensile, allontanandola o avvicinandola ad esso, la geometria della dentatura ne risulta alterata ma le primitiva rimane invariata. Taglio per generazione di ruote cilindriche con profili ad evolvente di cerchio. Per realizzare una ruota a dentatura elicoidale può essere ancora utilizzato la stessa dentiera utensile: è sufficiente inclinarla dell’angolo β Taglio per generazione 16 Un grande vantaggio della profilatura ad evolvente di cerchio consiste nella possibilià di realizzare i denti per inviluppo, ovvero con un movimento mutuo tra utensile e ruota simile a quello di ingranamento. Taglio di una ruota cilindrica a denti elicoidali La dentatura viene ancora creata per inviluppo ma la dentiera è inclinata dell’angolo β. Taglio per generazione di ruote cilindriche con profili ad evolvente di cerchio. 17 Taglio per generazione di ruote cilindriche con profili ad evolvente di cerchio. Il taglio è oggi generalmente eseguito con un utensile rotante detto “creatore”. I fianchi dei denti del “creatore”sono equivalenti ad una dentiera utensile. Moto di taglio del “creatore” 18 Ad ogni valore del modulo con il quale si vuol costruire una ruota dentata corrisponde un utensile. È evidente, quindi, che conviene normalizzare i valori del modulo. Dimensioni normalizzate in mm Nella tabella sono riportati i valori normalizzati tra 1e 20 mm. I colori contraddistinguono i valori consigliati, sconsigliati o fortemente sconsigliati. 1 1.125 1.25 1.375 1.50 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 Il progetto o la verifica di una coppia di ruote dentate, dal punto di vista della resistenza strutturale, si basa sulla valutazione delle possibili avarie. Quelle che più frequentemente si verificano nell’esercizio delle trasmissioni di potenza per ingranaggi sono: 1) L’erosione superficiale per eccessiva pressione di contatto tra i fianchi dei denti: il cosiddetto fenomeno del “pitting”. 2) La rottura a fatica per flessione del dente. 3) L’eccessivo surriscaldamento della zona di contatto tra i denti a causa di insufficiente lubrificazione che comporta microfusioni locali, con profonda alterazione della geometria delle superfici coniugate. 19 Dimensionamento in base alla pressione di contatto Il progetto consiste nel calcolare le dimensioni delle ruote in modo da limitare la pressione di contatto tra i fianchi dei denti ad un valore ammissibile in base alle caratteristiche del materiale ed alla durata prevista. Effetti del “pitting” su un ingranaggio Dimensionamento in base alla pressione di contatto Per la valutazione della pressione di contatto si utilizza la teoria di Hertz. Il comportamento dei fianchi dei denti è rappresentato, in modo approssimato, dai due cilindri osculatori che hanno, nella zona di contatto, la stessa curvatura dei profili coniugati. 20 Dimensionamento in base alla pressione di contatto Per la valutazione della pressione di contatto si utilizza la teoria di Hertz. Il comportamento dei fianchi dei denti è rappresentato, in modo approssimato, dai due cilindri osculatori che hanno, nella zona di contatto, la stessa curvatura dei profili coniugati. Dimensionamento in base alla pressione di contatto Per la valutazione della pressione di contatto si utilizza la teoria di Hertz. Il comportamento dei fianchi dei denti è rappresentato, in modo approssimato, dai due cilindri osculatori che hanno, nella zona di contatto, la stessa curvatura dei profili coniugati. 21 Dimensionamento in base alla pressione di contatto Per la valutazione della pressione di contatto si utilizza la teoria di Hertz. Il comportamento dei fianchi dei denti è rappresentato, in modo approssimato, dai due cilindri osculatori che hanno, nella zona di contatto, la stessa curvatura dei profili coniugati. Dimensionamento in base alla pressione di contatto Ingranaggi cilindrici a denti dritti 22 Dimensionamento in base alla pressione di contatto In base alla teoria di Hertz la massima tensione di contatto che si genera tra due cilindri di lunghezza indefinita è data dalla relazione: H2 denti dritti F q R1 R2 E1 E2 R1 R2 E1 E2 R2 dove q F L L R1 ed R2 sono i raggi dei cilindri a contatto E E 1 2 è il modulo di elasticità a contrazione laterale impedita R1 F Dimensionamento in base alla pressione di contatto In base alla teoria di Hertz la massima tensione di contatto che si genera tra due cilindri di lunghezza indefinita è data dalla relazione: H2 q denti dritti F q R1 R2 E1 E2 R1 R2 E1 E2 R2 F L I moduli di elasticità vengono raggruppati in un’unica quantità: L 1 E E KE 1 2 E1 E2 Se il materiale delle due ruote è lo stesso: E’1 = E’2 R1 KE E 2 F 23 denti dritti Dimensionamento in base alla pressione di contatto Valutazione dei raggi R1 e R2 : Lunghezza del segmento AB A B r1 sen r2 sen ϑ B r2b r1 r1b Circonferenze base r2 ϑ A Circonferenze primitive denti dritti Dimensionamento in base alla pressione di contatto Valutazione dei raggi R1 e Calcolo del raggio relativo r ABr sen R1 R2 1 2 sen R1 R2 x xr1( r2 AB x) x R2 : Lunghezza del segmento AB A B r1 sen r2 sen r1 r2 sen ϑ B r2b r1 Circonferenze base r1b r2 A ϑ x Circonferenze primitive Si considerino due qualsiasi profili in contatto La loro posizione sul segmento di ingranamento è data dall’ascissa x 24 denti dritti Dimensionamento in base alla pressione di contatto Valutazione dei raggi R1 e Calcolo del raggio relativo r1 r2 sen R1 R2 R1 R2 x r1 r2 sen x R2 : Lunghezza del segmento AB A B r1 sen r2 sen r1 r2 sen ϑ B r2b r1 r1b Circonferenze base r2 ϑ A Circonferenze primitive Si considerino due qualsiasi profili in contatto La loro posizione sul segmento di ingranamento è data dall’ascissa x denti dritti Dimensionamento in base alla pressione di contatto Valutazione dei raggi R1 e Calcolo del raggio relativo r1 r2 sen R1 R2 R1 R2 x r1 r2 sen x Lunghezza del segmento AB A B r1 sen r2 sen r1 r2 sen r1 r2 sen ϑ B r1 sen r2 sen r1 r2 r1r2 sen Circonferenze base R2 : r2b r1 r1b r2 ϑ A Circonferenze primitive Quando i due profili si trovano nel punto C di tangenza tra le primitive nell’espressione del raggio relativo si elimina l’incognita x 25 denti dritti Dimensionamento in base alla pressione di contatto H2 q R1 R2 E1 E2 R1 R2 E1 E2 L’andamento della pressione di contatto durante l’ingranamento dipende unicamente dal raggio relativo Andamento della pressione di contatto durante l’ingranamento Quantità non dipendenti da x λ r1 r2 sen x r1 r2 sen x r r R1 R2 1 2 r1r2 sen R1 R2 Pressione di contatto Raggio relativo pb pb 2 coppie in presa A 1 coppia in presa M 2 coppie in presa C N denti dritti Dimensionamento in base alla pressione di contatto q R R2 E1 E2 1 R1 R2 E1 E2 2 H q F L KE 1 E1 E2 E1 E2 H2 K E F r1 r2 L r1 r2 sen R1 R2 r r 1 2 R1 R2 r1r2 sen H2 K E FC r1 r2 L sen cos r1 r2 H2 K E 2 FC 21 L sen 2 d1 FC cos r1 r2 4 K E FC 1 sen 2 L d1 B x Posizione sul segmento AB F FC F cos 2 H ϑ F FC 26 denti dritti Dimensionamento in base alla pressione di contatto H2 4 K E FC 1 sen 2 L d1 L d Basso valore di φ H2 4 K E FC 1 sen 2 d12 H2 4 K E 60 W 1 sen 2 n1 d13 H2 m3 il valore di 4 K E 60 W 1 sen 2 n1 m 3 z13 φ L d Alto valore di φ è generalmente compreso tra 0.5 ed 1 È conveniente esprimere la forza tangenziale FC in funzione della potenza da trasmettere FC 4 K E 60 W 1 sen 2 n1 z13 02 W 2 1 d1 W 60 W 2 60 W n1d1 2 n1 d1 Può essere conveniente, infine, esprimere il diametro attraverso il modulo ed il numero di denti: m= d / z denti dritti Dimensionamento in base alla pressione di contatto H2 4 K E 60 W 1 sen 2 n1 d13 m3 4 K E 60 W 1 sen 2 n1 z13 02 3 HB 10 7 10 0 3 60 n1 h z1min m unificazione mu d1u Diametro pignone d1 21 x sen 2 z1 z2 z2 deve essere un numero intero Diametro ruota d2 Larghezza fascia dentata L Interasse i Eventuale spostamento relativo x 27 Dimensionamento in base alla pressione di contatto Ingranaggi cilindrici a denti elicoidali La teoria di Hertz può essere ancora utilizzata nel caso di dentature elicoidali. H2 q R1 R2 E1 E2 R1 R2 E1 E2 Formalmente la relazione di progetto è diversa da quella ricavata nel caso di dentatura dritta, essendo diversa la geometria del contatto. Dimensionamento in base alla pressione di contatto denti elicoidali Il fattore dipendente dal materiale non varia rispetto al caso dei denti dritti. KE 1 E1 E2 E1 E2 Si modificano invece i fattori che dipendono dalla forza applicata e dalla geometria del dente q F L R1 R2 R1 R2 28 denti elicoidali Dimensionamento in base alla pressione di contatto Analisi delle forze agenti sul dente r piano base B Fr α0 F ϑ n C ϑ FC t E α Fπ Fa A piano tangente alle primitive D a F Fπ F cos θ n Fa Fπ sen F cos θ n sen Fr F sen θ n FC Fπ cos F cos θ n cos FC denti elicoidali Dimensionamento in base alla pressione di contatto Analisi delle forze agenti sul dente 2W 60W ωd πnd r piano base B Fr α0 F ϑ n C Fa Fπ F cos θ n a F Fr F sen θ n Fπ ϑ A FC α FC F cos cos θ n t E piano tangente alle primitive D FC tan θn sen θ n FC Fr cos cos θ n cos FC 2W 60W ωd πnd Fa FC tan 29 denti elicoidali Dimensionamento in base alla pressione di contatto r Analisi delle forze agenti sul dente Il triangolo CDA CBA CED èè rettangolo rettangolo in in B D CEB E piano base B Fr α0 F ϑ n C ϑ FC Valore unificato tan θn 20 D a tan θ BE CE tan θn 1 CD tan θ BE CD CE cos tan θn CE AD AD CD t E α Fπ Fa A tan θ tan θn cos BE AD CE CD cos denti elicoidali Dimensionamento in base alla pressione di contatto r Analisi delle forze agenti sul dente piano base B Fr α0 F ϑ n C Fa ϑ A FC E α Fπ Valore unificato D a sen 0 AB CA DE sen CD CD CA cos θn sen 0 AB CD CD cos θn sen CA DE CA AB DE t tan θn 20 sen 0 sen cos θn cos 0 1 sen 2 cos 2 θn 30 denti elicoidali Dimensionamento in base alla pressione di contatto Lunghezza del contatto Linea di contatto denti elicoidali Dimensionamento in base alla pressione di contatto Lunghezza del contatto ϑ α0 M’ Pbn A M Pbn Pb cos 0 Pb λ M C O1 Nella dentatura elicoidale il grado di ricoprimento ha anche una componente assiale, oltre che trasversale a t tan 0 L L Pa Pb Pb t a CO2 N B N Area del rettangolo λ L N’ L L lc Pbn lc L Pbn L Pb cos 0 t Pb lc t L cos 0 31 Dimensionamento in base alla pressione di contatto denti elicoidali Raggio relativo Piano base Larghezza della fascia dentata A´ R1 R2 R1 R2 B´ C1 C2 C BC C C1´ C2´ C1C C1C AC cos 0 cos 0 C2 C C2 C BC cos 0 cos 0 C1C AC C2 α0 A B AC BC Dimensionamento in base alla pressione di contatto A´ B´ C1 C1´ R1 C denti elicoidali Raggio relativo R1 R2 R1 R2 C2´ R2 C2 α0 B A I raggi di curvatura delle superfici coniche nel punto C valgono: R1 C1C AC cos 0 R2 C2C BC cos 0 32 denti elicoidali Dimensionamento in base alla pressione di contatto ϑ t Raggio relativo R1 R2 R1 R2 A ϑ O1 C1C r1 r2 C ϑ C2 C O2 B t I raggi di curvatura delle superfici coniche nel punto C valgono: r r cos 0 1 cos 0 R1 R2 1 2 R1 R2 r1r2 sen θ r1 sen θ R1 C1C AC cos 0 AC r1 sen θ R1 r1 sen θ cos 0 R2 C2C BC cos 0 BC r2 sen θ R2 r2 sen θ cos 0 denti elicoidali Dimensionamento in base alla pressione di contatto H2 q R1 R2 E1 E2 R1 R2 E1 E2 F q FC cos cos θ n t L cos 0 FC cos 0 q t L cos θn cos lc 1 E E KE 1 2 E1 E2 R1 R2 1 cos 0 R1 R2 r1 sen θ FC H2 K E 2W 60W ωd πnd 1 FC cos 2 0 t L cos θn cos r1 sen θ sen θ H2 K E sen θn cos 0 r1 d1 2 FC cos 3 0 21 t L sen θn cos θn cos d1 2 sen θn cos θn sen 2θn H2 4 K E FC cos 3 0 1 sen(2θn ) Ld1 cos t H2 1 4 K E FC sen( 2θn ) Ld1 t 33 denti elicoidali Dimensionamento in base alla pressione di contatto H2 q R1 R2 E1 E2 R1 R2 E1 E2 F q H2 K E FC cos cos θ n H2 L lc t cos 0 FC cos 0 q t L cos θn cos KE 1 E1 E2 E1 E2 1 4 K E FC sen( 2θn ) Ld1 t cos 3 0 cos cos 0 1 sen 2 cos 2 θn R1 R2 1 cos 0 R1 R2 r1 sen θ FC 1 FC cos 2 0 t L cos θn cos r1 sen θ sen 0 sen cos θn ( n , ) 1 sen 2 cos 2 n 2W 60W ωd πnd 1 sen 2 n tan 2 Dimensionamento in base alla pressione di contatto denti elicoidali Relazione di progetto / verifica H2 1 4 K E FC sen( 2θn ) Ld1 t FC 2W 60W ωd πnd Condizione sul numero di denti del pignone z1 2(1 x) cos 1 sen 2 cos 2 n sen 2 n Grado di ricoprimento trasversale t z1 2 cos 2 z12 cos2 z2 2 cos 2 z22 cos 2 z1 z2 sen 2π cos sen θ sen θn 1 sen 2 cos 2 θn cos θ cos cos θn 1 sen 2 cos 2 θn 34 Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione Relazione di Lewis θ F β Fr denti dritti F Ft ϑ Ft FC β δ h0 FC f Trave ad uniforme resistenza f g0 ++ Mf Wf Ft h 1 2 Lg 6 FC 6h0 FC 6h0 m FC 6h0 m Lg 02 m Lm g 02 Lg 02 f –– FC Y f Lm Yf g 02 6h0 m – Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione Relazione di Lewis Yf Il fattore di forma denti dritti g 02 6h0 m Yf dipende del numero di denti, dall’angolo ϑ e dallo spostamento relativo x Yf Variazione della forma del dente per valori di z crescente x >0 x =0 x <0 z numero di denti 35 denti dritti Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione Relazione di Lewis Valori del fattore di forma Yf relativo a ϑ = 20° in funzione del numero di denti e dello spostamento relativo x Denti dritti, z1=18, x=0 Fattore Yf = 0.34 Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione Relazione di Lewis r Dentatura elicoidale piano base B Fr α0 F ϑ n C Fa ϑ Fπ A FC E t α D a La forza agisce sul dente perpendicolarmente ad esso FC cos Nel caso dei denti obliqui deve essere quindi considerata la Fπ in luogo della FC Fπ Inoltre deve essere considerato il modulo normale mn in luogo del modulo m mn m cos 36 denti elicoidali Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione Relazione di Lewis Lunghezza del contatto: lc r t L cos 0 lc lc cos lc lc B cos cos 0 ϑ α0 l’c t D Dal triangolo BCD si ha: α ε C a A BC CD cos Dai triangoli ABC e ACD si ha: AC BC cos 0 AC CD cos BC cos CD BC cos 0 CD cos cos BC cos 0 CD cos cos cos 0 Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione denti elicoidali Relazione di Lewis f FC Y f Lm Fπ FC cos f Fπ Y f lc mn f FC cos 2 0 Y f t L mn cos 2 f FC , θn Y f t L mn mn m cos cos lc lc cos 0 lc t L cos 0 (θn , ) lc t L cos cos 2 0 1 sen 2 cos 2 θn cos 2 37 denti elicoidali Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione Nel caso dei denti elicoidali il fattore di forma Yf può ancora essere ricavato dalle curve relative ai denti dritti, purché si utilizzi un numero di denti fittizio z’ Cilindro primitivo r z d m r’ α r z r cos 2 d mn cos 2 d m cos 3 d z m mn m cos z z cos 3 Il fattore di forma del dente obliquo è migliore del corrisponente dente dritto, perché è ottenuto da una circonferenza primitiva maggiore di quella reale. Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione denti elicoidali Nel caso dei denti elicoidali il fattore di forma Yf può ancora essere ricavato dalle curve relative ai denti dritti, purché si utilizzi un numero di denti fittizio z’ Esempio: per z = 20 α= 30° x = 0 z 20 30.8 cos 3 30 Fattore Yf per dentatura elicoidale = 0.395 Fattore Yf per dentatura dritta = 0.353 38 39 40 Ingranaggi: esercitazione H2 4 K E 60 W 1 sen 2 n1 d13 m3 4 K E 60 W 1 sen 2 n1 z13 02 DATI: P = 15 kw n1 = 2900 g/m n2 = 1450 g/m durata = 5000 ore E1 = E2 = 200E9 Pa ν = 0.3 σR= 800 MPa σS= 650 MPa 3 σLF= 310 MPa HB 10 7 10 0 3 60 n1 h HB = 4.50E9 Pa θ = 20° f FC Y f Lm z1min z1 z2 21 x sen 2 z2 deve essere un numero intero 41