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http://mcvirgo.roma1.infn.it/~ricci/Gravitazione_Sperimentale.htm
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Esame: Tesina con relativa presentazione orale e discussione
Materiale Didattico: Dispense/Trasparenze sul sito WEB
Bibliografia: Vedi programma
Ricevimento: Stanza 42, Pian Terreno, Zona G23 Edificio Marconi
Orario Lezioni: 11-13 Lunedi (aula 2, ed. Fermi) – Venerdi 12-14 (Aula 8, ed.
Fermi)
Eventuali cambiamenti d’orario e/o seminari aggiuntivi saranno annunciati di
volta in volta
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1. I fondamenti della gravitazione
2. Basi sperimentali del principio di equivalenza
3. Basi sperimentali delle Teorie metriche
-Parametri PPN e misura del loro limite superiore
-Effetti misurabili previsti dalla relatività generale
4. La rivelazione di onde gravitazionali
5. Le antenne gravitazionali
6. Il rumore nelle misure di precisione
7. Ottimizzazione della strategia di misura
I fondamenti della gravitazione
m A mB
| F |= G 2
r
mA
mB
Teoria “esatta” se v/c  0 e f/mc2 0
Argomenti del corso
1. Introduzione
2. Misure di G
3. Verifiche legge quadratica inversa
4. Ricerche di una quinta forza
g
Weak Equivalence Principle (WEP)
La traiettoria di una massa di test posta in un dato evento dello
spazio-tempo con velocità iniziale fissata è indipendente dalla sua
composizione. Unicità del Free Fall (UFF).
g
Einstein Equivalence Principle (EEP)
1. WEP è valido.
2. Il risultato di un qualunque esperimento locale non
gravitazionale, effettuato in un sistema in caduta libera, è
indipendente dalla velocità di tale sistema (LLI, Local Lorentz
Invariance).
3. Il risultato di un qualunque esperimento non gravitazionale è
indipendente dal luogo e l’istante in cui viene realizzato. (LPI,
Local Position Invariance)
g
Strong Equivalence Principle (SEP)
1) WEP valida anche per i corpi auto-gravitanti (pianeti, stelle, etc..).
2) Il risultato di un qualunque esperimento locale non gravitazionale
effettuato in un sistema in caduta libera è indipendente dalla
velocità di tale sistema.
3) Il risultato di un qualunque esperimento locale non gravitazionale è
indipendente dal luogo e l’istante in cui viene realizzato.
g
Implicazioni teoriche
EEP  Spazio-Tempo Curvo (Teoria Metrica)
WEP  EEP (Schiff’s conjecture)
SEP  GR è valida
g
Verifiche sperimentali delle tre diverse
formulazioni
1) Lo strumento teorico: il formalismo PPN
Parametrized Post- Newtonian formalism
2) Deflessione della luce, Ritardo eco radar,
Precessione del perielio di Mercurio,
Nordtvedt Effect…..
….. Limiti sui Parametri Post-Newtoniani
1. La Gravimetria e le sue applicazioni
2. Il sistema GPS
3. Il Gravitomagnetismo
• Il satellite Lageos e la missione GPB
La Gravitodinamica: le Onde Gravitazionali
1) Le OG come soluzioni delle equazioni di Einstein
2) Effetto su masse di prova
3) Meccanismo di Generazione delle OG
4) Ruolo degli oggetti astrofisici compatti
1) Antenne Risonanti
2) Antenne Interferometriche
3) Interferometri Spaziali
4) Doppler tracking
5) Pulsar timing
1) Variabili aleatorie e processi stocastici
2) Auto e cross correlazione. Spettri di Potenza
3) Il rumore elettronico
4) Il rumore termico
5) Il rumore in un sistema illuminato
1) Il Progetto di un’Antenna Risonante
2) Il Progetto di un Antenna Interferometrica
Mondo Antico: visione cosmologica
dominata dalla filosofia di Tolomeo (100178 ca. d.C.): modello geocentrico
(Trattato Almagesto)
Nicolaus Copernicus (1473-1543) filosofo polacco
(“De Revolutionibus Corporum Coelstium”, 1532)
“At the middle of all things lies the sun. As the location of this luminary in the cosmos,
that most beautiful temple, would there be any other place or any better place
than the centre, from which it can light up everything at the same time?
Hence the sun is not inappropriately called by some the lamp
of the universe, by others its mind, and by others its ruler”
RIVOLUZIONE COPERNICANA
Johannes Kepler (1571-1630) analisi delle osservazioni
di Tycho Brahe (1546-1601)
Prima Legge: Tutti i pianeti si muovono lungo orbite ellittiche ed il
sole è collocato in uno dei due fuochi. (“Astronomia Nova”, 1609)
Johannes Kepler (1571-1630) analisi delle osservazioni
di Tycho Brahe (1546-1601)
Seconda Legge: In tempi uguali il raggio vettore che connette il sole
ai pianeti spazza aree uguali. (“Astronomia Nova”, 1609)
Johannes Kepler (1571-1630) analisi delle osservazioni
di Tycho Brahe (1546-1601)
Terza Legge: Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione
ed il cubo del semi-asse maggiore è lo stesso per tutti i pianeti
(“Harmonices Mundi ”, 1619)
Galileo (1564-1642)
Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo (1632)
Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze
attenenti alla meccanica e i movimenti locali(1638).
Un corpo non soggetto ad alcuna forza, o è fermo
o si muove a velocità costante
Newton (1642-1727)
Lex I (Principio d’inerzia)
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in
directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.
Lex II (F=ma)
Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, & fieri secundum
lineam rectam qua vis illa imprimitur.
Lex III (Azione-Reazione)
Actioni contrariam semper & æqualem esse reactionem: sive corporum duorum
actiones in se mutuo semper esse æquales & in partes contrarias dirigi.
Newton (1642-1727): PHILOSOPHIÆ NATURALIS PRINCIPIA
MATHEMATICA
Nicolas Copernicus 1473--------1543
De Revolutionibus by Copernicus 1543
Tycho Brahe ....................1546------1601
Galileo Galilei .................1564---------1642
William Shakespeare .............1564------1616
Johannes Kepler ................1571------1630
Defeat of Spanish Armada .............1588
Discovery of Australia by William Janszoon.1606
Jamestown established .....................1607
Telescope invented by Johann Lippershey ...1608
King James Version of The Holy Bible ......1611
Thirty Years War ...........................1618--1648
Pilgrims landed at Plymouth ................1620
Dutch bought Manhattan for $24.00 ...........1626
Taj Mahal (India) built................................1632-45
Harvard College founded .......................1636
Isaac Newton ....................................1642----------1727
Reign of Louis XIV ..............................1643---------1715
• Le leggi di Keplero sono proprietà cinematiche
• Sono la base della legge di Gravitazione Universale di Newton,
ma non bastano per formularla
 e’ necessaria forza una generante (dinamica)
accelerazione
centripeta
distanza
terra-luna
2
4
p
rm
1. am = w m2 rm =
Tm2
velocità angolare
Luna
periodo
di rotazione
rm
IPOTESI DI ORBITA
CIRCOLARE
(3a legge di Keplero)
rm3
rm3
2
2. 2 = C Þ Tm =
Tm
C
am
Terra
Sostituiamo la 2. nella 1.
4p 2 rm 4p 2C
= 2
3. am = 3
rm / C
rm
Luna
2a legge della dinamica
4.
Fearth = mm am
rm
IPOTESI DI ORBITA
CIRCOLARE
5. F = m a = 4p Cmm
earth
m m
2
2
rm
am
Terra
Newton ricava la legge quadratica inversa usando la
3a legge di Keplero e la 2a legge della dinamica
4p 2 Km p
Fsun = mp a p =
rp2
Dalle misure astronomiche
Newton deduce che K >> C
Per il 3o principio della dinamica
4p 2C = Gmearth
4p 2 K = Gmsun
Pianeta
rp
ap
IPOTESI DI ORBITA
CIRCOLARE
Sole
4p 2 Km p
Fsun = mp a p =
rp2
4p K = Gmsun
2
Gmsun m p
Fsun = mp a p =
rp2
Pianeta
rp
ap
IPOTESI DI ORBITA
CIRCOLARE
Sole
FORMULA
UNIVERSALE
m m
F = mB aB = -G A 2 B r̂ = -mA aA
r
aB
B
r
aA
Newton fornì anche una stima di G, sulla base dei dati
allora conosciuti, ottenendo approssimativamente
G = 6 x 10-11 N m2 kg-2
mi massa inerziale: proprietà fisica che definisce la
relazione di proporzionalità tra forza applicata ad un
corpo e accelerazione da lui subita.
ma massa gravitazionale attiva: sorgente fisica della
forza gravitazionale.
mp massa gravitazionale passiva: proprietà fisica del
corpo che subisce la forza gravitazionale.
Formula di Newton dedotta ipotizzando
mi=ma ed ma=mp
ax
x
a1kg
Fext = M tot acm = 0
m1kg a1kg + mx ax = 0
1 kg
a1kg
mx = m1kg
ax
def
3o principio
m1kg a1kg = mx ax
Il rapporto tra le masse inerziali è deducibile
dal rapporto delle rispettive accelerazioni
mx
r
1 kg
FNewton =
ax r
m =m
(1kg)
G ma
x
p
x
i
Gma(1kg) m px
r2
= mix ax
2
ax r
2
æ
ö
x
2
m
a
(r)
r
def
ç
÷
x
i
x
m = lim ç
÷
p
(1kg)
G
ç
÷
r ®¥ èm
ø
a
quantità conservata per la
3a legge di Keplero
r
1 kg
mx
def
x
m =
a
x
Gm(1kg)
m
p
a
(1kg)
FNewton =
=
m
a1kg
i
2
r
æ (1kg)
ö
2
mi a1kg (r) r ÷
ç
lim
(1kg)
ç
÷
m
G
p
r ®¥ è
ø
r
2
X1 - X 2
mI 1a1 = -GmP1mA2
= F1
3
| X1 - X 2 |
X 2 - X1
mI 2 a2 = -GmP 2 mA1
= F2
3
| X 2 - X1 |
1
3a Legge della dinamica: Ad ogni
azione corrisponde una reazione uguale
e contraria
mP1mA2 = mP 2 mA1
| F1 |=| F2 |
mP1 mP 2
=
m A1 m A2
r
2
X1 - X 2
mI 1a1 = -GmP1mA2
= F1
3
| X1 - X 2 |
X 2 - X1
mI 2 a2 = -GmP 2 mA1
= F2
3
| X 2 - X1 |
1
3a Legge della dinamica: Ad ogni
azione corrisponde una reazione uguale
e contraria
| F1 |=| F2 |
Il rapporto tra massa gravitazionale attiva e passiva
è identico per tutti i corpi
r
2
X1 - X 2
mI 1a1 = -GmP1mA2
= F1
3
| X1 - X 2 |
X 2 - X1
mI 2 a2 = -GmP 2 mA1
= F2
3
| X 2 - X1 |
1
3a Legge della dinamica: Ad ogni
azione corrisponde una reazione uguale
e contraria
| F1 |=| F2 |
Massa gravitazionale Attiva e Passiva sono
grandezze proporzionali
X1 - X 2
mI 1a1 = -GmP1mA2
= F1
3
| X1 - X 2 |
mI 2 a2 = -GmP 2 mA1
X 2 - X1
= F2
3
| X 2 - X1 |
Accurate
Verifiche sperimentali
Kreuzer L.B., 1968, “Experimental evidence of the equivalence of active and
passive gravitational mass”, Phys. Rev., 169, 1007
Bartellet D.F. and Van Buren D., 1986, “Equivalence of active and passive gravitational
mass using the moon”, Phys. Rev. Lett. 57, 21
g
L’accelerazione di un corpo posto in un campo gravitazionale
è indipendente dalla sua composizione.
mI a = m p g
mP
mI
è lo stesso per tutti i corpi
g
L’accelerazione di un corpo posto in un campo gravitazionale
è indipendente dalla sua composizione.
Massa gravitazionale Passiva e Massa Inerziale sono
grandezze proporzionali
m p = amI
m p = bm A
mI = mA = mP
(UFF)
(Azione-Reazione)
N
mi
F ( x ) = -Gmå
( x - xi )
3
i =1 | x - xi |
N
mi
V ( x ) = -Gmå
i =1 | x - xi |
F ( x ) = -ÑV ( x )
¶V ( x )
Fi ( x ) = ¶xi
1
g ( x) = F ( x)
m
Energia
potenziale
x
xi
Vale il principio di
sovrapposizione
1
g ( x) = F ( x)
m
N
mi
F( x ) = -G å
i =1 | x - xi |
Campo Gravitazionale
Potenziale Gravitazionale
F(x) = -G ò
se x >> x¢ (xi¢ » 0, r =
å ( x ) , r¢ = å ( x ¢ )
2
i
i
1
å( x - x )
i
i
' 2
i
i
r (x ')
| x - x'|
2
)
i
(
)
1
xi xi' 1 xi x j
» + å 3 + å 5 3xi¢ x¢j - r¢2dij +…
r i r
2 i, j r
d 3 x¢
F(x) = -
M=
Di =
GM G
G
- 3 å xi Di - 5 åQij xi x j
r
r i
2r i, j
ò r(x')d x¢
3
Massa
ò x¢r(x')d x¢
3
Momento di Dipolo
i
(nullo se s.d.r. è centrato sul centro di massa)
Qij = ò (3xi¢x¢j -r¢ di )r (x')d x¢
2
j
3
Momento di Quadrupolo
(nullo per simmetrie sferiche)
Terra: Requat. e Rpolare differiscono di 1 parte su mille
Sole: Requat. e Rpolare differiscono di 1 parte su 105
Avanzamento del Perielio dei pianeti
Mercurio: 5600.73 ± 0.20’’
di cui
Effetto dovuto alla Relatività
Generale: 43” per secolo
Perturbazione dal moto dei pianeti:
532” per secolo
Perturbazione dal momento di quadrupolo del sole:
pochi sec per secolo
Il resto e’ legato al s.d.r. astronomico solidale con la terra (5025’’)
DjOBS = Dj N + Dj REL
Dj N = Dj Planets motion + Dj Sun
Dj Sun ?
Dipende da suo momento di quadrupolo
Dicke e Goldberg (1961): misura dell’intensità della radiazione
solare sulla superficie  J = Q/2MR3 = 2 x 10-5 (errore al 10%)
Questo valore di J genererebbe un avanzamento del perielio
pari a 3 sec arco per secolo rendendo le osservazioni
compatibili con la teoria di Brans-Dicke .
Hill e Stebbins (1975): Stessa tecnica – smentirono la misura
J = Q/2MR3 = 1 x 10-6 (errore al 400%)
Anni ’80: Misura delle oscillazioni solari
J = Q/2MR3 = 2 x 10-7 (errore al 10%)
Brown et al.(1989): Misura più accurata
J = Q/2MR3 = 1.5 x 10-7 (errore al 10%)
GM T
g=
2
RT
Scarsa accuratezza nella conoscenza
di masse e raggi dei pianeti
Cavendish Experiment
(1798)
E’ considerato il primo esperimento moderno !!!
Miglioramenti
1) Fibre di quarzo, Leve Ottiche (Boys, 1889)
2) Periodo invece che angoli (Heyl, 1942)
Accuratezza di qualche parte per mille